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第5节　一元二次函数、方程和不等式
第一课时　二次函数及其性质
课标要求　理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
1.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
2.二次函数的图象和性质
函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x=-
顶点 坐标
奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减; 在上单调递增 在上单调递增; 在上单调递减
二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0.(　　)
(2)若二次函数y=ax2+bx+c的两个零点确定,则二次函数的解析式确定.(　　)
(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[m,n])的最值一定是.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×
解析　(2)二次函数y=x2-x与y=2x2-2x零点相同,但解析式不同,故(2)错误.
(3)当对称轴x=- [m,n]时,最值则不是,故(3)错误.
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(北师大必修一P34T1(2)改编)函数y=-3x2+12x-8的最大值为　　　　.
答案　4
解析　y=-3(x2-4x+4)+4
=-3(x-2)2+4≤4.
3.(人教A必修一P100T4改编)若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上单调,则实数k的取值范围为　　　　.
答案　(-∞,40]∪[160,+∞)
解析　依题意知,≥20或≤5,
解得k≥160或k≤40.
4.(人教B必修一P139T8改编)已知y=f(x)为二次函数,若y=f(x)在x=2处取得最小值-4,且y=f(x)的图象经过原点,则函数解析式为　　　　.
答案　f(x)=x2-4x
解析　由题意,可设f(x)=a(x-2)2-4(a>0),
又图象过原点,
所以f(0)=4a-4=0,a=1,
所以f(x)=(x-2)2-4=x2-4x.
　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一　二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)=　　　　.
答案　-4x2+4x+7
解析　法一(利用“一般式”)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得
所以所求二次函数的解析式为
f(x)=-4x2+4x+7.
法二(利用“顶点式”)
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
因为f(2)=f(-1),
所以抛物线的对称轴为x==,
所以m=.
又根据题意,函数有最大值8,所以n=8,
所以f(x)=a+8.
因为f(2)=-1,
所以a+8=-1,解得a=-4,
所以f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.
法三(利用“零点式”)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值8,
即=8.
解得a=-4或a=0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
感悟提升　求二次函数解析式的选择规律
训练1 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),对称轴为直线x=2,且方程f(x)=0的两个根的平方和为10,则f(x)的解析式为　　　　.
答案　f(x)=x2-4x+3
解析　依题意,设函数f(x)=a(x-2)2+h(a≠0),
由二次函数f(x)的图象过点(0,3),
得f(0)=3,
所以4a+h=3,即h=3-4a,
所以f(x)=a(x-2)2+3-4a,
令f(x)=0,即a(x-2)2+3-4a=0,
所以ax2-4ax+3=0,
设方程的两根为x1,x2,
则x1+x2=4,x1x2=,
所以+=(x1+x2)2-2x1x2=16-,
所以16-=10,解得a=1,
所以f(x)=x2-4x+3.
考点二　二次函数的图象
例2 (1)已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c,a+b+c=0,则f(x)的图象可能是(　　)
(2)(多选)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.2a+b=0
B.4a+2b+c<0
C.9a+3b+c<0
D.abc<0
答案　(1)D　(2)ACD
解析　(1)因为a>b>c,a+b+c=0,
故a+a+a>a+b+c=0即a>0,
而c+c+cB,C中图象开口向下,不符合a>0,而A中图象过原点,与c<0矛盾,故选D.
(2)由二次函数图象开口向下知a<0,
对称轴为x=-=1,
即2a+b=0,故b>0.
又因为f(0)=c>0,所以abc<0.
f(2)=f(0)=4a+2b+c>0,
f(3)=f(-1)=9a+3b+c<0.
感悟提升　研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取“与x轴的交点”;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向.
训练2 (多选)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论正确的为(　　)
A.b2>4ac B.2a-b=1
C.a-b+c=0 D.5a答案　AD
解析　因为图象与x轴交于两点,
所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确;
对称轴为x=-1,
即-=-1,2a-b=0,B错误;
结合图象,当x=-1时,y>0,
即a-b+c>0,C错误;
由对称轴为x=-1知,b=2a.
根据抛物线开口向下,知a<0,
所以5a<2a,即5a考点三　二次函数的最值
例3 已知二次函数g(x)=x2-2mx-1.
(1)当m=1时,求g(x)在[-1,2]上的最大值;
(2)求g(x)在区间[-1,2]上的最小值.
