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八下数学第15周《期末综合复习1》
考点1．同类二次根式
1．已知最简二次根式和能合并．
（1）求x，y的值；
（2）求的值．
2．（1）问题情景：请补全下面这道例题的解题过程．
已知有意义，求x，y的值．
解：由题意，得，解得x＝　 　 ．
∴y＝　 　 ．
（2）尝试运用：若x，y为实数，且，化简：．
（3）拓展创新：已知有意义，求m﹣n的值．
3．【问题引入】
（1）比较大小：　 　 ；
【初步探究】
（2）判断数轴上离表示的点更近的整数是多少？并说明理由．
小明的思考如下：，，
∴，
∴离表示的点更近的整数是5．
小明的结论正确吗？请用与小明不一样的方法加以验证．
【深入思考】
（3）学习了小明的方法后，小红对这类问题进行如下总结：第一步，利用平方根的意义，对于存在整数n，使得不等式．
第二步，运用结论：当m﹣n2＞（n+1）2﹣m时，离表示的点更近的整数是n+1进行判断．请你证明小红总结的结论．
4．代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．
请先完成第（1）题的填空，填写推理的依据，再完成第（2）题的证明．
（1）已知实数x，y满足x＞y＞0，求证．
证明：∵x＞y＞0，
∴x﹣y＞0（①　 　 ）．
∵（②　 　 ），
∴．
∵x＞0，y＞0，
∴0，
∴．
∴．
∴．
（2）在三边长分别为a，b，c（a＜b＜c）的三角形中，利用（1）的结论，求证：．
5．已知对于任意实数a、b，都有，特别地，当a、b都为正数时，有．
（1）已知y（x＞1），y的最小值为 　 　 ；
（2）已知4x+3y＝6，x2+3xy的最大值为 　 　 ；
（3）x，y都是正数，4x+y＝xy﹣5，求x+y的最小值．
考点2.四边形问题
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，CD＝5，E，F分别为AD，BC的中点，则EF的取值范围是　 　 ．
7．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝10，∠B＝60°，点E是边AD上一点，且AE＝2，点F是边CD上一个动点，以EF为边作等边△EFG，连接CG．若CG的长度为d，则d的取值范围是　 ．
8．如图，在矩形ABCD中，AC＝13，E，F分别是BC，CD的中点，连接EF，则EF的长为 　 ．
9．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为 　 　 ．
10．如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为　 　 ．
当点D的对应点D′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为　 　 ．
11．如图，正方形ABCD的边长为6，△EBG的面积为6，则FG的长为 　 　 ．
12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC上的动点，点F在对角线BD上，若∠EAF＝45°，BE＝2，则AF的长为 　 　 ．
13．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上一点，以CE为边作正方形CEFG．过点B作BH⊥CE，垂足为P，交CD于点H．连接BE，FH．
（1）求证：四边形BEFH是平行四边形；
（2）若四边形BEFH是菱形，则 　 　 ．
14．如图，在 ABCD中，DE平分∠ADB交AB于点E，BF平分∠CBD交CD于点F．
（1）求证：DE＝BF；
（2）当△ABD满足什么条件时，四边形DEBF是矩形？证明你的结论．
15．（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝45°，AM是边BC上的高．将△ABM，△ACM分别沿AB，AC翻折得到△ABD，△ACE．延长DB，EC交于点F．
①求证：四边形ADFE是正方形；
②若AM＝6，则△BCF的周长为 　 　 ．
（2）已知正方形ABCD，直线l与正方形相邻的两边都相交，且所截得的直角三角形的周长等于正方形ABCD周长的一半．求作：经过点P的一条直线l．
①如图②，当点P在正方形ABCD的BC边上时；
②如图③，当点P在正方形ABCD 的外部时．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
16．矩形ABCD中，AB＝10，AD＝17，点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】（1）如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，求证：FP＝FC．
【深入探究】（2）如图2，点M在线段CD上，CM＝4．点E在移动过程中，求PM的最小值．
【拓展运用】（3）如图2，点N在线段AD上，AN＝4．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长．
17．如图①，在四边形ABCD的四边上依次取点E，F，G，H（不与顶点重合），若四边形EFGH是正方形，则称正方形EFGH是四边形ABCD的内接正方形．
