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第3讲　机械能守恒定律及其应用
学习目标　1.理解重力势能和弹性势能,知道机械能守恒的条件。 2.会判断研究对象在某一过程机械能是否守恒。 3.会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题。
1.
2.
3.
4.
1.思考判断
(1)重力势能的变化量与零势能参考面的选取无关。(√)
(2)被举到高处的物体重力势能一定不为零。(×)
(3)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。(√)
(4)弹力做正功,弹性势能一定增加。(×)
(5)物体所受的合力为零,物体的机械能一定守恒。(×)
(6)物体的速度增大时,其机械能可能减小。(√)
(7)物体除受重力外,还受其他力,但其他力不做功,则物体的机械能一定守恒。(√)
2.(人教版必修第二册P94T5改编)把小球放在竖立的弹簧上,并把小球往下按至A位置,如图甲所示。迅速松手后,小球升高至最高位置C(图丙),途中经过位置B时弹簧正好处于原长(图乙)。忽略弹簧的质量和空气阻力。则小球从A位置运动到C位置的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.经过位置B时小球的加速度为0
B.经过位置B时小球的速度最大
C.小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒
D.小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小
答案　C
考点一　机械能守恒的理解与判断
例1 (2026·广东东莞期末)如图所示,质量相同的两物体a、b,用不可伸长的轻绳跨接在一轻质定滑轮两侧,用外力使b静止在水平桌面上,此时a静止在水平桌面上方。撤去此外力后,a开始下降,b始终未离开桌面,忽略一切摩擦阻力和空气阻力,在a开始下降到接触桌面前的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.a的速度大小大于b的速度大小
B.a的机械能守恒
C.a、b所组成的系统机械能增加
D.绳子拉力对b做的功等于b机械能的增加量
答案　D
解析　将b的速度分解可知vbcos θ=va(θ为细绳与水平方向的夹角),可知a的速度大小小于b的速度大小,故A错误;因a下降时细绳的拉力对a做负功,则a的机械能减少,故B错误;a、b所组成的系统,只有重力做功,则机械能守恒,故C错误;由功能关系可知,绳子拉力对b做的功等于b机械能的增加量,故D正确。
总结提升　判断机械能守恒的三种方法
跟踪训练
1.忽略空气阻力,下列物体运动过程中满足机械能守恒的是(　　)
A.竖直面内匀速转动的摩天轮中的物体
B.物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端
C.物体沿着斜面匀速下滑
D.拉着物体沿光滑斜面匀速上升
答案　B
解析　摩天轮匀速转动,物体动能不变,重力势能变化,机械能不守恒,故A错误;物体在光滑斜面上,受重力和支持力的作用,但是支持力的方向和物体位移的方向垂直,支持力不做功,只有重力做功,机械能守恒,故B正确;物体沿着斜面匀速下滑,物体处于受力平衡状态,摩擦力和重力都要做功,机械能不守恒,故C错误;拉着物体沿光滑斜面匀速上升,物体处于受力平衡状态,拉力和重力都要做功,机械能不守恒,故D错误。
考点二　单物体的机械能守恒问题
1.表达式
2.一般步骤
例2 (2025·河北石家庄模拟)如图所示,一半径为R的光滑大圆环用硬杆竖直固定在天花板上,其上套一小环,a、b为圆环上关于圆心对称的两点,圆环顶点c距离地面高度为3R,将a点上方至c点间圆环截去。现让小环从大圆环的最高点c由静止开始下滑,当小环滑到b点时,恰好对大圆环无作用力。重力加速度为g,则小环落到地面时的水平速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设ab与竖直方向的夹角为θ,小环从c点运动到b点的过程,根据机械能守恒定律得mgR(1-cos θ)=m,在b点根据牛顿第二定律得mgcos θ=m,解得cos θ=,vb=;从b点到a点,根据机械能守恒定律得m+mg·2Rcos θ=m,解得va=,小环离开a点后水平方向做匀速直线运动,小环落到地面时的水平速度大小为vax=vacos θ,解得vax=,故D正确。
跟踪训练
2.(多选)(人教版必修第二册P93T3改编)如图所示,在地面上以速度v0抛出质量为m的物体,抛出后物体落到比地面低h的海平面上,若以地面为参考平面且不计空气阻力,重力加速度为g,则下列说法中正确的是(　　)
A.物体落到海平面时的重力势能为mgh
B.物体从抛出到落到海平面的过程重力对物体做功为mgh
C.物体在海平面上的速度为
D.物体在海平面上的机械能为m
答案　BCD
解析　物体运动过程中,机械能守恒,所以在任意一点的机械能均相等,都等于抛出时的机械能,物体在地面上的重力势能为零,动能为m,故整个过程中的机械能均为m,所以物体在海平面上的机械能为m,物体下落h,在海平面上的重力势能为-mgh,根据机械能守恒定律可得-mgh+mv2=m,所以物体在海平面上的速度为v=,从抛出到落到海平面,重力做功为mgh,故A错误,B、C、D正确。
考点三　多物体的机械能守恒问题
解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)根据机械能守恒列方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp或ΔEA=-ΔEB的形式。
模型　轻绳连接的物体系统机械能守恒
常见 情景
三点 提醒 ①分清两物体是速度大小相等,还是沿绳方向的分速度大小相等。 ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体,一般绳的张力要做功,机械能不守恒;但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒。
