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2025-2026学年海南省儋州市洋浦中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（　　）
A. 64种 B. 46种 C. 种 D. 种
2.（x-2）5的展开式中x3的系数为（　　）
A. -40 B. -20 C. 20 D. 40
3.的值是（　　）
A. 120 B. 60 C. 240 D. 22
4.2025年东南现代农博会 花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（　　）
A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种
5.已知，，P（A|B）=，则P（A∪B）=（　　）
A. B. C. D.
6.函数的单调增区间为（　　）
A. （-∞，4） B. （0，2） C. （0，4） D. （4，+∞）
7.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（）
A. 30 B. 36 C. 48 D. 54
8.设，则（　　）
A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. b＞a＞c D. c＞a＞b
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.（多选题）下列求导运算错误的是（　　）
A. （π2026）′=2026π2025 B.
C. [cos（4x-5）]′=-4sin（4x-5） D.
10.下列选项正确的是（　　）
A. 从5男3女中选2人，若至少有1名女生，则有21种不同的选法
B. 5人排成一列，若甲，乙必须相邻，则有48种不同的排列方法
C. 3男3女排成一列，若女生互不相邻，则有144种不同的排法
D. 10个相同小球分给3个小朋友，若每人至少1个，则有42种不同的方法
11.定义：设f（x）为三次函数，f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为三次函数y=f（x）图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数f（x）=ax3-x2+b（a≠0）的对称中心为（1，1），则下列说法中正确的是（　　）
A. ，b=3
B. 方程f（x）-1=0有三个根
C. 存在x1，x2∈[2，3]，x1≠x2，使得不等式成立，则实数t的取值范围为t＞3
D. 若函数f（x）在区间（m,1-2m）上有最大值，则m∈[-1，0）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知（1+x）（a-x）6=a0，若a0+a1+…+a7=0，则a3=______．
13.已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=x2-2x-a也相切，则a= .
14.已知a＞0，b＞0，若函数f（x）=alnx-x-bex-1在区间（1，+∞）上单调递减，则的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=ax2+lnx的导数f′（x）.
（1）求f（1）+f′（1）；
（2）若曲线y=f（x）存在垂直于y轴的切线，求实数a的范围.
16.(本小题15分)
已知（）n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
17.(本小题15分)
某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警.据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%.手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下：
对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）；
对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）.
现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析.
（1）求此次分析触发预警的概率；
（2）记事件A为“此次分析触发预警”，事件B为“该用户确实患病”.
（i）求P（B|A）；
（ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明P（B|A）与P（A|B）=0.99在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=x2-alnx+b,a,b∈R.
（1）若x=1是的极大值点，求a的值；
（2）当a=2时，若函数f（x）有两个不同的零点，求实数b的取值范围.
19.(本小题17分)
函数f（x）=sinx-ax+1.
（1），求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥cosx在x∈[0，π]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）令函数g（x）=f（x）+ax-1，求证：.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】BC
11.【答案】BD
12.【答案】-5
13.【答案】-3
14.【答案】
15.【答案】解：（1）函数f（x）=ax2+lnx的导数f′（x）=2ax+，
可得f（1）+f′（1）=a+2a+1=3a+1；
（2）f（x）的导数f′（x）=2ax+，
由曲线y=f（x）存在垂直于y轴的切线，可得：
2ax+=0有大于0的实根，
即有2a=-＜0，
可得a＜0，
即a的范围是（-∞，0）．
16.【答案】解：（1）（）n展开式中第二项和第三项分别是：T2=（）n-1（-）=-2x，T3=（）n-2（-）2=4x．
根据题意得：4+2=162，∴n2=81，又∵n∈N*，∴n=9．
故n的值为9．
（2）设第k+1项含x3项，则Tk+1=（）9-k（-）k=（-2）k，∴=3，解得：k=1．
∴含x3项为：-2x3=-18x3．二项式系数为：=9．
17.【答案】0.0547 （i）9.05%．
（ii）含义解释：
由（i）P（B|A）=9.05%，表示“在手环预警的条件下用户确实患病”的概率，
它衡量了预警结果的可靠性，回答了“预警是否意味着真患病”的个人风险问题，
P（A|B）=99%是灵敏度，表示“用户真患病的条件下手环触发预警”的概率，
反映了该手环识别真实病例的能力．
决策参考分析：对收到预警的个人而言，
P（B|A）=9.05%的参考价值更大、更直接．
理由：该值从群体基础患病率 0.5%显著提升至9.05%，
构成了明确的个人健康风险信号，
用户应结合自身症状，将此作为是否需要进一步医疗检查的关键依据，
而P（A|B）=99%描述的是该手环的整体性能，无法直接量化个人当前风险，
∴对个人就诊决策的参考相对间接
18.【答案】-2 （-∞，-1）
19.【答案】解：（1），，，
当，k∈Z时，f'（x）＞0，
当，k∈Z时，f'（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间是，k∈Z，
f（x）的单调递减区间是，k∈Z．
（2）不等式恒成立等价于ax+cosx-sinx-1≤0，
令h（x）=ax+cosx-sinx-1，则由，可得到，
∵y=ax+cosx-sinx-1可以看作是关于a的一次函数，单调递增，
∴令，
对于， x∈[0，π]，h（x）≤φ（x）恒成立，
只需证明即可，
，
1°当，，
则，φ（x）在上单调递减，又φ（x）=0，
所以此时φ（x）＜0恒成立．
2°当时，恒成立；
3°当时，单调递增，
，，所以在上存在唯一的x0，使得φ'（x0）=0，
当x∈（0，x0）时，φ'（x）＜0，当x∈（x0，π）时，φ'（x）＞0，
所以φ（x）在x∈（0，x0）时单调递减，在x∈（x0，π）时单调递增，
∴φ（0）=0，φ（π）=0，φ（x0）＜0，
∴φ（x）＜0恒成立，故h（x）≤φ（x）＜0恒成立，
∴．
（3）证明：由（2）可知，
g（x）=sinx，令，，k=1，2，…，8，
可得到，
从而，
即得证．
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