（1）如图②，四边形ABCD是正方形，AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是四边形ABCD的内接正方形．
（2）如图③，四边形ABCD是平行四边形．
（Ⅰ）求作 ABCD的内接正方形EFGH；
要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
（Ⅱ）若∠B＝45°，，BC＝10，则内接正方形EFGH的边长为　 　 ．
18．定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．
（1）在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是 　 　 ；（填序号）
（2）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于点E，点F是菱形ABCD边上的一点，顺次连接B、E、D、F，若四边形BEDF为“等距四边形”，求线段EF的长；
（3）如图2，在等边△ABC中，AB＝4，点P是△ABC内任意一点，在AB、BC、CA上是否分别存在点，使得这些点与点P的连线将△ABC恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，请直接写出这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由．
考点3．图形变换（翻折变换、旋转变换）
1．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE．若△A′BC为等边三角形，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使得点B恰好落在边AD的中点B′处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，则CF＝ 　 　 cm．
3．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范围为3≤BF≤4；③EC平分∠DCH；④当点H与点A重合时，EF＝2。以上结论中，你认为正确的有　 　 ．（填序号）
5．如图，正方形纸片ABCD的边长为4，E是边CD的中点，F是边BC上一动点．将正方形纸片沿EF折叠，点C落在C′处，连接AC′．当AC′的长最小时，BF的长为　 　 ．
6．如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为 　 　 ．
7．如图，PA＝4，PB＝3，将线段PB绕点P旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PC的最大值为 　 ．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为 　 　 ．
9．问题初探：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？
直接判断：AE　 　 BF（填“＝”或“≠”）；
问题迁移：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；
问题延伸：
（3）王老师将图2的四边形CDGE沿GE翻折得四边形PQGE，如图3，点P是点C的对应点，点Q是点D的对应点，已知正方形ABCD的边长为9，CF＝3．
①若线段PQ恰好经过点B，如图4，求AG的长．
②在图3中，连接BQ，求线段BQ的最小值．
参考答案与试题解析
一．同类二次根式（共1小题）
1．已知最简二次根式和能合并．
（1）求x，y的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）若最简二次根式和能合并，
则最简二次根式和是同类二次根式，
所以，
解得；
（2）当时，．
二．二次根式有意义的条件（共1小题）
2．（1）问题情景：请补全下面这道例题的解题过程．
已知有意义，求x，y的值．
解：由题意，得，解得x＝　2025　 ．
∴y＝　2026　 ．
（2）尝试运用：若x，y为实数，且，化简：．
（3）拓展创新：已知有意义，求m﹣n的值．
【解答】解：（1）由题知，
，
解得x＝2025，
∴y＝2026．
故答案为：2025，2026；
（2）由题知，
∵，
解得x＝3，
∴y＞2，
∴；
（3）由题知，
∵，
解得mn＝12，
∴n＝﹣m+8，
则m+n＝8，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝82﹣4×12＝16，
∴m﹣n＝±4．
三．估算无理数的大小（共1小题）
3．【问题引入】
（1）比较大小：　＞　 ；
【初步探究】
（2）判断数轴上离表示的点更近的整数是多少？并说明理由．
小明的思考如下：，，
∴，
∴离表示的点更近的整数是5．
小明的结论正确吗？请用与小明不一样的方法加以验证．
【深入思考】
（3）学习了小明的方法后，小红对这类问题进行如下总结：第一步，利用平方根的意义，对于存在整数n，使得不等式．
第二步，运用结论：当m﹣n2＞（n+1）2﹣m时，离表示的点更近的整数是n+1进行判断．请你证明小红总结的结论．
【解答】解：（1）∵3，
，
∴3，
