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江苏省无锡市2025—2026年苏科版八年级第二学期数学期末考试必考题检测卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。)
1．多项式各项的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式的值为0，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．下列谚语所描述的事件中，属于必然事件的是（　　）
A．智者千虑，必有一失 B．葫芦藤上结南瓜
C．种瓜得瓜，种豆得豆 D．朝霞不出门，晚霞行千里
4．如图，在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形中，，交于点，若，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
6．南北朝著名的数学家祖冲之算出圆周率约为3.1415926，在3.1415926这个数中数字“1”出现的频率为（ ）
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35
7．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
9．如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知正方形边长为8，E为中点，将沿翻折得到，P，Q分别为边，上一点，将沿翻折使点对应点落在边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，满分24分）
11．为了了解件商品的质量问题，从中任意抽取件商品进行试验在这个问题中，样本容量是__________．
12．在一个样本中，将个数据分成组，其中第一组的频数是，第三组与第四组的频率之和是，那么第二组的频数是___________．
13．如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________ ．
14．已知的值为，若分式中的均变为原来的倍，则的值为 _______．
15．已知，且，则______．
16．关于的方程的解为正数，则的取值范围为______．
17．如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离____．
18．如图，在矩形中，是边上的中点，是边上的一动点．连接，特沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为_________．

三、解答题（8小题，共计66分，解答题要有必要的文字说明）
19．（6分）已知，，均为实数，求的值．
20．（8分）解下列方程：
(1)；
(2)．
21．（8分）为丰富同学们的学习生活，某校打算在七年级开设四种不同社团课，分别是A羽毛球、B插花、C健身操、D围棋． 为了解同学们对些课程的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的社团课”的问卷调查，调查结果统计图部分如图所示．
请你根据如图信息解决下列问题：
(1)参加问卷调查的学生人数为 名，“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是 ；
(2)补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
(3)若该校七年级一共有900名学生，试估计选择“围棋”社团课的学生有多少名？
22．（8分）在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统计数据：
摸球的次数
摸到黑球的频数
摸到黑球的频率
(1)表中的 ； ；
(2)从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是 ；（精确到）
(3)袋中白球个数的估计值为 ．
23．（8分）如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)已知菱形的面积为12，且，求的长．
24．（8分）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，且，连接、、、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，且，，求四边形的面积．
25．（10分）甲、乙两个工程队计划参与某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务，承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程按时完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且，为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
26．（10分）根据题目条件，回答下列各题
(1)[问题呈现]
在数学活动课上，王老师为每个学生提供了几张矩形纸片．王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于E、F，求证四边形是菱形．请你补全证明过程；
(2)[类比应用]
如图2，直线EF分别交矩形的边、于点E、F，将矩形沿翻折，使点C与点A重合，点D的对应点为，若，，求四边形的周长；
(3)[拓展延伸]
如图3，矩形中，，，点E在射线上运动，将沿着折叠，当点A恰好落在的中垂线上时，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B A B D A D A
11．
12．
13．
14．
15．
16．且
17．
18．5或
19．【详解】解：∵，，均为实数
∴
解得：，
∴

．
20．【详解】（1）解：，
，
，
，
；
检验，当时，，
所以是原分式方程的解．
（2）解：，
，
，
，
，
；
检验，当时，，
所以是增根，原分式方程无解．
21．【详解】（1）解：参加问卷调查的学生人数为（名），
“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是，
故答案为：100；；
（2）解：参加“插花”的人数有（名），
补全条形统计图如下，
；
（3）解：（名），
答：估计选择“围棋”社团课的学生约有名．
22．【详解】（1）解：由表可得，，
故答案为：，；
（2）解：摸到黑球的频率稳定在左右；
从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是
故答案为：；
（3）解：设白球有x个，
根据题意得：，
解得，
袋中白球个数的估计值为18．
故答案为：18．
23．【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形
∵四边形是菱形，
∴，即
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵菱形的面积为12，
∴，，
∴，，
∵，
∴在中，由勾股定理得，
∵四边形是矩形
∴
24．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
∴，
∵，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
∴，
∴四边形的面积．
25．【详解】（1）解：设乙单独完成需要个月，则
，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）解：由题意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵，都为正整数，
∴为3的倍数，
∴或或，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
26．【详解】（1）证明：设与交于点，
四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
、，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：如图，连接、，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：，
由翻折的性质得到：垂直平分，
同（1）证得：四边形是菱形，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
、，
，
，
解得：，
四边形的周长为：；
（3）解：四边形是矩形，
、、，
设线段的垂直平分线交于点，交于点，
、，
四边形是矩形，
、，
分两种情况：
如图，当点在矩形的内部时：
由折叠的性质得：、，
在中，由勾股定理得：，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
即的长为；
②如图，当点在矩形的外部时，
由折叠的性质得：、，
同①得：，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
即的长为10；
综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为 或．
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