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2026年四川省初中学业水平考试数学模拟卷(二)
(考试时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．
1．在篮球比赛中，如果甲队进5个三分球，记作＋15分，那么甲队失2个三分球记作（ ）
A．－6分 B．－15分 C．＋6分 D．－2分
2．某几何体的俯视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
3．“天河二号”是由国防科技大学研制的超级计算机系统，持续计算速度可达每秒3.39×1016次，若连续运行5 min，则总计算次数用科学记数法表示为（ ）
A．1 017×1013次 B．1.017×1019次
C．16.95×1016次 D．1.695×1017次
4．如图是山地车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°，要使AM∥CB，则∠MAC的度数应为（ ）
A．16°
B．60°
C．66°
D．74°
5．下列计算中正确的是（ ）
A．a2·a3＝a6 B．(a3)4＝a12 C．(3a)2＝6a2 D．(a＋1)2＝a2＋1
6．某班对一小组7名学生一分钟垫排球的个数进行统计，整理数据后发现26，27，2■，31，32，38，39中第三个数的个位数字被涂污看不清楚了，则下列统计量中与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
7．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何．”意思：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒x斗，清酒y斗，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
8．下列说法中正确的是（ ）
A．同角的余角相等
B．若最简二次根式－与 可以合并，则－ab＝10
C．三角形的三条高交于一点
D．矩形的对角线互相垂直平分
9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（ ）
A．26° B．38° C．42° D．52°
10．如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点(－1，0)，对称轴为直线x＝1.有下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＋1＝0一定有两个不等的实数根；④a＞.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．
11．分解因式：7x4－7x2＝________．
12．已知x＝a是关于x的一元二次方程x2－3x＋1＝0的一个解，则代数式2a2－6a＋3的值为________.
13．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高为12，则该圆锥的母线长AB为________.
14．计算÷＝________.
15．在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为(1，0)．把△AOB按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1，第二次变换将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，……，依此类推，得到△A2 026OB2 026，则点A2 026的坐标为________．
三、解答题：本大题共10个小题，共90分．
16．(12分)(1)计算：(－2)2＋(2 026－1)0－＋|－6|；
(2)解不等式4(x－1)＜2x－6，并把解集在数轴上表示出来．
17．(10分)“希望”小组的学生对某社区部分老年人的生活状况之处理生病问题的方式进行了调查，形成如下调查报告：
课题主题 当地老年人生活状况调查——处理生病问题方式
活动目标 关注社会，关注老年人，增强社会责任意识和关爱他人的意识，促进全面发展
调查方式 抽样调查
数据的收集、整理与描述 处理生病问题方式的调查问卷您好！这是一份关于处理生病问题方式的问卷调查，请选择一项您最常使用的方式(只选一项)，在其后的括号内打“√”，非常感谢您的配合！ A.子女陪同去医院就诊(　　)B．独自去医院就诊(　　)C．自己在家里服用备用药(　　)D．请人帮忙购药(　　)E．雇佣他人陪同去医院就诊(　　)
所有问卷全部收回，并将老年人处理生病问题方式调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)这次活动共调查了________人，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，“D”所占的百分比为________，“C”所在扇形的圆心角度数为________；
(3)利用节假日，同学们收集到某公益爱心组织关爱老年人的场景Q(量血压)、W(理发)、R(讲手机用法)、X(聊天)四张图片(除正面图案不同外，图片大小、材质相同)，背面朝上洗匀，一位同学从中随机抽取一张不放回，另一位同学再从剩下的图片中随机抽取一张，然后两位同学要根据抽取的图片做相关活动场景的介绍，请用画树状图或列表的方法，求这两位同学抽取的图片中恰好有一人抽到陪老人“聊天”的概率．
18．(7分)设平面上的三个点A，B，C.需确定点P的位置，使PA＋PB＋PC最小．当点A，B，C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A，B，C不共线时，分成两类：△ABC有一个内角大于或等于120°和△ABC的三个内角均小于120°.约1640年，法国数学家费马(Pierre de Fermat，1601－1665)提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明．
下面来探究当点A，B，C不共线时的情况：
(1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝120°时，________为所求费马点；
(2)如图②，在△ABC中，最大角∠BAC＜120°时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以△ABC的边AB，BC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形BCE，此时CD和AE交于一点P，P就是所求的费马点．
①请找出图中与AE相等的线段，并说明理由；
②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接BP，求证：∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°.