例3 (2026·山东菏泽高三期中)如图所示,内壁光滑的四分之三圆弧管道固定在竖直面内,O点为圆心,A、B两点分别为管道端口,OA连线水平,OB连线竖直,直径略小于管道内径、完全相同的两小球a、b通过轻质细绳连接,a球处于A点,b球处于B点。已知圆弧半径为0.6 m,重力加速度g=10 m/s2,cos(1 rad)=0.54,不计空气阻力。现由静止释放两小球,小球a落地瞬间被锁定,则小球b能够到达的最大高度为(　　)
A.0.162 m B.0.438 m
C.0.276 m D.0.6 m
答案　B
解析　设小球a落地瞬间小球b和圆心O连线与竖直方向的夹角为θ,由机械能守恒定律,可得mgR=mgR(1-cos θ)+×2mv2,其中θ==1 rad,小球a落地后小球b继续向上运动至最大高度的过程中,由机械能守恒定律,可得mv2=mgh,小球b能够到达的最大高度H=R(1-cos θ)+h,联立方程解得H=0.438 m,故B正确。
拓展　若细绳质量不可忽略,如图所示,总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻小滑轮上,用细线将质量也为m的物块与软绳一端连接。现将物块由静止释放,直到软绳刚好全部离开滑轮。不计一切摩擦,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.刚释放物块时,细线的拉力大小等于mg
B.在软绳从静止释放到刚离开滑轮的过程中,软绳的机械能守恒
C.在软绳从静止释放到刚离开滑轮的过程中,物块的机械能减少了mgl
D.在软绳从静止释放到刚离开滑轮的过程中,软绳的机械能增加了mgl
答案　C
解析　刚释放的时候,物块有方向向下的加速度,根据牛顿第二定律有mg-T=ma,可知细线拉力小于mg,故A错误;在软绳从静止释放到刚离开滑轮的过程中,拉力对软绳做了功,软绳机械能不守恒,故B错误;软绳刚离开滑轮的时候,设物块和软绳的速度为v,根据机械能守恒定律有mg·+·=×2mv2,解得v=,则物块机械能的减少量为E减=mg·-mv2=mgl,故C正确;系统的机械能是守恒的,由于物块的机械能减少了mgl,所以软绳的机械能增加了mgl,故D错误。
非质点类物体机械能守恒的处理方法
(1)物体虽然不能看作质点,但因只有重力做功,物体整体机械能守恒。
(2)在确定物体重力势能的变化量时,要根据情况,将物体分段处理,确定好各部分的重心及重心高度的变化量。
(3)分析非质点类物体的动能时,要看物体各部分是否都在运动,运动的速度大小是否相同,若相同,则物体的动能才可表示为mv2。
(4)在解决多个小球类问题时,应抓住小球之间是否始终相互挤压。
模型　轻杆连接的物体系统机械能守恒
常见 情景
模型 特点 ①平动时两物体线速度相等,转动时两物体角速度相等。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 ③对于杆和球组成的系统,忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统机械能守恒。
例4 (多选)(2026·山东青岛模拟)如图所示,长度为l的轻杆上固定质量均为m的3个小球,1、2球将杆三等分,轻杆一端通过转轴与O点链接。让轻杆由水平位置自由释放,忽略一切阻力,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.摆至竖直位置时,小球1和2的动能之比为1∶4
B.摆至竖直位置时,球的角速度为
C.摆至竖直位置的过程中,轻杆对小球2做功为0
D.摆至竖直位置的过程中,轻杆对小球3做功为
答案　AD
解析　由于3个球在同一杆上,三个球角速度ω相等,根据题意可知三个球的轨迹半径之比为r1∶r2∶r3=1∶2∶3,由v=ωr可得v1∶v2∶v3=1∶2∶3,由Ek=mv2可得,摆至竖直位置时,小球1和2的动能之比为Ek1∶Ek2=1∶4,故A正确;从释放到摆至竖直位置的过程中,三个球与杆组成的系统机械能守恒,有mg·+mg·+mgl=m+m+m,又v1=,联立解得ω=,故B错误;从释放到摆至竖直位置的过程中,对小球2、3,分别由动能定理得mg·+W杆2=mv22-0,mgl+W杆3=m-0,又v2=,v3=ωl,联立解得W杆2=-,W杆3=,故C错误,D正确。
模型　轻弹簧连接的物体系统机械能守恒
模型 特点 由轻弹簧连接的物体系统,一般既有重力做功又有弹簧弹力做功,这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化,而总的机械能守恒。
两点 提醒 ①对同一弹簧,弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定,无论弹簧伸长还是压缩。 ②弹簧两端的物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时,两端的物体具有相同的速度,弹性势能最大。
例5 (2026·山东威海模拟)如图所示,质量分别为6m和m的物体P、Q用跨过定滑轮O的轻绳连接,P置于倾角为30°的光滑固定斜面上,Q穿在固定的竖直光滑杆上。轻质弹簧的一端固定在地面上,另一端连接Q。初始时,控制P使轻绳伸直且无拉力,轻绳的OP段与斜面平行,OQ段与杆的夹角为37°。将P由静止释放,Q在运动过程中经过M点,OM与杆垂直,长为1.5L。P、Q均可视为质点,弹簧始终在弹性限度内,劲度系数k=,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。则Q经过M点时的速率为(　　)
A. B.2
C. D.2
答案　A
解析　未释放P前,对Q有mg=kx,解得弹簧压缩量x=L,当Q经过M点时,由于OM与杆垂直,此时P的速度为0,由几何关系可知QM==2L,可知在M点时,弹簧拉伸量为L,弹性势能与初始时相同,故对P、Q和弹簧构成的系统,由机械能守恒定律得6mgsin 30°+Ep-mg=m+Ep,解得vM=,故A正确。
A级　基础对点练
对点练1　机械能守恒的理解与判断
1.(2026·上海中学月考)关于机械能守恒,下列说法正确的是(　　)
A.机械能守恒的物体一定只受重力和弹力的作用
B.物体处于平衡状态时,机械能一定守恒
C.物体所受合力不等于零时,机械能可能守恒
D.合力做功时,物体的机械能一定不守恒
答案　C