故答案为：＞；
（2）小明的结论正确．
证明如下：因为45，取4与5的平均数4.5，4.52＝20.25＜21，
所以，，所以，
所以，离表示的点更近的整数是5．
故小明的结论正确．
（3）证明：当离表示的点更近的整数是n+1时，有；
左右两边同时平方得：，
整理得：，
即：，
即：，
所以，表示的点离n+1更近．
题中，m﹣n2＞（n+1）2﹣m，化简得：，而，
所以，，即，
所以，表示的点离n+1更近．
四．二次根式的混合运算（共1小题）
4．代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．
请先完成第（1）题的填空，填写推理的依据，再完成第（2）题的证明．
（1）已知实数x，y满足x＞y＞0，求证．
证明：∵x＞y＞0，
∴x﹣y＞0（①　不等式的基本性质1　 ）．
∵（②　平方差公式　 ），
∴．
∵x＞0，y＞0，
∴0，
∴．
∴．
∴．
（2）在三边长分别为a，b，c（a＜b＜c）的三角形中，利用（1）的结论，求证：．
【解答】（1）解：由题意，∵x＞y＞0，
∴x﹣y＞0（①不等式的基本性质1）．
∵（②平方差公式）．
故答案为：①不等式的基本性质1，②平方差公式．
（2）证明：∵a+b＞c，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（）（）＞0．
∵0．
∴0．
∴．
五．二次函数的最值（共1小题）
5．已知对于任意实数a、b，都有，特别地，当a、b都为正数时，有．
（1）已知y（x＞1），y的最小值为 　7　 ；
（2）已知4x+3y＝6，x2+3xy的最大值为 　3　 ；
（3）x，y都是正数，4x+y＝xy﹣5，求x+y的最小值．
【解答】解：（1）yx+2x﹣13，
∵x＞1，则x﹣1＞0，
∴x﹣13≥23＝7，
故答案为：7；
（2）∵4x+3y＝6，则3y＝6﹣4x，
则x2+3xy＝x2+（6﹣4x）x＝﹣3（x﹣1）2+3≤3，
故答案为：3；
（3）设t＝x+y，则y＝t﹣x，
将y的表达式代入4x+y＝xy﹣5并整理得：
x2+（3﹣t）x+（t+5）＝0，
则Δ＝（3﹣t）2﹣4（t+5）≥0，
解得：t≤﹣1（舍去）或t≥11，
故x+y的最小值为11．
六．三角形中位线定理（共1小题）
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，CD＝5，E，F分别为AD，BC的中点，则EF的取值范围是　1＜EF≤4　 ．
【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH、FH，
∵AH＝HC，AE＝ED，
∴EH是△ACD的中位线，
∴EFCD，
同理可得：FHAB，
在△EHF中，EH﹣FH＜EF≤EH+FH，即1＜EF≤4，
故答案为：1＜EF≤4．
七．菱形的性质（共1小题）
7．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝10，∠B＝60°，点E是边AD上一点，且AE＝2，点F是边CD上一个动点，以EF为边作等边△EFG，连接CG．若CG的长度为d，则d的取值范围是　d≤2　 ．
【解答】解：在CD上截取DH＝DE，连接HG交AB于点P，连接EH，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝10，∠B＝60°，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝10，∠D＝∠B＝60°，
∴△EDH是等边三角形，
∴EH＝ED，∠DEH＝∠DHE＝60°，
∵△EFG是等边三角形，
∴EG＝EF，∠FEG＝60°，
∴∠HEG＝∠DEF＝60°﹣∠FEH，
在△HEG和△DEF中，
，
∴△HEG≌△DEF（SAS），
∴∠EHG＝∠D＝60°，GH＝FD，
∴∠PHC＝180°﹣∠EHG﹣∠DHE＝60°＝∠D，
∴PH∥AD∥BC，
∵PB∥CH，
∴四边形PBCH是平行四边形，
∴PH＝BC＝CD＝10，
连接PC，作CI⊥PH于点I，PQ⊥BC于点Q，则∠HPQ＝∠PQB＝∠PQC＝90°，
∴PQ⊥PH，
∴CI＝PQ，
∵sin60°，cos60°，且BP＝CH＝CD﹣DH＝AD﹣DE＝AE＝2，
∴CI＝PQPB，BQBP＝1，
∴CQ＝BC﹣BQ＝9，
∴PC2，
∵点G在线段PH上运动，
∴CI≤CG≤CP，
∴CG的长度d的取值范围是d≤2，
故答案为：d≤2．
八．矩形的性质（共1小题）
8．如图，在矩形ABCD中，AC＝13，E，F分别是BC，CD的中点，连接EF，则EF的长为 　　 ．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，且AC＝13，
∴BD＝AC＝13，
∵F分别是BC，CD的中点，
∴EF是△CBD的中位线，
∴EFBD．
故答案为：．
九．矩形的判定（共1小题）
9．如图，在 ABCD中，DE平分∠ADB交AB于点E，BF平分∠CBD交CD于点F．
（1）求证：DE＝BF；
（2）当△ABD满足什么条件时，四边形DEBF是矩形？证明你的结论．
【解答】（1）证明：在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠ADE＝∠FBC，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝BF；
（2）解：当△ABD满足AD＝BD时，四边形DEBF是矩形．
证明：∵△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，AE＝CF，
又∵AB＝CD，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
∴平行四边形DEBF是矩形．
十．正方形的性质（共3小题）
10．如图，正方形ABCD的边长为6，△EBG的面积为6，则FG的长为 　　 ．
【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，如图所示：
∴∠EMC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为6，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝6，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴∠EMC＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴四边形MCDN是矩形，
∴MN＝CD＝6，
∴S△GBCBC AB6×6＝18，
∵△EBG的面积为6，
∴S△EBCBC EM＝24，
∴6×EM＝24，
∴EM＝8，
∴EN＝EM﹣MN＝2，
∵S△EFG+S△BFG＝S△EBG＝6，
∴FG ENFG AB＝6，
∴FG×2FG×6＝6，
∴FG．
故答案为：．
11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC上的动点，点F在对角线BD上，若∠EAF＝45°，BE＝2，则AF的长为 　　 ．
【解答】解：连接EF，
∵AB＝BC＝4，∠ABE＝90°，
∴，
∵∠EAF＝∠CBD，∠AOF＝∠BOE，
∴△AFO∽△BEO，
∴，
∴，
∵∠AOB＝∠FOE，
∴△ABO∽△FEO，
∴∠OEF＝∠OBA＝45°，
∴∠AFE＝90°，
根据勾股定理可得．
故答案为：．
12．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上一点，以CE为边作正方形CEFG．过点B作BH⊥CE，垂足为P，交CD于点H．连接BE，FH．
（1）求证：四边形BEFH是平行四边形；
（2）若四边形BEFH是菱形，则 　　 ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠BCH＝∠D＝90°，
∵BH⊥CE，
∴∠CBH+∠BCP＝90°，
∵∠BCP+∠DCE＝∠BCH＝90°，
∴∠CBH＝∠DCE，
在△CBH和△DCE中，
，
∴△CBH≌△DCE（ASA），
∴BH＝CE，
∵四边形CEFG是正方形，
∴CE＝EF，∠CEF＝90°，
∴BH＝EF，EF⊥CE，
∵BH⊥CE，
∴BH∥EF，
又∵BH＝EF，
∴四边形BEFH是平行四边形；
（2）解：∵四边形BEFH是菱形，
∴BH＝BE＝EF，
∵BH＝CE，
∴BE＝CE，
在Rt△ABE和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴设AE＝DE＝a，
则AB＝AD＝2a，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE，
∴EF＝BE，
∴．
故答案为：．
十一．正方形的判定与性质（共1小题）
13．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为 　　 ．
【解答】解：如图，连接BB'，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BDAB＝2，BD平分∠ABC，
∵E为AB边的中点，
∴AE＝BE＝1，
∵四边形BEB'F是正方形，
∴BB'BE，BB'平分∠ABC，
∴点B，点B'，点D三点共线，
∴B'D＝BD﹣BB'，
故答案为：．
十二．四边形综合题（共4小题）
14．（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝45°，AM是边BC上的高．将△ABM，△ACM分别沿AB，AC翻折得到△ABD，△ACE．延长DB，EC交于点F．
①求证：四边形ADFE是正方形；
②若AM＝6，则△BCF的周长为 　12　 ．
（2）已知正方形ABCD，直线l与正方形相邻的两边都相交，且所截得的直角三角形的周长等于正方形ABCD周长的一半．求作：经过点P的一条直线l．
①如图②，当点P在正方形ABCD的BC边上时；
②如图③，当点P在正方形ABCD 的外部时．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【解答】（1）①证明：如图1，∵AM是边BC上的高，
∴∠AMB＝∠AMC＝90°，
∵将△ABM，△ACM分别沿AB，AC翻折得到△ABD，△ACE，
