资源简介

第二课时　一元二次方程、不等式
课标要求　1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式. 3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
1.一元二次不等式
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实 根x1,x2 (x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x3.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
4.简单的绝对值不等式
绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);|x|0)的解集为(-a,a).
1.当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.
2.当Δ<0时,注意区分不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R还是 .
3.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立
(2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(　　)
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　　)
(3)不等式x2≤a的解集为[-,].(　　)
(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)错误.≥0等价于(x-a)(x-b)≥0且x≠b.
(3)错误.当a=0时,其解集为{0};当a<0时,其解集为 .
(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为 .
2.(人教A必修一P53练习T1改编)不等式-2x2+x≤-3的解集为　　　　　　　　.
答案　(-∞,-1]∪
解析　由-2x2+x≤-3可得2x2-x-3≥0,
即(2x-3)(x+1)≥0,
得x≤-1或x≥,
故不等式的解集为(-∞,-1]∪.
3.(北师大必修一P41T1改编)若不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),则a+b=　　　　.
答案　-3
解析　由题意可得-a=-1+2,b=(-1)×2,
即a=-1,b=-2,故a+b=-3.
4.(苏教必修一P69T11(2)改编)若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是　　　　.
答案　(-3,0)
解析　由题意知
解得-3　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一　不等式的解法
例1 (1)(多选)下列说法正确的是(　　)
A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2}
C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件
答案　ABD
解析　因为方程x2+x-2=0的解为x1=1,x2=-2,
所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1},故A正确;
因为 -1≤0,即≤0,
即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0),
解得-3≤x<2,
所以不等式的解集为{x|-3≤x<2},故B正确;
由|x-2|≥1,可得x-2≤-1或x-2≥1,
解得x≤1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3},故C错误;
由|x-1|<1,可得-1解得0因此,“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件,故D正确.
(2)已知函数f(x)=ax2+3x+2.若a>0,解关于x的不等式f(x)>-ax-1.
解　不等式f(x)>-ax-1可化为ax2+(a+3)x+3>0,即(ax+3)(x+1)>0.
因为a>0,
所以当-<-1,即0当-=-1,即a=3时,原不等式的解集为
{x|x≠-1};
当->-1,即a>3时,原不等式的解集为.
感悟提升　对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有:
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
训练1 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　)
A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1}
答案　C
解析　因为≥2,所以≥0,
即≤0,所以
解得-2≤x<1,故选C.
(2)解关于x的不等式x2-ax+1<0,a∈R.
解　当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,原不等式的解集为 ,
当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时,
方程x2-ax+1=0的两根为
x1=,x2=,
原不等式的解集为
.
综上可知,当-2≤a≤2时,原不等式的解集为 ,
当a>2或a<-2时,原不等式的解集为
.
考点二　三个二次之间的关系
例2 (多选)(2026·泉州月考)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥1},则(　　)
A.b>0且c<0
B.4a+2b+c=0
C.不等式bx+c>0的解集为{x|x>2}
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为
答案　AC
解析　由题意可知
则所以b>0且c<0,故A正确;
4a+2b+c=4a+2a-2a=4a>0,故B错误;
不等式bx+c>0,即ax-2a>0,解得x>2,故C正确;
不等式cx2-bx+a<0,即-2ax2-ax+a<0,
即-a(2x-1)(x+1)<0,又a>0,
可得(2x-1)(x+1)>0,所以x>或x<-1,故D错误.故选AC.
感悟提升　1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
训练2 (多选)已知关于x的不等式a(x+1)·(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1A.x1+x2=2 B.x1x2<-3
C.-14
答案　ABD
解析　由题意得a<0,且x1,x2是一元二次方程a(x+1)(x-3)+1=0,即ax2-2ax+1-3a=0的两根,
所以x1+x2=-=2,故A正确;
x1x2==-3<-3,故B正确;
x2-x1=
==2>4,故D正确;
由x2-x1>4,可得-1考点三　一元二次不等式恒成立问题
角度1　在实数集R上恒成立
例3 (2026·山东部分学校联考)已知不等式x2-mx+4<0的解集为空集,则m的取值范围为(　　)
A.(-4,4)
B.(-∞,-4)∪(4,+∞)
C.(-∞,-4]∪[4,+∞)
D.[-4,4]
答案　D
解析　∵不等式x2-mx+4<0的解集为空集,
∴不等式x2-mx+4≥0在R上恒成立,
∴m2-4×1×4≤0,∴-4≤m≤4,
即m的取值范围是[-4,4].
