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2025-2026学年江苏省清江中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，则m等于（　　）
A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 1或4
2.已知，，若，则x的值为（　　）
A. 7 B. -8 C. 6 D. -5
3.6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（　　）
A. 240种 B. 360种 C. 480种 D. 540种
4.展开式的7项中，系数为有理数的项共有（　　）项.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（　　）
A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0
6.在正三棱锥P-ABC中，PA=AB=4，点D是棱PC的中点，，则=（　　）
A. B. -9 C. D. -8
7.甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为5%，乙加工的次品率为8%，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的40%，60%，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（　　）
A. B. C. D.
8.已知f（x）=（ax-a-1）ex+x,若0是f（x）的极小值点，则a的取值范围为（　　）
A. [0，+∞） B. （1，+∞） C. （-∞，1） D. （-∞，0）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，则下列结论正确的是（　　）
A. a2=15 B. a1+a2+a3+ +a6=0
C. a0+a2+a4+a6=64 D. a1+2a2+3a3+ +6a6=0
10.一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件Ai为“第i次取到的球是红球（i=1，2）”，事件B为“两次取到的球颜色相同”，事件C为“两次取到的球颜色不同”，则（　　）
A. A1与A2互斥 B. C. D. A1与B相互独立
11.如图，若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱AB，A1D1的中点，则（　　）
A. 三个向量，，不可以构成空间的一组基底
B. 四面体C1D1EC的外接球的表面积为
C. 平面D1CE截该正方体的内切球所得截面的面积为
D. 直线C1F与平面D1CE所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X～B（n,p），若E（X）=，，则p= .
13.若函数在区间（0，π）上单调递增，则实数a的取值范围是 .
14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，点P为A1D1的中点，点M为四边形ABCD内一点，且PM=MC，则直线PM与平面ABCD所成角的正切值的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在的展开式中，二项式系数和为64，完成下列问题：
（1）求n的值并求展开式中的常数项；
（2）求展开式中x6的系数.
16.(本小题15分)
结合排列组合，解决下列问题.（结果用数字作答）
（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？
（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？
17.(本小题15分)
一个盒子中有6个大小重量相同的小球，其中2个白球，4个黑球，甲同学从盒子中分3次随机抽取，每次抽取1个球.
（1）若每次抽出的球放回，求恰有2次抽取到黑球的概率；
（2）若每次抽出的球不放回.
①记抽取到的黑球个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
②在抽取到1个黑球与2个白球的前提下，求第2次抽到黑球的概率.
18.(本小题17分)
如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=1，M为BC中点，N为AB的中点.
（1）求证：A1N∥平面AMC1；
（2）求平面AMC1与平面ACC1A1所成夹角的余弦值；
（3）求点C到平面AMC1的距离.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）当时，求函数f（x）的极值；
（2）若g（x）=a（x2-1）lnx-（x-1）2（a≠0）有三个零点x1，x2，x3，其中x1＜x2＜x3.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：（1-a）（x1+x3）＞1.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】BD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】n=6，160 38
16.【答案】解：（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有34=81种放法；
（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，
则将4封信分成1，1，2三组，有=6组，再分给三个信箱，有6=36种放法；
（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，
先确定一组序号相同有=4种情况，其余的全部不同均有2种情况，则共有4×2=8种放法．
17.【答案】解：（1）若每次抽出的球放回，则每次抽取到黑球的概率为，
则随机抽取3次，恰有2次抽取到黑球的概率；
（2）①由题意知：X所有可能的取值为1，2，3，
，
，
，
X的分布列为：
X 1 2 3
P
；
②记事件A为“抽取到1个黑球与2个白球”，事件B为“第2次抽到黑球”，
则事件AB为“第1次和第3次抽到白球，第2次抽到黑球”，
因为，
所以，
即在抽取到1个黑球与2个白球的前提下，第2次抽到黑球的概率为．
18.【答案】证明见解答； ； ．
19.【答案】极大值为，极小值为 （i）；（ii）因为函数，
所以，
若f（x）=0，则，所以，x1x3=1，
又因为，所以，
所以，当且仅当x1=x3时不等式取等号，
所以（1-a）（x1+x3）＞1
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