∴AE＝AD＝AM，BD＝BM，∠BAD＝∠BAM，∠CAM＝∠CAE，∠E＝∠AMC＝90°，∠D＝∠AMB＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠DAE＝∠BAD+∠BAM+∠CAM+∠CAE＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
又∵AE＝AD，
∴四边形ADFE是正方形；
②解：∵AM＝6，
∴AD＝AM＝6，
∵四边形ADFE是正方形，
∴DF＝EF＝6，
∵△BCF的周长＝BC+BF+CF，BD＝BM，CM＝CE，
∴△BCF的周长＝+CF+CE＝DF+EF＝12；
故答案为：12；
（2）解：①如图2，
作法：延长CD至B'，使DB'＝PB，连接AB'，AP，作∠PAB'的角平分线AQ交CD于点Q，作直线PQ，直线PQ就是直线l；
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝∠C＝90°＝∠ADB'，
∴△PCQ是直角三角形，
∵PB＝DB'，
∴△ABP≌△ADB'（SAS），
∴AB'＝AP，
∵∠PAQ＝∠B'AQ，AQ＝AQ，
∴△PAQ≌△B'AD（SAS），
∴PQ＝B'Q，
∴△PCQ的周长＝CQ+CP+PQ＝CQ+CP+DQ+PB＝CD+BC＝正方形周长的一半；
②如图3，作法：i）以A为圆心，AB为半径画圆，
ii）连接AP，作AP的垂直平分线a交AP于点O，
iii）以O为圆心，以OA为半径画圆，与⊙A交于点Q，作直线PQ，即是直线l；
理由是：连接AH，AG，
由作图知：∠AQP＝90°＝∠AQH，
∵AD＝AQ，AQ＝AQ，
∴Rt△ADH≌Rt△AQH（HL），
∴∠DAH＝∠QAH，
同理得：∠BAG＝∠QAG，
∴∠GAH＝45°，
由①同理可得△CGH是符合条件的直角三角形．
15．矩形ABCD中，AB＝10，AD＝17，点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】（1）如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，求证：FP＝FC．
【深入探究】（2）如图2，点M在线段CD上，CM＝4．点E在移动过程中，求PM的最小值．
【拓展运用】（3）如图2，点N在线段AD上，AN＝4．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接EF，
由折叠可得∠APE＝∠B＝90°，PE＝BE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°，
∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∴PE＝EC，
在Rt△EPF与Rt△ECF中，
∵EP＝EC，EF＝EF，
∴Rt△EPF≌Rt△ECF（HL），
∴FP＝FC；
（2）解：∵AP＝AB＝10，点E在移动过程中，AP＝10不变．
∴点P在以A为圆心，10为半径的⊙A的弧上，
连接AM，如图，
当点P在线段AM上时，PM有最小值，
∵AD＝17，AB＝CD＝10，CM＝4，
∴DM＝6，
∴，
∴PM的最小值为；
（3）解：过点P作PH⊥AD于H，延长HP交BC于点G，连接PD、NP，如图，
∵∠NPD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝∠2，
∵∠PHN＝∠DHP，
∴△PHN∽△DHP，
∴，
∴HP2＝HN HD，
∵AN＝4，AD＝17，
∴DN＝13，
设HN＝x，HD＝13﹣x，
∴AH＝x+4，HP2＝x（13﹣x），
∵AB＝10，
∴AP＝AB＝10，
∵HP2＝AP2﹣AH2，
∴HP2＝102﹣（x+4）2，
∴x（13﹣x）＝102﹣（x+4）2，
解得x＝4，
∴HP＝6，AH＝8，HG＝AB＝10，PG＝4，BG＝AH＝8，
设BE＝m，则PE＝m，GE＝8﹣m，
在Rt△PGE中，PE2＝EG2+PG2，
∴m2＝（8﹣m）2+42，
解得m＝5，
即BE的长为5．
16．如图①，在四边形ABCD的四边上依次取点E，F，G，H（不与顶点重合），若四边形EFGH是正方形，则称正方形EFGH是四边形ABCD的内接正方形．
（1）如图②，四边形ABCD是正方形，AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是四边形ABCD的内接正方形．
（2）如图③，四边形ABCD是平行四边形．
（Ⅰ）求作 ABCD的内接正方形EFGH；
要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
（Ⅱ）若∠B＝45°，，BC＝10，则内接正方形EFGH的边长为　　 ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵AE＝BF，
∴AB﹣AE＝BC﹣BF，即BE＝CF，
∴△BEF≌△CFG（SAS），
∴EF＝FG．
同理，可得EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH是菱形，
∵△BEF≌△CFG，
∴∠BEF＝∠CFG．
在Rt△BEF中，∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BFE+∠CFG＝90°，
∴∠EFG＝90°，
∴菱形EFGH是正方形，