故选D.
角度2　在给定区间上恒成立
例4 (2025·铁岭协作校调研)已知 x∈[1,2], y∈[2,3],y2-xy-mx2≤0,则实数m的取值范围是(　　)
A.[4,+∞) B.[0,+∞)
C.[6,+∞) D.[8,+∞)
答案　C
解析　因为x∈[1,2],y∈[2,3],
则∈,所以∈[1,3],
又y2-xy-mx2≤0,可得m≥-,
令t=∈[1,3],
则 t∈[1,3],m≥t2-t,
即只需m≥(t2-t)max,t2-t=-,
当t=3时,t2-t取到最大值,(t2-t)max=9-3=6,
所以实数m的取值范围是[6,+∞).故选C.
角度3　给定参数范围的恒成立
例5 若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是　　　　.
答案　(-∞,-1)∪(3,+∞)
解析　不等式x2+px>4x+p-3,
可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,
由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4),
令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4),
可得
解得x<-1或x>3.
感悟提升　恒成立问题求参数范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ,一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论.
训练3 已知关于x的不等式2x-1>m(x2-1).
(1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立,并说明理由;
(2)若不等式对于x∈(1,+∞)恒成立,求m的取值范围;
(3)若不等式对于m∈[-2,2]恒成立,求实数x的取值范围.
解　(1)原不等式等价于mx2-2x+(1-m)<0,
当m=0时,-2x+1<0不恒成立;
当m≠0时,若不等式对于任意实数x恒成立,
则需m<0且Δ=4-4m(1-m)<0,无解,
所以不存在实数m,使不等式恒成立.
(2)因为x>1,所以m<.
设2x-1=t(t>1),x2-1=,
所以m<=.
设g(t)=t-+2,t∈(1,+∞),
显然g(t)在(1,+∞)上单调递增.
当t→+∞时,t-+2→+∞,→0,
所以m≤0.
所以m的取值范围是(-∞,0].
(3)设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),
当m∈[-2,2]时,f(m)<0恒成立.
当且仅当
即
由①得由②得x<或x>.
取交集,得所以x的取值范围是.
一元二次方程根的分布
解决由一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取值范围问题,主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解.
(1)判别式Δ的符号.
(2)对称轴x=-与所给区间的位置关系.
(3)区间端点处函数值的符号.
典例 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求实数m的取值范围;
(2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围.
解　(1)依题意知,函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,
得
解得-故实数m的取值范围为.
(2)依题意知,函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内,画出示意图,
得
即
解得-故实数m的取值范围为.
训练 已知方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上只有一个解,求实数m的取值范围.
解　设f(x)=x2+(m-1)x+1,
由题意可知f(0)f(2)=1×[5+2(m-1)]<0,
或
解之得m<-或m=-1;
令f(2)=5+2(m-1)=0,解之得m=-.
此时方程在区间[0,2]上有两个解,不合题意.
综上所述,实数m的取值范围为
∪{-1}.
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单选题
1.设集合A={x||x-1|≥1},B={x|x2-x-2<0},则A∩B等于(　　)
A.(-2,0) B.(-1,0)
C.(-2,0] D.(-1,0]
答案　D
解析　由题意得A={x|x≥2或x≤0},
B={x|-1所以A∩B={x|-12.(2026·北京海淀区段考)不等式>的解集是(　　)
A.(0,2) B.(-∞,0)
C.(2,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞)
答案　A
解析　根据题意可知,若≥0,
可得=恒成立,不等式无解,
故<0,即x(x-2)<0,解得03.若关于x的不等式mx2-mx-1<0的解集是R,则实数m的取值范围是(　　)
A.{m|-4≤m≤0} B.{m|-4C.{m|0≤m<4} D.{m|-4答案　B
解析　当m=0时,原不等式为-1<0,符合题意;
当m≠0时,要使关于x的不等式mx2-mx-1<0的解集为R,
只需解得-4综上,-44.已知集合A={x|x2-(2a+1)x+a2+a<0},若2∈A,则a的取值范围为(　　)
A.(1,2) B.(1,3)
C.[1,2] D.[2,3]
答案　A
解析　由x2-(2a+1)x+a2+a<0,解得a因为2∈A,所以a<2故a的取值范围为(1,2).
