资源简介

第4节　基本不等式
课标要求　1.了解基本不等式的证明过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在实际生活中的应用.
1.基本不等式:≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
(3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2.
(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2.
1.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.
2.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤与≥成立的条件是相同的.(　　)
(2)函数y=x+的最小值是2.(　　)
(3)函数y=sin x+,x∈的最小值是4.(　　)
(4)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)不等式ab≤成立的条件是a,b∈R,≥成立的条件是a≥0,b≥0.
(2)由于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
故函数y=x+无最小值.
(3)由于sin x=时sin x=2无解,
故sin x+的最小值不为4.
(4)“+≥2”的充要条件是“xy>0”.
2.(苏教必修一P58例2改编)已知x>1,则x+的最小值为　　　　.
答案　3
解析　x+=x-1++1≥2+1=3,
当且仅当x-1=,即x=2时等号成立.
3.(人教A必修一P58T5改编)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为　　　　.
答案　9
解析　由ab=a+b+3≥2+3,得ab-2-3≥0,解得≥3(≤-1舍去),
即ab≥9.当且仅当a=b=3时取等号.
4.(北师大必修一P28实例分析)把一段长为16 cm的细铁丝弯成一个矩形,当矩形的长为　　　　 cm,宽为　　　　 cm时,面积最大.
答案　4　4
解析　设矩形的长为x cm,宽为y cm,
则x+y=8,其面积S=xy≤=16,
当且仅当x=y=4时等号成立.
　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一　利用基本不等式求最值
角度1　配凑法
例1 (1)已知0(2)函数f(x)=(0答案　(1)　(2)
解析　(1)因为00,1->0,
所以==×≤×=,
当且仅当=1-,即x=1时等号成立,
所以.
(2)因为00,
所以f(x)===+=[x+(2-x)]
=≥
=,
当且仅当=,即x=时,等号成立,
所以函数f(x)的最小值为.
角度2　常数代换法
例2 (2026·安徽师大附中模拟)已知x>0,y>0,2x+y=2,则+的最小值为(　　)
A.4 B.2
C. D.
答案　A
解析　由题可知x+=1,
所以+=
=1+1++≥2+2=4,
当且仅当x=,y=1时取等号.故选A.
角度3　消元法
例3 (2026·福州调研)已知5m2n2+n4=1,则m2+n2的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由5m2n2+n4=1,可得n≠0,
则m2=.
m2+n2=≥×2=,
当且仅当4n2=,
即n2=时取等号,
即n2=,m2=时,m2+n2取最小值.
故选C.
角度4　齐次化法
例4 已知x>0,y>0,x+2y=1,则的最小值为　　　　.
答案　8+4
解析　由x+2y=1可得,
=
==
=++8≥2+8=8+4,
当且仅当=,即x=y且x+2y=1时等号成立.
感悟提升　利用基本不等式求数字式代数式的最值
(1)前提:“一正”“二定”“三相等”.
(2)要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有五种方法:一是直接法;二是配凑法;三是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法;四是消元法;五是齐次化法.
训练1 (1)(2025·金华调考)若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为(　　)
A.6 B.9
C.4 D.8
(2)函数f(x)=4x+,x∈(-1,+∞)的最小值为(　　)
A.6 B.8
C.10 D.12
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)法一　由a+2b=ab得b=,
因为a>0,b>0,所以2a+b=2a+=2(a-2)++5≥2+5=9,
当且仅当a-2=,
即a=b=3时,等号成立.
法二　因为a>0,b>0,且a+2b=ab,
所以=+=1,
因为2a+b=(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=且a+2b=ab,即a=b=3时,等号成立,
所以2a+b的最小值为9.故选B.
(2)因为x∈(-1,+∞),则x+1>0,
则f(x)=4x+=4(x+1)+-4≥2-4
=12-4=8,
当且仅当
即x=时,等号成立,
故函数f(x)=4x+,x∈(-1,+∞)的最小值为8.
考点二　利用基本不等式求参数值或范围
例5 (2026·运城质检)已知x,y,a>0,且x++≥8恒成立,则a的取值范围是　　　　.