解析　物体机械能守恒的条件是只有重力或者弹力做功,物体除了受重力和弹力的作用,还有可能受其他力的作用,但是其他力做功为零,A错误;物体处于平衡状态时,机械能不一定守恒,例如物体匀速上升,动能不变,重力势能增加,机械能增加,B错误;物体所受合力不等于零时,机械能可能守恒,例如自由下落的物体,C正确;根据动能定理得物体动能的变化量等于合力对物体做的功,而物体机械能的变化量等于除了重力之外的力做的功,D错误。
2.(多选)如图所示,将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上,槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落,从A点与半圆形槽相切进入槽内,则下列说法正确的是(　　)
A.小球在半圆形槽内运动的全过程中,只有重力对它做功
B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中,小球的机械能守恒
C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中,小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中,小球的机械能守恒
答案　BC
解析　小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中,小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动,半圆形槽对小球的支持力对小球做负功,小球的机械能不守恒,A、D错误;小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中,半圆形槽静止,则只有重力做功,小球的机械能守恒,B正确;小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中,小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功,机械能守恒,C正确。
对点练2　单物体的机械能守恒问题
3.(2024·全国甲卷,17)如图,一光滑大圆环固定在竖直平面内,质量为m的小环套在大圆环上,小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部,Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(　　)
A.在Q点最大 B.在Q点最小
C.先减小后增大 D.先增大后减小
答案　C
解析　设小环运动轨迹所对的圆心角为θ(0≤θ≤π),大圆环的半径为R,大圆环对小环的作用力为F,由机械能守恒定律有mgR(1-cos θ)=mv2,又小环做圆周运动,则有F+mgcos θ=m,联立解得小环下滑过程中受到大圆环的作用力大小F=mg(2-3cos θ),小环开始下滑时受到大圆环的作用力背离圆心,当cos θ=时F=0,以后受到大圆环的作用力指向圆心,则F的大小先减小后增大,当cos θ=-1,即小环在大圆环最低点时F最大,结合牛顿第三定律可知,C正确。
4.(2026·河北邢台模拟)如图所示,水平地面上固定一个半径为R=2.5 m的圆环,从水平直径的A点平抛两个质量分别为m1、m2的物体,动量大小均为p=10 kg·m/s,物体落到圆环上时机械能相等,取地面为参考平面,空气阻力不计,当地的重力加速度为g=10 m/s2,则以下说法正确的是(　　)
A.m1+m2=5 B.m1-m2=3
C.m1m2=2 D.m1=3m2
答案　C
解析　设两个质量分别为m1、m2的物体抛出时的速度大小分别为v1、v2,由题意可知物体落到圆环上时机械能相等,由于物体在空中运动过程机械能守恒,则两物体抛出时的机械能相等,取地面为参考平面,则有m1gR+m1=m2gR+m2,可得m1gR+=m2gR+,代入数据可得m1+=m2+,则有m1-m2=-=,则一定有m1m2=2,故C正确。
对点练3　多物体的机械能守恒问题
5.(2026·陕西渭南月考)如图所示,可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻软细线连接,跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的两倍。当B位于地面上时,A恰与圆柱轴心等高,将A由静止释放,B上升的最大高度是(　　)
A.2R B.
C. D.
答案　C
解析　设B球的质量为m,则A球的质量为2m,A球刚落地时,两球速度大小都为v,根据机械能守恒定律得2mgR=×(2m+m)v2+mgR,B球继续上升的过程由动能定理可得-mgh=0-mv2,联立解得h=,B球上升的最大高度为h+R=R,故C正确。
6.(2026·河北张家口联考)有一条均匀的金属链条,一半长度部分在光滑的足够高斜面上,斜面顶端是一个很小的圆弧,斜面倾角为30°,另一半长度部分竖直下垂,由静止释放后链条滑动,已知重力加速度g=10 m/s2,链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为 m/s,则金属链条的长度L为(　　)
A.0.6 m B.1 m
C.2 m D.2.6 m
答案　C
解析　设链条的质量为2m,以开始时链条的最高点为参考平面,初始时链条的机械能为E=Ep+Ek=-×2mg·sin 30°-×2mg·+0=-mgL(1+sin 30°),链条全部滑出时,动能为Ek'=×2mv2,重力势能为Ep'=-2mg·,由机械能守恒定律可得E=Ek'+Ep',即-mgL(1+sin 30°)=mv2-mgL,解得L=2 m,故C正确。
7.(多选)(2026·安徽池州调研)如图所示,一轻杆可绕光滑固定转轴在竖直平面内自由转动,杆的两端固定有小球A和B(可看作质点),A、B的质量分别为2m和m,到转轴O的距离分别为2L和L,重力加速度为g。现将轻杆从水平位置由静止释放,轻杆开始绕O轴自由转动,当球A到达最低点时,下列说法正确的是(　　)
A.球B的速度大小为
B.球A的速度大小为
C.杆对球A的拉力大小为mg
D.杆对球A做的功为-6mgL
答案　BC