19．(8分)如图，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y＝(x≠0)的图象交于点A(－3，a)，B(1，3)，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标．
20．(8分)人民英雄纪念碑是我们中华民族的丰碑，它记录着我们中华民族的荣与辱！人民英雄纪念碑位于中华人民共和国北京市天安门广场，碑身正面镌刻毛泽东同志题词“人民英雄永垂不朽”八个镏金大字；背面是毛泽东主席起草、周恩来总理题写的碑文“勿忘历史，勿忘先烈”．在了解相关历史背景后，数学研学小组的同学们决定利用所学知识来测量人民英雄纪念碑的高度，方法如下：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．同学们在点C处测得点A的仰角∠ACB＝37°；然后沿CB方向走12.7 m到点D处，此时测得点A的仰角∠ADB＝45°，请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长(结果精确到1 m．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)．
21．(9分)归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言，例如，我们看到图①是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；并且，我们判定一个四边形是平行四边形也可以从边、角、对角线这几个角度进行．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙．
(1)尝试归纳：请根据图②，写出2条直角三角形的性质：①________；②________；
(2)实践应用：如图③，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A，B，C都是格点．
小明发现图③中∠ABC是直角，小明的证明过程：
如图④，过点B作一条水平线l，过点A作AE⊥l，垂足为E，CF⊥l，垂足为F.
∵AE＝BF，∠AEB＝∠BFC＝90°，BE＝CF，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE＋∠ABE＝90°，∴∠CBF＋∠ABE＝90°，∴∠ABC＝90°.
请借助图③用一种不同于小明的方法证明∠ABC是直角．
22．(8分)某水果商店销售一种进价为30元/kg的优质水果，若售价为40元/kg，则一个月可售出400 kg；若售价在40元/kg的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10 kg.
(1)当售价为45元/kg时，每月销售水果________kg；
(2)当每月利润为5 250元时，这种水果的售价为多少？
(3)当这种水果的售价定为多少时，获得的月利润最大？最大利润为多少元？
23．(8分)如图．在⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切线，PA＝PB，C，D，E分别是线段AB，AP，BP上的动点．连接CD，CE，∠DCE＝∠P＝α.
(1)试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若α＝60°，CD∶CE＝1∶2，试求4AD＋BE与⊙O的半径r的数量关系．
24.(10分)如图①，在平面直角坐标系中，⊙P是△AOC的内切圆，D，E，F为切点，连接CD交⊙P于点G，⊙P的半径为2，EG∥x轴，AB＝AC，抛物线经过A，B，C三点．
(1)求证：△ADP≌△COD；
(2)求抛物线的解析式；
(3)如图②，点M在抛物线上，且在直线AC的上方，MN∥y轴交AC于点N，过点N作NK⊥BC，垂足为K.设t＝MN＋NK，求t的最大值及此时点M的坐标．
25．(10分)(1)问题背景：如图①，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE；
(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG；
(3)问题拓展：如图③，在(2)的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出 的值．
2026年四川省初中学业水平考试数学模拟卷(二)
参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．
1．在篮球比赛中，如果甲队进5个三分球，记作＋15分，那么甲队失2个三分球记作（A）
A．－6分 B．－15分 C．＋6分 D．－2分
2．某几何体的俯视图如图所示，则该几何体可能是（C）
3．“天河二号”是由国防科技大学研制的超级计算机系统，持续计算速度可达每秒3.39×1016次，若连续运行5 min，则总计算次数用科学记数法表示为（B）
A．1 017×1013次 B．1.017×1019次
C．16.95×1016次 D．1.695×1017次
4．如图是山地车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°，要使AM∥CB，则∠MAC的度数应为（C）
A．16°
B．60°
C．66°
D．74°
5．下列计算中正确的是（B）
A．a2·a3＝a6 B．(a3)4＝a12 C．(3a)2＝6a2 D．(a＋1)2＝a2＋1
6．某班对一小组7名学生一分钟垫排球的个数进行统计，整理数据后发现26，27，2■，31，32，38，39中第三个数的个位数字被涂污看不清楚了，则下列统计量中与被涂污数字无关的是（C）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
7．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何．”意思：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒x斗，清酒y斗，则可列方程组为（D）
A. B. C. D.
8．下列说法中正确的是（A）
A．同角的余角相等
B．若最简二次根式－与 可以合并，则－ab＝10
C．三角形的三条高交于一点
D．矩形的对角线互相垂直平分
9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（D）
A．26° B．38° C．42° D．52°
10．如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点(－1，0)，对称轴为直线x＝1.有下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＋1＝0一定有两个不等的实数根；④a＞.其中正确的个数是（D）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由抛物线与y轴的交点在(0，－1)的下方，即可判断③；由对称轴方程得到b＝－2a，由x＝－1时，y＝0得到即a－b＋c＝0，则c＝－3a，∴－3a＜－1，则可判断④.