答案　[4,+∞)
解析　x++≥x+2=x+≥2=4,
当且仅当=且x=,
即x=2,y=时,等号成立,
故4≥8,即a≥4,
则a的取值范围是[4,+∞).
感悟提升　 x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)min≥a; x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)max≤a.
训练2 (1)若对于任意的x>0,不等式≥a恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.[5,+∞) B.(5,+∞)
C.(-∞,5] D.(-∞,5)
(2)已知x>0,y>0,且+=1,若2x+y答案　(1)C　(2)(-∞,-1)∪(9,+∞)
解析　(1)令f(x)=,
由题意可得a≤f(x)min,
f(x)=x++3≥2+3=5,
当且仅当x=,即x=1时等号成立,
a≤f(x)min=5,
所以实数a的取值范围为(-∞,5].
(2)因为x>0,y>0,且+=1,
所以2x+y=(2x+y)=5++≥5+2=9,
当且仅当=,且+=1,即x=y=3时取等号,此时2x+y取得最小值9,
若2x+y则99或m<-1,
即实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).
考点三　利用基本不等式解决实际问题
例6 某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池,其平面图如图所示.每个育苗池的底面面积为200 m2,深度为2 m,育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路.设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20),甬路的面积为S m2.
(1)求S与x之间的函数关系式;
(2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2,池底的造价为600元/m2,甬路的造价为100元/m2,若不考虑其他费用,求x为何值时,总造价最低,并求最低总造价.
解　(1)由题意可得每个育苗池底面的另一边长为m,
则S=(x+4)-600
=8x++32,10≤x≤20.
(2)设总造价为w元,
则w=200×2+600×3×200+100S=2 400x++360 000+800x++3 200=3 200x++363 200,
10≤x≤20,
其中3 200x+≥2=96 000,
当且仅当3 200x=,即x=15∈[10,20]时,等号成立,
故w=3 200x++363 200≥459 200,
所以当x=15 m时,总造价最低,最低总造价为459 200元.
感悟提升　利用基本不等式解决实际问题的注意点
(1)设变量时,一般把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)解题时,一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响.
(3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解,如利用f(x)=x+(a>0)的单调性.
(4)在实际问题中利用基本不等式求最值时,必须指明等号成立的条件.
训练3 (2025·长沙模拟)快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比,每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算,如果在距离货运枢纽10 km处配建分拣中心,则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小,分拣中心和货运枢纽的距离应设置为(　　)
A.5 km B.6 km
C.7 km D.8 km
答案　A
解析　设土地租金成本和货物运输成本分别为W1万元和W2万元,分拣中心和货运枢纽相距s km,
则W1=,W2=k2s,将s=10,W1=2,W2=8代入可得k1=20,k2=,
所以W1=,W2=s,
故W1+W2=+s≥2=8,
当且仅当s=5时取等号.故选A.
基本不等式链
若a>0,b>0,则≤≤≤.其中和分别叫做a,b的调和平均数和平方平均数.可根据题目需要选择合适的形式.
典例 (多选)设正实数a,b满足a+b=1,则(　　)
A.有最大值
B.+有最小值3
C.a2+b2有最小值
D.+有最大值
答案　ACD
解析　对于A,由基本不等式可得≤=,当且仅当a=b=时,等号成立,A正确;
对于B,由≤==,得+≥,当且仅当a+2b=2a+b,即a=b=时等号成立,B错误;
对于C,由≥=,得a2+b2≥,
当且仅当a=b=时等号成立,C正确;
对于D,由≤=,得+≤,当且仅当a=b=时等号成立,D正确.
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单选题
1.若x>0,则函数y=的最小值为(　　)
A.6 B.7
C.10 D.11
答案　D
解析　∵x>0,∴y==x++1≥2+1=11,
当且仅当x=,即x=5时,等号成立,
∴函数y=的最小值为11.
2.(2026·重庆段测)已知m>1,n>1,lg m=logn 100,则mn的最小值为(　　)
A.1 B.1
C.104 D.100
答案　B
解析　因为lg m=logn100==,
所以lg m·lg n=2.
又因为m>1,n>1,所以lg m>0,lg n>0,
则lg(mn)=lg m+lg n≥2=2,当且仅当m=n=1时取等号,
所以mn≥1.故选B.
