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第1讲　功与功率
学习目标　1.理解功的概念,会判断正、负功,会计算功的大小。 2.理解功率的概念,会求解平均功率和瞬时功率。 3.会分析、解决机车启动的两类问题。
1.
2.
1.思考判断
(1)只要物体受力的同时又发生了位移,就一定有力对物体做功。(×)
(2)一个力对物体做了负功,则说明这个力一定阻碍物体的运动。(√)
(3)作用力做正功时,反作用力一定做负功。(×)
(4)由P=Fv既能求某一时刻的瞬时功率,也可以求平均功率。(√)
(5)由P=知,只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。(×)
(6)当F为恒力时,v增大,F的功率一定增大。(×)
2.(人教版必修第二册P78T1改编)如图,物体在力F的作用下,沿水平方向发生了一段位移l,已知θ=150°,则力F对物体做的功为(　　)
A.W=Flcos 150°
B.W=Flsin 150°
C.W=Flcos 30°
D.W=Flsin 30°
答案　C
考点一　恒力做功的分析和计算
1.判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据 适用情况
根据力和位移方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断
2.恒力做功的计算方法
(1)恒力做的功
直接用W=Flcos α计算或用动能定理计算。
(2)合力做的功
方法一:先求合力F合,再用W合=F合lcos α求功,尤其适用于已知质量m和加速度a的情况。
方法二:先求各个力做的功W1、W2、W3、…,再应用W合=W1+W2+W3+…求合力做的功。
方法三:利用动能定理,合力做的功等于物体动能的变化量。
例1 (多选)(2026·四川成都高三期中)电动滑板车越来越受年轻人的喜爱,也为大家的出行带来了方便。如图所示,一人在水平路面上骑行滑板车,滑板车质量为M,质量为m的人的手正用水平恒力F向前作用在车手把上,在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中,假设人的脚只与平板车的平板接触,且人相对平板车始终静止,下列说法正确的是(　　)
A.人对车的推力F做的功为FL
B.人对车做的功为maL
C.车对人的脚的摩擦力做的功为(F+ma)L
D.车对人的作用力大小为ma
答案　AC
解析　人的手用水平恒力F向前作用在车手把上,则人对车的推力F做的功为FL,故A正确;在水平方向上,由牛顿第二定律可知,车对人的合力为ma,车对人的合力对人做功为maL,由牛顿第三定律可知人对车做的功为-maL,故B错误;水平方向对人受力分析,有Ff-F=ma,可知车对人的脚的摩擦力Ff=ma+F,则该摩擦力做的功为Wf=FfL=(F+ma)L,故C正确;水平方向人受的合力为ma,竖直方向车对人有支持力mg,则车对人的作用力大于ma,故D错误。
跟踪训练
1.如图所示,升降机内斜面的倾角θ=30°,质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动,在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中。g取10 m/s2,求:
(1)斜面对物体的支持力所做的功;
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功;
(3)物体重力所做的功;
(4)合力对物体所做的功。
答案　(1)300 J　(2)100 J　(3)-400 J　(4)0
解析　物体置于升降机内随升降机一起做匀速运动的过程中,处于平衡状态,受力分析如图所示
由平衡条件得
Ffcos θ-FNsin θ=0
Ffsin θ+FNcos θ-mg=0
代入数据解得Ff=10 N,FN=10 N
4 s内物体向上运动的位移x=vt=20 m。
(1)斜面对物体的支持力所做的功
WN=FNxcos θ=300 J。
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf=Ffxsin θ=100 J。
(3)物体重力做的功WG=-mgx=-400 J。
(4)合力对物体做的功
方法一:W合=WN+Wf+WG=0
方法二:F合=0,W合=F合xcos α=0。
考点二　变力做功的分析和计算
变力做功常见的五种计算方法
方法 情境说明 方法总结
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动,运动一周克服摩擦力做的功为Wf=Ff·Δx1+Ff·Δx2+Ff·Δx3+…=Ff(Δx1+Δx2+Δx3+…)=Ff·2πR
等效 转换法 恒力F把物块从A拉到B,绳子对物块做的功为 W=F·
平均 力法 弹簧由伸长量为x1被继续拉至伸长量为x2的过程中,克服弹簧弹力做的功为W=Δx=·(x2-x1)
图像法 在F-x图像中,图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功
动能定 理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处,F做的功为WF,则有WF-mgL(1-cos θ)=0,得WF=mgL(1-cos θ)
例2 (2026·河北廊坊一模)石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示,石磨由下盘(不动盘)和上盘(转动盘)两部分组成。某人在手柄AB上施加方向总与OB垂直、大小为10 N的水平力作用,使石磨上盘匀速转动,已知B点到转轴O的距离为0.3 m,则石磨上盘匀速转动一周的过程中摩擦力所做的功约为(　　)
A.0 B.-3 J
C.-6 J D.-18 J
答案　D
解析　拉力F与摩擦力一直是平衡力,力F做的功等于物体克服摩擦力做的功,因F大小不变,方向不断变化,则在微小的位移内可认为是恒力,则微小的位移内,水平力做的功为ΔW=FΔx,根据W=∑ΔW=F∑Δx=F·2πL=10×2π×0.3 J=6π J≈18 J ,可知摩擦力所做的功约为-18 J,故D正确。
