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第1讲　机械振动
学习目标　1.认识简谐运动,理解简谐运动的表达式和图像。 2.知道单摆,理解并熟记单摆的周期公式。 3.认识受迫振动,了解产生共振的条件及其应用。
一、简谐运动
1.
2.两种模型
模型 弹簧振子 单摆
示意图
简谐运 动条件 (1)弹簧质量可忽略 (2)无摩擦等阻力 (3)在弹簧弹性限度内 (1)摆线为不可伸缩的轻细线 (2)无空气阻力 (3)摆角小于5°
回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡位置 弹簧原长处 最低点
周期 与振幅无关 T=2π
能量 转化 弹性势能与动能相互转化,系统的机械能守恒 重力势能与动能相互转化,摆球机械能守恒
二、简谐运动的表达式和图像
1.
2.
三、受迫振动和共振
1.
2.
1.思考判断
(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。(×)
(2)做简谐运动的质点先后通过同一点时,回复力、速度、加速度、位移都是相同的。(×)
(3)做简谐运动的质点,速度增大时,其加速度一定减小。(√)
(4)振动物体经过半个周期,路程一定等于2倍振幅;经过个周期,路程一定等于振幅。(×)
(5)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(×)
(6)物体做受迫振动时,其振动频率与固有频率无关。(√)
(7)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(×)
(8)简谐运动的振动图像一定是正弦曲线。(√)
2.如图,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动,以竖直向上为正方向,物块简谐运动的表达式为y=0.1sin (2.5πt) m。t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下,t=0.6 s时,小球恰好与物块处于同一高度,重力加速度g取10 m/s2。以下判断正确的是(　　)
A.h=1.8 m
B.简谐运动的频率是2.5 Hz
C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D.t=0.4 s时,物块与小球运动方向相同
答案　D
3.某质点的振动图像如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.1 s和3 s时刻,质点的速度相同
B.1 s到2 s时间内,质点的速度与加速度方向相同
C.简谐运动的表达式为y=2sin(0.5πt+1.5π) cm
D.简谐运动的表达式为y=2sin(0.5πt+0.5π) cm
答案　D
4.(多选)(人教版选择性必修第一册P60T6改编)把一个筛子用四根弹簧支撑起来,筛子上装一个电动偏心轮,它每转一周,给筛子一个驱动力,这就做成了一个共振筛,如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压,可使偏心轮转速提高;增加弹簧的劲度系数,可减小筛子的固有周期。现在,在某电压下偏心轮的转速是60 r/min。为使共振筛的振幅增大,以下做法可行的是(　　)
A.降低输入电压
B.增加输入电压
C.更换劲度系数更大的弹簧
D.更换劲度系数更小的弹簧
答案　AC
考点一　简谐运动的基本特征
简谐运动的五个特征
受力特征 回复力F=-kx,F(或a)的大小与x的大小成正比,方向相反
运动特征 衡位置时,a、F、x都减小,v增大;远离平衡位置时,a、F、x都增大,v减小
能量特征 振幅越大,能量越大。在运动过程中,动能和势能相互转化,系统的机械能守恒
周期性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化,变化周期就是简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化,其变化周期为
对称性特征 关于平衡位置O对称的两点,相对平衡位置的位移大小、加速度的大小、速度的大小、动能、势能均相等
角度　简谐运动基本物理量的分析
例1 (2026·广东茂名模拟)如图所示,平静湖面上漂浮的浮子受到轻微扰动后,在竖直方向上做简谐运动,周期为T,振幅为A。已知t=0时刻,浮子正经过平衡位置竖直向下运动,下列说法正确的是(　　)
A.在t=时,浮子的加速度最大,方向竖直向下
B.在t=时,浮子的位移最大,速度方向竖直向下
C.在t=时,浮子的加速度和位移均为零,速度方向竖直向上
D.浮子的振幅越大,其振动周期就越大
答案　C
解析　已知t=0时刻,浮子正经过平衡位置竖直向下运动,可知在t=时,浮子处于下方最大位移处,则浮子的加速度最大,方向竖直向上,故A错误;在t=或t=时,浮子处于平衡位置向上运动,浮子的加速度和位移均为零,速度方向竖直向上,故B错误,C正确;简谐运动的周期与振幅无关,故D错误。
以位移为桥梁分析简谐运动中各物理量的变化情况
(1)位移增大时,振动质点的回复力、加速度、势能均增大,速度、动能均减小;反之,则产生相反的变化。
(2)位移相同时,回复力、加速度、动能、势能相同,但速度可能有两个方向,由于周期性,运动时间也不确定。
角度　简谐运动的周期性和对称性
例2 (2026·山东日照高三期末)如图所示,劲度系数为k的轻弹簧上端固定,下端通过细线连接两个质量均为m的小球a和b,系统处于静止状态。t=0时烧断细线,t=t0时弹簧的弹力第一次为零。重力加速度为g,不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A.小球a做简谐运动的振幅为