3.设a>0,若关于x的不等式x+≥6对x∈(0,+∞)恒成立,则a的最小值是(　　)
A.1 B.4
C.9 D.16
答案　C
解析　因为x>0,
由x+≥2=2,
当且仅当x=,即x=时取等号,
则2≥6,可得a≥9.
4.函数f(x)=x2+的最小值是(　　)
A.2-2 B.1
C. D.2
答案　C
解析　由f(x)=x2+
=x2+2+-2,
令x2+2=t(t≥2),则有f(t)=t+-2,
由对勾函数的性质知,f(t)在[2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,f(t)min=,
即当x=0时,f(x)min=.
5.(2026·杭州部分学校联考)已知x+y=++8(x,y>0),则x+y的最小值为(　　)
A.5 B.9
C.4+ D.10
答案　B
解析　由x+y=++8(x,y>0),得
x+y-8=+,
则(x+y-8)(x+y)=(x+y)
=++5≥2+5=9,
当且仅当=,即y=2x时等号成立.
令x+y=t>0,则t(t-8)≥9,
解得t≤-1(舍去)或t≥9,
则x+y≥9,当且仅当x=3,y=6时等号成立,即x+y的最小值为9.故选B.
6.已知x>0,y>0,x+y=1,则的最小值为(　　)
A.7 B.
C.+2 D.2+1
答案　A
解析　因为x>0,y>0,x+y=1,
则=
==++3≥
3+2=7,
当且仅当y=2x且x+y=1,即x=,y=时取等号.
7.(2026·济宁模拟)若a>0>b,且a-b=2,则-的最小值为(　　)
A. B.
C.3 D.4
答案　B
解析　因为a>0>b,所以-b>0,
又a-b=2,则a+1+(-b)=3,
即+=1,
故-=+
=
=+++≥2+=,
当且仅当a+1=-b且a-b=2,即a=,b=-时,等号成立,
故-,故选B.
二、多选题
8.(2026·南通调研)下列函数中最小值为4的是(　　)
A.y=ln x+ B.y=2x+22-x
C.y=4|sin x|+ D.y=
答案　BCD
解析　当x=时,ln x=-1,
可得y=ln x+=-5<4,
所以y=ln x+的最小值不为4,故A错误;
因为2x>0,22-x>0,
所以y=2x+22-x≥2=4,
当且仅当2x=22-x,即x=1时,等号成立,
所以y=2x+22-x的最小值为4,故B正确;
y=4|sin x|+≥2·=4,
当且仅当4|sin x|=,即|sin x|=时,等号成立,
所以y=4|sin x|+的最小值为4,故C正确;
因为y==+,
且≥1,则y=+
≥2=4,
当且仅当=,
即x=±时,等号成立,所以y=的最小值为4,故D正确.故选BCD.
9.(2026·山东省实验中学诊断)已知x,y是正数,且2x+y=1,则下列叙述正确的是(　　)
A.xy的最大值为
B.4x2+y2的最小值为
C.+的最小值为
D.+的最小值为9
答案　ABD
解析　由2x·y≤=,
可得xy≤,
当且仅当时,等号成立,
故xy的最大值为,A正确;
由1=(2x+y)2=4x2+y2+4xy≤4x2+y2+(4x2+y2)=2(4x2+y2),
可得4x2+y2≥,
当且仅当时,等号成立,故4x2+y2的最小值为,B正确;
由(+)2=2x+y+2≤2x+y+(2x+y)=2(2x+y)=2,
可得+≤,当且仅当时,等号成立,故+,C错误;
因为+=(2x+y)=5++≥5+2=9,
当且仅当即x=y=时,等号成立,故+的最小值为9,D正确.故选ABD.
三、填空题
10.已知正数x,y满足x+y=1,若不等式+>m对任意正数x,y恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.
答案　(-∞,9)
解析　因为x>0,y>0,
所以+=(x+y)=5++≥5+4=9,
当且仅当y=2x且x+y=1,即x=,y=时取等号,
所以实数m的取值范围为(-∞,9).