解析　取轻杆初始时所在水平面为参考平面,对于A、B两球及轻杆组成的系统,由于只有重力做功,则系统的机械能守恒,可得-2mg·2L+mgL+×2m+m=0,由v=ωr,可知vA=2vB,联立解得vA=,vB=,A错误,B正确;当球A到达最低点时,由牛顿第二定律得F-2mg=2m,解得杆对球A的拉力大小为F=mg,C正确;对A由动能定理得W+2mg·2L=×2m,解得杆对球A做的功为W=-mgL,D错误。
B级　综合提升练
8.(多选)(2026·海南海口模拟)如图所示,一滑板爱好者沿着倾角为30°的斜坡从静止开始自由下滑,下滑过程中的加速度大小恒为g,已知滑板爱好者连同滑板的总质量为m,重力加速度为g。在滑板爱好者(含滑板)沿斜坡下滑距离为L的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.滑板爱好者下滑过程中机械能守恒
B.滑板爱好者减少的重力势能为mgL
C.滑板爱好者增加的动能为mgL
D.滑板爱好者减少的机械能为mgL
答案　CD
解析　滑板爱好者下滑过程中的加速度大小为,小于gsin 30°,因此滑板受到摩擦力,机械能不守恒,故A错误;滑板爱好者减少的重力势能等于重力所做的功,即减少的重力势能为ΔEp=mgLsin 30°=mgL,故B错误;根据动能定理可知,滑板爱好者增加的动能为ΔEk=FL=maL=mgL,故C正确;根据牛顿第二定律可得mgsin 30°-Ff=mg,解得摩擦力大小为Ff=mg,滑板爱好者减少的机械能等于克服摩擦力所做的功,即ΔE=FfL=mgL,故D正确。
9.(2026·黑龙江牡丹江模拟)如图所示,水平光滑长杆上套有小物块A,细线跨过位于O点的轻质光滑定滑轮,一端连接A,另一端悬挂小物块B,物块A、B质量相等。C为O点正下方杆上的点,定滑轮到杆的距离OC=h,重力加速度为g。开始时A位于P点,PO与水平方向的夹角为37°,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,现将A、B由静止释放,下列说法正确的是(　　)
A.物块A从P点运动到C点的过程中机械能变小
B.物块A经过C点时的速度大小为
C.物块A在杆上长为的范围内做往复运动
D.在物块A由P点出发第一次到达C点的过程中,物块B克服细线拉力做的功等于B重力势能的减少量
答案　D
解析　物块A从P点运动到C点的过程中,细线的拉力对A始终做正功,其他力对A不做功,则物块A的动能增加,机械能变大,故A错误;物块A经过C点时,细线与物块A的运动方向垂直,则物块B的速度为0,根据系统机械能守恒定律得mg=mv2,解得v=,故B错误;由于系统机械能守恒,物块A在水平光滑长杆上做往复运动,运动范围为x=2=h,故C错误;在物块A由P点出发至第一次到达C点的过程中,物块B的动能变化量为0,则物块B克服细线拉力做的功等于B重力势能的减少量,故D正确。
10.如图所示,在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧,上端O点与管口A的距离为2x0,一质量为m的小球从管口由静止下落,将弹簧压缩至最低点B,压缩量为x0,已知弹簧弹性势能的表达式为Ep=kx2,不计空气阻力,则(　　)
A.弹簧的最大弹性势能为3mgx0
B.小球运动的最大速度等于2
C.弹簧的劲度系数为
D.小球运动中最大加速度为g
答案　A
解析　小球从下落到最低点的过程中,重力势能全部转化为弹簧的弹性势能,此时弹性势能最大,有Epmax=3mgx0,故A正确;根据选项A和弹簧弹性势能的表达式有3mgx0=k,解得k=,故C错误;当小球的重力与弹簧弹力大小相等时,小球有最大速度,则有mg=kx,再根据弹簧和小球组成的系统机械能守恒,有mg(x+2x0)=m+kx2,解得最大速度为vmax=,故B错误;小球运动到最低点时加速度最大,有kx0-mg=ma,解得a=5g,故D错误。
C级　培优加强练
11.(2025·安徽卷,14)如图,M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉,间距L=0.5 m。一根长为3L的轻绳一端系在M上,另一端竖直悬挂质量m=0.1 kg的小球,小球与水平地面接触但无压力。t=0时,小球以水平向右的初速度v0=10 m/s开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M,运动到M正下方与M相距L的位置时,绳子刚好被拉断,小球开始做平抛运动。小球可视为质点,绳子不可伸长,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小,及绳子所受的最大拉力大小;
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离;
(3)若在t=0时,只改变小球的初速度大小,使小球能通过N的正上方且绳子不松弛,求初速度的最小值。
答案　(1)4 m/s　17 N　(2)4 m　(3)2 m/s
解析　(1)从t=0时至小球运动到M正下方与M相距L的位置(绳子刚好被拉断)的过程,只有重力对小球做功,小球的机械能守恒,设绳子被拉断时小球的速度大小为v,则由机械能守恒定律可得
mg·2L=m-mv2
解得v=4 m/s
小球运动到M正下方与M相距L的位置,绳子刚好被拉断,则对该位置的小球进行受力分析,由牛顿第二定律可得
Fm-mg=m
结合牛顿第三定律解得绳子所受的最大拉力大小
Fm'=Fm=17 N。
(2)绳子被拉断时,小球距地面的高度为2L,此后小球做平抛运动,设小球做平抛运动的时间为Δt,水平位移大小(抛出点到落地点的水平距离)为x,则由平抛运动规律可得
2L=g(Δt)2
x=vΔt
联立解得x=4 m。
(3)当小球通过N的正上方绳子刚好不松弛时,小球的初速度最小,设此速度为vmin,此种情况下小球通过N的正上方时的速度为vN,则对小球从t=0至运动到N的正上方的过程,由机械能守恒定律可得
mg·5L=m-m
小球运动到N的正上方时,由牛顿第二定律可得
mg=m
联立解得vmin=2 m/s。(共60张PPT)
第3讲　机械能守恒定律及其应用
第五章　机械能守恒定律
1.理解重力势能和弹性势能,知道机械能守恒的条件。 2.会判断研究对象在某一过程机械能是否守恒。 3.会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
机械能
1.
mgh
2.