B.小球a做简谐运动的周期为t0
C.t=t0时,小球a的动能最大
D.t=t0时,小球a的回复力为零
答案　C
解析　根据F=kx可知,在平衡位置时,弹簧的伸长量为x0=,烧断细线前,弹簧伸长量为x1=,所以小球a做简谐运动的振幅为A=x1-x0=,故A错误;根据简谐运动的对称性可知,小球a运动到最高点时,弹簧的形变量为x2=x0-A=0,即小球a运动到最高点时弹簧处于原长,所以小球a做简谐运动的周期为T=2t0,故B错误;根据简谐运动的时间对称可知,t=时,小球a运动到平衡位置,即小球a的动能最大,故C正确;t=t0时,小球a运动到最高点,位移最大,回复力最大,故D错误。
考点二　简谐运动的表达式和图像
1.简谐运动的振动方程和图像
(1)从平衡位置开始计时:x=Asin ωt,如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时:x=Acos ωt,如图乙所示。
(3)图像反映的是位移随时间的变化规律,随时间的增加而延伸,图像不代表质点运动的轨迹。
2.由图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向:曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示相应时刻质点的速度大小和方向,速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向:回复力总是指向平衡位置,回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
3.简谐运动的对称性(如图)
(1)相隔Δt=nT(n=1,2,3,…)的两个时刻,弹簧振子在同一位置,位移和速度都相同。
(2)相隔Δt=(n+)T(n=0,1,2,…)的两个时刻,弹簧振子的位置关于平衡位置对称,位移等大反向(或都为零),速度也等大反向(或都为零)。
例3 (多选)(2026·山西晋中高三月考)一质点做简谐运动时其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.该简谐运动的周期为5×10-2 s,振幅为28 cm
B.该简谐运动的表达式为x=14sin cm
C.t=0.5×10-2 s时质点的速度最大,且方向沿x轴负方向
D.t=0.5×10-2 s时质点的位移为-7 cm
答案　BD
解析　由题图知该简谐运动的周期T=4×10-2 s,振幅A=14 cm,故A错误;圆频率ω==50π rad/s,且t=0时刻,质点位于负向最大位移处,所以质点做简谐运动的表达式为x=14sin cm或x=14sin cm,故B正确;t=1×10-2 s时质点位于平衡位置,速度最大,且沿x轴正方向,故C错误;当t=0.5×10-2 s时质点的位移为x=14sin cm=-7 cm,故D正确。
跟踪训练
1.(2024·福建卷,2)某简谐振动的y-t图像如图所示,则以下说法正确的是(　　)
A.振幅为2 cm
B.频率为2.5 Hz
C.0.1 s时速度为0
D.0.2 s时加速度方向竖直向下
答案　B
解析　由题图像可知该简谐振动的振幅为1 cm,振动周期为0.4 s,由f=可知,频率为2.5 Hz,A错误,B正确;0.1 s时,质点位于平衡位置,此时速度达到最大值,C错误;0.2 s时,质点位于负向最大位移处,加速度方向指向平衡位置,方向竖直向上,D错误。
考点三　单摆及其周期公式
1.单摆的受力特征
(1)回复力:摆球重力沿与摆线垂直方向的分力,F回=-mgsin θ=-x=-kx,负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力:摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力,Fn=FT-mgcos θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时,v=0,Fn=m=0,FT=mgcos θ。
②当摆球在最低点时,Fn=m,Fn最大,FT=mg+m。
2.周期公式T=2π的两点说明
(1)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
例4 (多选)(2026·陕西西安一模)力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力,如图甲所示,O点为单摆的固定悬点,现将摆球从A点释放,则摆球在竖直平面内的A、B、C之间来回摆动。B点为运动中的最低位置,∠AOB=∠COB=θ,θ小于5°且是未知量。图乙是由力传感器得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线,图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻,重力加速度g=10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.单摆的周期为0.4π s
B.摆长为0.2 m
C.摆球的质量为0.05 kg
D.摆球运动过程中的最大速度为0.5 m/s
答案　AC
解析　摆球在一个周期T内两次经过最低点,球在最低点时细线拉力最大,结合题图乙可知单摆周期T=2×(0.3π-0.1π)s=0.4π s,故A正确;单摆周期T=2π,联立解得摆长l=0.4 m,故B错误;摆球在最低点时速度v最大,由题图乙可知细线拉力的最大值、最小值分别为Fmax=0.510 N、Fmin=0.495 N,设摆球质量为m,由牛顿第二定律知在最低点时,有Fmax-mg=m,在最高点时,有Fmin=mgcos θ,小球从最高点到最低点,由动能定理得mg(l-lcos θ)=mv2,联立解得m=0.05 kg,v= m/s,故C正确,D错误。