即四边形EFGH是四边形ABCD的内接正方形．
（2）解：（Ⅰ）如图，正方形EFGH即为所求．
文字说明：：1．构造与 ABCD共中心的正方形MNPQ，顶点分别在直线AD，BC上，MN，PQ分别与AB，CD交于点E，G；
2．在AD，BC上分别截取F，H，使NF＝ME，HQ＝ME；
3．连接EF，FG，GH，HE即为正方形EFGH．
（Ⅱ）如图，过E作MN⊥BC于点N，交DA延长线于点M，过G作PQ⊥AD于点Q，交BC延长线于点P，
由（1）和（2）可得ME＝NF＝PG＝HQ，
∵∠B＝45°，AB＝6，
∴∠MAE＝45°，MN＝6，
∴MA＝ME＝PG＝PC＝NF＝HQ，EN＝BN＝GQ＝DQ＝PF，
设MA＝ME＝PG＝PC＝NF＝HQ＝x，则BN＝EN＝6﹣x＝PF，
∴BF＝BN+NF＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝4，
∴PF＝CF+PC＝4+x，
∴6﹣x＝4+x，
解得x＝1，
∴EN＝5，NF＝1，
在Rt△EFN中，EF．
17．定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．
（1）在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是 　②　 ；（填序号）
（2）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于点E，点F是菱形ABCD边上的一点，顺次连接B、E、D、F，若四边形BEDF为“等距四边形”，求线段EF的长；
（3）如图2，在等边△ABC中，AB＝4，点P是△ABC内任意一点，在AB、BC、CA上是否分别存在点，使得这些点与点P的连线将△ABC恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，请直接写出这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由平行四边形、矩形、菱形的性质可知，只要矩形的对角线中点满足“等距四边形”的定义，
故答案位：②；
（2）情况一：F为AD中点，此时BF⊥AD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∵BE⊥CD，
∴点E为CD中点，即DE2，
∵点F为AD中点，
∴△DFE为等腰三角形，且∠FDE＝120°，
∴；
情况二：F为AB中点，此时DF⊥AB，
此时四边形BEDF为矩形，
∴EF＝BD＝4；
综上，EF＝4或；
（3）如图，过点P分别向AB、BC、AC作垂线，垂足分别位点D、E、F，
连接PC、PB、PA，取BP中点为M，
在Rt△BPD中，DM，
在Rt△BEP中，EM，
∴EM＝DM，
∴四边形BDPE是“等距四边形”，
同理可证四边形ADPF、四边形CEPF是“等距四边形”，
∵S△ABC＝S△APB+S△APC+S△BPC
＝2（PD+PF+PE）
∴PD+PF+PE＝2，
这三个“等距四边形”的周长和为
（AG+AE+PG+PE）+（BE+BF+PE+PF）+（CF+CG+PF+PG）
＝AC+AB+BC+2（PG+PE+PF）
＝12+2（PG+PE+PF）
．
十三．作图—复杂作图（共1小题）
18．已知线段a，b，分别求作满足下列条件的菱形．
（1）边长为b，高为a；
（2）边长为b，一条对角线为a．
要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【解答】解：（1）如图，任意作射线AQ，以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线AQ于点B，在线段AB上任取一点E，过点E作AB的垂线EM，以点E为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线EM于点N，再过点N作EM的垂线NP，以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交NP于点D，以点D为圆心，线段b的长为半径画弧，在点D的右侧交NP于点C，连接AD，BC，
则菱形ABCD即为所求．
（2）如图，任意作射线AQ，以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线AQ于点B，再以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧相交于点D，最后分别以点B，D为圆心，线段b的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接BC，CD，AD，
则菱形ABCD即为所求．
十四．翻折变换（折叠问题）（共7小题）
19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE．若△A′BC为等边三角形，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，延长BA′交AD于点F，
在边长为2的正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠A＝∠ABC＝90°，
由翻折可知：AB＝A′B＝2，∠A＝∠BA′E＝90°，AE＝A′E，
