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2025-2026学年吉林省长春市外国语学校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（　　）
A. 43种 B. 34种 C. 种 D. 种
2.下列求导运算正确的是（　　）
A. （2x+1）′=2x B. （cosx）′=sinx
C. （ex）′=xex-1 D. [（3x+1）3]′=9（3x+1）2
3.设A B，且P（A）=0.3，P（B）=0.6，则P（A|B）=（　　）
A. 1 B. C. D.
4.若，则a0+a2+a4=（　　）
A. -40 B. 40 C. 41 D. 82
5.已知奇函数f（x）=x3+（a-1）x2-5f′（2）x,则f（a）=（　　）
A. -9 B. -5 C. 5 D. 9
6.已知函数f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A. f（x）在区间（x1，x3）上单调递减 B. f（x）在x=x5处取得极大值
C. f'（x）在区间（x3，x4）上单调递减 D. f'（x）在x=x6处取得极小值
7.设事件A，B满足P（A）=0.2，P（B）=0.5，则下列结论正确的是（　　）
A. B. 若A，B独立，则P（AB）=0.1
C. 若A，B互斥，则P（A+B）=0.1 D. 若P（B|A）=0.2，则A，B独立
8.已知函数，对 x1，，当x1＞x2时，恒有，则实数a的取值范围为（　　）
A. （-∞，e] B. C. [e,+∞） D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=f′（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是（　　）
A. f（x）=x2+1 B. C. f（x）=e-x D. f（x）=cosx-1
10.已知随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P 0.2 b a
其中P（X=1）=b,P（X=2）=a,且随机变量Y满足Y=aX+b,若E（X）=1，则（　　）
A. a=0.2 B. P（X≤1）=0.8 C. D（X）=0.2 D. E（Y）=0.04
11.下列说法正确的是（　　）
A. 将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法数有150种
B. 把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法有252种
C. 学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为
D. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（x+y）（x-y）6的展开式中，x4y3项的系数为 .
13.用4种颜色为四个词组“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，要求每个词组颜色相同，相邻词组不同色，共有 种涂色方法.
14.已知关于x的方程有三个不相同的实根，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=ax3+2bx+6在x=-1处取得极大值10.
（1）求a,b的值；
（2）求f（x）在[-2，2]上的最值.
16.(本小题15分)
某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答，已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
（1）求乙恰好答对两个问题的概率；
（2）请从期望和方差两个数字特征的角度考虑选择哪名同学去参赛更合理？
17.(本小题15分)
已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2：5.
（1）求n的值；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
18.(本小题17分)
甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜.在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为.已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为X.
（1）求第2局比赛甲胜的概率；
（2）在X=3的条件下，求甲胜的概率；
（3）求比赛结束时甲胜的概率.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-x-1，g（x）=alnx-x.
（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若h（x）=f（x）-g（x）在[1，2]单调递增，求实数a的取值范围；
（3）当a＜0时，若对任意的，总存在，使得f（x1）≤g（x2），求实数a的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】AB
11.【答案】ACD
12.【答案】-5
13.【答案】108
14.【答案】
15.【答案】a=2，b=-3；
最大值为10，最小值为2
16.【答案】 选择甲去参赛更合理
17.【答案】6；
60；
．
18.【答案】
19.【答案】y=（e-1）x-1 （-∞，e]
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