解　(1)当m=1时,g(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,
故g(x)在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,
又g(-1)=2,g(2)=-1,则g(-1)>g(2).
故g(x)在[-1,2]上的最大值为g(-1)=2.
(2)g(x)=x2-2mx-1=(x-m)2-m2-1,
x∈[-1,2],
当m≤-1时,g(x)在[-1,2]上单调递增,
g(x)min=g(-1)=2m;
当-1当m≥2时,g(x)在[-1,2]上单调递减,
g(x)min=g(2)=3-4m.
综上,g(x)min=
感悟提升　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定和轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
训练3 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)-2f(-x)=3x2-5x+2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=-f(x)-2x2+x在区间[a,a+1]内有最小值2,求实数a的值.
解　(1)因为f(x)-2f(-x)=3x2-5x+2,①
用-x替换x,得
f(-x)-2f(x)=3x2+5x+2,②
联立①②,解得f(x)=-3x2-x-2.
(2)由题可得,g(x)=-f(x)-2x2+x=x2+2x+2,
对称轴为x=-1,则g(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增.
当a+1≤-1,即a≤-2时,g(x)min=g(a+1)=a2+4a+5=2,
解得a=-3或a=-1(舍);
当a<-1g(x)min=g(-1)=1≠2,不合题意;
当a≥-1时,g(x)min=g(a)=a2+2a+2=2,
解得a=0或a=-2(舍).
综上,a=-3或a=0.
一、单选题
1.当1≤x≤2时,函数y=-x2-x+1的最大值和最小值分别是(　　)
A.5,1 B.1,-5
C.-1,-5 D.5,-1
答案　C
解析　函数y=-x2-x+1=-+,
当1≤x≤2时,函数y=-x2-x+1的最大值和最小值分别是-1,-5.
2.函数y=x2-2ax+3在(-∞,3]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.[3,+∞) B.(-∞,3]
C.[-3,+∞) D.(-∞,-3]
答案　A
解析　易知函数y=x2-2ax+3的单调递减区间是(-∞,a],故a≥3.
3.已知函数y=2x2+bx+c的两个零点分别为-2,1,则函数的解析式为(　　)
A.y=2x2-2x-4 B.y=2x2+2x-4
C.y=2x2-2x+4 D.y=2x2+2x+4
答案　B
解析　依题意,x1=-2,x2=1是方程2x2+bx+c=0的两个根,代入可得
解得b=2,c=-4,
所以y=2x2+2x-4.
4.某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车,每辆车的日租金为100元时可全部租出;当每辆车的日租金增加5元时,未租出的汽车就会多4辆,租出的汽车每天需要维护费20元.当租赁公司的日收益最大时,每辆车的日租金为(　　)
A.155 B.165
C.178 D.185
答案　D
解析　设每辆车的日租金为x元,租赁公司的日收益为W元,则每辆车的日收益为(x-20)元,
租赁公司日出租车辆数为200-×4,
所以W=(x-20)=-x2+296x-5 600.
所以当x=-=185时,W取得最大值.
则每辆车的日租金为185元时,租赁公司的日收益最大.
5.在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=ax2+x+1和函数g(x)=ax+1的图象不可能是(　　)
答案　C
解析　若a=0,则f(x)=x+1,g(x)=1,A可能;
若a<0,则f(x)的图象开口向下,过点(0,1),对称轴为x=->0,
g(x)的图象过点(0,1)和,
且-<-,B可能;
若0g(x)的图象过点(0,1)和,
且->-,C不可能;
若a>,则f(x)的图象开口向上,与x轴没有交点,过点(0,1),
对称轴为x=-<0,
g(x)的图象过点(0,1)和,
且->-,D可能.
6.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[-1,m]上有最大值6,最小值2,则m的取值范围是(　　)
A.[1,+∞) B.[0,3]
C.(-∞,2] D.[1,3]
答案　D
解析　曲线y=x2-2x+3的对称轴为x=1,
当x=1时,ymin=2,当x=-1时,y=6,
又当x=3时,y=6,
结合图象可知m的取值范围是[1,3],故选D.
7.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则(　　)
A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0
答案　C
解析　因为二次函数f(x)的对称轴为直线x=-,f(0)=a=f(-1)>0,
则函数f(x)的减区间为,增区间为,
所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0,得-10,
所以f(m+1)>f(0)>0.