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．
11．分解因式：7x4－7x2＝7x2(x＋1)(x－1)．
12．已知x＝a是关于x的一元二次方程x2－3x＋1＝0的一个解，则代数式2a2－6a＋3的值为1.
13．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高为12，则该圆锥的母线长AB为13.
14．计算÷＝.
15．在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为(1，0)．把△AOB按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1，第二次变换将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，……，依此类推，得到△A2 026OB2 026，则点A2 026的坐标为(－22 025，22 025)．
三、解答题：本大题共10个小题，共90分．
16．(12分)(1)计算：(－2)2＋(2 026－1)0－＋|－6|；
解：原式＝4＋1－9＋6＝2.
(2)解不等式4(x－1)＜2x－6，并把解集在数轴上表示出来．
解：去括号，得4x－4＜2x－6，
移项、合并同类项，得2x＜－2，解得x＜－1，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示．
17．(10分)“希望”小组的学生对某社区部分老年人的生活状况之处理生病问题的方式进行了调查，形成如下调查报告：
课题主题 当地老年人生活状况调查——处理生病问题方式
活动目标 关注社会，关注老年人，增强社会责任意识和关爱他人的意识，促进全面发展
调查方式 抽样调查
数据的收集、整理与描述 处理生病问题方式的调查问卷您好！这是一份关于处理生病问题方式的问卷调查，请选择一项您最常使用的方式(只选一项)，在其后的括号内打“√”，非常感谢您的配合！ A.子女陪同去医院就诊(　　)B．独自去医院就诊(　　)C．自己在家里服用备用药(　　)D．请人帮忙购药(　　)E．雇佣他人陪同去医院就诊(　　)
所有问卷全部收回，并将老年人处理生病问题方式调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)这次活动共调查了50人，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，“D”所占的百分比为16%，“C”所在扇形的圆心角度数为144°；
(3)利用节假日，同学们收集到某公益爱心组织关爱老年人的场景Q(量血压)、W(理发)、R(讲手机用法)、X(聊天)四张图片(除正面图案不同外，图片大小、材质相同)，背面朝上洗匀，一位同学从中随机抽取一张不放回，另一位同学再从剩下的图片中随机抽取一张，然后两位同学要根据抽取的图片做相关活动场景的介绍，请用画树状图或列表的方法，求这两位同学抽取的图片中恰好有一人抽到陪老人“聊天”的概率．
解：(1)补图如图所示．
(3)画树状图如图所示．
共有12种等可能的结果，其中包含聊天“X”的有6种，
故这两位同学抽取的图片中恰好有一人抽到陪老人“聊天”的概率为＝.
18．(7分)设平面上的三个点A，B，C.需确定点P的位置，使PA＋PB＋PC最小．当点A，B，C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A，B，C不共线时，分成两类：△ABC有一个内角大于或等于120°和△ABC的三个内角均小于120°.约1640年，法国数学家费马(Pierre de Fermat，1601－1665)提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明．
下面来探究当点A，B，C不共线时的情况：
(1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝120°时，A为所求费马点；
(2)如图②，在△ABC中，最大角∠BAC＜120°时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以△ABC的边AB，BC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形BCE，此时CD和AE交于一点P，P就是所求的费马点．
①请找出图中与AE相等的线段，并说明理由；
②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接BP，求证：∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°.
(2)①解：AE＝CD，
理由：∵△ABD与△BCE是等边三角形，∴AB＝BD，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC，∴△ABE≌△DBC(SAS)，∴AE＝CD.
②证明：设AE与BC交于点G，
∵△ABE≌△DBC，∴∠DCB＝∠AEB，
∵∠CGP＝∠BGE，∴∠CPG＝∠EBG＝60°，
∴∠APD＝∠CPG＝60°，∴∠APC＝120°，
在DC上截取PP′＝AP，∴△AP′P是等边三角形，∴∠AP′P＝∠P′AP＝60°，AP′＝AP，
∴∠DAP′＝∠BAP，∵AD＝AB，∴△ADP′≌△ABP(SAS)，
∴∠AP′D＝∠APB＝180°－60°＝120°，∴∠BPC＝360°－120°－120°＝120°，
∴∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°.
19．(8分)如图，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y＝(x≠0)的图象交于点A(－3，a)，B(1，3)，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标．
解：(1)反比例函数的解析式为y＝，一次函数的解析式为y＝x＋2.