跟踪训练
2.一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示,求在这一过程中,力F对物体做的功为(　　)
A.力F在0~3 m的过程中对物体做了3 J的功
B.力F在3~4 m的过程中对物体做了-2 J的功
C.物体在4~5 m的过程中克服力F做了1 J的功
D.力F在0~5 m的过程中对物体做了8 J的功
答案　C
解析　力F在0~3 m的过程中对物体做的功为W1=Fx1=2×3 J=6 J,故A错误;根据F-x图像与横轴围成的面积表示力做功的大小,则力F在3~4 m的过程中对物体做的功为W2=×2×1 J=1 J,故B错误;物体在4~5 m的过程中克服力F做的功为W3=×2×1 J=1 J,故C正确;力F在0~5 m的过程中对物体做的功为W总=W1+W2-W3=6 J+1 J-1 J=6 J,故D错误。
3.如图所示,某人用定滑轮提升质量为m的重物,人拉着绳从滑轮正下方h高的A处缓慢走到B处,此时绳与竖直方向成θ角,重力加速度为g,不计绳的质量以及绳与滑轮间的摩擦。则此过程中人对重物所做的功W是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　全过程人拉着绳缓慢运动,认为重物的动能不变,人对重物所做的功等于重物重力势能的增加量,根据几何关系知重物上升的高度Δh=-h,则W=mgΔh=mg=,A正确,B、C、D错误。
考点三　功率的分析与计算
1.平均功率的计算方法
(1)利用=。
(2)利用=F cos α,其中为物体运动的平均速度。
2.瞬时功率的计算方法
(1)直接用公式P=Fvcos α计算,其中v为物体的瞬时速度。
(2)先分解再计算,P=FvF,其中vF为物体的瞬时速度v在力F方向上的分速度;或者P=Fvv,其中Fv为物体受到的外力F在瞬时速度v方向上的分力。
例3 (2024·江西卷,5)“飞流直下三千尺,疑是银河落九天。”是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为10 m3/s,水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电,发电效率为70%,则发电功率大致为(　　)
A.109 W B.107 W
C.105 W D.103 W
答案　B
解析　发电功率P=η,由于W=mgh,m=ρV,Q=,所以P==ηρQgh,代入数据解得P≈107 W,B正确。
例4 发动机的额定功率是汽车长时间行驶时所能输出的最大功率。某型号汽车发动机的额定功率为60 kW,在水平路面上行驶时受到的阻力是1 800 N。
(1)求发动机在额定功率下汽车匀速行驶的速度大小;
(2)假定汽车以54 km/h的速度匀速行驶时受到的阻力不变,求此时发动机输出的实际功率。
答案　(1)33.3 m/s　(2)27 kW
解析　(1)汽车匀速行驶时,F牵=f=1 800 N
P=F牵v1
则v1=≈33.3 m/s。
(2)v2=54 km/h=15 m/s
发电机输出的实际功率
P实=F牵v2=2.7×104 W=27 kW。
1.P=Fv中三个物理量的制约关系:P一定时,v越大,F越小;F一定时,v越大,P越大。
2.额定功率与实际功率:额定功率指发动机正常工作时的最大功率,实际功率指发动机实际输出的功率,一般小于额定功率。最大速度vm=。
考点四　机车启动问题
1.以恒定功率启动
(1)过程分析
(2)此过程的P-t图像和v-t图像
2.以恒定加速度启动
(1)过程分析
(2)此过程的P-t图像和v-t图像
例5 一辆汽车质量m=1.0×103 kg,发动机的额定功率P=5.6×104 W,汽车在运动过程中所受阻力f=2 000 N(g取10 m/s2)。
(1)求汽车在水平直轨道上行驶的最大速度的大小;
(2)在水平直轨道上,发动机以额定功率P工作,求当行驶速度为10 m/s时,汽车的瞬时加速度的大小;
(3)若汽车从静止开始,保持2 m/s2的加速度做匀加速直线运动,求这一过程维持的最长时间。
答案　(1)28 m/s　(2)3.6 m/s2　(3)7 s
解析　(1)汽车以额定功率行驶,当牵引力与阻力大小相等,即F=f时,汽车的加速度为零,速度达到最大值vm,则vm===28 m/s。
(2)若v=10 m/s,则此时牵引力
F'==5.6×103 N
根据牛顿第二定律得a==3.6 m/s2。
(3)匀加速直线运动过程,由牛顿第二定律得
F″=f+ma″=4 000 N
在此过程中,速度增大,发动机功率增大,设功率增大到额定功率时速度为v″
则v″==14 m/s
由v″=a″t得t==7 s。
拓展　若该汽车沿倾角为30°的斜坡向上运动,求汽车所能达到的最大速度的大小。
答案　8 m/s
解析　汽车在斜坡上达到最大速度时,加速度为零,根据受力平衡条件有F牵=f+mgsin 30°,又P=F牵vm',解得vm'=8 m/s。
掌握三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程,机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度,即vm==(式中Fmin为最小牵引力,其值等于阻力大小F阻)。
(2)机车以恒定加速度启动的过程中,匀加速过程结束时,功率最大,但速度不是最大,v=(3)机车以恒定功率启动时,牵引力做的功W=Pt。由动能定理得Pt-F阻x=ΔEk,此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的时间或位移等。
例6 (多选)(2026·天津南开中学模拟)智慧充电技术的日益成熟,极大促进了电动汽车销量的增长。若一辆电动汽车的质量为m,额定功率为P。汽车由静止启动后做匀加速直线运动,汽车的速度大小为v时恰好达到其额定功率,之后汽车维持额定功率行驶,达到最大速度3v,已知汽车行驶过程受到的阻力恒定。下列说法正确的是 (　　)
A.电动汽车受到的阻力大小为
B.电动汽车做匀加速直线运动的加速度大小为
C.电动汽车做匀加速直线运动的位移为
D.电动汽车做匀加速直线运动的过程中阻力做功为
答案　AC