地球
有关
无关
减少
增加
减少
弹性形变
3.
减少
增加
动能
4.
势能
保持不变
不做功
零
1.思考判断
(1)重力势能的变化量与零势能参考面的选取无关。( )
(2)被举到高处的物体重力势能一定不为零。( )
(3)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。( )
(4)弹力做正功,弹性势能一定增加。( )
(5)物体所受的合力为零,物体的机械能一定守恒。( )
(6)物体的速度增大时,其机械能可能减小。( )
(7)物体除受重力外,还受其他力,但其他力不做功,则物体的机械能一定守恒。( )
√
×
√
×
×
√
√
C
2.(人教版必修第二册P94T5改编)把小球放在竖立的弹簧上,并把小球往下按至A位置,如图甲所示。迅速松手后,小球升高至最高位置C(图丙),途中经过位置B时弹簧正好处于原长(图乙)。忽略弹簧的质量和空气阻力。则小球从A位置运动到C位置的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.经过位置B时小球的加速度为0
B.经过位置B时小球的速度最大
C.小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒
D.小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小
研透核心考点
2
考点二　单物体的机械能守恒问题
考点一　机械能守恒的理解与判断
考点三　多物体的机械能守恒问题
考点一　机械能守恒的理解与判断
例1 (2026·广东东莞期末)如图所示,质量相同的两物体a、b,用不可伸长的轻绳跨接在一轻质定滑轮两侧,用外力使b静止在水平桌面上,此时a静止在水平桌面上方。撤去此外力后,a开始下降,b始终未离开桌面,忽略一切摩擦阻力和空气阻力,在a开始下降到接触桌面前的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.a的速度大小大于b的速度大小
B.a的机械能守恒
C.a、b所组成的系统机械能增加
D.绳子拉力对b做的功等于b机械能的增加量
D
解析　将b的速度分解可知vbcos θ=va(θ为细绳与水平方向的夹角),可知a的速度大小小于b的速度大小,故A错误;因a下降时细绳的拉力对a做负功,则a的机械能减少,故B错误;a、b所组成的系统,只有重力做功,则机械能守恒,故C错误;由功能关系可知,绳子拉力对b做的功等于b机械能的增加量,故D正确。
总结提升　判断机械能守恒的三种方法
1.忽略空气阻力,下列物体运动过程中满足机械能守恒的是(　　)
A.竖直面内匀速转动的摩天轮中的物体
B.物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端
C.物体沿着斜面匀速下滑
D.拉着物体沿光滑斜面匀速上升
跟踪训练
B
解析　摩天轮匀速转动,物体动能不变,重力势能变化,机械能不守恒,故A错误;物体在光滑斜面上,受重力和支持力的作用,但是支持力的方向和物体位移的方向垂直,支持力不做功,只有重力做功,机械能守恒,故B正确;物体沿着斜面匀速下滑,物体处于受力平衡状态,摩擦力和重力都要做功,机械能不守恒,故C错误;拉着物体沿光滑斜面匀速上升,物体处于受力平衡状态,拉力和重力都要做功,机械能不守恒,故D错误。
考点二　单物体的机械能守恒问题
1.表达式
2.一般步骤
例2 (2025·河北石家庄模拟)如图所示,一半径为R的光滑大圆环用硬杆竖直固定在天花板上,其上套一小环,a、b为圆环上关于圆心对称的两点,圆环顶点c距离地面高度为3R,将a点上方至c点间圆环截去。现让小环从大圆环的最高点c由静止开始下滑,当小环滑到b点时,恰好对大圆环无作用力。重力加速度为g,则小环落到地面时的水平速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
D
解析　设ab与竖直方向的夹角为θ,小环从c点运动到b点的过
程,根据机械能守恒定律得mgR(1-cos θ)=m,在b点根据牛
顿第二定律得mgcos θ=m,解得cos θ=,vb=;从b点到a
点,根据机械能守恒定律得m+mg·2Rcos θ=m,解得
va=,小环离开a点后水平方向做匀速直线运动,小环落到地面时的水平速度大小为vax=vacos θ,解得vax=,故D正确。
2.(多选)(人教版必修第二册P93T3改编)如图所示,在地面上以速度v0抛出质量为m的物体,抛出后物体落到比地面低h的海平面上,若以地面为参考平面且不计空气阻力,重力加速度为g,则下列说法中正确的是(　　 )
跟踪训练
A.物体落到海平面时的重力势能为mgh
B.物体从抛出到落到海平面的过程重力对物体做功为mgh
C.物体在海平面上的速度为
D.物体在海平面上的机械能为m
BCD
解析　物体运动过程中,机械能守恒,所以在任意一点的机械能均相等,都等于抛出时的机械能,物体在地面上的重力势能为零,动能为m,故整个过程中的机械能均为m,所以物体在海平面上的机械能为m,物体下落h,在海平面上的重力势能为-mgh,根据机械能守恒定律可得-mgh+mv2=m,所以物体在海平面上的速度为v=,从抛出到落到海平面,
重力做功为mgh,故A错误,B、C、D正确。
考点三　多物体的机械能守恒问题
解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)根据机械能守恒列方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp或ΔEA=-ΔEB的形式。
模型　　轻绳连接的物体系统机械能守恒
常见 情景
三点 提醒 ①分清两物体是速度大小相等,还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体,一般绳的张力要做功,机械能不守恒;但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒。