跟踪训练
2.(2025·四川卷,5)如图所示,甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上,从左至右摆长依次增加,小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度,由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时,小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点,同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则(　　)
A.小球甲第一次回到释放位置时,小球丙加速度为零
B.小球丁第一次回到平衡位置时,小球乙动能为零
C.小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D.小球丙、丁的摆长之比为1∶2
答案　C
解析　根据单摆周期公式T=2π知,T丁>T丙>T乙>T甲,由题意知,2T甲==T丙=,可得T甲∶T乙=3∶4,T丙∶T丁=1∶2,根据单摆周期公式T=2π可得l=,则小球丙、丁的摆长之比l丙∶l丁=1∶4,故C正确,D错误;小球甲第一次回到释放位置时,经过时间t=T甲=,即小球丙到达另一侧最高点,此时速度为零,加速度最大,故A错误;小球丁第一次回到平衡位置时,运动的时间为,即,可知此时小球乙第二次到达平衡位置,速度最大,动能最大,故B错误。
考点四　受迫振动和共振
简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
　　振动 项目　　 简谐运动 受迫振动 共振
振动周期 或频率 由系统本身性质决定,即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或f=f驱 T驱=T0或 f驱=f0
振动能量 系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ<5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
例5 (2026·湖北恩施高三月考)某款风铃由不同长度的金属管组成,当微风吹过时,金属管会振动发出清脆悦耳的声音。关于此现象,下列说法正确的是(　　)
A.金属管的振动频率等于风力频率
B.风力频率越高,金属管振动幅度越大
C.各金属管固有频率相同,振动周期相等
D.金属管做受迫振动时,无回复力作用
答案　A
解析　物体做受迫振动时,其振动频率始终等于驱动力的频率,故金属管做受迫振动的振动频率等于风力频率,A正确;金属管振动幅度大小主要取决于风力频率与金属管固有频率是否接近。只有当风力频率接近金属管固有频率时,才会发生共振,振动幅度才会显著增大,并非风力频率越高,振动幅度就越大,B错误;不同长度的金属管,由于结构参数不同,其固有频率也不同。振动周期和频率互为倒数,各管的振动周期并不相等,C错误;只要是机械振动就一定存在回复力,金属管振动时,其自身的弹性以及重力等因素会形成促使其回到平衡位置的力,即回复力,D错误。
A级　基础对点练
对点练1　简谐运动的基本特征
1.如图所示,弹簧振子在M、N之间做简谐运动,以平衡位置O为原点,建立Ox轴,向右为x轴正方向,则(　　)
A.振子运动到O点时的动量为零
B.振子在M、O之间运动时,加速度可能增大
C.振子运动到N点时的加速度为零
D.若振子初始位置在M点,此时开始计时,则其振动图像为正弦函数曲线
答案　B
解析　由题意可知,弹簧振子在M、N之间做简谐运动,O点为平衡位置,则振子运动到O点时的速度不为零,动量不为零,A错误;振子在M、O之间运动时,运动方向可能向左也可能向右,向左时远离平衡位置,则其加速度增大,向右时衡位置,则其加速度减小,B正确;振子运动到N点时,处于距离平衡位置最大位移处,则此时加速度最大,C错误;若振子初始位置在M点,此时开始计时,则其振动图像如图所示,是余弦函数曲线,D错误。
2.(多选)一个小球在平衡位置O点附近做简谐运动,若从O点开始计时,经过2 s小球第一次经过M点,再继续运动,又经过0.5 s它第二次经过M点。小球做简谐运动的周期可能为(　　)
A.2 s B.3 s
C.9 s D.10 s
答案　BC
解析　若振子开始运动的方向从O点先向左,再向M点运动,运动路线如图甲所示,有2 s+×0.5 s=T,解得振动的周期为T=3 s;若振子开始运动的方向从O点向右直接向M点运动,运动路线如图乙所示,振动的周期为T=4×=9 s,故B、C正确。
对点练2　简谐运动的表达式和图像
3.(2026·北京房山高三期末)用小球和轻弹簧组成弹簧振子,使其沿水平方向振动,振动图像如图所示,下列描述正确的是(　　)
A.1~2 s内,小球的速度逐渐减小
B.2~3 s内,弹簧的弹性势能逐渐减小
C.t=4 s时,小球的动能达到最大值
D.t=5 s时,弹簧弹力为正的最大值
答案　C
解析　由题图可知,1~2 s内小球的位移减小,说明弹性势能转化为动能,即速度增大,故A错误;2~3 s内小球的位移增大,说明动能转化为弹性势能,即弹性势能增大,故B错误;t=4 s时,小球位于平衡位置,此时动能最大,故C正确;t=5 s时,小球的位移正向最大,则弹簧弹力为负的最大值,故D错误。
4.(2025·安徽滁州模拟)如图所示,用平行光从侧面照射一个做匀速圆周运动的小球,它在光屏上的影子将做简谐运动。若从某时刻开始计时,测得影子偏离平衡位置的位移随时间变化的关系为x=10sin cm,则小球的加速度大小为(　　)