解析　汽车速度达到最大时,牵引力与阻力大小相等,则有P=f·3v,解得阻力大小为f=,故A正确;汽车恰好达到其额定功率时有P=Fv,根据牛顿第二定律可得F-f=ma,联立解得电动汽车做匀加速直线运动的加速度大小为a=,故B错误;电动汽车做匀加速直线运动的时间为t==,电动汽车做匀加速直线运动的位移为x=t=,故C正确;电动汽车做匀加速直线运动的过程中阻力做功为Wf=-fx=-·=-,故D错误。
A级　基础对点练
对点练1　恒力做功的分析和计算
1.如图所示,光滑斜面放在水平面上,斜面上用固定的竖直挡板挡住一个光滑的小球。当整个装置沿水平面向左做减速运动的过程中,关于小球所受各力做功情况的说法正确的是(　　)
A.重力做功
B.斜面对球的弹力一定做负功
C.挡板对球的弹力一定做负功
D.球所受的合力对球一定做正功
答案　C
解析　对小球进行受力分析如图所示,重力方向与位移方向垂直,重力不做功,故A错误;FN2与位移的夹角为锐角,斜面对小球的弹力一定做正功,故B错误;FN1的方向与位移方向相反,所以FN1一定做负功,故C正确;由于整个装置向左做减速运动,合力的方向与位移方向相反,合力对小球做负功,故D错误。
2.(2026·广西部分学校联考)如图,质量为m的一磁体吸附在铁板AB的下方,磁体重心到铁板A端的距离为L,铁板A端与铰链连接,现缓慢推动B端,使铁板AB与磁体一起绕铁板A端逆时针匀速转动,转动过程中,铁板AB与磁体始终保持相对静止,重力加速度为g,铁板AB与水平面间的夹角θ从30°变为60°过程中,下列说法正确的是(　　)
A.磁体受到三个力的作用
B.磁体可能不受摩擦力的作用
C.铁板AB对磁体的作用力不做功
D.铁板AB对磁体的作用力做的功为mgL
答案　D
解析　根据磁体受力平衡可知,磁体一定受到重力、磁力、弹力和摩擦力共4个力的作用,A、B错误;铁板AB对磁体的作用力与磁体的重力平衡,大小等于mg、方向竖直向上,则铁板AB对磁体的作用力做的功为W=mg(Lsin 60°-Lsin 30°)=mgL,C错误,D正确。
对点练2　变力做功的分析和计算
3.如图所示,n个完全相同、棱长足够小且互不粘连的小方块依次排列,总长度为l,总质量为M,它们一起以速度v在光滑水平面上滑动,某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,若小方块恰能完全进入粗糙水平面,则摩擦力对所有小方块所做功的大小为(　　)
A.μMgl B.μMgl
C.μMgl D.μMgl
答案　C
解析　小方块依次进入粗糙区域,摩擦力逐渐增大,设小方块全部进入粗糙区域时的摩擦力为Ff,则Ff=μMg,整个过程中的平均摩擦力==μMg,摩擦力对所有小方块做的功W=-·l=-μMgl,故C正确。
4.如图甲所示,静止于光滑水平面上的小物块,在水平拉力F的作用下从坐标原点O开始沿x轴正方向运动,F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示,图线右半部分为四分之一圆弧,则小物块运动到2x0处时的动能可表示为(　　)
A.0 B.Fmx0(1+π)
C.Fmx0 D.Fmx0
答案　C
解析　F-x图线与x轴所围的面积表示拉力F做的功,可知F做功的大小W=Fmx0+πFmx0,根据动能定理得Ek=W=Fmx0,故C正确。
对点练3　功率的分析与计算
5.(2026·云南玉溪模拟)如图是一款竞速无人机,其总质量为800 g。某次该无人机以180 km/h的速度沿水平直线匀速飞行,假设该无人机匀速飞行时只受到重力、空气阻力和升力的作用,空气阻力大小恒为6 N,且与速度方向相反,重力加速度g取10 m/s2,则该无人机所受的升力的功率为(　　)
A.300 W B.500 W
C.700 W D.900 W
答案　A
解析　对无人机受力分析可知,受向下的重力mg,与运动方向相反的水平阻力f,则升力F方向斜向上,设与水平方向夹角为θ,可知Fcos θ=f,Fsin θ=mg,解得F=10 N,θ=53°,则F的功率P=Fvcos θ=10×50×0.6 W=300 W,故A正确。
6.(多选)(2026·福建三明高三期中)如图所示,同一高度处有4个质量相同且可视为质点的小球,现使小球A做自由落体运动,小球B做平抛运动,小球C做竖直上抛运动,小球D做竖直下抛运动,且小球B、C、D抛出时的初速度大小相同,不计空气阻力。小球从释放或抛出到落地的过程中(　　)
A.重力对4个小球做的功相同
B.重力对4个小球做功的平均功率相等
C.落地前瞬间,重力对4个小球做功的瞬时功率大小关系为PA=PBD.重力对4个小球做功的平均功率大小关系为=>=
答案　AC
解析　4个质量相同的小球从同一高度释放或抛出到落地的过程中,重力做功为WG=mgh,故重力对4个小球做的功相同,故A正确;小球A做自由落体运动,小球B做平抛运动,小球C做竖直上抛运动,小球D做竖直下抛运动,小球从同一高度抛出到落地,运动时间关系为tD=>,故B、D错误;落地前瞬间,4个小球竖直方向有=2gh,=2gh,-=2gh,-=2gh,4个小球竖直方向的速度关系为vyA=vyB对点练4　机车启动问题
7.(2026·广西河池高三期末)某款国产汽车在出厂之前相关技术人员对汽车进行了测试,汽车以恒定功率P启动做直线运动,汽车的最大速度为v m,当汽车的速度为v m时,汽车的加速度为a1;当汽车的速度为v m时,汽车的加速度为a2,若阻力不变,则a1与a2的比值为(　　)
A. B.3
C. D.2
答案　C
解析　由F-f=ma和P=Fv可得-f=ma,由题意可得P=fv m,-f=ma1,-f=ma2,解得=,故C正确。
8.(多选)某酒店送餐机器人质量M=40 kg,在水平地面运动时,机器人所受阻力f恒为重力的0.05倍,空载时机器人在平直过道上先以恒定加速度a=0.5 m/s2启动,2 s时达到额定功率,保持功率不变继续加速,最终匀速运动。现需机器人将质量m=1 kg的外卖通过平直过道送到客人房间,已知重力加速度g=10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
A.机器人空载时匀加速阶段的末速度为1 m/s
B.机器人的额定功率为40 W
C.机器人送餐时能达到的最大速度为2 m/s
D.若机器人送餐过程中匀速运动时动力系统突然故障,则还能向前滑行4 m