例3 (2026·山东菏泽高三期中)如图所示,内壁光滑的四分之三圆弧管道固定在竖直面内,O点为圆心,A、B两点分别为管道端口,OA连线水平,OB连线竖直,直径略小于管道内径、完全相同的两小球a、b通过轻质细绳连接,a球处于A点,b球处于B点。已知圆弧半径为0.6 m,重力加速度g=10 m/s2,cos(1 rad)=0.54,不计空气阻力。现由静止释放两小球,小球a落地瞬间被锁定,则小球b能够到达的最大高度为(　　)
A.0.162 m B.0.438 m
C.0.276 m D.0.6 m
B
解析　设小球a落地瞬间小球b和圆心O连线与竖直方向的夹角为θ,由机械能守恒定律,可得mgR=mgR(1-cos θ)+×2mv2,其中θ==1 rad,小球a落地后小球b继续向上运动至最大高度的过程中,由机械能守恒定律,可得mv2=mgh,小球b能够到达的最大高度H=R(1-cos θ)+h,联立方程解得H=0.438 m,故B正确。
拓展　若细绳质量不可忽略,如图所示,总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻小滑轮上,用细线将质量也为m的物块与软绳一端连接。现将物块由静止释放,直到软绳刚好全部离开滑轮。不计一切摩擦,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.刚释放物块时,细线的拉力大小等于mg
B.在软绳从静止释放到刚离开滑轮的过程中,软绳的机械能守恒
C.在软绳从静止释放到刚离开滑轮的过程中,物块的机械能减少了mgl
D.在软绳从静止释放到刚离开滑轮的过程中,软绳的机械能增加了mgl
C
解析　刚释放的时候,物块有方向向下的加速度,根据牛顿第二定律有
mg-T=ma,可知细线拉力小于mg,故A错误;在软绳从静止释放到刚离开
滑轮的过程中,拉力对软绳做了功,软绳机械能不守恒,故B错误;软绳刚
离开滑轮的时候,设物块和软绳的速度为v,根据机械能守恒定律有mg·
+·=×2mv2,解得v=,则物块机械能的减少量为E减=mg·-mv2=mgl,故C正确;系统的机械能是守恒的,由于物块的机械能减少了mgl,所以软绳的机械能增加了mgl,故D错误。
非质点类物体机械能守恒的处理方法
(1)物体虽然不能看作质点,但因只有重力做功,物体整体机械能守恒。
(2)在确定物体重力势能的变化量时,要根据情况,将物体分段处理,确定好各部分的重心及重心高度的变化量。
(3)分析非质点类物体的动能时,要看物体各部分是否都在运动,运动的速度大小是否相同,若相同,则物体的动能才可表示为mv2。
(4)在解决多个小球类问题时,应抓住小球之间是否始终相互挤压。
模型　　轻杆连接的物体系统机械能守恒
常见 情景
模型 特点 ①平动时两物体线速度相等,转动时两物体角速度相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。
③对于杆和球组成的系统,忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统机械能守恒。
例4 (多选)(2026·山东青岛模拟)如图所示,长度为l的轻杆上固定质量均为m的3个小球,1、2球将杆三等分,轻杆一端通过转轴与O点链接。让轻杆由水平位置自由释放,忽略一切阻力,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.摆至竖直位置时,小球1和2的动能之比为1∶4
B.摆至竖直位置时,球的角速度为
C.摆至竖直位置的过程中,轻杆对小球2做功为0
D.摆至竖直位置的过程中,轻杆对小球3做功为
AD
解析　由于3个球在同一杆上,三个球角速度ω相等,根据题意
可知三个球的轨迹半径之比为r1∶r2∶r3=1∶2∶3,由v=ωr可
得v1∶v2∶v3=1∶2∶3,由Ek=mv2可得,摆至竖直位置时,小球
1和2的动能之比为Ek1∶Ek2=1∶4,故A正确;从释放到摆至竖
直位置的过程中,三个球与杆组成的系统机械能守恒,有mg·+mg·+mgl=m+m+m,又v1=,联立解得
ω=,故B错误;从释放到摆至竖直位置的过程中,对小球2、3,分别由动能定理得mg·+W杆2=mv22-0,mgl+W杆3=m-0,又v2=,v3=ωl,联立解得W杆2=-,
W杆3=,故C错误,D正确。
模型　　轻弹簧连接的物体系统机械能守恒
模型 特点 由轻弹簧连接的物体系统,一般既有重力做功又有弹簧弹力做功,这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化,而总的机械能守恒。
两点 提醒 ①对同一弹簧,弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定,无论弹簧伸长还是压缩。
②弹簧两端的物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时,两端的物体具有相同的速度,弹性势能最大。
例5 (2026·山东威海模拟)如图所示,质量分别为6m和m的物体P、Q用跨过定滑轮O的轻绳连接,P置于倾角为30°的光滑固定斜面上,Q穿在固定的竖直光滑杆上。轻质弹簧的一端固定在地面上,另一端连接Q。初始时,控制P使轻绳伸直且无拉力,轻绳的OP段与斜面平行,OQ段与杆的夹角为37°。将P由静止释放,Q在运动过程中经过M点,OM与杆垂直,长为1.5L。P、Q均可视为质点,弹簧始终在弹性限度内,劲度系数k=,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。则Q经过M点时的速率为(　　)
A. B.2 C. D.2
A
解析　未释放P前,对Q有mg=kx,解得弹簧压缩量x=L,当Q经过M点时,由于OM与杆垂直,此时P的速度为0,由几何关系可知QM==2L,可知在M点时,弹簧拉伸量为L,弹性势能与初始时相同,故对P、Q和弹簧构成的系统,由机械能守恒定律得6mgsin 30°+Ep-mg=m+Ep,解得vM=,故A正确。
提升素养能力
3
A级　基础对点练
C
对点练1　机械能守恒的理解与判断
1.(2026·上海中学月考)关于机械能守恒,下列说法正确的是(　　)
A.机械能守恒的物体一定只受重力和弹力的作用
B.物体处于平衡状态时,机械能一定守恒
C.物体所受合力不等于零时,机械能可能守恒
D.合力做功时,物体的机械能一定不守恒