A.0.1 m/s2 B.0.2 m/s2
C.0.3 m/s2 D.0.4 m/s2
答案　D
解析　根据影子偏离平衡位置的位移随时间变化的关系为x=10sin cm,可知小球做匀速圆周运动的半径为r=10 cm,小球做匀速圆周运动的角速度为ω=2 rad/s,则小球的加速度大小为a=ω2r=22×0.1 m/s2=0.4 m/s2,故D正确。
5.(多选)(2026·海南海口琼山中学月考)一个质点以O点为平衡位置,在A、B间做简谐运动,如图甲所示,它的振动图像如图乙所示,设向右为正方向,下列说法正确的是(　　)
A.该质点的振动方程为x=0.05sin m
B.0.2 s末质点的速度方向向右
C.0.2~0.4 s质点做加速运动
D.0.4~0.6 s质点在A、O之间,回复力沿正方向不断减小
答案　AD
解析　由题图乙知,质点振动的振幅为5 cm,周期为0.8 s,则x=Asin (ωt+φ)=0.05sin m,当t=0时,x=5 cm,代入上式可得φ=,故该质点的振动方程为x=0.05sin m,故A正确;由题知向右为正方向,根据振动图像知0.2 s末质点经过平衡位置向负方向振动,所以此时速度方向向左,故B错误;0.2~0.4 s内质点由平衡位置向负的最大位移处振动,此过程速度的方向与回复力的方向相反,故质点在做减速运动,故C错误;0.4~0.6 s内质点在A、O之间,回复力沿正方向不断减小,故D正确。
对点练3　单摆及其周期公式
6.(2024·甘肃卷,5)如图为某单摆的振动图像,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.摆长为1.6 m,起始时刻速度最大
B.摆长为2.5 m,起始时刻速度为零
C.摆长为1.6 m,A、C点的速度相同
D.摆长为2.5 m,A、B点的速度相同
答案　C
解析　根据题图可知,单摆的周期T=1.0π s-0.2π s=0.8π s,结合单摆的周期公式T=2π可得单摆的摆长l=1.6 m,起始时刻,单摆的位移最大,加速度最大,速度为零,A、B两点速度大小相等,方向相反,A、C两点速度相同,A、B、D错误,C正确。
7.(2026·广东佛山模拟)如图所示,长为s的光滑水平面左端为竖直墙壁,右端与半径为R的光滑圆弧轨道相切于B点。一质量为m的小球从圆弧轨道上离水平面高为h(h R)的A点由静止开始下滑,则小球第一次运动到墙壁C点所需的时间为(　　)
A.+s B.π+s
C.+ D.π+
答案　A
解析　小球从A→B,根据动能定理有mgh=mv2-0,解得v=,B到C的时间t1==;由于h R,可知小球在光滑圆弧上的运动为单摆运动,单摆的周期为T=2π,A到B的时间为四分之一周期,即t2=,所以小球第一次运动到墙壁C点的时间t=t1+t2=+s,故A正确。
对点练4　受迫振动和共振
8.(2026·山东聊城高三期末)汽车的悬挂系统是由车身与轮胎间的弹簧及避震器组成的支持系统。某型号汽车的“车身—悬挂系统”振动的固有频率是5 Hz,这辆汽车匀速通过铺设有条状减速带的路段,已知相邻两条减速带间的距离为1.8 m,如图所示。若该车经过减速带的过程中,车身上下颠簸得极为剧烈,则该车的速度最接近(　　)
A.8 km/h B.16 km/h
C.32 km/h D.64 km/h
答案　C
解析　当车身因经过减速带而产生的受迫振动的频率与车的“车身—悬挂系统”振动的固有频率相等时,车身上下颠簸得最剧烈,此时车的速度为v== m/s=9 m/s≈32 km/h,故C正确。
9.(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)飞力士棒通过利用特殊构造和弹性,产生一定的振动频率,这些振动会深入到身体内的核心肌肉,从而达到强化锻炼的作用。如图所示。飞力士棒的固有频率为3.5 Hz,则(　　)
A.若该棒做自由振动,则频率为3.5 Hz
B.使用时手振动的频率增大,飞力士棒振动的幅度也随之增大
C.手每分钟震动210次,飞力士棒产生共振
D.PVC软杆长度不变,负重头质量减小时,飞力士棒的固有频率保持不变
答案　AC
解析　若棒做自由振动,则振动频率为固有频率3.5 Hz,故A正确;随着手振动的频率增大,飞力士棒振动的频率随之增大,但是幅度可能越来越小,故B错误;手振动频率为f= Hz=3.5 Hz,此时频率与固有频率相等,飞力士棒产生共振,故C正确;负重头质量减小,PVC软杆长度不变,则其结构改变,飞力士棒的固有频率会变化,故D错误。
B级　综合提升练
10.(多选)(2025·湖北卷,9)质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接,小球a由不可伸长的细线悬挂在O点,系统处于静止状态,如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g,忽略空气阻力,弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后(　　)
A.小球a可能会运动
B.若小球b做简谐运动,则其振幅为
C.当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动
D.当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动
答案　AD
解析　如果小球a不动而小球b做简谐运动,则小球b的初始位置为其做简谐运动的平衡位置,可知振幅为l,B错误;系统静止时,对小球b由平衡条件得此时弹簧的伸长量x1=;当小球a恰不运动时细线拉力为零,此时小球b运动到最高点。对小球a由平衡条件得弹簧的压缩量x2=,此时小球b的振幅为A=x1+x2=,所以当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动,C错误,D正确;综上可知,当l>时,小球a会运动,A正确。
