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2025-2026学年河北省衡水中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.（+）÷的值为（　　）
A. 6 B. 101 C. D.
2.已知函数f（x），其导函数f′（x）的图象如图所示，则（　　）
A. f（x）有2个极值点
B. f（x）在x=1处取得极小值
C. f（x）有极大值，没有极小值
D. f（x）在（-∞，1）上单调递减
3.8100-2除以7的余数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 6
4.由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有（　　）
A. 15种
B. 30种
C. 48种
D. 60种
5.某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.函数f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），且当x≤0时，4f（x）-xf′（x）＞0，则不等式f（x-2026）-f（-1）（x-2026）4＜0的解集为（　　）
A. （-∞，2025）∪（2027，+∞） B. （2025，+∞）
C. （-∞，2027） D. （2025，2027）
7.某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（　　）
A. 600种 B. 1080种 C. 1200种 D. 1560种
8.已知a=7ln4，b=8ln3，c=9ln2，则a,b,c的大小关系正确的一项是（　　）
A. c＞b＞a B. a＞c＞b C. b＞c＞a D. a＞b＞c
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.对于随机事件A，B，若，，，则（　　）
A. B. C. D.
10.已知x∈[-π，π]，函数，则（　　）
A. f（x）的图象关于y轴对称 B. f（x）恰有3个零点
C. f（x）恰有2个极值点 D. f（x）在上单调递增
11.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（　　）
A. 第10行所有数字的和等于1024
B. 第2026行的第1013个数最大
C. 210在杨辉三角中出现了6次
D. 记第n行的第i个数为ai，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知二项式（x-a）5展开式中x3的系数为40，则实数a= .
13.把分别写有1、2、3、4、5、6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为 .
14.已知集合M={x|1≤x≤10，x∈N*}，对它的非空子集A，将A中每个元素k都乘以（-1）k再求和，如A={1，4，7}，可以求得和为（-1）-1×1+（-1）4×4+（-1）7×7=-4，则对M的所有非空子集，这些和的总和为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知展开式的所有二项式系数和为256.
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式的系数最大项.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=mex-2x2.
（1）若直线y=2x+b为曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，求实数m,b的值；
（2）若f（x）有3个零点，求实数m的取值范围.
17.(本小题15分)
某超市为了吸引顾客，在“五一”期间进行有奖促销活动，规定凡在该超市购物满300元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、白、黑）.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定：摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.
（1）如果1名顾客第3次摸到黑球，求该顾客第1次摸到红球的概率；
（2）记随机变量X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求X的分布列和数学期望.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=x2-1+aln（1+x）.
（1）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，若对任意x∈（-1，+∞），不等式f（x）-x2+2≤bax+lnb恒成立，求实数b的最小值；
（3）若f（x）存在两个不同的极值点x1，x2，x1＜x2，且f（x1）＜mx2，求实数m的取值范围.
19.(本小题17分)
某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第n次传球传给甲运动员的概率为pn.
（1）求p2，p3；
（2）求pn的表达式；
（3）设qn=|2pn-1|，证明：.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】±2
13.【答案】60．
14.【答案】2560
15.【答案】 或
16.【答案】m=2，b=2
17.【答案】；
分布列见解析，数学期望为
18.【答案】；
1；
．
19.【答案】解：（1）p1=1，，．
（2）由已知，所以，即，
所以是以为公比的等比数列，
所以，所以．
（3）．
设h（x）=x-sinx,x∈（0，1]，
所以h′（x）=1-cosx＞0，所以h（x）在（0，1]上单调递增，
显然qn＞qn+1，则h（qn）＞h（qn+1），
所以qn-sinqn＞qn+1-sinqn+1，则，
即，
所以．
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