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2026年山西大同市第七中学校中考考前模拟数学试卷B
一、单选题
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．1
2．山西民居砖雕的起源可以追溯到隋朝，其制作技艺花样繁多，刀工别致，被国务院批准列入国家非物质文化遗产．下面是在某砖雕艺术博物馆中陈列的几幅图片，其中砖雕图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（ ）．
A． B． C． D．
5．2026年，农历丙午年，也是马年．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，邮票上的骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当先”的开拓气概，也诠释了“万马奔腾”的团结力量．此次计划发行套票2668万套，将2668万用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．摇摇马也叫木马，是形状像马的儿童玩具，如图1是某品牌设计生产的摇摇马水平放置的示意图，其长槽符合圆的一部分．点O是长槽所在圆的圆心．的半径为，已知摇摇马静止时点A，B所在的直线与地面平行，且A，B两点之间的距离为．将图1中的摇摇马玩具沿地面向右作无滑动滚动，如图2所示，当与相切于点B时，点A的竖直高度为（长槽的厚度忽略不计）（ ）
A． B． C． D．
8．汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v（km/h）之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ）
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
D．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h
9．连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温T（单位：℃）随时间t（单位：）变化的数据，如表：
时间 0 2 4 6
水温 18 34 50 66
若水温的变化是均匀的，则当水温达到时，所需的时间是（ ）
A． B． C． D．
10．图1是两个完全相同的含角的直角三角板拼成的图形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右上方移动，当四边形是菱形（如图2），且长直角边时，平移距离的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算：__________．
12．黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为______．
13．某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”等四个方面按的比例对学生学习过程进行课堂评价，某同学在课堂上四个方面得分依次是8，10，8，10．则该学生的课堂评价成绩是______．
14．如图，的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B，D均在y轴上，轴，与x 轴交于点E，连接，若的面积为5，则k 的值为________．
15．如图，在四边形中，，，E为边的中点，点F在上，已知，，若，则的长为________．
三、解答题
16．计算及化简：
(1)；
(2)．
17．如图，在四边形中，，且，连接对角线，已知．
(1)实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：连接，判断四边形 的形状，并说明理由．
18．某团队研发了三款机器人，分别命名为A、B、C．为测试三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析．
【数据收集与整理】
A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表：
机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差
A m 9和10 85
B 8 87
C 8 n 83
(1)m＝________，n＝________；
(2)按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？
(3)对于C款机器人的运动能力，又有四位人工智能技术员进行了打分，分数分别为：，，，．下列说法正确的是________．
①新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的平均数不变；
②新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的中位数不变；
③新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的方差减小．
19．图1是一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，B，C，D，E，F，G，H都在同一平面内）．如图2，伸缩臂高空作业车固定不动，转轴固定不动，转动点B离地面的高度为，起重臂长为，，楼高为，操作平台A在上．
(1)求此时操作平台A离地面的高度；
(2)若起重臂可以绕点B上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为，则操作平台A能到达楼顶F吗？为什么？（结果精确到，参考数据：，，）
20．初春时节，草莓飘香，某果品店购进一批质量相等的奶油草莓和普通草莓，其中购买奶油草莓用了400元，购买普通草莓用了240元，已知每千克奶油草莓的进价比每千克普通草莓贵8元．
(1)求每千克奶油草莓与普通草莓的进价；
(2)第一次进货售完后，果品店准备再次购买两种草莓100千克，已知两种草莓每千克的进价不变，且再次购买的费用不超过1500元，若奶油草莓的销售单价为25元，普通草莓的销售单价为15元，则该果品店应如何进货，可使第二批的两种草莓售完后获得利润最大？最大利润是多少？