∵△A′BC为等边三角形，
∴∠A′BC＝60°，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝AB tan30°＝2，
∴BF＝2AF，
∴A′F＝BF﹣A′B2，
∵∠ABF＝30°，
∴∠EFA′＝60°，
∴EF＝2A′F4，
∴AE＝AF﹣EF4＝4﹣2，
故选：A．
20．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使得点B恰好落在边AD的中点B′处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，则CF＝ 　　 cm．
【解答】解：如图，连接AC，CB′．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAB＝∠CAD∠BAD＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∵AB′＝DB′，
∴CB′⊥AD，
∵AAC＝AB＝2cm，AB′＝DB′＝1cm，
∴CB′（cm），
∵AD∥CB，
∴CB′⊥CB，
设BF＝FB′＝xcm，则有x2＝（2﹣x）2+（）2，
∴x，
∴BF，CF＝BC﹣BF＝2（cm）．
故答案为：．
21．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
③EC平分∠DCH；④当点H与点A重合时，EF＝2
以上结论中，你认为正确的有　①②④　 ．（填序号）
【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，
故①正确；
②点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
点G与点D重合时，CF＝CD＝4，
∴BF＝4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，
故②正确；
③∴∠BCH＝∠ECH，
∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，
故③错误；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，
由勾股定理得，
EF2，
故④正确．
综上所述，结论正确的有①②④．
故答案为：①②④．
22．如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为　2或32　 ．
【解答】解：如图1，
∵折叠，
∴△AD′E≌△ADE，
∴∠AD′E＝∠D＝90°，
∵∠AD′B＝90°，
∴B、D′、E三点共线，
又∵△ABD′∽△BEC，AD′＝BC，
∴△ABD′≌△BEC，
∴BE＝AB＝17，
∵BD′15，
∴DE＝D′E＝17﹣15＝2；
如图2，
∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
，
∴△ABD″≌△BEC，
∴BE＝AB＝17，
∴DE＝D″E＝17+15＝32．
综上所知，DE＝2或32．
故答案为：2或32．
23．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为　或10　 ．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，当点F在矩形内部时，
∵点F在AB的垂直平分线MN上，
∴AN＝4；
∵AF＝AD＝5，
由勾股定理得FN＝3，
∴FM＝2，
设DE为y，则EM＝4﹣y，FE＝y，
在△EMF中，由勾股定理得：y2＝（4﹣y）2+22，
∴y，
即DE的长为．
②如图2，当点F在矩形外部时，
同①的方法可得FN＝3，
∴FM＝8，
设DE为z，则EM＝z﹣4，FE＝z，
在△EMF中，由勾股定理得：z2＝（z﹣4）2+82，
∴z＝10，
即DE的长为10．
综上所述，点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为或10
故答案为：或10．
24．如图，正方形纸片ABCD的边长为4，E是边CD的中点，F是边BC上一动点．将正方形纸片沿EF折叠，点C落在C′处，连接AC′．当AC′的长最小时，BF的长为　　 ．
【解答】解：正方形纸片ABCD的边长为4，E是边CD的中点，F是边BC上一动点．将正方形纸片沿EF折叠，点C落在C′处，如图，在△AC′E中，AC′≥AE﹣C′E，
∴当点A，C′，E三点共线时，AC′的长最小，如图2，
∴AD＝BC＝CD＝4，DE＝2＝CE，∠ADE＝∠B＝90°．
在直角三角形ADE中，由勾股定理，得：，
∴．
根据折叠可得CE＝C′E＝2，CF＝C′F，∠C＝∠EC′F＝90°＝∠AC′F，
设BF＝x，可知CF＝C′F＝4﹣x，
根据勾股定理可得AC′2+C′F2＝AF2＝AB2+BF2，
即，
解得，
∴．
故答案为：．
25．如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为 　15　 ．
【解答】解：方法一：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，设BF＝x，则AB＝CD＝3x，