11.(2026·广西桂林模拟)如图所示,θ-t图像为两单摆的振动图像,θ为摆线偏离竖直方向的角度(θ<5°)。两单摆的摆球质量相同,则(　　)
A.摆长之比=
B.摆长之比=
C.摆球的最大动能之比=
D.摆球的最大动能之比=
答案　D
解析　根据题中两单摆的振动图像知,两单摆的周期之比为,根据单摆周期公式T=2π,可得T2=L=kL,故摆长之比==,故A、B错误;甲、乙两个单摆的摆球质量相同,摆线的最大摆角相同,从最高点到最低点,由动能定理有mgL(1-cos θ)=Ek,故摆球的最大动能之比==,故C错误,D正确。
C级　培优加强练
12.(多选)(2025·河北卷,9)如图,截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上,两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮,静止在斜面体两侧,细绳与斜面平行。此外,两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连,且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离,然后松开。弹簧始终在弹性限度内,斜面倾角为θ,不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.左侧小物块沿斜面做简谐运动
B.细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大
C.右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等
D.若θ增大,则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长
答案　AC
解析　初始时,两物块均处于静止状态,故初始位置为其平衡位置,此时弹簧均处于原长,弹簧弹力为0,当小物块离开平衡位置的位移为x时,由牛顿第二定律,对左侧小物块有FT+kx-mgsin θ=ma,对右侧小物块有mgsin θ+kx-FT=ma,联立解得细绳拉力FT=mgsin θ,kx=ma,可知细绳拉力FT不变,因合力方向与位移方向相反,结合牛顿第二定律可得两小物块受到的合力F合=-kx,故两小物块均做简谐运动,故A正确,B错误;根据简谐运动的对称性可知,右侧小物块在最高位置和最低位置的加速度大小相等,故C正确;弹簧振子振动周期T=2π,与斜面夹角无关,故D错误。(共60张PPT)
第1讲　机械振动
第七章　机械振动　机械波
1.认识简谐运动,理解简谐运动的表达式和图像。 2.知道单摆,理解并熟记单摆的周期公式。 3.认识受迫振动,了解产生共振的条件及其应用。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
平衡位置
一、简谐运动
1.
回复力
平衡位置
平衡位置
kx
效果
合力
分力
2.两种模型
模型 弹簧振子 单摆
示意图
简谐运 动条件 (1)弹簧质量可忽略 (2)无摩擦等阻力 (3)在弹簧弹性限度内 (1)摆线为不可伸缩的轻细线
(2)无空气阻力
(3)摆角小于5°
模型 弹簧振子 单摆
回复力 弹簧的　　　　提供 摆球　　　　沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡位置 弹簧　　　　处 最低点
周期 与振幅无关
能量 转化 　　　　　与动能相互转化,系统的机械能守恒 　　　　　　与动能相互转化,摆球机械能守恒
弹力
重力
原长
弹性势能
重力势能
-kx
二、简谐运动的表达式和图像
1.
Asin(ωt+φ)
初相
Asin ωt
2.
Acos ωt
驱动力
三、受迫振动和共振
1.
驱动力
无关
固有频率
2.
等于
振幅
Am
越
小
1.思考判断
(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。( )
(2)做简谐运动的质点先后通过同一点时,回复力、速度、加速度、位移都是相同的。( )
(3)做简谐运动的质点,速度增大时,其加速度一定减小。( )
(4)振动物体经过半个周期,路程一定等于2倍振幅;经过个周期,路程一定等于振幅。( )
(5)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。( )
(6)物体做受迫振动时,其振动频率与固有频率无关。( )
(7)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。( )
(8)简谐运动的振动图像一定是正弦曲线。( )
×
×
√
×
×
√
×
√
D
2.如图,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动,以竖直向上为正方向,物块简谐运动的表达式为y=0.1sin (2.5πt) m。t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下,t=0.6 s时,小球恰好与物块处于同一高度,重力加速度g取10 m/s2。以下判断正确的是(　　)
A.h=1.8 m
B.简谐运动的频率是2.5 Hz
C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D.t=0.4 s时,物块与小球运动方向相同
D