11.设双曲线-=1(a>0)的离心率为e,则e2+a2的最小值为　　　　.
答案　4
解析　双曲线-=1(a>0)的离心率为e=,
e2+a2=+a2=2++a2≥2+2=4,
当且仅当=a2,即a=1时取等号.
12.(2026·天津部分重点校联考)已知a>b>0,+=1,则3a-b的最小值为　　　　.
答案　4+10
解析　∵a>b>0,∴a+b>0,a-b>0.
由+=1,可得+=1,
∴3a-b=(a+b)+2(a-b)
=[(a+b)+2(a-b)]
=10++
≥10+2
=10+4,
当且仅当=+=1,
即a=4+,b=2+时取等号,
则3a-b的最小值为4+10.
四、解答题
13.已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求:
(1)xy的最大值;
(2)2x+y的最小值.
解　(1)因为x>0,y>0,
根据基本不等式,30=x+2y+xy≥2+xy(当且仅当x=2y=6时取等号),
令=t(t>0),则t2+2t-30≤0,
解得-5≤t≤3,又t>0,
所以0所以0(2)由x+2y+xy=30可知,
y=>0,02x+y=2x+=2(x+2)+-5≥2-5=11,
当且仅当2(x+2)=,即x=2时取等号,
所以2x+y的最小值为11.
14.某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3 m,底面为24 m2,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的背面靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左、右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左、右两面墙的长度为x m(3≤x≤6).
(1)当左、右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低 并求出最低报价;
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左、右两面墙的长度为多少,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
解　(1)设甲工程队的总报价为y元,
则y=3+14 400
=1 800+14 400≥1 800×2+14 400=28 800,
当且仅当x=,
即x=4时等号成立.
故当左、右两侧墙的长度为4 m时,甲工程队的报价最低为28 800元.
(2)由题意可得1 800+14 400>,对任意的x∈[3,6]恒成立,
故>,
从而>a恒成立,
令x+1=t,则==t++6,t∈[4,7].
令g(t)=t++6,
则g(t)在t∈[4,7]上单调递增,
故g(t)min=12.25,
又a>0,故0所以a的取值范围为(0,12.25).(共62张PPT)
数学
高考总
复
习
第一章　集合与常用逻辑用语、不等式
第4节　基本不等式
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能用基本不等式解决简单的最值问题.
3.掌握基本不等式在实际生活中的应用.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.基本不等式:≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当_____时取等号.
(3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何
平均数.
a=b
2.两个重要的不等式
(1)a2+b2≥_________(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值_____.
(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值______.
2ab
2
S2
常用结论与微点提醒
1.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.
2.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤与≥成立的条件是相同的.(　　)
(2)函数y=x+的最小值是2.(　　)
(1)不等式ab≤成立的条件是a,b∈R,≥成立的条件是a≥0,b≥0.
(2)由于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),故函数y=x+无最小值.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
×
×
(3)函数y=sin x+,x∈的最小值是4.(　　)
(4)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.(　　)
(3)由于sin x=时sin x=2无解,
故sin x+的最小值不为4.
(4)“+≥2”的充要条件是“xy>0”.
×
×
2.(苏教必修一P58例2改编)已知x>1,则x+的最小值为____________.
3
x+=x-1++1≥2+1=3,
当且仅当x-1=,即x=2时等号成立.
3.(人教A必修一P58T5改编)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为_________.
9
由ab=a+b+3≥2+3,得ab-2-3≥0,解得≥3(≤-1舍去),
即ab≥9.当且仅当a=b=3时取等号.
4.(北师大必修一P28实例分析)把一段长为16 cm的细铁丝弯成一个矩形,当矩形的长为____________ cm,宽为____________ cm时,面积最大.
4
设矩形的长为x cm,宽为y cm,
则x+y=8,其面积S=xy≤=16,
当且仅当x=y=4时等号成立.
4
考点聚焦突破
02
例1 (1)已知0因为00,1->0,
所以==×≤×=,
当且仅当=1-,即x=1时等号成立,
所以.
考点一　利用基本不等式求最值
角度1　配凑法
(2)函数f(x)=(0因为00,
所以f(x)===+=[x+(2-x)]
=≥=,
当且仅当=,即x=时,等号成立,
所以函数f(x)的最小值为.