∵BE＝4，
∴AE＝3x﹣4，
∵将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，
∴AE＝EF＝3x﹣4，
∵EF2＝BE2+BF2，
∴（3x﹣4）2＝42+x2，
∴x＝3，
∴BF＝3，CD＝9，
∵DF2＝CF2+CD2，
∴（3+CF）2＝92+CF2，
∴CF＝12，
∴AD＝BC＝BF+CF＝3+12＝15；
方法二：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，
∵将矩形ABCD沿直线DE折叠，
∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，
∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，
∴∠BEF＝∠CFD，
∴△BEF∽△CFD，
∴，
∵CD＝3BF，
∴CF＝3BE＝12，
设BF＝x，则CD＝3x，DF＝BC＝x+12，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2，
∴（3x）2+122＝（x+12）2，
解得x＝3（舍去0根），
∴AD＝DF＝3+12＝15，
故答案为：15．
十五．旋转的性质（共2小题）
26．如图，PA＝4，PB＝3，将线段PB绕点P旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PC的最大值为 　34　 ．
【解答】解：如图，将△CBP绕点B顺时针旋转90°，得到△ABH，连接PH，
∴△CBP≌△ABH，∠PBH＝90°，
∴BP＝BH＝3，PC＝AH，
∴PH＝3，
∵AH≤PH+PA，
∴AH的最大值为34，
∴PC的最大值为34，
故答案为：34．
27．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为 　　 ．
【解答】解：以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，
又∵∠ABC＝90°，
∴MH＝BN，
∵BE＝2，
∴EC＝3，
由题意可得：，
∴，
∵△FGE是等边三角形，
∴FE＝GE，∠FEG＝60°＝∠HEC，
∴∠FEH＝∠GEC，
在△FEH和△GEC中，
，
∴△FEH≌△GEC（SAS），
∴FH＝GC，
∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，
∴点F与点M重合时，，
故答案为：．
十六．几何变换综合题（共1小题）
28．王老师在组织同学们进行第一轮数学总复习时，对苏科版八年级下册数学教材第94页第19题进行了重新的探究，请你和王老师一起完成如下的问题探究：
问题初探：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？
直接判断：AE　＝　 BF（填“＝”或“≠”）；
问题迁移：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；
问题延伸：
（3）王老师将图2的四边形CDGE沿GE翻折得四边形PQGE，如图3，点P是点C的对应点，点Q是点D的对应点，已知正方形ABCD的边长为9，CF＝3．
①若线段PQ恰好经过点B，如图4，求AG的长．
②在图3中，连接BQ，求线段BQ的最小值．
【解答】解：（1）AE＝BF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，
∴∠ABM+∠CBF＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠AMB＝90°，
∴∠BAE+∠ABM＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF，
故答案为：＝；
（2）如图1，
GE＝BF，理由如下：
作AH∥EG，交BC于H，
∵EG⊥BF，
∴AH⊥BF，
由（1）知：AH＝BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴四边形AHEG是平行四边形，
∴GE＝AH，
∴GE＝BF；
（3）①如图2，
连接BG，FG，
∵线段PQ恰好经过点B，BF⊥GE，
∴点B和F关于GE对称，
∴GE是BF的垂直平分线，
∴BG＝FG，
∴BG2＝FG2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴AB2+AG2＝DF2+DG2，
∴92+AG2＝62+（9﹣AG）2，
∴AG＝2；
②如图3，
作射线DQ，交AB于W，
∵点Q和D关于GE对称，
∴DQ⊥GE，
∵BF⊥GE，
∴DQ∥BF，
∴∠QDF＝∠BFC，
∵∠ADQ+∠QDF＝∠BFC+∠CBF＝90°，
∴∠ADQ＝∠CBF，
∴tan∠ADQ＝tan∠CBF，
∴点Q在定直线DQ上运动，AW＝3，BW＝6，cos∠ADW，
∴当BQ⊥DQ时，BQ最小，
∵∠AWD＝∠BWQ，∠A＝∠BQW＝90°，
∴∠ABQ＝∠ADW，
∴BQ最小＝BW cos∠ABQ＝6 cos∠ADW＝6．
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