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2025-2026学年河南省平顶山市高二（下）期中数学试卷（人教版）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，，若，则t=（　　）
A. 2 B. C. D. -2
2.甲、乙分别报名参加春季运动会中的跳远、1500米、铅球三项比赛项目，根据运动会比赛安排，这三项比赛同时进行，每人只能报其中一项，则不同的报名种数为（　　）
A. 9 B. 8 C. 6 D. 5
3.记Sn为数列{an}的前n项和，已知，则（　　）
A. B.
C. D.
4.若直线x-my+7=0与直线x-y-1=0垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　）
A. （-3，4） B. （-3，-4） C. （3，-2） D. （3，2）
5.如图，在正八面体ABCDEF中，四边形ABFD为平行四边形，G，H分别为AE，BF的中点，设，，，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
6.已知直线x-2y-4=0与圆C：x2+y2-2x-2y-23=0相交于A，B两点，其中点C为此圆的圆心，则sin∠ACB=（　　）
A. B. C. D.
7.已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（　　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
8.已知不经过点A（2，1）的直线l：y=-x+m（m≠1）与双曲线E：交于B，C两点，若∠BAC的角平分线与x轴垂直，则双曲线E的离心率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数，且f′（1）=1，则（　　）
A. a=1 B. f（x）在（1，+∞）上单调递增
C. f（x）只有一个极值点 D. f（x）有三个零点
10.已知x4+x5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5，则（　　）
A. a0=0 B. a0-a1+a2-a3+a4-a5=-16
C. a0+a2+a4=8 D. a2=-4
11.已知数列{an}满足a1=2，设{an}，{a2n}的前n项和分别为Sn，Tn，则（　　）
A. 2a1=a2+a3 B. S2n=4Tn
C. 当n≥2时， D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f（x）=e3x，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 .
13.已知F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，过点（2，0）的直线l与C相交于A，B两点，若AF⊥x轴，|AF|=2，则|BF|= .
14.某市推出“文明出行，平安上学”宣传活动，某宣传志愿者计划利用4天到7所学校进行宣讲，要求每天至多宣讲两所学校，7所学校中相距较远的甲、乙两校不安排在同一天宣讲，则不同的安排方法有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知二项式的展开式中第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍.
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项.
16.(本小题15分)
已知椭圆C：经过A（0，-1），两点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的左焦点的直线l交C于D，E两点，其中点D在第二象限内，点E在第三象限内，若△ADE的面积等于△BDE的面积，求|DE|.
17.(本小题15分)
已知数列{an}满足.
（1）求a1，a2的值；
（2）求数列{nan}的通项公式；
（3）记Sn为数列的前n项和，令，求使bn取得最大值时n的值.
18.(本小题17分)
如图，矩形ABCD中，点E，F，M分别在BC，AD，FD上，AB=AF=BE=FM=1，EC=DF=3，将四边形ABEF沿EF翻折至四边形A′B′EF，使得平面A′B′EF⊥平面ECDF.
（1）证明：A′M∥平面B′EC.
（2）若存在点Q，使得点Q到A′，B′，E，M的距离相等.
（ⅰ）求点Q到平面A′B′C的距离；
（ⅱ）若点P满足PQ=MQ，当PD取得最小值时，求平面PEC与平面B′EC夹角的余弦值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=a（x-sinx）.
（1）当a=1时，
（ⅰ）求f（x）在区间[0，3π]上的值域；
（ⅱ）证明：，f（2x）＜tanx.
（2）若f（x）≤x2在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】y=3x+1
13.【答案】5
14.【答案】2160
15.【答案】n=7 7
16.【答案】
17.【答案】a1=2，a2=3 nan=4n-2 n=4或5
18.【答案】证明：在矩形ABCD中，因为AF∥BE，AF=BE=AB=1，
所以四边形ABEF为正方形，
则EF⊥EC，EF⊥BE，即EF⊥B′E，又B′E∩EC=E，
所以EF⊥平面B′EC，
则是平面B′EC的一个法向量，
同理证得EF⊥平面A′FM，又A′M 平面A′FM，
所以EF⊥A′M，
即，
又A′M 平面B′EC，
所以A′M∥平面B′EC （ⅰ）；（ⅱ）
19.【答案】（ⅰ）[0，3π]；（ⅱ）证明：要证明，f（2x）＜tanx，
需证明2x-sin2x-tanx＜0在上恒成立，
令g（x）=2x-sin2x-tanx，，
则，
因为，所以cosx∈（0，1），
则，当且仅当时取得等号，
所以g′（x）≤0，则g（x）在区间上单调递减，
故g（x）＜g（0）=0，即2x-sin2x-tanx＜0，
综上可知，，f（2x）＜tanx （-∞，π]
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