答案　AB
解析　机器人空载时,根据匀变速直线运动的速度公式,可知匀加速阶段的末速度v=at=1 m/s,A正确;空载时机器人所受阻力f=0.05Mg=20 N,根据牛顿第二定律可得牵引力F=f+Ma=40 N,匀加速阶段的末速度v=1 m/s,此时机器人达到额定功率P=Fv=40 W,B正确;送餐时,总质量M'=M+m=41 kg,此时阻力f'=0.05M'g=20.5 N,当牵引力F'=f'时,速度达到最大,由P=F'vmax可得vmax=≈1.95 m/s≠2 m/s,C错误;送餐匀速运动时,动力系统故障后,机器人只受阻力f',根据牛顿第二定律有f'=M'a',可得加速度a'=0.5 m/s2,匀速运动时速度vmax≈1.95 m/s,根据=2a'x,可得滑行距离x=≈3.8 m≠4 m,D错误。
B级　综合提升练
9.(多选)放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用,在0~6 s内其v-t图像和该拉力的功率P-t图像分别如图甲和乙所示,下列说法正确的是(　　)
A.0~6 s内物体位移大小为36 m
B.0~6 s内拉力做的功为70 J
C.合力在0~6 s内做的功与0~2 s内做的功不相等
D.滑动摩擦力大小为 N
答案　BD
解析　由v-t图像与横轴围成的面积表示物体的位移,可知0~6 s内物体的位移大小x=×6 m=30 m,故A错误;由P-t图像与横轴围成的面积表示水平拉力做的功,可得0~6 s内拉力做的功为W=×30×2 J+10×4 J=70 J,故B正确;在0~6 s内与0~2 s内动能变化量相同,根据动能定理可知,合力在0~6 s内做的功与0~2 s内做的功相等,故C错误;在2~6 s内,v=6 m/s,P=10 W,物体做匀速运动,摩擦力Ff=F,又P=Fv,则有Ff=F== N,故D正确。
10.(2026·湖南长沙高三期末)一质量可视为不变的汽车在平直公路上行驶,该车在一段行驶过程中速度的倒数随加速度a的变化图像如图所示,已知图线的斜率为k,纵截距为b。下列说法正确的是(　　)
A.汽车运动过程中发动机的输出功率不变
B.汽车在行驶过程中受到的阻力逐渐变大
C.汽车行驶的最大速度为
D.当汽车速度为最大速度的一半时,汽车的加速度为
答案　A
解析　设汽车行驶时发动机的输出功率为P,阻力为f,牵引力为F,则有P=Fv,F-f=ma,整理可得=a+,由题图可知k=,b=,解得P=,f=m,可知汽车行驶过程中发动机的输出功率不变,受到的阻力恒定不变,故A正确,B错误;当汽车速度达到最大时,有P=fvm,即=mv m,解得v m=,故C错误;当汽车速度为v==时,汽车的牵引力为F==,由F-f=ma可得此时汽车的加速度为a=,故D错误。
11.(2024·福建卷,14)我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图(a)为《天工开物》中描绘的利用耕牛整理田地的场景,简化的物理模型如图(b)所示,人站立的农具视为与水平地面平行的木板,两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面夹角θ为25.5°,sin 25.5°=0.43,cos 25.5°=0.90。当每条绳子拉力F的大小为250 N时,人与木板沿直线匀速前进,在15 s内前进了20 m,求此过程中
(1)地面对木板的阻力大小;
(2)两条绳子拉力所做的总功;
(3)两条绳子拉力的总功率。
答案　(1)450 N　 (2)9.0×103 J　(3)600 W
解析　(1)由于木板匀速运动,则有2Fcos θ=f
解得f=450 N。
(2)根据功的定义式有W=2Flcos θ
解得W=9.0×103 J。
(3)根据功率的定义P=,有P=600 W。
C级　培优加强练
12.(2025·广东卷,14)如图所示,用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时,先将拔塞钻旋入木塞内,随后下压把手,使齿轮绕固定支架上的转轴转动,通过齿轮啮合,带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从0时刻开始,顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动,木塞所受摩擦力f随位移大小x的变化关系为f=f0,其中f0为常量,h为圆柱形木塞的高,木塞质量为m,底面积为S,加速度为a,齿轮半径为r,重力加速度为g,瓶外气压减瓶内气压为Δp且近似不变,瓶子始终静止在桌面上(提示:可用f-x图线下的“面积”表示f所做的功)。求:
(1)木塞离开瓶口的瞬间,齿轮的角速度ω;
(2)拔塞的全过程,拔塞钻对木塞做的功W;
(3)拔塞过程中,拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。
答案　(1)　(2)+mgh+mah+ShΔp　(3)P=mgat+ma2t+ΔpSat+f0at(1-t2)
解析　(1)木塞做匀加速直线运动,由速度与位移关系有v2=2ah
解得木塞离开瓶口瞬间的速度为v=
则齿轮外侧的线速度也为v=
所以齿轮的角速度ω==。
(2)由木塞所受摩擦力随位移大小的变化关系可知,拔塞的全过程摩擦力对木塞做的功为
Wf=-h
拔塞的全过程,对木塞由动能定理有
W+Wf-mgh-Δp·Sh=mv2
联立解得W=+mgh+mah+ShΔp。
(3)拔塞过程中,对木塞由牛顿第二定律有
F-f-mg-Δp·S=ma
由位移与时间关系式有x=at2
拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P=Fv
又v=at
联立解得P=mgat+ma2t+ΔpSat+f0at(1-t2)
其中0≤t≤。(共65张PPT)
第1讲　功与功率
第五章　机械能守恒定律
1.理解功的概念,会判断正、负功,会计算功的大小。 2.理解功率的概念,会求解平均功率和瞬时功率。 3.会分析、解决机车启动的两类问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
力的方向
1.
