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2025-2026学年湖北省楚天协作体高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列求导运算正确的是（　　）
A. B. （cos1）′=sin1
C. （xsinx）′=cosx D. （4x）′=x4x-1
2.下列选项中不是数列2，0，2，0，…的通项公式的是（　　）
A. B.
C. D.
3.已知函数f（x）=x2-asin（x-1），若，则a=（　　）
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
4.某大学在东、南、西、北及东南五个方向上各有一个校门，如果一在校大学生从其中任意一个校门进入学校，并且要求从其它的校门出去，那么共有（　　）种进出学校的方式.
A. 10 B. 16 C. 20 D. 25
5.函数f（x）=x2-ax+lnx在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
6.已知数列{an}为等比数列，a4a7a8=a3a12，a11a13=81，则a8=（　　）
A. ±3 B. 3 C. 9 D. -3
7.将6个各不相同的小球全部放入4个颜色各不相同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，其中红色盒子至多放两个小球，则一共有（　　）种不同的放法.
A. 480 B. 540 C. 1440 D. 4320
8.已知函数f（x）和f′（x）定义域为D=（-∞，0）∪（0，+∞），f（x）为偶函数，且对任意实数x∈D，都有xf′（x）-2f（x）＞0恒成立，f（1）=2，则不等式f（x-1）＞2x2-4x+2的解集为（　　）
A. （-∞，0）∪（2，+∞） B. （0，2）
C. （0，1）∪（1，2） D. （-∞，0）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若（3x-1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则下列说法正确的是（　　）
A. a0=1 B. a3=270
C. a1+a2+a3+a4+a5=32 D. a1+a3+a5=528
10.已知函数f（x）=ax3+bx2+x（a≠0），则下列选项正确的是（　　）
A. 若b2-3a≤0，则f（x）在R上无极值点
B. 若a＞0，b＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增
C. 当a=1，b=-2，若关于x的方程f（x）=k有三个实根，则
D. 当a=1，b=-2，若f（x）在区间（-∞，m）上最大值为，则m的取值范围为
11.已知数列{an}的前n项和为Sn且an+1=2Sn+1，bn=log3an+1，则下列说法正确的是（　　）
A. 数列{an}为等比数列
B. 若a1=1，在an与an+1之间插入n个数使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，则
C. 若，则数列{cn}的前2026项的和为
D. 若a1=1，在数列{an}的ai和ai+1项之间插入i个数，使得这i+2个数成等差数列，其中i=1，2，3，…，n,将所有插入的数由小到大组成新数列{en}，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f（x）=x3+lnx,则f（x）在（1，1）处的切线方程为 .
13.3名女生和3名男生站成一排拍照留影，男生甲不站两端，女生乙和丙必须相邻，一共有 种不同的站法.（用数字回答）
14.已知函数f（x）=2lnx-mx+1的极值点为1，函数h（x）=axe-x-2lna,若h（x）≥f（x）对任意x＞0恒成立，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn且a3=8，S7=77.
（1）求an；
（2）若，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=（ax-1）ex，且f（x）在x=1处切线斜率为3e.
（1）求a的值及f（x）的值域；
（2），求h（x）的极值.
17.(本小题15分)
已知的展开式中的前三项的二项式系数和为172，其中n∈N*.
（1）求n；
（2）求展开式中含的项；
（3）展开式中系数最大项是第几项？
18.(本小题17分)
已知数列{bn}的首项且，.
（1）证明：数列{an}为等比数列；
（2）若，求数列{cn}的前2n项的和T2n；
（3）若，且不等式对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）.
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）对任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）g（x）=（x-1）lnx+a+1，设x1、x2是方程f（x）-g（x）=0的两根，且x1＜x2，证明：.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】4x-y-3=0
13.【答案】144
14.【答案】（0，e]
15.【答案】an=3n-1 由（1）有an=3n-1，
所以，
所以
=，
又因为bn＞0，当n=1时，Tn取最小值，即，
所以
16.【答案】a=2； h（x）的极大值为1，极小值为
17.【答案】n=18 7
18.【答案】因为，所以，
又因为，所以，
所以，即．
又因为且，所以，
所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列
19.【答案】（0，+∞） （-∞，2] 证明：方程f（x）-g（x）=0化简得2lnx=ax+1，x1，x2为该方程两根，且0＜x1＜x2，
设，即x2=tx1，则，两式相减得，，
因此，化简得，则，
又因，得，
要证明，即要证明，化简得（1+2t）lnt＞3（t-1），
设p（t）=（1+2t）lnt-3（t-1），t∈[1，+∞），p（1）=0，
则，p′（1）=0，
设，t∈[1，+∞），q（1）=0，
则，对 t∈[1，+∞），q′（t）＞0，故q（t）在区间[1，+∞）上单调递增，
则 t∈[1，+∞），有p′（t）≥p′（1）=0，当且仅当t=1时等号成立，故p（t）在区间[1，+∞）上单调递增，
则 t∈[1，+∞），有p（t）≥p（1）=0当且仅当t=1时等号成立，
故 t∈（1，+∞），有p（t）＞0，
综上所述，当t＞1时，（1+2t）lnt＞3（t-1），即
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