21．下面的坤坤同学在复习过程中有所思写的一篇小论文，阅读并完成下列问题．
利用尺规作图研究点的轨迹问题【问题链接】已知线段，要找点B，使得，那么点B就在以点O为圆心、长为半径的圆上． 【问题引申】若现有矩形纸片，，，要在该纸片上找一点P，使得．根据圆的相关性质可知，纸片上有无数个点满足要求，点P应在以为弦的圆弧上，以下是两种不同的方法． 方法1：如图1，①作的平分线； ②作的平分线，交于点O； ③以点O为圆心，或长为半径画圆，交于点M，交于点N； ④劣弧即为所求． 方法2：如图2，①作线段的垂直平分线，与交于点E，与交于点F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，交于点O； ③以点O为圆心，或长为半径画圆，交于点M，交于点N； ④劣弧即为所求．
【深入探究】根据以上描述，解决下列问题．
(1)图1中，________，的半径为________；
(2)根据方法2的作图过程，请说明图2中的；
【继续拓展】
(3)在纸片中找一点Q，且，设满足要求的点Q在劣弧上，在图3中，用尺规作图作出劣弧（不写作法，保留作图痕迹）．
22．综合与实践
某公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计．
任务一：建立模型
(1)如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在A，B处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点C到地面的距离为米．以线段所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
任务二：游客通道设计
(2)如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制7条平行的地面标志线（宽度忽略不计），每两条标志线之间间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的垂直高度为米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米；
任务三：灯光设计
(3)设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意．首先将两个喷水装置同时向外侧移动m米（在所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，如图3，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为n米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小距离为米，求m，n的值．
23．综合与探究
【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到．
【操作发现】
(1)如图1，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点E，F，当时，猜想和的数量关系为________，并证明你的猜想；
(2)如图2，继续旋转一定角度，当线段经过点B时，连接，，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
【实践探究】
(3)在整个旋转过程中，当在下方，且的直角边恰好与垂直时，设线段与直线交于点G，直线交射线于点H，连接，请直接写出的长．
参考答案
1．A
【详解】解：，，
∵，
∴，
∴，
∴最小的数是．
2．B
【详解】解： A．图案上下部分花纹不同，左右部分花纹也不重合，不是轴对称图形，不符合题意；
B．图案沿竖直或水平中线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，符合题意；
C．图案内部动物形态不对称，不是轴对称图形，不符合题意；
D．图案内部花鸟布局不对称，不是轴对称图形，不符合题意．
3．B
【详解】、与不是同类项，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
4．D
【详解】解：如图，设与的交点为，
∵，，
∴，
∵是的外角，
∴．
5．B
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：B．
6．A
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：．
7．B
【详解】如图所示，过点O作于点D，过点A作于点E
∵的半径为
∴
∵，
∴
∵当与相切于点B时
∴，
∵
∴
∴
∴
∴，即
∴
∴当与相切于点B时，点A的竖直高度为．
故选：B．
8．D
【详解】解：A．由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意；
B．由图象可知，当时，图象呈下降趋势，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意；
C．由图象可知，当时，；当时，；若车速从增大到，这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意；
D．根据图象可得摩擦系数随车速的增大而减小，且当时，，若要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意；
故选：D．
9．C
【详解】解：水温变化均匀，
是的一次函数．
设，把，代入得
解得
与的函数解析式为．
把代入解析式得，解得．
10．B
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平移距离的长等于的长是．
11．
【详解】解：
．
12．
【详解】解：∵四边形是黄金矩形，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
故答案为：．
13．
【详解】解：∵四个评价方面的权重比例为，
∴该学生的课堂评价成绩为；
故答案为：．
14．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵双曲线和平行四边形都是中心对称图形，
∴点和点关于原点对称，
∴，
连接，如图，
则，
∴，