力的方向
量度
位移
恒力
正功
负功
克服
不做功
比值
2.
快慢
平均功率
平均
瞬时
1.思考判断
(1)只要物体受力的同时又发生了位移,就一定有力对物体做功。( )
(2)一个力对物体做了负功,则说明这个力一定阻碍物体的运动。( )
(3)作用力做正功时,反作用力一定做负功。( )
(4)由P=Fv既能求某一时刻的瞬时功率,也可以求平均功率。( )
(5)由P=知,只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。( )
(6)当F为恒力时,v增大,F的功率一定增大。( )
×
√
×
√
×
×
C
2.(人教版必修第二册P78T1改编)如图,物体在力F的作用下,沿水平方向发生了一段位移l,已知θ=150°,则力F对物体做的功为(　　)
A.W=Flcos 150°
B.W=Flsin 150°
C.W=Flcos 30°
D.W=Flsin 30°
研透核心考点
2
考点二　变力做功的分析和计算
考点一　恒力做功的分析和计算
考点三　功率的分析与计算
考点四　机车启动问题
考点一　恒力做功的分析和计算
1.判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据 适用情况
根据力和位移方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断
2.恒力做功的计算方法
(1)恒力做的功
直接用W=Flcos α计算或用动能定理计算。
(2)合力做的功
方法一:先求合力F合,再用W合=F合lcos α求功,尤其适用于已知质量m和加速度a的情况。
方法二:先求各个力做的功W1、W2、W3、…,再应用W合=W1+W2+W3+…求合力做的功。
方法三:利用动能定理,合力做的功等于物体动能的变化量。
例1 (多选)(2026·四川成都高三期中)电动滑板车越来越受年轻人的喜爱,也为大家的出行带来了方便。如图所示,一人在水平路面上骑行滑板车,滑板车质量为M,质量为m的人的手正用水平恒力F向前作用在车手把上,在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中,假设人的脚只与平板车的平板接触,且人相对平板车始终静止,下列说法正确的是(　　)
A.人对车的推力F做的功为FL
B.人对车做的功为maL
C.车对人的脚的摩擦力做的功为(F+ma)L
D.车对人的作用力大小为ma
AC
解析　人的手用水平恒力F向前作用在车手把上,则人对车的推力F做的功为FL,故A正确;在水平方向上,由牛顿第二定律可知,车对人的合力为ma,车对人的合力对人做功为maL,由牛顿第三定律可知人对车做的功为-maL,故B错误;水平方向对人受力分析,有Ff-F=ma,可知车对人的脚的摩擦力Ff=ma+F,则该摩擦力做的功为Wf=FfL=(F+ma)L,故C正确;水平方向人受的合力为ma,竖直方向车对人有支持力mg,则车对人的作用力大于ma,故D错误。
1.如图所示,升降机内斜面的倾角θ=30°,质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动,在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中。g取10 m/s2,求:
跟踪训练
(1)斜面对物体的支持力所做的功;
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功;
(3)物体重力所做的功;
(4)合力对物体所做的功。
答案　(1)300 J　(2)100 J　(3)-400 J　(4)0
解析　物体置于升降机内随升降机一起做匀速运动的过程中,处于平衡状态,受力分析如图所示
由平衡条件得
Ffcos θ-FNsin θ=0
Ffsin θ+FNcos θ-mg=0
代入数据解得Ff=10 N,FN=10 N
4 s内物体向上运动的位移x=vt=20 m。
(1)斜面对物体的支持力所做的功
WN=FNxcos θ=300 J。
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf=Ffxsin θ=100 J。
(3)物体重力做的功WG=-mgx=-400 J。
(4)合力对物体做的功
方法一:W合=WN+Wf+WG=0
方法二:F合=0,W合=F合xcos α=0。
考点二　变力做功的分析和计算
变力做功常见的五种计算方法
方法 情境说明 方法总结
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动,运动一周克服摩擦力做的功为Wf=Ff·Δx1+Ff·Δx2+Ff·Δx3+…=Ff(Δx1+Δx2+Δx3+…)=Ff·2πR
方法 情境说明 方法总结
等效 转换法 恒力F把物块从A拉到B,绳子对物块做的功为
W=F·
平均 力法 弹簧由伸长量为x1被继续拉至伸长量为x2的过程中,克服弹簧弹力做的功为W=Δx=·(x2-x1)
方法 情境说明 方法总结
图像法 在F-x图像中,图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功
动能定 理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处,F做的功为WF,则有WF-mgL(1-cos θ)=0,得WF=mgL(1-cos θ)
例2 (2026·河北廊坊一模)石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示,石磨由下盘(不动盘)和上盘(转动盘)两部分组成。某人在手柄AB上施加方向总与OB垂直、大小为10 N的水平力作用,使石磨上盘匀速转动,已知B点到转轴O的距离为0.3 m,则石磨上盘匀速转动一周的过程中摩擦力所做的功约为(　　)
A.0 B.-3 J
C.-6 J D.-18 J
D
解析　拉力F与摩擦力一直是平衡力,力F做的功等于物体克服摩擦力做的功,因F大小不变,方向不断变化,则在微小的位移内可认为是恒力,则微小的位移内,水平力做的功为ΔW=FΔx,根据W=∑ΔW=F∑Δx=F·2πL=10×2π×0.3 J=6π J≈18 J ,可知摩擦力所做的功约为-18 J,故D正确。
2.一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示,求在这一过程中,力F对物体做的功为(　　)
跟踪训练
A.力F在0~3 m的过程中对物体做了3 J的功
B.力F在3~4 m的过程中对物体做了-2 J的功
C.物体在4~5 m的过程中克服力F做了1 J的功
D.力F在0~5 m的过程中对物体做了8 J的功
C
解析　力F在0~3 m的过程中对物体做的功为W1=Fx1=2×3 J=6 J,故A错误;根据F-x图像与横轴围成的面积表示力做功的大小,则力F在3~4 m的过程中对物体做的功为W2=×2×1 J=1 J,故B错误;物体在4~5 m的过程中克服力F做的功为W3=×2×1 J=1 J,故C正确;力F在0~5 m的过程中对物体做的功为W总=W1+W2-W3=
6 J+1 J-1 J=6 J,故D错误。
3.如图所示,某人用定滑轮提升质量为m的重物,人拉着绳从滑轮正下方h高的A处缓慢走到B处,此时绳与竖直方向成θ角,重力加速度为g,不计绳的质量以及绳与滑轮间的摩擦。则此过程中人对重物所做的功W是(　　)