解析　物体机械能守恒的条件是只有重力或者弹力做功,物体除了受重力和弹力的作用,还有可能受其他力的作用,但是其他力做功为零,A错误;物体处于平衡状态时,机械能不一定守恒,例如物体匀速上升,动能不变,重力势能增加,机械能增加,B错误;物体所受合力不等于零时,机械能可能守恒,例如自由下落的物体,C正确;根据动能定理得物体动能的变化量等于合力对物体做的功,而物体机械能的变化量等于除了重力之外的力做的功,D错误。
BC
2.(多选)如图所示,将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上,槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落,从A点与半圆形槽相切进入槽内,则下列说法正确的是(　　)
A.小球在半圆形槽内运动的全过程中,只有重力对它做功
B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中,小球的机械能守恒
C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中,小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中,小球的机械能守恒
解析　小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中,小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动,半圆形槽对小球的支持力对小球做负功,小球的机械能不守恒,A、D错误;小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中,半圆形槽静止,则只有重力做功,小球的机械能守恒,B正确;小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中,小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功,机械能守恒,C正确。
C
对点练2　单物体的机械能守恒问题
3.(2024·全国甲卷,17)如图,一光滑大圆环固定在竖直平面内,质量为m的小环套在大圆环上,小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部,Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(　　)
A.在Q点最大 B.在Q点最小
C.先减小后增大 D.先增大后减小
解析　设小环运动轨迹所对的圆心角为θ(0≤θ≤π),大圆
环的半径为R,大圆环对小环的作用力为F,由机械能守恒
定律有mgR(1-cos θ)=mv2,又小环做圆周运动,则有F+
mgcos θ=m,联立解得小环下滑过程中受到大圆环的作用力
大小F=mg(2-3cos θ),小环开始下滑时受到大圆环的作用力背离圆心,当cos θ=时F=0,以后受到大圆环的作用力指向圆心,则F的大小先减小后增大,当cos θ=-1,即小环在大圆环最低点时F最大,结合牛顿第三定律可知,C正确。
C
4.(2026·河北邢台模拟)如图所示,水平地面上固定一个半径为R=2.5 m的圆环,从水平直径的A点平抛两个质量分别为m1、m2的物体,动量大小均为p=10 kg·m/s,物体落到圆环上时机械能相等,取地面为参考平面,空气阻力不计,当地的重力加速度为g=10 m/s2,则以下说法正确的是(　　)
A.m1+m2=5 B.m1-m2=3
C.m1m2=2 D.m1=3m2
解析　设两个质量分别为m1、m2的物体抛出时的速
度大小分别为v1、v2,由题意可知物体落到圆环上时
机械能相等,由于物体在空中运动过程机械能守恒,
则两物体抛出时的机械能相等,取地面为参考平面,
则有m1gR+m1=m2gR+m2,可得m1gR+=
m2gR+,代入数据可得m1+=m2+,则有m1-m2=-=,则一定有m1m2=2,故C正确。
C
对点练3　多物体的机械能守恒问题
5.(2026·陕西渭南月考)如图所示,可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻软细线连接,跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的两倍。当B位于地面上时,A恰与圆柱轴心等高,将A由静止释放,B上升的最大高度是(　　)
A.2R B. C. D.
解析　设B球的质量为m,则A球的质量为2m,A球刚落地时,两球速度大小都为v,根据机械能守恒定律得2mgR=×(2m+m)v2+mgR,B球继续上升的过程由动能定理可得-mgh=0-mv2,联立解得h=,B球上升的最大高度为h+R=R,故C正确。
C
6.(2026·河北张家口联考)有一条均匀的金属链条,一半长度部分在光滑的足够高斜面上,斜面顶端是一个很小的圆弧,斜面倾角为30°,另一半长度部分竖直下垂,由静止释放后链条滑动,已知重力加速度g=10 m/s2,链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为 m/s,则金属链条的长度L为(　　)
A.0.6 m B.1 m
C.2 m D.2.6 m
解析　设链条的质量为2m,以开始时链条的最高点为参考平面,初始时链条的机械能为E=Ep+Ek=-×2mg·sin 30°-×2mg·+0=-mgL(1+sin 30°),链条全部滑出时,动能为Ek'=×2mv2,重力势能为Ep'=-2mg·,由机械能守恒定律可得E=Ek'+Ep',即
-mgL(1+sin 30°)=mv2-mgL,解得L=2 m,故C正确。
BC
7.(多选)(2026·安徽池州调研)如图所示,一轻杆可绕光滑固定转轴在竖直平面内自由转动,杆的两端固定有小球A和B(可看作质点),A、B的质量分别为2m和m,到转轴O的距离分别为2L和L,重力加速度为g。现将轻杆从水平位置由静止释放,轻杆开始绕O轴自由转动,当球A到达最低点时,下列说法正确的是(　　)
A.球B的速度大小为 B.球A的速度大小为
C.杆对球A的拉力大小为mg D.杆对球A做的功为-6mgL