二、多选题
8.已知函数f(x)=x2+2x+1,则以下结论一定正确的是(　　)
A.f(-1)=0
B.f(x)的最小值为1
C.f(x)的顶点坐标为(-1,0)
D.f(x)的图象关于直线x=-1对称
答案　ACD
解析　因为f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,
所以对称轴x=-1,f(-1)=0,
所以顶点坐标为(-1,0),f(x)的最小值为0,
所以ACD正确,B错误.
9.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴是直线x=-1,且过点(-3,0),下列说法正确的是(　　)
A.abc<0
B.2a-b=0
C.3a+c=0
D.若(-5,y1),(3,y2) 为抛物线上两点,则y1>y2
答案　ABC
解析　由图知该抛物线开口向上,故a>0,
∵对称轴是直线x=-1,∴-=-1,
故b=2a>0,
即2a-b=0,故B正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
∴c<0,故A正确;
由抛物线对称性得该函数图象必过点(1,0),可得a+b+c=0,结合b=2a,
可得3a+c=0,故C正确;
易知点(-5,y1),(3,y2)到对称轴距离相等,故y1=y2,故D错误.
三、填空题
10.已知二次函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=2x2-2,则函数f(x)的解析式为　　　　.
答案　f(x)=x2-2x-1
解析　设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
因为f(x+2)+f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+c+ax2+bx+c
=2ax2+(4a+2b)x+4a+2b+2c=2x2-2,
所以
所以f(x)=x2-2x-1.
11.若函数φ(x)=x2+m|x-1|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是　　　　.
答案　[-2,0]
解析　当0≤x≤1时,φ(x)=x2-mx+m,
此时φ(x)单调递增,则≤0,即m≤0;
当x>1时,φ(x)=x2+mx-m,
此时φ(x)单调递增,则-≤1,则m≥-2.
综上,实数m的取值范围是[-2,0].
12.(2026·徐州质检)函数f(x)=x2-4x+2在区间[a,b]上的值域为[-2,2],则b-a的取值范围是　　　　.
答案　[2,4]
解析　解方程f(x)=x2-4x+2=2,
解得x=0或x=4,
解方程f(x)=x2-4x+2=-2,
解得x=2,
由于f(x)在[a,b]上的值域为[-2,2].
若f(x)在[a,b]上单调,
则[a,b]=[0,2]或[a,b]=[2,4],
此时b-a取得最小值2;
若f(x)在[a,b]上不单调,且当b-a取最大值时,[a,b]=[0,4],
所以b-a的最大值为4.
所以b-a的取值范围是[2,4].
四、解答题
13.已知函数f(x)=x2-ax+4.
(1)当a=3时,求f(x)在区间[1,3]上的值域;
(2)若f(x)在区间[0,2]上的最大值为4,求a的取值范围.
解　(1)当a=3时,f(x)=x2-3x+4=+,
则f(x)在上单调递减,在上单调递增,
∴f(x)min=f=,f(x)max=f(3)=4,
∴f(x)在区间[1,3]上的值域为.
(2)∵f(x)=x2-ax+4,x∈[0,2],开口向上,
则f(x)的最大值为f(0)和f(2)两个中的较大者,
而f(0)=4,要使f(x)在区间[0,2]上的最大值为4,则f(2)≤4,
∴4-2a+4≤4,∴a≥2,故a的取值范围为[2,+∞).
14.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其两零点分别为0,4,且当-1≤x≤4时,最大值为10.
(1)求函数的解析式;
(2)设a>0,当t≤x≤t+1时,求函数的最小值.
解　(1)由题意知,方程ax2+bx+c=0有两实数根分别为0,4,
所以0+4=-,0×4==0,
所以c=0,b=-4a,所以二次函数为y=ax2-4ax,对称轴为x=-=2,
当a>0时,当x=-1时,最大值为10=a+4a=5a,所以a=2,
所以当a>0时,函数解析式为
y=2x2-8x,
当a<0时,当x=2时,最大值为10=4a-8a=-4a,所以a=-,
所以当a<0时,函数解析式为y=-x2+10x.
(2)当a>0时,函数的解析式为y=2x2-8x,开口向上,对称轴为x=2,
当t≤1时,x∈[t,t+1]时,函数单调递减,
当x=t+1时,ymin=2t2-4t-6;
当1当x=2时,ymin=-8;
当t>2时,x∈[t,t+1]时,函数单调递增,当x=t时,ymin=2t2-8t.