5.若命题“ a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为(　　)
A.{x|-1≤x≤4}
B.
C.
D.
答案　C
解析　由题意可得,命题“ a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题,
即ax2-(2a-1)x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0对a∈[-1,3]恒成立,
则
解得-1≤x≤0或≤x≤4.
6.(2026·驻马店调研)已知关于x的不等式组仅有一个整数解,则k的取值范围为(　　)
A.[-5,3) B.[2,3)
C.[2,3)∪[4,5) D.[-5,3)∪(4,5]
答案　D
解析　x2-2x-8>0,即(x-4)(x+2)>0,
解得x<-2或x>4.
2x2+(2k+7)x+7k<0,
即(2x+7)·(x+k)<0,
①当k=时,不等式(2x+7)(x+k)<0,
即2<0,无解;
②当k>时,不等式(2x+7)(x+k)<0的解集为,
结合题意,此时不等式组的解集为,且仅有一个整数解,
所以-5≤-k<-4,即4③当k<时,不等式(2x+7)(x+k)<0的解集为,
结合题意,要使不等式组仅有一个整数解,
则-3<-k≤5,即-5≤k<3.
综上所述,k的取值范围为[-5,3)∪(4,5],
故选D.
7.下面给出了问题:“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-20.”的一种解法:
因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-20可化为a(-x)2+b(-x)+c>0,所以-2<-x<1,即-10的解集为{x|-1参考上述解法,解答问题:
若关于x的不等式+<0的解集为{x|-2A.∪
B.(-1,1)∪(1,3)
C.(-3,-1)∪(1,2)
D.∪
答案　A
解析　因为x=0不是不等式+<0的解,
所以不等式+<0等价于
+<0,
所以-2<-<-1或1<-<3,
解得-1二、多选题
8.(2026·兰州诊断)下列说法正确的是(　　)
A.不等式4x2-5x+1>0的解集是
B.不等式2x2-x-6≤0的解集是
C.若不等式ax2+8ax+21<0恒成立,则a的取值范围是
D.若关于x的不等式2x2+px-3<0的解集是(q,1),则p+q的值为-
答案　CD
解析　对于A,4x2-5x+1>0,
即(x-1)(4x-1)>0,解得x<或x>1,故A错误;
对于B,2x2-x-6≤0,即(x-2)(2x+3)≤0,
解得-≤x≤2,故B错误;
对于C,若不等式ax2+8ax+21<0恒成立,
当a=0时,21<0是不成立的,所以只能而该不等式组无解,
故C正确;
对于D,由题意得q,1是一元二次方程2x2+px-3=0的两根,
从而
而当p=1时,一元二次不等式为2x2+x-3<0,即(x-1)(2x+3)<0,
解得-所以p+q的值为-,故D正确.
9.下列命题正确的是(　　)
A.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小,则a的取值范围是(-2,1)
B.若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1,2)上恒成立,则实数k的取值范围是(-∞,3)
C.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集是{x|x>2或x<-1}
D.若函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴只有一个交点,且不等式x2+ax+b答案　ACD
解析　对于A,二次函数f(x)=x2+(a2-1)x+a-2的图象开口向上,
若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小,
则f(1)=1+(a2-1)+a-2=a2+a-2<0,解得-2对于B,若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1,2)上恒成立,
则只需k(x-1)>x2-1,即k>x+1在(1,2)上恒成立即可,
则实数k的取值范围是k≥3,故B错误;
对于C,若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则a>0,a=b,
所以关于x的不等式>0 >0 x<-1或x>2,故C正确;
对于D,因为函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴只有一个交点,所以Δ=a2-4b=0.
又不等式x2+ax+b|x1-x2|=4,
则方程x2+ax+b-c=0的两根为x1,x2,
故可得===2=4,故可得c=4,故D正确.
三、填空题
10.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为(-3,2),乙写错了常数c,得到的解集为(-3,4).那么原不等式的解集为　　　　.
答案　(-2,3)
解析　依题意知,c=-3×2=-6,-b=-3+4=1,即b=-1,因此不等式x2+bx+c<0,
即x2-x-6<0,解得-2所以原不等式的解集为(-2,3).
11.(2026·太原调研)若{x|0≤x≤1}∩{x|x2-2x+m>0}= ,则实数m的取值范围为　　　　.