解析　取轻杆初始时所在水平面为参考平面,对于A、B两球及轻杆组成的系统,由于只有重力做功,则系统的机械能守恒,可得-2mg·2L+mgL+×2m+m=0,由v=ωr,可知vA=2vB,联立解得vA=,vB=,A错误,B正确;当球A到达最低点时,由牛顿第二定律得F-2mg=2m,解得杆对球A的拉力大小为F=mg,C正确;对A由动能定理得W+2mg·2L=×2m,解得杆对球A做的功为W=-mgL,D错误。
CD
8.(多选)(2026·海南海口模拟)如图所示,一滑板爱好者沿着倾角为30°的斜坡从静止开始自由下滑,下滑过程中的加速度大小恒为g,已知滑板爱好者连同滑板的总质量为m,重力加速度为g。在滑板爱好者(含滑板)沿斜坡下滑距离为L的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.滑板爱好者下滑过程中机械能守恒 B.滑板爱好者减少的重力势能为mgL
C.滑板爱好者增加的动能为mgL D.滑板爱好者减少的机械能为mgL
B级　综合提升练
解析　滑板爱好者下滑过程中的加速度大小为,小于gsin 30°,因此滑板受到摩擦力,机械能不守恒,故A错误;滑板爱好者减少的重力势能等于重力所做的功,即减少的重力势能为ΔEp=mgLsin 30°=mgL,故B错误;根据动能定理可知,滑板爱好者增加的动能为ΔEk=FL=maL=mgL,故C正确;根据牛顿第二定律可得mgsin 30°-Ff=mg,解得摩擦力大小为Ff=mg,滑板爱好者减少的机械
能等于克服摩擦力所做的功,即ΔE=FfL=mgL,故D正确。
D
9.(2026·黑龙江牡丹江模拟)如图所示,水平光滑长杆上套有小物块A,细线跨过位于O点的轻质光滑定滑轮,一端连接A,另一端悬挂小物块B,物块A、B质量相等。C为O点正下方杆上的点,定滑轮到杆的距离OC=h,重力加速度为g。开始时A位于P点,PO与水平方向的夹角为37°,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,现将A、B由静止释放,下列说法正确的是(　　)
A.物块A从P点运动到C点的过程中机械能变小
B.物块A经过C点时的速度大小为
C.物块A在杆上长为的范围内做往复运动
D.在物块A由P点出发第一次到达C点的过程中,物块B克服细线拉力做的功等于B重力势能的减少量
解析　物块A从P点运动到C点的过程中,细线的拉力对A始终做正功,其他力对A不做功,则物块A的动能增加,机械能变大,故A错误;物块A经过C点时,细线与物块A的运动方向垂直,则物块B的速度为0,根据系统机械能守恒定律得mg=mv2,解得v=,故B错误;由于系统机械能守恒,物块A在水平光滑长杆上做往复运动,运动范围为x=2=h,故C错误;在物
块A由P点出发至第一次到达C点的过程中,物块B的
动能变化量为0,则物块B克服细线拉力做的功等于B
重力势能的减少量,故D正确。
A
10.如图所示,在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧,上端O点与管口A的距离为2x0,一质量为m的小球从管口由静止下落,将弹簧压缩至最低点B,压缩量为x0,已知弹簧弹性势能的表达式为Ep=kx2,不计空气阻力,则(　　)
A.弹簧的最大弹性势能为3mgx0
B.小球运动的最大速度等于2
C.弹簧的劲度系数为
D.小球运动中最大加速度为g
解析　小球从下落到最低点的过程中,重力势能全部转化为弹簧的弹性势能,此时弹性势能最大,有Epmax=3mgx0,故A正确;根据选项A和弹簧弹性势能的表达式有3mgx0=k,解得k=,故C错误;当小球的重力与弹簧弹力大小相等时,小球有最大速度,则有mg=kx,再根据弹簧和小球组成的系统机械能守恒,有mg(x+2x0)
=m+kx2,解得最大速度为vmax=,故B错误;小球运动到最低点时加速度最大,有kx0-mg=ma,解得a=5g,故D错误。
11.(2025·安徽卷,14)如图,M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉,间距L=0.5 m。一根长为3L的轻绳一端系在M上,另一端竖直悬挂质量m=0.1 kg的小球,小球与水平地面接触但无压力。t=0时,小球以水平向右的初速度v0=10 m/s开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M,运动到M正下方与M相距L的位置时,绳子刚好被拉断,小球开始做平抛运动。小球可
视为质点,绳子不可伸长,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小,及绳子所受的最大拉力大小;
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离;
(3)若在t=0时,只改变小球的初速度大小,使小球能通过N的正
上方且绳子不松弛,求初速度的最小值。
C级　培优加强练
答案　(1)4 m/s　17 N　(2)4 m　(3)2 m/s
解析　(1)从t=0时至小球运动到M正下方与M相距L的位置(绳子刚好被拉断)的过程,只有重力对小球做功,小球的机械能守恒,设绳子被拉断时小球的速度大小为v,则由机械能守恒定律可得
mg·2L=m-mv2
解得v=4 m/s
小球运动到M正下方与M相距L的位置,绳子刚好被拉断,则对该位置的小球进行受力分析,由牛顿第二定律可得
Fm-mg=m
结合牛顿第三定律解得绳子所受的最大拉力大小
Fm'=Fm=17 N。
(2)绳子被拉断时,小球距地面的高度为2L,此后小球做平抛运动,设小球做平抛运动的时间为Δt,水平位移大小(抛出点到落地点的水平距离)为x,则由平抛运动规律可得
2L=g(Δt)2
x=vΔt
联立解得x=4 m。
(3)当小球通过N的正上方绳子刚好不松弛时,小球的初速度最小,设此速度为vmin,此种情况下小球通过N的正上方时的速度为vN,则对小球从t=0至运动到N的正上方的过程,由机械能守恒定律可得
mg·5L=m-m
小球运动到N的正上方时,由牛顿第二定律可得
mg=m
联立解得vmin=2 m/s。
本节内容结束
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