A. B.
C. D.
A
解析　全过程人拉着绳缓慢运动,认为重物的动能不变,人对重物所做的功等于重物重力势能的增加量,根据几何关系知重物上升的高度Δh=-h,则W=mgΔh=mg=,A正确,B、C、D错误。
1.平均功率的计算方法
(1)利用=。
(2)利用=F cos α,其中为物体运动的平均速度。
2.瞬时功率的计算方法
(1)直接用公式P=Fvcos α计算,其中v为物体的瞬时速度。
(2)先分解再计算,P=FvF,其中vF为物体的瞬时速度v在力F方向上的分速度;或者P=Fvv,其中Fv为物体受到的外力F在瞬时速度v方向上的分力。
考点三　功率的分析与计算
例3 (2024·江西卷,5)“飞流直下三千尺,疑是银河落九天。”是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为10 m3/s,水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电,发电效率为70%,则发电功率大致为(　　)
A.109 W B.107 W
C.105 W D.103 W
B
解析　发电功率P=η,由于W=mgh,m=ρV,Q=,所以P==ηρQgh,代入数据解得P≈107 W,B正确。
例4 发动机的额定功率是汽车长时间行驶时所能输出的最大功率。某型号汽车发动机的额定功率为60 kW,在水平路面上行驶时受到的阻力是1 800 N。
(1)求发动机在额定功率下汽车匀速行驶的速度大小;
(2)假定汽车以54 km/h的速度匀速行驶时受到的阻力不变,求此时发动机输出的实际功率。
解析　(1)汽车匀速行驶时,F牵=f=1 800 N
P=F牵v1
则v1=≈33.3 m/s。
(2)v2=54 km/h=15 m/s
发电机输出的实际功率
P实=F牵v2=2.7×104 W=27 kW。
答案　(1)33.3 m/s　(2)27 kW
1.P=Fv中三个物理量的制约关系:P一定时,v越大,F越小;F一定时,v越大,P越大。
2.额定功率与实际功率:额定功率指发动机正常工作时的最大功率,实际功率指发动机实际输出的功率,一般小于额定功率。最大速度vm=。
1.以恒定功率启动
(1)过程分析
考点四　机车启动问题
(2)此过程的P-t图像和v-t图像
2.以恒定加速度启动
(1)过程分析
(2)此过程的P-t图像和v-t图像
例5 一辆汽车质量m=1.0×103 kg,发动机的额定功率P=5.6×104 W,汽车在运动过程中所受阻力f=2 000 N(g取10 m/s2)。
(1)求汽车在水平直轨道上行驶的最大速度的大小;
解析　汽车以额定功率行驶,当牵引力与阻力大小相等,即F=f时,汽车的加速度为零,速度达到最大值vm,则vm===28 m/s。
答案　28 m/s
(2)在水平直轨道上,发动机以额定功率P工作,求当行驶速度为10 m/s时,汽车的瞬时加速度的大小;
解析　若v=10 m/s,则此时牵引力
F'==5.6×103 N
根据牛顿第二定律得a==3.6 m/s2。
答案　3.6 m/s2
(3)若汽车从静止开始,保持2 m/s2的加速度做匀加速直线运动,求这一过程维持的最长时间。
解析　匀加速直线运动过程,由牛顿第二定律得
F″=f+ma″=4 000 N
在此过程中,速度增大,发动机功率增大,设功率增大到额定功率时速度为v″
则v″==14 m/s
由v″=a″t得t==7 s。
答案　7 s
拓展　若该汽车沿倾角为30°的斜坡向上运动,求汽车所能达到的最大速度的大小。
答案　8 m/s
解析　汽车在斜坡上达到最大速度时,加速度为零,根据受力平衡条件有F牵=f+mgsin 30°,又P=F牵vm',解得vm'=8 m/s。
掌握三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程,机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度,即vm==(式中Fmin为最小牵引力,其值等于阻力大小F阻)。
(2)机车以恒定加速度启动的过程中,匀加速过程结束时,功率最大,但速度不是最大,v=(3)机车以恒定功率启动时,牵引力做的功W=Pt。由动能定理得Pt-F阻x=ΔEk,此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的时间或位移等。
例6 (多选)(2026·天津南开中学模拟)智慧充电技术的日益成熟,极大促进了电动汽车销量的增长。若一辆电动汽车的质量为m,额定功率为P。汽车由静止启动后做匀加速直线运动,汽车的速度大小为v时恰好达到其额定功率,之后汽车维持额定功率行驶,达到最大速度3v,已知汽车行驶过程受到的阻力恒定。下列说法正确的是 (　　)
A.电动汽车受到的阻力大小为
B.电动汽车做匀加速直线运动的加速度大小为
C.电动汽车做匀加速直线运动的位移为
D.电动汽车做匀加速直线运动的过程中阻力做功为
AC
解析　汽车速度达到最大时,牵引力与阻力大小相等,则有P=f·3v,解得阻力大小为f=,故A正确;汽车恰好达到其额定功率时有P=Fv,根据牛顿第二定律可得F-f=ma,联立解得电动汽车做匀加速直线运动的加速度大小为a=,故B错误;电动汽车做匀加速直线运动的时间为t==,电动汽车做匀加速直线运动的位移为x=t=,故C正确;电动汽车做匀加速直线运动的过程中阻力做功为Wf=-fx=
-·=-,故D错误。
提升素养能力
3
A级　基础对点练
C
对点练1　恒力做功的分析和计算
1.如图所示,光滑斜面放在水平面上,斜面上用固定的竖直挡板挡住一个光滑的小球。当整个装置沿水平面向左做减速运动的过程中,关于小球所受各力做功情况的说法正确的是(　　)
A.重力做功
B.斜面对球的弹力一定做负功
C.挡板对球的弹力一定做负功