角度2　常数代换法
A
由题可知x+=1,
所以+==1+1++≥2+2=4,
当且仅当x=,y=1时取等号.故选A.
例2 (2026·安徽师大附中模拟)已知x>0,y>0,2x+y=2,则+的最小值为(　　)
A.4 B.2
C. D.
角度3　消元法
C
由5m2n2+n4=1,可得n≠0,则m2=.
m2+n2=≥×2=,
当且仅当4n2=,即n2=时取等号,
即n2=,m2=时,m2+n2取最小值.
故选C.
例3 (2026·福州调研)已知5m2n2+n4=1,则m2+n2的最小值为(　　)
A. B. C. D.
角度4　齐次化法
由x+2y=1可得,
====++8≥2+8=8+4,
当且仅当=,即x=y且x+2y=1时等号成立.
例4 已知x>0,y>0,x+2y=1,则的最小值为____________.
8+4
感悟提升
利用基本不等式求数字式代数式的最值
(1)前提:“一正”“二定”“三相等”.
(2)要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有五种方法:一是直接法;二是配凑法;三是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法;四是消元法;五是齐次化法.
训练1 (1)(2025·金华调考)若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为(　　)
A.6 B.9
C.4 D.8
B
法一　由a+2b=ab得b=,
因为a>0,b>0,所以2a+b=2a+=2(a-2)++5≥2+5=9,
当且仅当a-2=,
即a=b=3时,等号成立.
法二　因为a>0,b>0,且a+2b=ab,
所以=+=1,
因为2a+b=(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=且a+2b=ab,即a=b=3时,等号成立,
所以2a+b的最小值为9.故选B.
(2)函数f(x)=4x+,x∈(-1,+∞)的最小值为(　　)
A.6 B.8
C.10 D.12
因为x∈(-1,+∞),则x+1>0,
则f(x)=4x+=4(x+1)+-4≥2-4=12-4=8,
当且仅当
即x=时,等号成立,
故函数f(x)=4x+,x∈(-1,+∞)的最小值为8.
B
例5 (2026·运城质检)已知x,y,a>0,且x++≥8恒成立,则a的取值范围是____________.
x++≥x+2=x+≥2=4,
当且仅当=且x=,
即x=2,y=时,等号成立,
故4≥8,即a≥4,
则a的取值范围是[4,+∞).
考点二　利用基本不等式求参数值或范围
[4,+∞)
感悟提升
x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)min≥a; x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)max≤a.
训练2 (1)若对于任意的x>0,不等式≥a恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.[5,+∞) B.(5,+∞)
C.(-∞,5] D.(-∞,5)
令f(x)=,
由题意可得a≤f(x)min,
f(x)=x++3≥2+3=5,
当且仅当x=,即x=1时等号成立,a≤f(x)min=5,
所以实数a的取值范围为(-∞,5].
C
(2)已知x>0,y>0,且+=1,若2x+y(-∞,-1)∪(9,+∞)
因为x>0,y>0,且+=1,
所以2x+y=(2x+y)=5++≥5+2=9,
当且仅当=,且+=1,即x=y=3时取等号,此时2x+y取得最小值9,
若2x+y则99或m<-1,
即实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).
例6 某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池,其平面图如图所示.每个育苗池的底面面积为200 m2,深度为2 m,育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路.设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20),甬路的面积为S m2.
考点三　利用基本不等式解决实际问题
(1)求S与x之间的函数关系式;
由题意可得每个育苗池底面的另一边长为m,
则S=(x+4)-600=8x++32,10≤x≤20.
(2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2,池底的造价为600元/m2,甬路的造价为100元/m2,若不考虑其他费用,求x为何值时,总造价最低,并求最低总造价.
设总造价为w元,
则w=200×2+600×3×200+100S=2 400x++
360 000+800x++3 200=3 200x++363 200,
10≤x≤20,
其中3 200x+≥2=96 000,
当且仅当3 200x=,即x=15∈[10,20]时,等号成立,
故w=3 200x++363 200≥459 200,
所以当x=15 m时,总造价最低,最低总造价为459 200元.
