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2025-2026学年甘肃省白银市靖远县第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.点A（3，4，5）关于坐标平面Oyz对称的点B的坐标为（　　）
A. （3，4，-5） B. （-3，4，5） C. （-3，4，-5） D. （-3，-4，-5）
2.函数y=e2x在区间[0，1]上的平均变化率为（　　）
A. 1-e B. e-1 C. 1-e2 D. e2-1
3.在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与相等的是（　　）
A. B. C. D.
4.若，则函数f（x）的函数关系式为（　　）
A. f（x）=ex-x B. f（x）=ex+x C. f（x）=ex-2x D. f（x）=ex+2x
5.已知，则在上的投影向量为（　　）
A. （0，2，2） B. （0，-2，2） C. （2，0，2） D. （2，2，0）
6.如图是函数y=f（x）的图象，那么导函数f'（x）的零点个数是（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7.在三棱锥A-BCD中，若AB⊥BD，CD⊥BD，BD=1，则=（　　）
A. B. 1 C. D. 0
8.已知函数a=ln2，b=ln5，c=，则a,b,c的大小关系正确的是（　　）
A. a＜c＜b B. c＜a＜b C. a＜b＜c D. b＜a＜c
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求导正确的是（　　）
A. B.
C. D.
10.下列说法中正确的是（　　）
A. 若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基
B. 若是空间的一组基，则也是空间的一组基
C. A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点不共面
D. 若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则λ+μ=1是A，B，C三点共线的充要条件
11.下列关于函数f（x）=（2x-x2）ex的判断正确的是（　　）
A. f（-）是f（x）的极大值 B. f（）是f（x）的极大值
C. f（x）有最小值 D. f（x）有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.质点M按规律s（t）=（t-1）2做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t=3s时的瞬时速度为 （单位：m/s）．
13.已知平面α的法向量为，且点，则点P到平面α的距离为______.
14.若曲线y=lnx-x2+2x在x=1处的切线恰好与曲线y=ex+a也相切，则a= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，
（1）求与的夹角；
（2）若与垂直，求实数t的值.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD=2，AB=1，BC=2，PA=2，AB⊥BC，E为CD的中点.
（1）求证：AE⊥平面PAB；
（2）求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）.定义：①f（x）的导数为f′（x），f′（x）的导数为f″（x），若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”；②设x0为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x,都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）恒成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称.
（1）已知f（x）=x3-3x2+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称.
18.(本小题17分)
如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，2AD=AA1=AB=2，∠A1AB=∠DAB=∠DAA1=60°，，.
（1）证明：A1C1⊥BD1；
（2）求MN的长度.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=（x-2）lnx+1，g（x）=x-ex.
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极值点个数；
（3）证明：.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】ABD
11.【答案】BD
12.【答案】4
13.【答案】
14.【答案】-1
15.【答案】解：（1）∵，，
∴，，，
令与的夹角为θ，
则cosθ===，
则与的夹角为．
（2）∵，，
又与垂直，∴，
即-1×（-1-t）+2t×（-2）+1×2=0，解得t=1．
16.【答案】因为AB∥CD，，
所以四边形ABCE是平行四边形，
因为AB⊥BC，所以平行四边形ABCE是矩形，则AE⊥AB，
因为PA⊥平面ABCD，AE，AB 平面ABCD，所以PA⊥AE，
又因为PA，ABC平面PAB，且PA∩AB=A，所以AE⊥平面PAB
17.【答案】解：（1）由f（x）=x3-3x2+2x+2，则f′（x）=3x2-6x+2，则f″（x）=6x-6，
当f″（x）=6x-6=0时，解得x=1，
又f（1）=2，所以f（x）=x3-3x2+2x+2的“拐点”A的坐标是（1，2）；
（2）由（1）知“拐点”坐标是（1，2），
又f（1+x）+f（1-x）=（1+x）3-3（1+x）2+2（1+x）+2+（1-x）3-3（1-x）2+2（1-x）+2=4=2f（1），
由定义②知f（x）=x3-3x2+2x+2的图象关于“拐点”A（1，2）对称．
18.【答案】证明见解析
19.【答案】解：（1）根据题知函数g（x）的定义域为R，
导函数g′（x）=1-ex，又因为导函数g′（x）=1-ex在R上单调递减，且g′（0）=1-e0=0，
因此g′（x）=1-ex＜0的解为{x|x＞0}，g′（x）=1-ex＞0的解为{x|x＜0}，
所以函数g（x）的单调递减区间为（0，+∞），单调递增区间为（-∞，0）．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），
导函数，令函数h（x）=x-2+xlnx（x＞0），
导函数，令解得,令，解得,
因此函数h（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，
又时，x-2,xlnx,所以h(x)<0,
h（）=-2-0，h（2）=2ln20，因此函数h（x）在（0，）内有唯一的零点x0，
即f′（x）在（0,）内存在唯一的零点x0，
当xx0时，f′（x）＞0，当0＜x＜x0时，f′（x）＜0，
因此f（x）的极值点个数为1．
（3）证明：令函数，
由（1）知g（x）≤g（0）=0-e0=-1＜0，
当x≥2时，x-2≥0，lnx＞0，此时函数u（x）＜0＜1；
当0＜x1时，x-2＜0，lnx0，此时函数u（x）0＜1；
当1x＜2时，要证函数，
即证（x-2）lnx＞x-ex （x-2）lnx-x+ex＞0，
令函数v（x）=（x-2）lnx-x+ex（1＜x＜2），
导函数，
又1＜x＜2时，xlnx＞0，xex＞e＞2，即，
所以v（x）在（1,2）上单调递增，所以v（x）＞v（1）=-1+e＞0，
即得证（x-2）lnx-x+ex＞0；
综上，．
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