D.球所受的合力对球一定做正功
解析　对小球进行受力分析如图所示,重力方向与位移方向垂直,重力不做功,故A错误;FN2与位移的夹角为锐角,斜面对小球的弹力一定做正功,故B错误;FN1的方向与位移方向相反,所以FN1一定做负功,故C正确;由于整个装置向左做减速运动,合力的方向与位移方向相反,合力对小球做负功,故D错误。
D
2.(2026·广西部分学校联考)如图,质量为m的一磁体吸附在铁板AB的下方,磁体重心到铁板A端的距离为L,铁板A端与铰链连接,现缓慢推动B端,使铁板AB与磁体一起绕铁板A端逆时针匀速转动,转动过程中,铁板AB与磁体始终保持相对静止,重力加速度为g,铁板AB与水平面间的夹角θ从30°变为60°过程中,下列说法正确的是(　　)
A.磁体受到三个力的作用
B.磁体可能不受摩擦力的作用
C.铁板AB对磁体的作用力不做功
D.铁板AB对磁体的作用力做的功为mgL
解析　根据磁体受力平衡可知,磁体一定受到重力、磁力、弹力和摩擦力共4个力的作用,A、B错误;铁板AB对磁体的作用力与磁体的重力平衡,大小等于mg、方向竖直向上,则铁板AB对磁体的作用力做的功为W=mg(Lsin 60°-Lsin 30°)=mgL,C错误,D正确。
C
对点练2　变力做功的分析和计算
3.如图所示,n个完全相同、棱长足够小且互不粘连的小方块依次排列,总长度为l,总质量为M,它们一起以速度v在光滑水平面上滑动,某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,若小方块恰能完全进入粗糙水平面,则摩擦力对所有小方块所做功的大小为(　　)
A.μMgl B.μMgl
C.μMgl D.μMgl
解析　小方块依次进入粗糙区域,摩擦力逐渐增大,设小方块全部进入粗糙区域时的摩擦力为Ff,则Ff=μMg,整个过程中的平均摩擦力==μMg,摩擦力对所有小方块做的功W=-·l=-μMgl,故C正确。
C
4.如图甲所示,静止于光滑水平面上的小物块,在水平拉力F的作用下从坐标原点O开始沿x轴正方向运动,F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示,图线右半部分为四分之一圆弧,则小物块运动到2x0处时的动能可表示为(　　)
A.0 B.Fmx0(1+π)
C.Fmx0 D.Fmx0
解析　F-x图线与x轴所围的面积表示拉力F做的功,可知F做功的大小W=Fmx0+πFmx0,根据动能定理得Ek=W=Fmx0,故C正确。
A
对点练3　功率的分析与计算
5.(2026·云南玉溪模拟)如图是一款竞速无人机,其总质量为800 g。某次该无人机以180 km/h的速度沿水平直线匀速飞行,假设该无人机匀速飞行时只受到重力、空气阻力和升力的作用,空气阻力大小恒为6 N,且与速度方向相反,重力加速度g取10 m/s2,则该无人机所受的升力的功率为(　　)
A.300 W B.500 W
C.700 W D.900 W
解析　对无人机受力分析可知,受向下的重力mg,与运动方向相反的水平阻力f,则升力F方向斜向上,设与水平方向夹角为θ,可知Fcos θ=f,Fsin θ=mg,解得F=10 N,
θ=53°,则F的功率P=Fvcos θ=10×50×0.6 W=300 W,故A正确。
AC
6.(多选)(2026·福建三明高三期中)如图所示,同一高度处有4个质量相同且可视为质点的小球,现使小球A做自由落体运动,小球B做平抛运动,小球C做竖直上抛运动,小球D做竖直下抛运动,且小球B、C、D抛出时的初速度大小相同,不计空气阻力。小球从释放或抛出到落地的过程中(　　)
A.重力对4个小球做的功相同
B.重力对4个小球做功的平均功率相等
C.落地前瞬间,重力对4个小球做功的瞬时功率大小
关系为PA=PBD.重力对4个小球做功的平均功率大小关系为=>=
解析　4个质量相同的小球从同一高度释放或抛出到落地的过程中,重力做功为WG=mgh,故重力对4个小球做的功相同,故A正确;小球A做自由落体运动,小球B做平抛运动,小球C做竖直上抛运动,小球D做竖直下抛运动,小球从同一高度抛出到落地,运动时间关系为tD=>,故B、D错误;落地前瞬间,4个小球竖直方向有=2gh,=2gh,-
=2gh,-=2gh,4个小球竖直方向的速度关系为
vyA=vyB瞬时功率P=mgvy,可得PA=PBC
对点练4　机车启动问题
7.(2026·广西河池高三期末)某款国产汽车在出厂之前相关技术人员对汽车进行了测试,汽车以恒定功率P启动做直线运动,汽车的最大速度为v m,当汽车的速度为v m时,汽车的加速度为a1;当汽车的速度为v m时,汽车的加速度为a2,若阻力不变,则a1与a2的比值为(　　)
A. B.3 C. D.2
解析　由F-f=ma和P=Fv可得-f=ma,由题意可得P=fv m,-f=ma1,-f=ma2,解得=,故C正确。
AB
8.(多选)某酒店送餐机器人质量M=40 kg,在水平地面运动时,机器人所受阻力f恒为重力的0.05倍,空载时机器人在平直过道上先以恒定加速度a=0.5 m/s2启动,2 s时达到额定功率,保持功率不变继续加速,最终匀速运动。现需机器人将质量m=
1 kg的外卖通过平直过道送到客人房间,已知重力加速度g=10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
A.机器人空载时匀加速阶段的末速度为1 m/s
B.机器人的额定功率为40 W
C.机器人送餐时能达到的最大速度为2 m/s
D.若机器人送餐过程中匀速运动时动力系统突然故障,则还能向前滑行4 m
