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2025-2026学年北京市第十九中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.已知等差数列{an}中，a1=4，a5=12，则a6等于（　　）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
2.下列导数式子正确的是（　　）
A. （cosx）'=sinx B. C. （e-x）'=e-x D.
3.4与9的等比中项为（　　）
A. 6 B. -6 C. ±6 D. 36
4.已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则f（x）的极小值点为（　　）
A. x1和x4 B. x2 C. x3 D. x5
5.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（　　）
A. -24 B. -3 C. 3 D. 8
6.如图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图（1）中阴影三角形的个数为1，记为a1，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为a2，以此类推，a3=9，a4=27，…，数列{an}构成等比数列．设{an}的前n项和为Sn，若Sn=an+40，则n=（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（　　）
A.
B.
C.
D. f（x）=xe|x|
8.已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，a1＞0，则“公比q＞0”是“对于任意n∈N*，Sn＞0”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数f（x）=ax+lnx+3在区间（1，2）上不单调，则实数a的取值范围为（　　）
A. （） B. （） C. （-1，-） D. （-，）
10.已知函数，设实数m满足：存在k∈R，使直线y=kx+m是曲线y=f（x）的切线，且y=kx+m≥f（x）对x∈[0，+∞）恒成立，则m的最大值为（　　）
A. B. C. D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.曲线在x=1处切线的斜率为______．
12.在等比数列{an}中，a1+a3=10，a2+a4=-5，则其前5项的和S5的值为 .
13.已知数列{an}中，a3=2，a7=1.若为等差数列，则a5= ______.
14.Logistic增长模型描述了受资源限制的种群增长规律，广泛应用于生物学等领域.该模型的数学表达式为，其中P（t）表示t时刻的种群数量，M为环境的最大承载容量（种群数量的上限），P0为初始时刻的种群数量，r为种群的内禀增长率（与繁殖率、死亡率相关），r＞0.
①若，，则初始时刻生物种群的增长速度是 ；
②若，则当种群数量达到环境的最大承载容量一半时，生物种群的增长速度是 .（用M，r表示）
15.已知数列{an}满足a4n-3=-1，a4n-1=1，a2n=an，该数列的前n项和为Sn.给出下列四个结论：
①a31=1；
②a2026=1；
③ 非零常数T，对 n∈N*都有an+T=an；
④ n∈N*，都有.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，且a2，a3+2，a4成等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn=an+log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(本小题8分)
已知函数．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设x∈[-3，3]，求f（x）的最值．
18.(本小题12分)
已知函数f（x）=ln（ax）-（a+1）x,其中a∈R且a≠0.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）当a∈[-1，0）时，证明函数f（x）在定义域内有且只有一个零点.
19.(本小题12分)
如果数列{an}对任意的n∈N*，an+2-an+1＞an+1-an，则称{an}为“速增数列”.
（1）判断数列{2n}是否为“速增数列”？说明理由；
（2）若数列{an}为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1=1，a2=3，ak=2026，求正整数k的最大值；
（3）已知项数为2k（k≥2，k∈Z）的数列{bn}是“速增数列”，且{bn}的所有项的和等于k,若，n=1，2，3，…，2k,证明：ck ck+1＜2.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】-1
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】①④
16.【答案】
17.【答案】解：（1）函数的定义域为R，f′（x）=3x2+3x-6=3（x2+x-2）=3（x+2）（x-1），
令f′（x）＞0，解得x＜-2或x＞1，令f′（x）＜0，解得-2＜x＜1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（1，+∞），单调递减区间为（-2，1）；
（2）由（1）可知，函数f（x）在[-3，-2]上单调递增，在（-2，1）上单调递减，在[1，3]上单调递增，
又，
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为7，最小值为．
18.【答案】x+y+1=0 当a＞0时，f（x）在上单调递增，在单调递减；当-1≤a＜0时，f（x）在（-∞，0）上单调递减；当a＜-1时，f（x）在上单调递增，在单调递减 证明：由（2）可得当a∈[-1，0）时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，
若函数f（x）在定义域（-∞，0）内有零点，则必唯一，因此只需证明存在零点即可．
取，则，
因为a∈[-1，0），，所以，
取，则，
因为a∈[-1，0），，，所以，
由零点存在定理可知f（x）在上有且只有一个零点．得证
19.【答案】数列{2n}是“速增数列”，理由如下：
因为，则，
又2n+1＞2n，故an+2-an+1＞an+1-an，数列{2n}是“速增数列” 63 证明：bk+2-bk+1＞bk+1-bk＞bk-bk-1，故bk+2-bk+1＞bk-bk-1，即bk+2+bk-1＞bk+bk+1；bk+3-bk+2＞bk+2-bk+1＞bk+1-bk＞bk-bk-1＞bk-1-bk-2，故bk+3-bk+2＞bk-1-bk-2，
即bk+3+bk-2＞bk-1+bk+2＞bk+bk+1，
同理可得：，
故k=b1+b2+…+b2k=（b1+b2k）+（b2+b2k-1）+…+（bk+bk+1）＞k（bk+bk+1），
所以bk+bk+1＜1，所以，得证
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