综上所述,ymin=(共50张PPT)
数学
高考总
复
习
第一章　集合与常用逻辑用语、不等式
第5节　一元二次函数、方程和不等式
第一课时　二次函数及其性质
理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f(x)= _______________________.
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为_______________.
(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
ax2+bx+c(a≠0)
(m,n)
2.二次函数的图象和性质
函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
图象 (抛物线)
定义域 ___
值域
R
对称轴 x=___
顶点坐标 _____________________
奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递___; 在上单调递___ 在上单调递___;
在上单调递___
-
减
增
增
减
常用结论与微点提醒
二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0.(　　)
(2)二次函数y=x2-x与y=2x2-2x零点相同,但解析式不同,故(2)错误.
(3)当对称轴x=- [m,n]时,最值则不是,故(3)错误.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
(2)若二次函数y=ax2+bx+c的两个零点确定,则二次函数的解析式确定.(　　)
(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[m,n])的最值一定是.(　　)
×
2.(北师大必修一P34T1(2)改编)函数y=-3x2+12x-8的最大值为____________.
y=-3(x2-4x+4)+4
=-3(x-2)2+4≤4.
4
3.(人教A必修一P100T4改编)若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上单调,则实数k的取值范围为____________________.
(-∞,40]∪[160,+∞)
依题意知,≥20或≤5,
解得k≥160或k≤40.
4.(人教B必修一P139T8改编)已知y=f(x)为二次函数,若y=f(x)在x=2处取得最小值-4,且y=f(x)的图象经过原点,则函数解析式为____________.
f(x)=x2-4x
由题意,可设f(x)=a(x-2)2-4(a>0),
又图象过原点,
所以f(0)=4a-4=0,a=1,
所以f(x)=(x-2)2-4=x2-4x.
考点聚焦突破
02
例1 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)=__________.
-4x2+4x+7
法一(利用“一般式”)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
考点一　二次函数的解析式
所以所求二次函数的解析式为
f(x)=-4x2+4x+7.
法二(利用“顶点式”)
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
因为f(2)=f(-1),
所以抛物线的对称轴为x==,所以m=.
又根据题意,函数有最大值8,所以n=8,
所以f(x)=a+8.
因为f(2)=-1,
所以a+8=-1,解得a=-4,
所以f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.
法三(利用“零点式”)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值8,
即=8.
解得a=-4或a=0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
感悟提升
求二次函数解析式的选择规律
训练1 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),对称轴为直线x=2,且方程f(x)=0的两个根的平方和为10,则f(x)的解析式为____________.
f(x)=x2-4x+3
依题意,设函数f(x)=a(x-2)2+h(a≠0),
由二次函数f(x)的图象过点(0,3),
得f(0)=3,
所以4a+h=3,即h=3-4a,
所以f(x)=a(x-2)2+3-4a,
令f(x)=0,即a(x-2)2+3-4a=0,
所以ax2-4ax+3=0,
设方程的两根为x1,x2,
则x1+x2=4,x1x2=,
所以+=(x1+x2)2-2x1x2=16-,
所以16-=10,解得a=1,
所以f(x)=x2-4x+3.
例2 (1)已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c,a+b+c=0,则f(x)的图象可能是(　　)
D
因为a>b>c,a+b+c=0,
故a+a+a>a+b+c=0即a>0,
而c+c+cB,C中图象开口向下,不符合a>0,而A中图象过原点,与c<0矛盾,故选D.
考点二　二次函数的图象
(2)(多选)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,
则下列说法正确的是(　 　)
ACD
由二次函数图象开口向下知a<0,
对称轴为x=-=1,即2a+b=0,故b>0.
又因为f(0)=c>0,所以abc<0.
f(2)=f(0)=4a+2b+c>0,f(3)=f(-1)=9a+3b+c<0.
A.2a+b=0 B.4a+2b+c<0
C.9a+3b+c<0 D.abc<0
感悟提升
研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取“与x轴的交点”;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向.
训练2 (多选)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论正确的为(　　)
A.b2>4ac B.2a-b=1
C.a-b+c=0 D.5aAD
因为图象与x轴交于两点,
所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确;
对称轴为x=-1,
即-=-1,2a-b=0,B错误;
结合图象,当x=-1时,y>0,
即a-b+c>0,C错误;
由对称轴为x=-1知,b=2a.
根据抛物线开口向下,知a<0,
所以5a<2a,即5a例3 已知二次函数g(x)=x2-2mx-1.