(2)易得C(－2，0)，D(0，2)，
∴S△OBD＝×2×1＝1，∴S△OCP＝4S△OBD＝4，设点P，
∴×2×＝4，解得t＝－，∴点P的坐标为.
20．(8分)人民英雄纪念碑是我们中华民族的丰碑，它记录着我们中华民族的荣与辱！人民英雄纪念碑位于中华人民共和国北京市天安门广场，碑身正面镌刻毛泽东同志题词“人民英雄永垂不朽”八个镏金大字；背面是毛泽东主席起草、周恩来总理题写的碑文“勿忘历史，勿忘先烈”．在了解相关历史背景后，数学研学小组的同学们决定利用所学知识来测量人民英雄纪念碑的高度，方法如下：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．同学们在点C处测得点A的仰角∠ACB＝37°；然后沿CB方向走12.7 m到点D处，此时测得点A的仰角∠ADB＝45°，请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长(结果精确到1 m．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝37°，tan∠ACB＝，
∴BC＝≈，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴∠BAD＝45°＝∠ADB，∴BD＝AB，
∵BC＝CD＋BD，∴＝AB＋12.7，解得AB≈38.
答：纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长约为38 m.
21．(9分)归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言，例如，我们看到图①是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；并且，我们判定一个四边形是平行四边形也可以从边、角、对角线这几个角度进行．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙．
(1)尝试归纳：请根据图②，写出2条直角三角形的性质：①a2＋b2＝c2；②∠A＋∠B＝90°；
(2)实践应用：如图③，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A，B，C都是格点．
小明发现图③中∠ABC是直角，小明的证明过程：
如图④，过点B作一条水平线l，过点A作AE⊥l，垂足为E，CF⊥l，垂足为F.
∵AE＝BF，∠AEB＝∠BFC＝90°，BE＝CF，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE＋∠ABE＝90°，∴∠CBF＋∠ABE＝90°，∴∠ABC＝90°.
请借助图③用一种不同于小明的方法证明∠ABC是直角．
(2)证明：∵AB2＝32＋12＝10，BC2＝32＋12＝10，AC2＝22＋42＝20，
∴AB2＋BC2＝10＋10＝20＝AC2，∴∠ABC＝90°.
22．(8分)某水果商店销售一种进价为30元/kg的优质水果，若售价为40元/kg，则一个月可售出400 kg；若售价在40元/kg的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10 kg.
(1)当售价为45元/kg时，每月销售水果350kg；
(2)当每月利润为5 250元时，这种水果的售价为多少？
(3)当这种水果的售价定为多少时，获得的月利润最大？最大利润为多少元？
解：(2)设这种水果的售价为x元/kg，由题意，得
(x－30)[400－10(x－40)]＝5 250，解得x1＝45，x2＝65.
答：这种水果的售价为45元/kg或65元/kg.
(3)设这种水果的售价为m元/kg，获得的月利润为y元，由题意，得
y＝(m－30)[400－10(m－40)]＝－10(m－55)2＋6 250，
∵－10＜0，∴当m＝55时，y最大值＝6 250，
∴水果的售价定为55元/kg时，获得的月利润最大，最大利润为6 250元．
23．(8分)如图．在⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切线，PA＝PB，C，D，E分别是线段AB，AP，BP上的动点．连接CD，CE，∠DCE＝∠P＝α.
(1)试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若α＝60°，CD∶CE＝1∶2，试求4AD＋BE与⊙O的半径r的数量关系．
解：(1)PB与⊙O相切，理由：连接OA，OB，∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠BAO＋∠PAB＝90°，∴∠PBO＝∠ABO＋∠PBA＝90°，
又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)∵∠P＝60°，PA＝PB，∴△ABP是等边三角形，
∴AB＝PA＝PB，∠PAB＝∠PBA＝60°，∵∠DCE＝60°，
∴∠BCE＋∠ACD＝180°－∠DCE＝120°，
∵∠ADC＋∠ACD＝180°－∠PAB＝120°，∴∠ADC＝∠BCE，∴△ADC∽△BCE，
∴＝＝＝，∴AD＝BC，AC＝BE，∴4AD＋BE＝2BC＋2AC＝2AB，
过点O作OF⊥AB于点F，则AF＝AB，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°，
∴∠OAF＝∠PAO－∠PAB＝90°－60°＝30°，∴在Rt△AOF中，AO＝r，OF＝AO＝r，
∴AF＝r，∴AB＝2AF＝r，∴4AD＋BE＝2r.