答案　(-∞,0]
解析　若{x|0≤x≤1}∩{x|x2-2x+m>0}= ,
则x2-2x+m≤0对于任意x∈[0,1]恒成立,
即m≤-x2+2x=-(x-1)2+1对于任意x∈[0,1]恒成立,
根据二次函数性质可知,
当x=0时,(-x2+2x)min=0,
所以实数m的取值范围为(-∞,0].
12.(2026·青岛质检)若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为{x|-1≤x≤3},则3a+b+2c的取值范围是　　　　.
答案　
解析　因为不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为{x|-1≤x≤3},
所以二次函数f(x)=ax2+bx+c图象的对称轴为直线x=1,
且需满足
解得
所以a+b+c=a-2a-3a+2≥0,
解得a≤,所以a∈,
所以3a+b+2c=3a-2a-6a+4
=4-5a∈.
四、解答题
13.解关于x的不等式:2a2x2-3ax-2>0,a∈R.
解　当a=0时,原不等式即为-2>0,该不等式的解集为 ;
当a≠0时,2a2>0,
原不等式即为(2ax+1)(ax-2)>0.
①若a<0,则->,原不等式的解集为;
②若a>0,则-<,原不等式的解集为.
综上所述,当a=0时,原不等式的解集为 ;
当a<0时,原不等式的解集为
;
当a>0时,原不等式的解集为
.
14.已知函数f(x)=x2-2mx+2-m.
(1)若不等式f(x)≥-mx在R上恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若f(x)≥0在[0,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
解　(1)f(x)≥-mx即为x2-mx+2-m≥0,此不等式在R上恒成立,
则Δ=(-m)2-4(2-m)≤0,
解得-2-2≤m≤-2+2,
所以m的取值范围是[-2-2,-2+2].
(2)f(x)=x2-2mx+2-m≥0在[0,1]上恒成立,
若0≤m≤1,函数在[0,1]先减后增,
则f(x)min=f(m)=m2-2m2+2-m≥0,
-2≤m≤1,
所以0≤m≤1.
若m<0,函数在[0,1]上单调递增,则f(x)min=f(0)=2-m≥0,m≤2,
所以m<0.
若m>1,函数在[0,1]上单调递减,则f(x)min=f(1)=1-2m+2-m≥0,m≤1,此时无解,
综上所述,实数m的取值范围是(-∞,1].(共58张PPT)
数学
高考总
复
习
第一章　集合与常用逻辑用语、不等式
第二课时　一元二次方程、不等式
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式.
3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.一元二次不等式
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实 根x1,x2(x1数根
{x|x>x2,
或x判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ___
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 ___________ ___ ___
3.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
4.简单的绝对值不等式
绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);|x|0)的解集为(-a,a).
常用结论与微点提醒
1.当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.
2.当Δ<0时,注意区分不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R还是 .
3.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立
(2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(　　)
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　　)
(1)错误.≥0等价于(x-a)(x-b)≥0且x≠b.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
×
√
(3)不等式x2≤a的解集为[-,].(　　)
(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集
为R.(　　)
(3)错误.当a=0时,其解集为{0};当a<0时,其解集为 .
(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为 .
×
×
2.(人教A必修一P53练习T1改编)不等式-2x2+x≤-3的解集为______________________.
由-2x2+x≤-3可得2x2-x-3≥0,
即(2x-3)(x+1)≥0,
得x≤-1或x≥,
故不等式的解集为(-∞,-1]∪.
(-∞,-1]∪
3.(北师大必修一P41T1改编)若不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),则a+b=____________.
-3
由题意可得-a=-1+2,b=(-1)×2,
即a=-1,b=-2,故a+b=-3.
4.(苏教必修一P69T11(2)改编)若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是____________.
(-3,0)
由题意知
解得-3考点聚焦突破
02
例1 (1)(多选)下列说法正确的是(　　 )
A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2}
C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件
ABD
因为方程x2+x-2=0的解为x1=1,x2=-2,
所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1},故A正确;
因为 -1≤0,即≤0,
即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0),
考点一　不等式的解法
解得-3≤x<2,
所以不等式的解集为{x|-3≤x<2},故B正确;
由|x-2|≥1,可得x-2≤-1或x-2≥1,
解得x≤1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3},故C错误;
由|x-1|<1,可得-1解得0因此,“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件,故D正确.
(2)已知函数f(x)=ax2+3x+2.若a>0,解关于x的不等式f(x)>-ax-1.