感悟提升
利用基本不等式解决实际问题的注意点
(1)设变量时,一般把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)解题时,一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响.
(3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解,如利用f(x)=x+(a>0)的单调性.
(4)在实际问题中利用基本不等式求最值时,必须指明等号成立的条件.
训练3 (2025·长沙模拟)快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比,每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算,如果在距离货运枢纽10 km处配建分拣中心,则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小,分拣中心和货运枢纽的距离应设置为(　　)
A.5 km B.6 km
C.7 km D.8 km
A
设土地租金成本和货物运输成本分别为W1万元和W2万元,分拣中心和货运枢纽相距s km,
则W1=,W2=k2s,将s=10,W1=2,W2=8代入可得k1=20,k2=,
所以W1=,W2=s,
故W1+W2=+s≥2=8,
当且仅当s=5时取等号.故选A.
若a>0,b>0,则≤≤≤.其中和分别叫做a,b的调和平
均数和平方平均数.可根据题目需要选择合适的形式.
基本不等式链 微点突破
典例 (多选)设正实数a,b满足a+b=1,则(　 　)
A.有最大值 B.+有最小值3
C.a2+b2有最小值 D.+有最大值
ACD
对于A,由基本不等式可得≤=,当且仅当a=b=时,等号成立,A正确;
对于B,由≤==,得+≥,当且仅当a+2b=2a+b,即a=b=时等号成立,B错误;
对于C,由≥=,得a2+b2≥,
当且仅当a=b=时等号成立,C正确;
对于D,由≤=,得+≤,
当且仅当a=b=时等号成立,D正确.
课时对点精练
03
一、单选题
1.若x>0,则函数y=的最小值为(　　)
A.6 B.7
C.10 D.11
D
∵x>0,∴y==x++1≥2+1=11,
当且仅当x=,即x=5时,等号成立,
∴函数y=的最小值为11.
2. (2026·重庆段测)已知m>1,n>1,lg m=logn 100,则mn的最小值为(　　)
A.1 B.1
C.104 D.100
B
因为lg m=logn100==,
所以lg m·lg n=2.
又因为m>1,n>1,所以lg m>0,lg n>0,
则lg(mn)=lg m+lg n≥2=2,当且仅当m=n=1时取等号,
所以mn≥1.故选B.
3.设a>0,若关于x的不等式x+≥6对x∈(0,+∞)恒成立,则a的最小值是(　　)
A.1 B.4
C.9 D.16
C
因为x>0,
由x+≥2=2,
当且仅当x=,即x=时取等号,
则2≥6,可得a≥9.
4.函数f(x)=x2+的最小值是(　　)
A.2-2 B.1
C. D.2
C
由f(x)=x2+=x2+2+-2,
令x2+2=t(t≥2),则有f(t)=t+-2,
由对勾函数的性质知,f(t)在[2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,f(t)min=,
即当x=0时,f(x)min=.
5. (2026·杭州部分学校联考)已知x+y=++8(x,y>0),则x+y的最小值为(　　)
A.5 B.9
C.4+ D.10
B
由x+y=++8(x,y>0),得x+y-8=+,
则(x+y-8)(x+y)=(x+y)
=++5≥2+5=9,
当且仅当=,即y=2x时等号成立.
令x+y=t>0,则t(t-8)≥9,
解得t≤-1(舍去)或t≥9,
则x+y≥9,当且仅当x=3,y=6时等号成立,即x+y的最小值为9.故选B.
6.已知x>0,y>0,x+y=1,则的最小值为(　　)
A.7 B.
C.+2 D.2+1
A
因为x>0,y>0,x+y=1,
则===++3≥3+2=7,
当且仅当y=2x且x+y=1,即x=,y=时取等号.
7. (2026·济宁模拟)若a>0>b,且a-b=2,则-的最小值为(　　)
A. B.
C.3 D.4
B
因为a>0>b,所以-b>0,
又a-b=2,则a+1+(-b)=3,
即+=1,
故-=+=
=+++≥2+=,
当且仅当a+1=-b且a-b=2,即a=,b=-时,等号成立,
故-,故选B.