3.某质点的振动图像如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.1 s和3 s时刻,质点的速度相同
B.1 s到2 s时间内,质点的速度与加速度方向相同
C.简谐运动的表达式为y=2sin(0.5πt+1.5π) cm
D.简谐运动的表达式为y=2sin(0.5πt+0.5π) cm
AC
4.(多选)(人教版选择性必修第一册P60T6改编)把一个筛子用四根弹簧支撑起来,筛子上装一个电动偏心轮,它每转一周,给筛子一个驱动力,这就做成了一个共振筛,如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压,可使偏心轮转速提高;增加弹簧的劲度系数,可减小筛子的固有周期。现在,在某电压下偏心轮的转速是60 r/min。为使共振筛的振幅增大,以下做法可行的是(　　)
A.降低输入电压
B.增加输入电压
C.更换劲度系数更大的弹簧
D.更换劲度系数更小的弹簧
研透核心考点
2
考点二　简谐运动的表达式和图像
考点一　简谐运动的基本特征
考点三　单摆及其周期公式
考点四　受迫振动和共振
考点一　简谐运动的基本特征
简谐运动的五个特征
受力特征 回复力F=-kx,F(或a)的大小与x的大小成正比,方向相反
运动特征 衡位置时,a、F、x都减小,v增大;远离平衡位置时,a、F、x都增大,v减小
能量特征 振幅越大,能量越大。在运动过程中,动能和势能相互转化,系统的机械能守恒
周期性特征
对称性特征 关于平衡位置O对称的两点,相对平衡位置的位移大小、加速度的大小、速度的大小、动能、势能均相等
角度　　简谐运动基本物理量的分析
例1 (2026·广东茂名模拟)如图所示,平静湖面上漂浮的浮子受到轻微扰动后,在竖直方向上做简谐运动,周期为T,振幅为A。已知t=0时刻,浮子正经过平衡位置竖直向下运动,下列说法正确的是(　　)
A.在t=时,浮子的加速度最大,方向竖直向下
B.在t=时,浮子的位移最大,速度方向竖直向下
C.在t=时,浮子的加速度和位移均为零,速度方向竖直向上
D.浮子的振幅越大,其振动周期就越大
C
解析　已知t=0时刻,浮子正经过平衡位置竖直向下运动,可知在t=时,浮子处于下方最大位移处,则浮子的加速度最大,方向竖直向上,故A错误;在t=或t=时,浮子处于平衡位置向上运动,浮子的加速度和位移均为零,速度方向竖直向上,故B错误,C正确;简谐运动的周期与振幅无关,故D错误。
以位移为桥梁分析简谐运动中各物理量的变化情况
(1)位移增大时,振动质点的回复力、加速度、势能均增大,速度、动能均减小;反之,则产生相反的变化。
(2)位移相同时,回复力、加速度、动能、势能相同,但速度可能有两个方向,由于周期性,运动时间也不确定。
角度　　简谐运动的周期性和对称性
例2 (2026·山东日照高三期末)如图所示,劲度系数为k的轻弹簧上端固定,下端通过细线连接两个质量均为m的小球a和b,系统处于静止状态。t=0时烧断细线,t=t0时弹簧的弹力第一次为零。重力加速度为g,不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A.小球a做简谐运动的振幅为 B.小球a做简谐运动的周期为t0
C.t=t0时,小球a的动能最大 D.t=t0时,小球a的回复力为零
C
解析　根据F=kx可知,在平衡位置时,弹簧的伸长量为x0=,烧断细线前,弹簧伸长量为x1=,所以小球a做简谐运动的振幅为A=x1-x0=,故A错误;根据简谐运动的对称性可知,小球a运动到最高点时,弹簧的形变量为x2=x0-A=0,即小球a运动到最高点时弹簧处于原长,所以小球a做简谐运动的周期为T=2t0,故B错误;根据简谐运动的时间对称可知,t=时,小球a运动到平衡位置,即小球a的动能最大,故C正确;t=t0时,小球a运动到最高点,位移最大,回复力最大,故D错误。
考点二　简谐运动的表达式和图像
1.简谐运动的振动方程和图像
(1)从平衡位置开始计时:x=Asin ωt,如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时:x=Acos ωt,如图乙所示。
(3)图像反映的是位移随时间的变化规律,随时间的增加而延伸,图像不代表质点运动的轨迹。
2.由图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向:曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示相应时刻质点的速度大小和方向,速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向:回复力总是指向平衡位置,回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
3.简谐运动的对称性(如图)
(1)相隔Δt=nT(n=1,2,3,…)的两个时刻,弹簧振子在同一位置,位移和速度都相同。
(2)相隔Δt=(n+)T(n=0,1,2,…)的两个时刻,弹簧振子的位置关于平衡位置对称,位移等大反向(或都为零),速度也等大反向(或都为零)。
例3 (多选)(2026·山西晋中高三月考)一质点做简谐运动时其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.该简谐运动的周期为5×10-2 s,振幅为28 cm
B.该简谐运动的表达式为x=14sin cm
C.t=0.5×10-2 s时质点的速度最大,且方向沿x轴负方向
D.t=0.5×10-2 s时质点的位移为-7 cm
BD
解析　由题图知该简谐运动的周期T=4×10-2 s,振幅A=14 cm,故A错误;圆频率ω==50π rad/s,且t=0时刻,质点位于负向最大位移处,所以质点做简谐运动的表达式为x=14sin cm或x=14sin cm,故B正确;t=1×10-2 s时质点位于平衡位置,速度最大,且沿x轴正方向,故C错