不等式f(x)>-ax-1可化为ax2+(a+3)x+3>0,即(ax+3)(x+1)>0.
因为a>0,
所以当-<-1,即0当-=-1,即a=3时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当->-1,即a>3时,原不等式的解集为.
感悟提升
对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有:
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
训练1 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　)
A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1}
C
因为≥2,所以≥0,
即≤0,所以
解得-2≤x<1,故选C.
(2)解关于x的不等式x2-ax+1<0,a∈R.
当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,原不等式的解集为 ,
当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时,
方程x2-ax+1=0的两根为x1=,x2=,
原不等式的解集为.
综上可知,当-2≤a≤2时,原不等式的解集为 ,
当a>2或a<-2时,原不等式的解集为.
例2 (多选)(2026·泉州月考)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥1},则(　　)
A.b>0且c<0
B.4a+2b+c=0
C.不等式bx+c>0的解集为{x|x>2}
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为
AC
由题意可知
考点二　三个二次之间的关系
则所以b>0且c<0,故A正确;
4a+2b+c=4a+2a-2a=4a>0,故B错误;
不等式bx+c>0,即ax-2a>0,解得x>2,故C正确;
不等式cx2-bx+a<0,即-2ax2-ax+a<0,
即-a(2x-1)(x+1)<0,又a>0,
可得(2x-1)(x+1)>0,所以x>或x<-1,故D错误.故选AC.
感悟提升
1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
训练2 (多选)已知关于x的不等式a(x+1)·(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1A.x1+x2=2 B.x1x2<-3
C.-14
ABD
由题意得a<0,且x1,x2是一元二次方程a(x+1)(x-3)+1=0,即ax2-2ax+1-3a=0的两根,所以x1+x2=-=2,故A正确;
x1x2==-3<-3,故B正确;
x2-x1===2>4,故D正确;
由x2-x1>4,可得-1角度1　在实数集R上恒成立
例3 (2026·山东部分学校联考)已知不等式x2-mx+4<0的解集为空集,则m的取值范围为(　　)
A.(-4,4) B.(-∞,-4)∪(4,+∞)
C.(-∞,-4]∪[4,+∞) D.[-4,4]
D
∵不等式x2-mx+4<0的解集为空集,
∴不等式x2-mx+4≥0在R上恒成立,
∴m2-4×1×4≤0,∴-4≤m≤4,
即m的取值范围是[-4,4].
故选D.
考点三　一元二次不等式恒成立问题
角度2　在给定区间上恒成立
例4 (2025·铁岭协作校调研)已知 x∈[1,2], y∈[2,3],y2-xy-mx2≤0,则实数m的取值范围是(　　)
A.[4,+∞) B.[0,+∞)
C.[6,+∞) D.[8,+∞)
C
因为x∈[1,2],y∈[2,3],
则∈,所以∈[1,3],
又y2-xy-mx2≤0,可得m≥-,
令t=∈[1,3],
则 t∈[1,3],m≥t2-t,
即只需m≥(t2-t)max,t2-t=-,
当t=3时,t2-t取到最大值,(t2-t)max=9-3=6,
所以实数m的取值范围是[6,+∞).故选C.
角度3　给定参数范围的恒成立
例5 若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是__________________.
(-∞,-1)∪(3,+∞)
不等式x2+px>4x+p-3,
可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,
由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4),
令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4),
可得
解得x<-1或x>3.
感悟提升
恒成立问题求参数范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ,一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论.
训练3 已知关于x的不等式2x-1>m(x2-1).
(1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立,并说明理由;
原不等式等价于mx2-2x+(1-m)<0,
当m=0时,-2x+1<0不恒成立;
当m≠0时,若不等式对于任意实数x恒成立,
则需m<0且Δ=4-4m(1-m)<0,无解,
所以不存在实数m,使不等式恒成立.
(2)若不等式对于x∈(1,+∞)恒成立,求m的取值范围;
因为x>1,所以m<.
设2x-1=t(t>1),x2-1=,
所以m<=.
设g(t)=t-+2,t∈(1,+∞),
显然g(t)在(1,+∞)上单调递增.
当t→+∞时,t-+2→+∞,→0,
所以m≤0.所以m的取值范围是(-∞,0].
(3)若不等式对于m∈[-2,2]恒成立,求实数x的取值范围.