解析　机器人空载时,根据匀变速直线运动的速度公式,可知匀加速阶段的末速度v=at=1 m/s,A正确;空载时机器人所受阻力f=0.05Mg=20 N,根据牛顿第二定律可得牵引力F=f+Ma=40 N,匀加速阶段的末速度v=1 m/s,此时机器人达到额定功率P=Fv=40 W,B正确;送餐时,总质量M'=M+m=41 kg,此时阻力f'=0.05M'g=20.5 N,当牵引力F'=f'时,速度达到最大,由P=F'vmax可得vmax=≈1.95 m/s≠2 m/s,C错误;送餐匀速运动时,动力系统故障后,机器人只受阻力f',根据牛顿第二定律有f'=M'a',可得加速度a'=0.5 m/s2,匀速运动时速度vmax≈1.95 m/s,根据=2a'x,可得滑行距离x=≈3.8 m≠4 m,D错误。
B级　综合提升练
BD
9.(多选)放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用,在0~6 s内其v-t图像和该拉力的功率P-t图像分别如图甲和乙所示,下列说法正确的是(　　)
A.0~6 s内物体位移大小为36 m
B.0~6 s内拉力做的功为70 J
C.合力在0~6 s内做的功与0~2 s内做的功不相等
D.滑动摩擦力大小为 N
解析　由v-t图像与横轴围成的面积表示物体的位移,可知0~6 s内物体的位移大小x=×6 m=30 m,故A错误;由P-t图像与横轴围成的面积表示水平拉力做的功,可得0~6 s内拉力做的功为W=×30×2 J+10×4 J=70 J,故B正确;在0~6 s内与0~
2 s内动能变化量相同,根据动能定理可知,合力在0~6 s内做的功与0~2 s内做的功相等,故C错误;在2~6 s内,v=6 m/s,P=10 W,物体做
匀速运动,摩擦力Ff=F,又P=Fv,则有Ff=F== N,
故D正确。
A
10.(2026·湖南长沙高三期末)一质量可视为不变的汽车在平直公路上行驶,该车在一段行驶过程中速度的倒数随加速度a的变化图像如图所示,已知图线的斜率为k,纵截距为b。下列说法正确的是(　　)
A.汽车运动过程中发动机的输出功率不变
B.汽车在行驶过程中受到的阻力逐渐变大
C.汽车行驶的最大速度为
D.当汽车速度为最大速度的一半时,汽车的加速度为
解析　设汽车行驶时发动机的输出功率为P,阻力为f,牵引力为F,则有P=Fv,F-f=ma,整理可得=a+,由题图可知k=,b=,解得P=,f=m,可知汽车行驶过程中发动机的输出功率不变,受到的阻力恒定不变,故A正确,B错误;当汽车速度达到最大时,有P=fvm,即=mv m,解得v m=,故C错误;当汽车速度为v==时,汽车的牵引力为F==,由F-f=ma可得此时汽车的加速度为a=,故D错误。
11.(2024·福建卷,14)我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图(a)为《天工开物》中描绘的利用耕牛整理田地的场景,简化的物理模型如图(b)所示,人站立的农具视为与水平地面平行的木板,两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面夹角θ为25.5°,sin 25.5°=0.43,cos 25.5°=0.90。当每条绳子拉力F的大小为250 N时,人与木板沿直线匀速前进,在15 s内前进了20 m,求此过程中
(1)地面对木板的阻力大小;
(2)两条绳子拉力所做的总功;
(3)两条绳子拉力的总功率。
答案　(1)450 N　 (2)9.0×103 J　(3)600 W
解析　(1)由于木板匀速运动,则有2Fcos θ=f
解得f=450 N。
(2)根据功的定义式有W=2Flcos θ
解得W=9.0×103 J。
(3)根据功率的定义P=,有P=600 W。
12.(2025·广东卷,14)如图所示,用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时,先将拔塞钻旋入木塞内,随后下压把手,使齿轮绕固定支架上的转轴转动,通过齿轮啮合,带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从0时刻开始,顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动,木塞所受摩擦力f随位移大小x的变化关系为f=f0,其中f0为常量,h为圆柱形木塞的高,木塞质量为m,底面积为S,加速度为a,齿轮半径为r,重力加速度为g,瓶外气压减瓶内气压为Δp且近似不变,瓶子始终静止在桌面上(提示:可用f-x图线下的“面积”表示f所做的功)。求:
C级　培优加强练
(1)木塞离开瓶口的瞬间,齿轮的角速度ω;
(2)拔塞的全过程,拔塞钻对木塞做的功W;
(3)拔塞过程中,拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。
答案　(1)　(2)+mgh+mah+ShΔp　
(3)P=mgat+ma2t+ΔpSat+f0at(1-t2)
解析　(1)木塞做匀加速直线运动,由速度与位移关系有v2=2ah
解得木塞离开瓶口瞬间的速度为v=
则齿轮外侧的线速度也为v=
所以齿轮的角速度ω==。
(2)由木塞所受摩擦力随位移大小的变化关系可知,拔塞的全过程摩擦力对木塞做的功为
Wf=-h
拔塞的全过程,对木塞由动能定理有
W+Wf-mgh-Δp·Sh=mv2
联立解得W=+mgh+mah+ShΔp。
(3)拔塞过程中,对木塞由牛顿第二定律有
F-f-mg-Δp·S=ma
由位移与时间关系式有x=at2
拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P=Fv
又v=at
联立解得P=mgat+ma2t+ΔpSat+f0at(1-t2)
其中0≤t≤。
本节内容结束
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