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2025-2026学年江西省九江市第十一中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”，“芒种”，“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.若a＜b,则下列式子一定成立的是（　　）
A. ac＞bc B. 2a＞2b C. 2-a＞2-b D. a-2＞b-2
3.《周礼考工记》中记载有：“半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）”意思是：“直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘”.即：1宣=矩，1欘=宣（其中，1矩=90°），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，宣，则∠B的度数为（　　）
A. 22.5° B. 67.5° C. 30° D. 45°
4.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-1，-2）和点B（-2，0），正比例函数y=2x的图象经过点A，则不等式2x＜kx+b的解集为（　　）
A. x＜-1 B. -1＜x＜0
C. x＞-1 D. x＜-2
5.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（　　）
A. 60° B. 85° C. 75° D. 90°
6.如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB＞BC，点P从点B出发沿线段BC向点C运动，线段AP的垂直平分线分别交AB、AP于点M、N，设BM=y,BP=x,y与x之间的函数图象如图②所示，则图②中a的值为（　　）
A. 4 B. C. 5 D. 4.5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.命题“如果两直线平行，那么它们的内错角相等”的逆命题是 命题（填“真”或者“假”）.
8.春节民俗经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，舟山春节有打年糕的习俗，以谐音取“年高”之意.糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得质量增加20%.现有糯米x斤，做成年糕后质量超过60斤，则可列出不等式 .
9.如图，BD平分∠ABC，∠ADB=60°.∠BDC=80°，∠C=70°，，则BD= .
10.如图，在△ABC中，BC=8，将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，连接AA'，若A′B′恰好经过AC的中点O，则AA′的长度为 .
11.水仙、百合花、郁金香等都具有经典的六瓣结构，统称为六瓣花，“六六大顺”象征顺利、福运昌达，“六合”代表圆满、生机与希望，所以六瓣花常常被看作祥瑞之兆.如图，六个正九边形围在一起就可以拼出一个美丽的六瓣花图案，图中花瓣角∠ABC的度数为 .
12.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，D为AC中点，E为边AB上一动点，当四边形BCDE有一组邻边相等时，则AE的长为 ．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
（1）解不等式：2x＜3（x-1）+4；
（2）如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AC=DE，点B、E、C、F在同一条直线上，且BE=FC，求证：Rt△ABC≌Rt△DFE.
14.(本小题6分)
解不等式组：，并求出它所有整数解的和.
15.(本小题6分)
如图是由边长为1的小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点，且BC=5.请仅用无刻度的直尺完成下列作图，保留作图痕迹.
（1）在图1中，画出△ABC的角平分线AD；
（2）在图2中，画出△ABC的角平分线BE.
16.(本小题6分)
如图，∠CAD是△ABC的外角，点F是AB的中点，过点F作线段EG，使其交∠CAD的平分线于点E，交CB的延长线于点G，且AE∥BC.
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AE=1，AB=6，BC=3BG，求△ABC的周长.
17.(本小题6分)
电脑支架是我们工作学习的帮手，也隐藏着数学问题，如图①是从侧面看一台笔记本电脑放在电脑支架上的平面图，如图②是图①的简易示图，若笔记本电脑的屏幕AB垂直于支架底座CD的位置.
（1）∠ABC与∠BCD的数量关系是______，并写出证明过程；
（2）若图②中的撑杆FE⊥BC于点E，试探索∠ABC与∠DFE的数量关系？并说明理由.
18.(本小题8分)
2025年，江西明确提出要加快江西农产品电商平台融合发展，推动县域直播电商发展.一农企积极响应政策，在电商平台主推两款特色农产品：赣南脐橙和南丰蜜橘.经市场调研得知，一箱赣南脐橙比一箱南丰蜜橘贵5元，某日线上订单显示卖出10箱赣南脐橙和15箱南丰蜜橘，总销售额为800元.
（1）求一箱赣南脐橙和一箱南丰蜜橘的售价各是多少元；
（2）平台计划加大推广力度，要求后续单日订单总销售额不低于1200元，且赣南脐橙的销量为南丰蜜橘的2倍，求南丰蜜橘至少需要卖出多少箱.
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，1）.
（1）若点M（1，2）是△ABC的边AC上的一点，将△ABC先向右平移2格，再向左平移3格，则平移后点M的对应点M'的坐标为______；
（2）画出△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°后得到的△AB1C1；
（3）画出与△ABC关于点O成中心对称的图形△A2B2C2.
20.(本小题8分)
已知关于x,y的二元一次方程组的解满足不等式x+y＞0.