24.(10分)如图①，在平面直角坐标系中，⊙P是△AOC的内切圆，D，E，F为切点，连接CD交⊙P于点G，⊙P的半径为2，EG∥x轴，AB＝AC，抛物线经过A，B，C三点．
(1)求证：△ADP≌△COD；
(2)求抛物线的解析式；
(3)如图②，点M在抛物线上，且在直线AC的上方，MN∥y轴交AC于点N，过点N作NK⊥BC，垂足为K.设t＝MN＋NK，求t的最大值及此时点M的坐标．
(1)证明：连接PE，PF，
∵⊙P是△AOC的内切圆，D，E，F为切点，
∴PD⊥OA，PE⊥AC，PF⊥OC，
∴∠ADP＝∠AEP＝∠PDO＝∠PFO＝90°，PD＝PE＝PF，
∵∠DOF＝90°，∴∠DOF＝∠PFO＝∠PDO＝90°，
∴四边形DOFP是矩形，∴DO＝PF＝2，OF＝PD＝2，
∵AD，AE是⊙P的切线，∴∠APD＝∠APE＝∠DPE，∵＝，∴∠DGE＝∠DPE，
∵EG∥x轴，∴∠CDO＝∠DGE，∴∠APD＝∠CDO，∴△APD≌△CDO(ASA)．
(2)解：由(1)知△APD≌△CDO，∴OD＝PD＝2，AD＝OC＝AE，
∵⊙P是△AOC的内切圆，∴CE＝CF，
设CE＝CF＝n，则AE＝AD＝OC＝n＋2，OA＝n＋4，AC＝2n＋2，
在Rt△ACO中，OA2＋OC2＝AC2，∴(n＋4)2＋(n＋2)2＝(2n＋2)2，
解得n1＝4，n2＝－2(舍去)，∴OA＝4＋4＝8，OC＝4＋2＝6，AC＝4×2＋2＝10，
∵AB＝AC，∴AB＝10，∴OB＝AB－OA＝2，
∴A(－8，0)，B(2，0)，C(0，6)，设抛物线的解析式为y＝a(x＋8)(x－2)，把C(0，6)代入，得
6＝a(0＋8)(0－2)，解得a＝－，∴y＝－(x＋8)(x－2)＝－x2－x＋6，
即抛物线的解析式为y＝－x2－x＋6.
(3)解：在Rt△BCO中，BC＝＝＝2，
易得直线AC的解析式为y＝x＋6，设M，则N，
∴MN＝－m2－m＋6－＝－m2－3m，CN＝－m，
∵AB＝AC，∴∠CBO＝∠NCK，∵NK⊥BC，∴∠NKC＝∠COB＝90°，∴△NCK∽△CBO，
∴＝，∴NK＝－m，
∴t＝MN＋NK＝－m2－3m＋×＝－m2－m＝－(m＋6)2＋，
∴当m＝－6时，t取得最大值，此时点M的坐标为(－6，6)．
∴t的最大值为，此时点M的坐标为(－6，6)．
25．(10分)(1)问题背景：如图①，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE；
(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG；
(3)问题拓展：如图③，在(2)的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出 的值．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，∴＝＝，即 ＝＝，∴△BCD∽△FBE.
(2)证明：取BD的中点H，连接EH，HC，
∵E是AB的中点，H是BD的中点，∴EH＝AD，EH∥AD.
又∵AD＝2CF，∴EH＝CF，
∵AD∥BC，∴EH∥FC，∴四边形EHCF是平行四边形，∴EF∥CH，∴∠GFB＝∠HCB.
又∵∠BCD＝90°，H是BD的中点，∴HC＝BD＝BH，∴∠HBC＝∠HCB，
∴∠GBF＝∠GFB，∴BG＝FG.
(3)解：过点F作FM⊥AD交AD于点M，则四边形MFCD是矩形，连接AF，
∵AD＝2CF＝CD，∴AM＝MD＝FC＝AD，设AD＝2a，则MF＝CD＝2a，AM＝a，
在Rt△AMF中，AF＝＝a，∵AG＝FG，由(2)得BG＝FG，∴AG＝BG，
又∵E是AB的中点，∴EF垂直平分AB，∴AF＝BF，∠BEG＝90°，
在△AFG和△BFG中，∴△AFG≌△BFG(SSS)，
设∠GBF＝∠GFB＝α，则∠GAF＝∠GFA＝α，∴∠BGE＝∠GBF＋∠GFB＝2α.
又∵AD∥BC，∴∠MAF＝∠AFB＝∠GFA＋∠GFB＝2α，∴∠MAF＝∠EGB.
又∵∠BEG＝∠FMA＝90°，∴△BEG∽△FMA，∴＝＝＝＝.

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