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2025-2026学年重庆市江北区鲁能巴蜀中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个数中，最小的数是（　　）
A. -3 B. C. 0 D. 2
2.五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，该几何体的左视图是（　　）
A. B. C. D.
3.下列抽样调查中，选取样本合适的是（　　）
A. 了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查
B. 了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查
C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查
D. 了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数的观众进行调查
4.如表是反比例函数的y与x的几组对应值，其中a的值为（　　）
x … a -2 -1 1 …
y … 1 2 4 -4 …
A. -4 B. C. -3 D.
5.下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A. x2-5x+6=x（x-5）+6 B. 8x2y3=2x2 4y3
C. （x-2）（x-3）=x2-5x+6 D. x2+2x+1=（x+1）2
6.如图，点A、B、P在⊙O上，若∠AOB=30°，PA∥OB，则∠OBP=（　　）
A. 30° B. 20°
C. 15° D. 10°
7.已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是∠BAC与∠B′A′C′的角平分线，AD=4，A′D′=3，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（　　）
A. 4：3 B. 7：3 C. 16：9 D. 4：7
8.如图，线段AB上的一点C把AB分割为两条线段AC、BC，当满足时，则称点C是线段AB的黄金分割点.某校园有一条笔直的林荫道全长110米，园艺队计划在林荫道旁安装一款景观灯，景观灯的位置为线段AB上的点C，设BC=x米，且该景观灯恰好是林荫道的黄金分割点，则x满足的方程是（　　）
A. （110-x）2=110x B. x2=110（110-x）
C. x（110-x）=1102 D. （110-x）2=110x2
9.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD上的点，其中BE=AF=2DF，CF交DE于点M，交BD于点N，过E点作EH⊥BD于点H，连接HF交DE于点G，则的值为（　　）
A. 4 B. C. D.
10.已知整式，其中n,a0为自然数，a1，a2，…，an均为正整数，且a0＜a1＜…＜an＜6.下列说法：
①若a2=n=2，则关于x的方程A=2的解为x=1；
②若n=2，且关于x的一元二次方程A-a0+1=0有两个不相等的实数根，则a0+a1+a2的最大值为12；
③若A为整系数多项式，则所有符合条件的多项式共有19个.
其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.不透明的袋子中装了2个红球，3个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出1个球，刚好是红球的概率为 .
12.若一个正多边形的内角和等于外角和的3倍，则该正多边形的边数是 .
13.若n为正整数，且满足n＜×，则n= .
14.已知实数x,y满足|x-1|=2x-3，x+|y|=2，则x3的值为 .
15.如图，以AB为直径作⊙O，点C为⊙O上的点，连接BC，将BC沿射线BA方向平移至AD，连接BD交⊙O于点E，连接CE并延长交AD于点F，且BC=CE.若CF=24，连接AE，则△AED的周长为 .
16.如果一个四位数M=满足各个数位数字均不为0且互不相等，当m+n=9时，则称M为“启航数”，M的千位数字与百位数字组成的两位数为A，十位数字与个位数字组成的两位数为B，规定：F（M）=，H（M）=m2-n2.若N为最小的“启航数”，则F（N）的值为 ；已知两个“启航数”M1=，M2=，其中为整数，且H（M1）+H（M2）+ab-22a+13b=16，则F（M1）+F（M2）的值为 .
三、解答题：本大题共2小题，共16分。
17.(本小题8分)
解不等式组：.
18.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点F为线段BC上一点，连接AF，过点C作CE⊥AF，交AF的延长线于点E，且AE=2CE.
（1）尺规作图：过点B作AF的垂线，垂足为点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：点D为AE的中点.
证明：∵BD⊥AE，CE⊥AF，
∴∠BDA=∠E=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+______=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD+∠ABD=90°，
∴______，
在△ABD与△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴______，
∵AE=2CE，
∴AE=2AD，
即点D为AE的中点.
四、解答题：本题共7小题，每小题10分，共70分。
19.(本小题10分)
为普及网络安全知识，增强青少年网络安全防范意识，某校面向全校学生开展了网络安全知识竞赛活动.在竞赛结束后，现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：未达标x＜70，良好70≤x＜80，优秀80≤x＜90，卓越90≤x＜100），下面给出了部分信息：
八年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，86，88，91，91，94，95，96，99；
九年级学生成绩属于优秀的数据为：89，88，87，86，84，83，81.
八、九年级学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 85.2 86 60.2
九年级 85.2 a 91 85.3
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=______，b=______，m=______；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级对网络安全知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校九年级共有学生1050名，随机抽取了九年级80%的学生参加此次网络安全知识竞赛活动，估计九年级参加活动的学生中成绩为优秀和卓越（80分及以上）的学生有多少人？
20.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中.
21.(本小题10分)
列方程解下列问题：某工厂生产甲、乙两种产品.每天生产的甲产品比每天生产的乙产品多300个；2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个.
