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湖南省永州市2025—2026年湘教版七年级下学期数学期末考试提分训练卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。)
1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的1500名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（　　）
A．此次调查属于普查 B．样本容量是300
C．1500名学生是总体 D．被抽取的每一名学生称为个体
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，给出下列条件：①；②；③；④，且．其中能推出的条件为（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片张数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的三条道路，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积是（　　）
A． B． C． D．
10．已知：，则的值为（　　）
A．124 B．125 C．126 D．127
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．比较大小： _____2（填“”、“”或“”）．
12．如图，已知与交于点，且，垂足为，若，则________度．
13．若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是___________．
14．如图：把绕点逆时针旋转得到，若，，三点共线，，则旋转的度数为_____．
15．如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有_________个．

16．如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第秒时，所在直线恰好平分，则的值为_______．
三、解答题（8小题，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．（8分）计算：．
18．（8分）先化简，再求值：，其中，．
19．（8分）解下列一元一次不等式（组），并把解集表示在数轴上．
(1)；
(2)．
20．（8分）已知某正数的两个不同平方根是和，的立方根为，是的整数部分．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
21．（8分）生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：A．全部喝完；B．剩约；C．剩约一半；D．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)参加这次会议的有___________人；图中D所在扇形的圆心角是___________．
(2)补全条形统计图；
(3)若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算估计这次会议平均每人浪费矿泉水多少毫升？
22．（10分）为丰富学生课余活动，展示青少年学习成效，推动美育教育大发展，某中学计划为绘画小组采购某种品牌的甲，乙两种型号的颜料．若购买1盒甲种型号的颜料和1盒乙种型号的颜料，则需用40元；若购买2盒甲种型号的颜料和3盒乙种型号的颜料，则需用96元．
(1)每盒甲种型号、乙种型号的颜料的价格分别为多少元？
(2)若该中学计划采购两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，则该中学最多可以购买多少盒甲种型号的颜料？
23．（10分）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）．
(1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____；
拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题：
(2)若，且，求的值；
(3)若，求的值；
(4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和．
24．（12分）已知：直线分别交直线，于点G，H，且．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点M，N分别在射线，上，点P，Q分别在射线，上，连接，，且，分别延长，交于点K，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，且平分，若，请直接写出的度数．
参考答案
1．B
2．B
3．B
4．B
5．A
6．C
7．D
8．B
9．D
10．D
11．
12．
13．
14．
15．
16．或/21或3
17．【详解】解：原式．
18．【详解】解：原式，
当，时，原式．
19．【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
将解集表示在数轴上，如图所示：
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
把解集表示在数轴上，如图所示：
20．【详解】（1）解：∵一个正数m的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：∵的立方根为，
∴，
解得：，
∵，
∴的整数部分，
∴，
∴的平方根是．
21．【详解】（1）解：参加这次会议的有（人），
图中D所在扇形的圆心角是，
故答案为：，；
（2）解：C的人数为（人），
补全条形统计图如下：
；
（3）解：（毫升），
答：估计这次会议平均每人浪费矿泉水毫升．
22．【详解】（1）解：设每盒甲种型号和乙种型号的颜料的价格分别为x元和y元．
依题意得：，
解得：．
答：每盒甲种型号和乙种型号的颜料的价格分别为24元和16元．
（2）解：设该中学购买甲种型号的颜料m盒，则购买乙种型号的颜料盒．
依题意得，
解得．
答：该中学最多可购买90盒甲种型号的颜料．
23．【详解】（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积
∴；
（2）由（1）可得，
，
，
，
；
（3）
，
，
，
；
（4）设，则，
，
，
，
，
令，
，
正方形和正方形的面积和：
．
24．【详解】（1）证明：∵，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，由（1）知，，

过K作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
即．
（3）解：如图，过M作，过K作，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴设，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
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