设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),当m∈[-2,2]时,f(m)<0恒成立.
当且仅当
即
由①得由②得x<或x>.
取交集,得所以x的取值范围是.
解决由一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取值范围问题,主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解.
(1)判别式Δ的符号.
(2)对称轴x=-与所给区间的位置关系.
(3)区间端点处函数值的符号.
一元二次方程根的分布 微点突破
典例 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求实数m的取值范围;
依题意知,函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,
解得-(2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围.
依题意知,函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内,画出示意图,
解得-故实数m的取值范围为.
训练 已知方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上只有一个解,求实数m的取值范围.
设f(x)=x2+(m-1)x+1,
由题意可知f(0)f(2)=1×[5+2(m-1)]<0,
或
解之得m<-或m=-1;
令f(2)=5+2(m-1)=0,解之得m=-.
此时方程在区间[0,2]上有两个解,不合题意.
综上所述,实数m的取值范围为∪{-1}.
课时对点精练
03
一、单选题
1.设集合A={x||x-1|≥1},B={x|x2-x-2<0},则A∩B等于(　　)
A.(-2,0) B.(-1,0)
C.(-2,0] D.(-1,0]
D
由题意得A={x|x≥2或x≤0},
B={x|-1所以A∩B={x|-12.(2026·北京海淀区段考)不等式>的解集是(　　)
A.(0,2) B.(-∞,0)
C.(2,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞)
A
根据题意可知,若≥0,
可得=恒成立,不等式无解,
故<0,即x(x-2)<0,解得03.若关于x的不等式mx2-mx-1<0的解集是R,则实数m的取值范围是(　　)
A.{m|-4≤m≤0} B.{m|-4C.{m|0≤m<4} D.{m|-4B
当m=0时,原不等式为-1<0,符合题意;
当m≠0时,要使关于x的不等式mx2-mx-1<0的解集为R,
只需解得-4综上,-44.已知集合A={x|x2-(2a+1)x+a2+a<0},若2∈A,则a的取值范围为(　　)
A.(1,2) B.(1,3)
C.[1,2] D.[2,3]
A
由x2-(2a+1)x+a2+a<0,解得a因为2∈A,所以a<2故a的取值范围为(1,2).
5.若命题“ a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为(　　)
A.{x|-1≤x≤4} B.
C. D.
C
由题意可得,命题“ a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题,
即ax2-(2a-1)x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0对a∈[-1,3]恒成立,
则
解得-1≤x≤0或≤x≤4.
6. (2026·驻马店调研)已知关于x的不等式组仅有一个整数解,则k的取值范围为(　　)
A.[-5,3) B.[2,3)
C.[2,3)∪[4,5) D.[-5,3)∪(4,5]
D
x2-2x-8>0,即(x-4)(x+2)>0,
解得x<-2或x>4.
2x2+(2k+7)x+7k<0,
即(2x+7)·(x+k)<0,
①当k=时,不等式(2x+7)(x+k)<0,
即2<0,无解;
②当k>时,不等式(2x+7)(x+k)<0的解集为,
结合题意,此时不等式组的解集为,且仅有一个整数解,
所以-5≤-k<-4,即4③当k<时,不等式(2x+7)(x+k)<0的解集为,
结合题意,要使不等式组仅有一个整数解,
则-3<-k≤5,即-5≤k<3.
综上所述,k的取值范围为[-5,3)∪(4,5],
故选D.
7.下面给出了问题:“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-20.”的一种解法:
因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-20可化为
a(-x)2+b(-x)+c>0,所以-2<-x<1,即-10的解集为
{x|-1参考上述解法,解答问题:
若关于x的不等式+<0的解集为{x|-2A
因为x=0不是不等式+<0的解,
所以不等式+<0等价于
+<0,
所以-2<-<-1或1<-<3,
解得-1A.∪ B.(-1,1)∪(1,3)
C.(-3,-1)∪(1,2) D.∪
8. (2026·兰州诊断)下列说法正确的是(　　)
A.不等式4x2-5x+1>0的解集是
B.不等式2x2-x-6≤0的解集是
C.若不等式ax2+8ax+21<0恒成立,则a的取值范围是
D.若关于x的不等式2x2+px-3<0的解集是(q,1),则p+q的值为-
CD
对于A,4x2-5x+1>0,
即(x-1)(4x-1)>0,解得x<或x>1,故A错误;
对于B,2x2-x-6≤0,即(x-2)(2x+3)≤0,
解得-≤x≤2,故B错误;
二、多选题
对于C,若不等式ax2+8ax+21<0恒成立,
当a=0时,21<0是不成立的,
所以只能而该不等式组无解,
故C正确;
对于D,由题意得q,1是一元二次方程2x2+px-3=0的两根,
从而
而当p=1时,一元二次不等式为2x2+x-3<0,即(x-1)(2x+3)<0,
解得-所以p+q的值为-,故D正确.