8. (2026·南通调研)下列函数中最小值为4的是(　　 )
A.y=ln x+ B.y=2x+22-x
C.y=4|sin x|+ D.y=
BCD
当x=时,ln x=-1,
可得y=ln x+=-5<4,
所以y=ln x+的最小值不为4,故A错误;
二、多选题
因为2x>0,22-x>0,
所以y=2x+22-x≥2=4,
当且仅当2x=22-x,即x=1时,等号成立,
所以y=2x+22-x的最小值为4,故B正确;
y=4|sin x|+≥2·=4,
当且仅当4|sin x|=,即|sin x|=时,等号成立,
所以y=4|sin x|+的最小值为4,故C正确;
因为y==+,
且≥1,则y=+≥2=4,
当且仅当=,即x=±时,等号成立,
所以y=的最小值为4,故D正确.故选BCD.
9. (2026·山东省实验中学诊断)已知x,y是正数,且2x+y=1,则下列叙述正确的是(　 　)
A.xy的最大值为 B.4x2+y2的最小值为
C.+的最小值为 D.+的最小值为9
ABD
由2x·y≤=,可得xy≤,
当且仅当时,等号成立,
故xy的最大值为,A正确;
由1=(2x+y)2=4x2+y2+4xy≤4x2+y2+(4x2+y2)=2(4x2+y2),
可得4x2+y2≥,
当且仅当时,等号成立,故4x2+y2的最小值为,
B正确;
由(+)2=2x+y+2≤2x+y+(2x+y)=2(2x+y)=2,
可得+≤,当且仅当时,等号成立,
故+,C错误;
因为+=(2x+y)=5++≥5+2=9,
当且仅当即x=y=时,等号成立,故+的最小值为9,D正确.
故选ABD.
10.已知正数x,y满足x+y=1,若不等式+>m对任意正数x,y恒成立,则实数m的取值范围为____________.
(-∞,9)
因为x>0,y>0,
所以+=(x+y)=5++≥5+4=9,
当且仅当y=2x且x+y=1,即x=,y=时取等号,
所以实数m的取值范围为(-∞,9).
三、填空题
11.设双曲线-=1(a>0)的离心率为e,则e2+a2的最小值为____________.
4
双曲线-=1(a>0)的离心率为e=,
e2+a2=+a2=2++a2≥2+2=4,
当且仅当=a2,即a=1时取等号.
12. (2026·天津部分重点校联考)已知a>b>0,+=1,则3a-b的最小值为____________.
4+10
∵a>b>0,∴a+b>0,a-b>0.
由+=1,可得+=1,
∴3a-b=(a+b)+2(a-b)
=[(a+b)+2(a-b)]=10++
≥10+2=10+4,
当且仅当=+=1,
即a=4+,b=2+时取等号,
则3a-b的最小值为4+10.
13.已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求:
(1)xy的最大值;
因为x>0,y>0,
根据基本不等式,30=x+2y+xy≥2+xy(当且仅当x=2y=6时取等号),
令=t(t>0),则t2+2t-30≤0,
解得-5≤t≤3,又t>0,
所以0所以0四、解答题
(2)2x+y的最小值.
由x+2y+xy=30可知,
y=>0,02x+y=2x+=2(x+2)+-5≥2-5=11,
当且仅当2(x+2)=,即x=2时取等号,
所以2x+y的最小值为11.
14.某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3 m,底面为24 m2,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的背面靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左、右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左、右两面墙的长度为x m(3≤x≤6).
(1)当左、右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低 并求出最低报价;
设甲工程队的总报价为y元,则y=3+14 400=
1 800+14 400≥1 800×2+14 400=28 800,
当且仅当x=,
即x=4时等号成立.
故当左、右两侧墙的长度为4 m时,甲工程队的报价最低为28 800元.
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左、右两面墙的长度为多少,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
由题意可得1 800+14 400>,对任意的x∈[3,6]恒成立,
故>,从而>a恒成立,
令x+1=t,则==t++6,t∈[4,7].令g(t)=t++6,
则g(t)在t∈[4,7]上单调递增,
故g(t)min=12.25,
又a>0,故0所以a的取值范围为(0,12.25).

展开更多......

收起↑