（1）求实数m的取值范围.
（2）若不等式（2m+1）x＜2m+1的解集为x＞1，请求出整数m的值.
21.(本小题9分)
“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间.如图，“表”AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表”AB的日影最长（BC的长），某一节气，光线AM平分∠BAC，D为AC上一点，连接MD，BD，MD⊥AC.
（1）求证：BM=DM；
（2）若“表”AB=6，AC=10，求CM的长；
（3）若AM=CM，判断△ABD的形状，并说明理由.
22.(本小题9分)
阅读与理解
定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果点H（x.y）满足x=，那么称点H是点A，B的“和谐点”.例如A（9，-3），B（1，1），当点H（x.y）满足x==-1，则称点H（2.-1）是点A，B的“和谐点”.
（1）直接写出点M（2.-3），N（-4，9）的“和谐点”D的坐标______；
（2）已知点P是点A（-5，3），B（3，-1）的“和谐点”，当点P向左平移3个单位得点P'，求点P'的坐标；
（3）点D（-3，0），点E（2t,-2t+3），点H（x.y）是点D，E的“和谐点”.
①求y与x之间的函数关系式；
②当∠HDQ=90°时，求点E的坐标.
23.(本小题12分)
[探究]
（1）如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE，
填空：
①线段BD、BE的数量关系为______；
②线段BC、DE的位置关系为______．
[推广]
（2）如图②，在等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE、BD、BE请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．
[应用]
（3）如图③，在等边三角形ABC中，AB=4．作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD、AE．当以A、D、M为顶点的三角形与△AEF全等时，请直接写出DE的值= ．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】真
8.【答案】（1+20%） x＞60
9.【答案】
10.【答案】4
11.【答案】80°
12.【答案】2或3或
13.【答案】（1）x＞-1
（2） ∵ BE=FC，
∴BE+EC=FC+EC，
即BC=FE，
∵∠A=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）
14.【答案】不等式组的解集为-2＜x≤2，所有整数解的和为2．
15.【答案】如图1中，线段AD即为所求； 如图2中，线段BE即为所求
16.【答案】(1)证明：∵AE∥BC，
∴∠ABC=∠DAE，∠C=∠CAE，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC 是等腰三角形
(2)15
17.【答案】（1）∠ABC与∠BCD的数量关系是：∠ABC-∠BCD=90°，证明如下：
延长AB交CD于点H，如图所示：
∴AB⊥CD，
∴∠BHC=90°，
∵∠ABC是△BCH的外角，
∴∠ABC=∠BHC+∠BCD，
∴∠ABC-∠BCD=∠BHC=90°；
（2）∠ ABC与∠DFE的数量关系是：∠ABC=∠DFE，理由如下：
∵FE⊥BC于点E，
∴∠FEC=90°，
∵∠DFE是△FEC的外角，
∴∠DFE=∠FEC+∠DCB，
∴∠DFE-∠DCB=∠FEC=90°，
由 的结论可知：∠ABC-∠BCD=90°，
∴∠ABC-∠BCD=∠DFE-∠DCB，
∴∠ABC=∠DFE
18.【答案】一箱赣南脐橙售价35元，一箱南丰蜜橘售价30元 南丰蜜橘至少需要卖出12箱
19.【答案】（0，2） 如图，△AB1C1即为所求； 如图，△A2B2C2即为所求
20.【答案】m＞-2 -1
21.【答案】（1）∵MB⊥AB，AM平分∠BAC，MD⊥AC，
∴BM=DM
（2）5
（3）△ABD是等边三角形，理由如下：
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM=∠CAM，
∵AM=CM，
∴∠C=∠CAM，
∴∠BAM=∠CAM=∠C，
∵∠BAM+∠CAM+∠C=90°，
∴∠BAM=∠CAM=∠C=30°，
∴∠BAD=60°，
由（2）知：AB=AD，
∴△ABD是等边三角形
22.【答案】 点P向左平移3个单位的点P”′的坐标为（-5，1） ①；②E（9，-6）
23.【答案】（1）①BD=BE；
②BC⊥DE；
（2）结论：（1）中的结论仍然成立，
理由：如图②中，
∵CA=CB，∠ACB=α，CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM=α，
∵∠ECD=α，
∴∠ECB=∠DCB=α，
∵CD=CE，CB=CB，
∴△CBD≌△CBE（SAS），
∴BD=BE，
∵CD=CE，
∴BC垂直平分线段DE，
∴BC⊥DE；
（3）或4或4.
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