误;当t=0.5×10-2 s时质点的位移为
x=14sin cm=-7 cm,故D正确。
1.(2024·福建卷,2)某简谐振动的y-t图像如图所示,则以下说法正确的是(　　)
跟踪训练
A.振幅为2 cm
B.频率为2.5 Hz
C.0.1 s时速度为0
D.0.2 s时加速度方向竖直向下
B
解析　由题图像可知该简谐振动的振幅为1 cm,振动周期为0.4 s,由f=可知,频率为2.5 Hz,A错误,B正确;0.1 s时,质点位于平衡位置,此时速度达到最大值,C错误;0.2 s时,质点位于负向最大位移处,加速度方向指向平衡位置,方向竖直向上,D错误。
1.单摆的受力特征
考点三　单摆及其周期公式
(1)回复力:摆球重力沿与摆线垂直方向的分力,F回=-mgsin θ=-x=-kx,负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力:摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力,Fn=FT-mgcos θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时,v=0,Fn=m=0,FT=mgcos θ。
②当摆球在最低点时,Fn=m,Fn最大,FT=mg+m。
2.周期公式T=2π的两点说明
(1)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
例4 (多选)(2026·陕西西安一模)力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力,如图甲所示,O点为单摆的固定悬点,现将摆球从A点释放,则摆球在竖直平面内的A、B、C之间来回摆动。B点为运动中的最低位置,∠AOB=∠COB=θ,θ小于5°且是未知量。图乙是由力传感器得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线,图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻,重力加速度g=10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.单摆的周期为0.4π s
B.摆长为0.2 m
C.摆球的质量为0.05 kg
D.摆球运动过程中的最大速度为0.5 m/s
AC
解析　摆球在一个周期T内两次经过最低点,球
在最低点时细线拉力最大,结合题图乙可知单摆
周期T=2×(0.3π-0.1π)s=0.4π s,故A正确;单摆周期
T=2π,联立解得摆长l=0.4 m,故B错误;摆球在最
低点时速度v最大,由题图乙可知细线拉力的最大值、最小值分别为Fmax=0.510 N、Fmin=0.495 N,设摆球质量为m,由牛顿第二定律知在最低点时,有Fmax-mg=m,在最高点时,有Fmin=mgcos θ,小球从最高点到最低点,由动能定理得mg(l-lcos θ)=mv2,联立解得m=0.05 kg,v= m/s,故C正确,D错误。
2.(2025·四川卷,5)如图所示,甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上,从左至右摆长依次增加,小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度,由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时,小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点,同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则(　　)
跟踪训练
A.小球甲第一次回到释放位置时,小球丙加速度为零
B.小球丁第一次回到平衡位置时,小球乙动能为零
C.小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D.小球丙、丁的摆长之比为1∶2
C
简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
考点四　受迫振动和共振
　　振动 项目　　 简谐运动 受迫振动 共振
振动周期 或频率 由系统本身性质决定,即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或f=f驱 T驱=T0或f驱=f0
振动能量 系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ<5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
例5 (2026·湖北恩施高三月考)某款风铃由不同长度的金属管组成,当微风吹过时,金属管会振动发出清脆悦耳的声音。关于此现象,下列说法正确的是(　　)
A.金属管的振动频率等于风力频率
B.风力频率越高,金属管振动幅度越大
C.各金属管固有频率相同,振动周期相等
D.金属管做受迫振动时,无回复力作用
A
解析　物体做受迫振动时,其振动频率始终等于驱动力的频率,故金属管做受迫振动的振动频率等于风力频率,A正确;金属管振动幅度大小主要取决于风力频率与金属管固有频率是否接近。只有当风力频率接近金属管固有频率时,才会发生共振,振动幅度才会显著增大,并非风力频率越高,振动幅度就越大,B错误;不同长度的金属管,由于结构参数不同,其固有频率也不同。振动周期和频率互为倒数,各管的振动周期并不相等,C错误;只要是机械振动就一定存在回复力,金属管振动时,其自身的弹性以及重力等因素会形成促使其回到平衡位置的力,即回复力,D错误。