（1）求该工厂每天生产的甲、乙产品各多少个？
（2）为了满足市场需求，工厂进行技术改造.改造后，每天生产乙产品增加的数量比每天生产甲产品增加的数量的多50个.若生产4800个甲产品的天数比生产3200个乙产品的天数少2天，求每天生产甲产品增加的数量.
22.(本小题10分)
如图，在等腰△ABC中，AB=BC=10，点D为AC边上的中点，BD=8，动点P沿A→B→C以每秒个单位长度的速度运动，到达C点停止运动；同时，动点Q沿A→C以每秒1.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动.连接BQ，设点P的运动时间为x秒（0＜x＜8），点P到AC边的距离PH为y1，△ABC与△ABQ的面积之比为y2.
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）.
23.(本小题10分)
重庆市瀛洲溪体育公园三月的油菜花海吸引了许多人前来游览拍照，如图，A、B、C、D是重庆市瀛洲溪体育公园平面上的四个景点，其中B位于A的正南方向400米处，C位于B的北偏东60°方向400米处，D位于A的正东方向，C位于D的东南方向.（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，≈2.65）
（1）求A、D两处景点之间的距离；（结果精确到个位）
（2）现甲从A地出发沿AB前往B地游览，乙从B地出发沿BC前往C地游览，两人同时出发，甲的速度与乙的速度之比为3：2，当两人首次相距200米时乙距离B地多远.（结果保留小数点后一位）
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC、BC，在直线BC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PD∥y轴交BC于点D，过点P作PE⊥AC于点E，点M为直线AC上一动点，连接MD、MP，当取得最大值时，求点P的坐标及△PDM的周长的最小值；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线y′，直线BC上有一动点N，射线PN与抛物线y′交于点Q，若∠PND=∠ACO，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程.
25.(本小题10分)
在△ABC中，CA=CB，∠ACB=2α，D是线段AB上一点，连接CD.延长DB至点E，使得BE=BD.将线段CE绕点C顺时针旋转α得到线段CF，CF交AB于点G，过点E作EH⊥CF于点H，连接EF.
（1）如图1，若BD=AC，求∠ADC的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图2，若α=45°，连接BH.用等式表示线段CD和BH之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，若α=45°，，M为AC的中点，将△ADM沿DM所在直线翻折得到△A′DM.Q为A′M的中点，连接CQ，BA′，当BA′+CQ取得最小值时，直接写出△A′BC的面积.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】八
13.【答案】4
14.【答案】8
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】x≥2．
18.【答案】BD即为所求作； ∠ CAD;∠CAD=∠ABD;CE=AD
19.【答案】5;86;40 九年级成绩较好，理由如下：
因为九年级学生成绩的中位数比八年级的高，所以九年级成绩较好 630人
20.【答案】；．
21.【答案】该工厂每天生产甲产品500个，乙产品200个 每天生产甲产品增加的数量是300个
22.【答案】， 函数y1，y2的图象，如图即为所求； 0＜x＜2或7.5＜x＜8
23.【答案】146米 112.6米
24.【答案】 点P的坐标为；△PDM的周长的最小值为 点Q的坐标为或．理由如下：
∵抛物线，
∵将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线y′，
即将抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位，
∴抛物线，
如图4，过点P作PR⊥BC于点R，
∵OB=OC=4，
∴∠OCB=45°，
∵PD∥y轴，
∴∠PDR=∠OCB=45°，
∵PR⊥BC，
∴，
设N（t，t-4），
∵点P的坐标为，∠PND=∠ACO，
∴，
∴，
∴，
整理得：16t2-8t-35=0，
解得：或，
当时，，
∴可得直线PN的表达式为，
联立抛物线得：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴；当时，，
∴可得直线PN的表达式为，
联立抛物线得：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴；综上所述，点Q的坐标为或
25.【答案】 ；证明：如图2，将HB绕点H逆时针旋转90°得HM，连接BM，CM，
∴HB=HM，
∵∠CHE=90°，∠ECH=α=45°，
∴△CHE是等腰直角三角形，
∴CH=HE，，
∵∠MHC+∠CHB=∠CHB+∠BHE=90°，
∴∠MHC=∠BHE，
在△CMH和△EBH中，
，
∴△CMH≌△EBH（SAS），
∴BE=CM=BD，
设∠BEH=∠MCH=β，
∴∠BEC=∠HEC-∠BEH=45°-β，
∠BCE=∠CBA-∠BEC=45°-（45°-β）=β，
∴∠BCE=∠MCH=β，
∴∠MCB=∠HCE=45°，
∴∠MCB=∠DBC=45°，
在△MCB和△DBC中，
，
∴△MCB≌△DBC（SAS），
∴BM=CD，
∴ △A′BC的面积为
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