又该双曲线位于第二、四象限，
∴，
故答案为：．
15．/
【详解】解：过D作于，过作于，于，过作于H，连接，如图，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵是的中点，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，且是中点，
∴，相似比为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
设，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
将代入中，
得
，
将代入上式中，
得
将代入上式中，
得
解得，
∵，
∴．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．(1)作图见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求．
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
由（1）可知点为中点，
∵，
∴，
在中，，为边上中线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
四边形是平行四边形，
又∵，
平行四边形是菱形．
18．(1)；；
(2)B款机器人的综合成绩最高
(3)①②③
【详解】（1）解：由折线统计图可得，中位数，
在C的扇形统计图中，8分占比（最高），
∴众数；
（2）解：由题意得，A款为（分），
B款：（分），
C款：（分），
∴B款机器人的综合成绩最高；
（3）解：由扇形统计图可得，原C的得分为6，6，8，8，8，8，9，10，10，10，
∴平均数，中位数为，方差为，
∵新增分数为，，，，和为，
∴新平均数，与原平均数相同，故①正确；
∵合并排序后：6，6，，，8，8，8，8，9，，，10，10，10，
∴第7、8个数均为8，中位数仍为，与原中位数相同，故②正确；
∵新方差为
，
∴方差减小，③正确，
综上所述，说法正确的是①②③．
19．(1)
(2)能，理由见解析
【详解】（1）解：如图：过点作，垂足为点，则四边形为矩形，，，，
，，，
，
在中，，
，
．
答：操作平台A离地面的高度约为．
（2）解：能，理由如下：
如图：连接，由题意可知，，最长为，
在中，，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
操作平台能到达楼顶．
20．(1)每千克奶油草莓为20元，每千克普通草莓为12元
(2)购买37.5千克奶油草莓，62.5千克普通草莓，获得利润最大，最大利润是375元
【详解】（1）解：设每千克普通草莓为元，则每千克奶油草莓是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
（元），
答：每千克奶油草莓为20元，每千克普通草莓为12元；
（2）设可再购买千克奶油草莓，则购买千克普通草莓，
根据题意，得，
解得；
每千克奶油草莓的利润为：（元），
每千克普通草莓的利润为：（元），
设总利润为元，
根据题意，得，
因为，
所以随的增大而增大，
所以当时，有最大值，，
此时，，
答：该果品店购买37.5千克奶油草莓，62.5千克普通草莓，获得利润最大，最大利润是375元．
21．(1)；；
(2)解：连接，，如图，
为的垂直平分线，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
为的直径，
，
；
(3)
【详解】（1）解：四边形为矩形，
，
，分别为，的平分线，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
的半径为；
（2）略
（3）略
22．(1)抛物线解析式为；
(2)每相邻两条标志线的间距为米；
(3)，
【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点为，
设抛物线解析式为，
将代入得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由题意，挡雨伞顶端离地面3米，最外侧挡雨伞顶端与水柱的垂直高度为米，
水柱在该位置的纵坐标为，
将代入抛物线解析式得：
解得，
最外侧挡雨伞的水平位置为米，
∵7条标志线将到的距离平均分为6段，
∴每段间距为（米），
∴每相邻两条标志线的间距为米；
（3）解：过点作于点，如图，
由题意，左侧新抛物线顶点E为，形状不变，
∴设解析式为，
当时，，
交点向下移动1米，
解得（舍去负值），
此时，左侧抛物线解析式为，
∴点A为，
∴点C为，
∵光线与地面夹角为，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
∴点D为，
设的解析式为，
将点C、D代入得，，
解得，
∴的解析式为，
在左侧抛物线上任取一点，则，
在直线上取点正上方的点，
∴，，
∴，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴随的增大而增大，
，
∵，
∴开口向上，
当时，纵坐标之差最小，为，
解得．
综上所述，，．
23．(1)解：；证明如下：
，
，
，
，
根据旋转可得，，，
，
，
；
(2)四边形是菱形；证明如下：
在中，，为斜边的中点，
∴，
由旋转可得，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴将和代入中，
得，即是斜边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴垂直平分，垂直平分，
∴四边形为菱形；
(3)的长为或
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：①当时，如图，
，，
∴，
是的中点，
．
在中，，
由旋转的性质得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图，设交于点，点与点重合，
，
，
，
，
为的中点，则，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
综上所述，的长为或．

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