(1)当m=1时,求g(x)在[-1,2]上的最大值;
考点三　二次函数的最值
当m=1时,g(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,
故g(x)在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,
又g(-1)=2,g(2)=-1,则g(-1)>g(2).
故g(x)在[-1,2]上的最大值为g(-1)=2.
(2)求g(x)在区间[-1,2]上的最小值.
g(x)=x2-2mx-1=(x-m)2-m2-1,x∈[-1,2],
当m≤-1时,g(x)在[-1,2]上单调递增,
g(x)min=g(-1)=2m;
当-1当m≥2时,g(x)在[-1,2]上单调递减,
g(x)min=g(2)=3-4m.
感悟提升
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定和轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
训练3 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)-2f(-x)=3x2-5x+2.
(1)求f(x)的解析式;
因为f(x)-2f(-x)=3x2-5x+2,①
用-x替换x,得
f(-x)-2f(x)=3x2+5x+2,②
联立①②,解得f(x)=-3x2-x-2.
(2)若g(x)=-f(x)-2x2+x在区间[a,a+1]内有最小值2,求实数a的值.
由题可得,g(x)=-f(x)-2x2+x=x2+2x+2,
对称轴为x=-1,则g(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增.
当a+1≤-1,即a≤-2时,g(x)min=g(a+1)=a2+4a+5=2,
解得a=-3或a=-1(舍);
当a<-1g(x)min=g(-1)=1≠2,不合题意;
当a≥-1时,g(x)min=g(a)=a2+2a+2=2,
解得a=0或a=-2(舍).
综上,a=-3或a=0.
课时对点精练
03
一、单选题
1.当1≤x≤2时,函数y=-x2-x+1的最大值和最小值分别是(　　)
A.5,1 B.1,-5
C.-1,-5 D.5,-1
C
函数y=-x2-x+1=-+,
当1≤x≤2时,函数y=-x2-x+1的最大值和最小值分别是-1,-5.
2.函数y=x2-2ax+3在(-∞,3]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.[3,+∞) B.(-∞,3]
C.[-3,+∞) D.(-∞,-3]
A
易知函数y=x2-2ax+3的单调递减区间是(-∞,a],故a≥3.
3.已知函数y=2x2+bx+c的两个零点分别为-2,1,则函数的解析式为(　　)
A.y=2x2-2x-4 B.y=2x2+2x-4
C.y=2x2-2x+4 D.y=2x2+2x+4
B
依题意,x1=-2,x2=1是方程2x2+bx+c=0的两个根,代入可得
解得b=2,c=-4,
所以y=2x2+2x-4.
4.某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车,每辆车的日租金为100元时可全部租出;当每辆车的日租金增加5元时,未租出的汽车就会多4辆,租出的汽车每天需要维护费20元.当租赁公司的日收益最大时,每辆车的日租金为(　　)
A.155 B.165
C.178 D.185
D
设每辆车的日租金为x元,租赁公司的日收益为W元,则每辆车的日收益为(x-20)元,租赁公司日出租车辆数为200-×4,
所以W=(x-20)=-x2+296x-5 600.
所以当x=-=185时,W取得最大值.
则每辆车的日租金为185元时,租赁公司的日收益最大.
5.在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=ax2+x+1和函数g(x)=ax+1的图象不可能是(　　)
C
若a=0,则f(x)=x+1,g(x)=1,A可能;
若a<0,则f(x)的图象开口向下,过点(0,1),对称轴为x=->0,
g(x)的图象过点(0,1)和,
且-<-,B可能;
若0g(x)的图象过点(0,1)和,
且->-,C不可能;
若a>,则f(x)的图象开口向上,与x轴没有交点,过点(0,1),
对称轴为x=-<0,
g(x)的图象过点(0,1)和,
且->-,D可能.
6.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[-1,m]上有最大值6,最小值2,则m的取值范围是(　　)
A.[1,+∞) B.[0,3]
C.(-∞,2] D.[1,3]
D
曲线y=x2-2x+3的对称轴为x=1,
当x=1时,ymin=2,当x=-1时,y=6,
又当x=3时,y=6,
结合图象可知m的取值范围是[1,3],故选D.
7.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则(　　)
A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0
C
因为二次函数f(x)的对称轴为直线x=-,f(0)=a=f(-1)>0,
则函数f(x)的减区间为,增区间为,
所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0,得-10,
所以f(m+1)>f(0)>0.