9.下列命题正确的是(　　 )
A.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小,则a的取值范围是(-2,1)
B.若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1,2)上恒成立,则实数k的取值范围是(-∞,3)
C.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集是{x|x>2或x<-1}
D.若函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴只有一个交点,且不等式x2+ax+bACD
对于A,二次函数f(x)=x2+(a2-1)x+a-2的图象开口向上,
若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小,
则f(1)=1+(a2-1)+a-2=a2+a-2<0,解得-2对于B,若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1,2)上恒成立,
则只需k(x-1)>x2-1,即k>x+1在(1,2)上恒成立即可,
则实数k的取值范围是k≥3,故B错误;
对于C,若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则a>0,a=b,
所以关于x的不等式>0 >0 x<-1或x>2,故C正确;
对于D,因为函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴只有一个交点,所以Δ=a2-4b=0.
又不等式x2+ax+b|x1-x2|=4,
则方程x2+ax+b-c=0的两根为x1,x2,
故可得===2=4,
故可得c=4,故D正确.
10.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为(-3,2),乙写错了常数c,得到的解集为(-3,4).那么原不等式的解集为____________.
(-2,3)
依题意知,c=-3×2=-6,-b=-3+4=1,即b=-1,因此不等式x2+bx+c<0,
即x2-x-6<0,解得-2所以原不等式的解集为(-2,3).
三、填空题
11. (2026·太原调研)若{x|0≤x≤1}∩{x|x2-2x+m>0}= ,则实数m的取值范围为____________.
(-∞,0]
若{x|0≤x≤1}∩{x|x2-2x+m>0}= ,
则x2-2x+m≤0对于任意x∈[0,1]恒成立,
即m≤-x2+2x=-(x-1)2+1对于任意x∈[0,1]恒成立,
根据二次函数性质可知,
当x=0时,(-x2+2x)min=0,
所以实数m的取值范围为(-∞,0].
12. (2026·青岛质检)若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为{x|-1≤x≤3},则3a+b+2c的取值范围是____________.
因为不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为{x|-1≤x≤3},
所以二次函数f(x)=ax2+bx+c图象的对称轴为直线x=1,
且需满足
解得
所以a+b+c=a-2a-3a+2≥0,解得a≤,所以a∈,
所以3a+b+2c=3a-2a-6a+4=4-5a∈.
13.解关于x的不等式:2a2x2-3ax-2>0,a∈R.
四、解答题
当a=0时,原不等式即为-2>0,该不等式的解集为 ;
当a≠0时,2a2>0,
原不等式即为(2ax+1)(ax-2)>0.
①若a<0,则->,原不等式的解集为;
②若a>0,则-<,原不等式的解集为.
综上所述,当a=0时,原不等式的解集为 ;
当a<0时,原不等式的解集为;
当a>0时,原不等式的解集为.
14.已知函数f(x)=x2-2mx+2-m.
(1)若不等式f(x)≥-mx在R上恒成立,求实数m的取值范围;
f(x)≥-mx即为x2-mx+2-m≥0,此不等式在R上恒成立,
则Δ=(-m)2-4(2-m)≤0,
解得-2-2≤m≤-2+2,
所以m的取值范围是[-2-2,-2+2].
(2)若f(x)≥0在[0,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
f(x)=x2-2mx+2-m≥0在[0,1]上恒成立,
若0≤m≤1,函数在[0,1]先减后增,
则f(x)min=f(m)=m2-2m2+2-m≥0,-2≤m≤1,
所以0≤m≤1.
若m<0,函数在[0,1]上单调递增,则f(x)min=f(0)=2-m≥0,m≤2,
所以m<0.
若m>1,函数在[0,1]上单调递减,则f(x)min=f(1)=1-2m+2-m≥0,m≤1,此时无解,
综上所述,实数m的取值范围是(-∞,1].

展开更多......

收起↑