8.已知函数f(x)=x2+2x+1,则以下结论一定正确的是(　　 )
A.f(-1)=0 B.f(x)的最小值为1
C.f(x)的顶点坐标为(-1,0) D.f(x)的图象关于直线x=-1对称
ACD
因为f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,
所以对称轴x=-1,f(-1)=0,
所以顶点坐标为(-1,0),f(x)的最小值为0,
所以ACD正确,B错误.
二、多选题
9.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴是直线x=-1,且过点(-3,0),下列说法正确的是(　　 )
A.abc<0
B.2a-b=0
C.3a+c=0
D.若(-5,y1),(3,y2) 为抛物线上两点,则y1>y2
ABC
由图知该抛物线开口向上,故a>0,
∵对称轴是直线x=-1,∴-=-1,
故b=2a>0,即2a-b=0,故B正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
∴c<0,故A正确;
由抛物线对称性得该函数图象必过点(1,0),可得a+b+c=0,结合b=2a,
可得3a+c=0,故C正确;
易知点(-5,y1),(3,y2)到对称轴距离相等,故y1=y2,故D错误.
10.已知二次函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=2x2-2,则函数f(x)的解析式为___________________.
f(x)=x2-2x-1
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
因为f(x+2)+f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+c+ax2+bx+c
=2ax2+(4a+2b)x+4a+2b+2c=2x2-2,
三、填空题
所以f(x)=x2-2x-1.
11.若函数φ(x)=x2+m|x-1|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是________.
[-2,0]
当0≤x≤1时,φ(x)=x2-mx+m,
此时φ(x)单调递增,则≤0,即m≤0;
当x>1时,φ(x)=x2+mx-m,
此时φ(x)单调递增,则-≤1,则m≥-2.
综上,实数m的取值范围是[-2,0].
12. (2026·徐州质检)函数f(x)=x2-4x+2在区间[a,b]上的值域为[-2,2],则b-a的取值范围是____________.
[2,4]
解方程f(x)=x2-4x+2=2,解得x=0或x=4,
解方程f(x)=x2-4x+2=-2,解得x=2,
由于f(x)在[a,b]上的值域为[-2,2].
若f(x)在[a,b]上单调,
则[a,b]=[0,2]或[a,b]=[2,4],
此时b-a取得最小值2;
若f(x)在[a,b]上不单调,且当b-a取最大值时,[a,b]=[0,4],
所以b-a的最大值为4.所以b-a的取值范围是[2,4].
13.已知函数f(x)=x2-ax+4.
(1)当a=3时,求f(x)在区间[1,3]上的值域;
四、解答题
当a=3时,f(x)=x2-3x+4=+,
则f(x)在上单调递减,在上单调递增,
∴f(x)min=f=,f(x)max=f(3)=4,
∴f(x)在区间[1,3]上的值域为.
(2)若f(x)在区间[0,2]上的最大值为4,求a的取值范围.
∵f(x)=x2-ax+4,x∈[0,2],开口向上,
则f(x)的最大值为f(0)和f(2)两个中的较大者,
而f(0)=4,要使f(x)在区间[0,2]上的最大值为4,则f(2)≤4,
∴4-2a+4≤4,∴a≥2,故a的取值范围为[2,+∞).
14.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其两零点分别为0,4,且当-1≤x≤4时,最大值为10.
(1)求函数的解析式;
由题意知,方程ax2+bx+c=0有两实数根分别为0,4,
所以0+4=-,0×4==0,
所以c=0,b=-4a,所以二次函数为y=ax2-4ax,对称轴为x=-=2,
当a>0时,当x=-1时,最大值为10=a+4a=5a,所以a=2,
所以当a>0时,函数解析式为y=2x2-8x,
当a<0时,当x=2时,最大值为10=4a-8a=-4a,所以a=-,
所以当a<0时,函数解析式为y=-x2+10x.
(2)设a>0,当t≤x≤t+1时,求函数的最小值.
当a>0时,函数的解析式为y=2x2-8x,开口向上,对称轴为x=2,
当t≤1时,x∈[t,t+1]时,函数单调递减,
当x=t+1时,ymin=2t2-4t-6;
当1当x=2时,ymin=-8;
当t>2时,x∈[t,t+1]时,函数单调递增,当x=t时,ymin=2t2-8t.

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