提升素养能力
3
A级　基础对点练
B
对点练1　简谐运动的基本特征
1.如图所示,弹簧振子在M、N之间做简谐运动,以平衡位置O为原点,建立Ox轴,向右为x轴正方向,则(　　)
A.振子运动到O点时的动量为零
B.振子在M、O之间运动时,加速度可能增大
C.振子运动到N点时的加速度为零
D.若振子初始位置在M点,此时开始计时,则其振动图像为正弦函数曲线
解析　由题意可知,弹簧振子在M、N之间做简谐运动,O点为平衡位置,则振子运动到O点时的速度不为零,动量不为零,A错误;振子在M、O之间运动时,运动方向可能向左也可能向右,向左时远离平衡位置,则其加速度增大,向右时衡位置,则其加速度减小,B正确;振子运动到N点时,处于距离平衡位置最大位移处,则此时加速度最大,C错误;若振子初始位置在M点,此时开始计时,则其振动图像如图所示,是余弦函数曲线,D错误。
BC
2.(多选)一个小球在平衡位置O点附近做简谐运动,若从O点开始计时,经过2 s小球第一次经过M点,再继续运动,又经过0.5 s它第二次经过M点。小球做简谐运动的周期可能为(　　)
A.2 s B.3 s C.9 s D.10 s
解析　若振子开始运动的方向从O点先向左,再向M点运动,运动路线如图甲所示,有2 s+×0.5 s=T,解得振动的周期为T=3 s;若振子开始运动的方向从O点向右直接向M点运动,运动路线如图乙所示,振动的周期为T=4×=9 s,故B、C正确。
C
对点练2　简谐运动的表达式和图像
3.(2026·北京房山高三期末)用小球和轻弹簧组成弹簧振子,使其沿水平方向振动,振动图像如图所示,下列描述正确的是(　　)
A.1~2 s内,小球的速度逐渐减小
B.2~3 s内,弹簧的弹性势能逐渐减小
C.t=4 s时,小球的动能达到最大值
D.t=5 s时,弹簧弹力为正的最大值
解析　由题图可知,1~2 s内小球的位移减小,说明弹性势能转化为动能,即速度增大,故A错误;2~3 s内小球的位移增大,说明动能转化为弹性势能,即弹性势能增大,故B错误;t=4 s时,小球位于平衡位置,此时动能最大,故C正确;t=5 s时,小球的位移正向最大,则弹簧弹力为负的最大值,故D错误。
D
4.(2025·安徽滁州模拟)如图所示,用平行光从侧面照射一个做匀速圆周运动的小球,它在光屏上的影子将做简谐运动。若从某时刻开始计时,测得影子偏离平衡位置的位移随时间变化的关系为x=10sin cm,则小球的加速度大小为(　　)
A.0.1 m/s2 B.0.2 m/s2
C.0.3 m/s2 D.0.4 m/s2
解析　根据影子偏离平衡位置的位移随时间变化的关系为x=10sin cm,可知小球做匀速圆周运动的半径为r=10 cm,小球做匀速圆周运动的角速度为ω=
2 rad/s,则小球的加速度大小为a=ω2r=22×0.1 m/s2=0.4 m/s2,故D正确。
AD
5.(多选)(2026·海南海口琼山中学月考)一个质点以O点为平衡位置,在A、B间做简谐运动,如图甲所示,它的振动图像如图乙所示,设向右为正方向,下列说法正确的是(　　)
A.该质点的振动方程为
x=0.05sin m
B.0.2 s末质点的速度方向向右
C.0.2~0.4 s质点做加速运动
D.0.4~0.6 s质点在A、O之间,回复力沿正方向不断减小
解析　由题图乙知,质点振动的振幅为5 cm,周期为0.8 s,则x=Asin (ωt+φ)=
0.05sin m,当t=0时,x=5 cm,代入上式可得φ=,故该质点的振动方程为x=0.05sin m,故A正确;由题知向右为正方向,根据振动图像知0.2 s末质点经过平衡位置向负方向振动,所以此时速度方向向左,故B错误;0.2~0.4 s内质点由平衡位置向负的最大位移处振动,此
过程速度的方向与回复力的方向相反,故
质点在做减速运动,故C错误;0.4~0.6 s内
质点在A、O之间,回复力沿正方向不断
减小,故D正确。
C
对点练3　单摆及其周期公式
6.(2024·甘肃卷,5)如图为某单摆的振动图像,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.摆长为1.6 m,起始时刻速度最大
B.摆长为2.5 m,起始时刻速度为零
C.摆长为1.6 m,A、C点的速度相同
D.摆长为2.5 m,A、B点的速度相同
解析　根据题图可知,单摆的周期T=1.0π s-0.2π s=0.8π s,结合单摆的周期公式T=2π可得单摆的摆长l=1.6 m,起始时刻,单摆的位移最大,加速度最大,速度为零,A、B两点速度大小相等,方向相反,A、C两点速度相同,A、B、D错误,C正确。
A
7.(2026·广东佛山模拟)如图所示,长为s的光滑水平面左端为竖直墙壁,右端与半径为R的光滑圆弧轨道相切于B点。一质量为m的小球从圆弧轨道上离水平面高为h(h R)的A点由静止开始下滑,则小球第一次运动到墙壁C点所需的时间为(　　)
A.+s B.π+s
C.+ D.π+
解析　小球从A→B,根据动能定理有mgh=mv2-0,解得v=,B到C的时间t1==;由于h R,可知小球在光滑圆弧上的运动为单摆运动,单摆的周期为T=2π,A到B的时间为四分之一周期,即t2=,所以小球第一次运动到墙壁C点的时间t=t1+t2=+s,故A正确。
C
对点练4　受迫振动和共振
8.(2026·山东聊城高三期末)汽车的悬挂系统是由车身与轮胎间的弹簧及避震器组成的支持系统。某型号汽车的“车身—悬挂系统”振动的固有频率是5 Hz,这辆汽车匀速通过铺设有条状减速带的路段,已知相邻两条减速带间的距离为1.8 m,如图所示。若该车经过减速带的过程中,车身上下颠簸得极为剧烈,则该车的速度最接近(　　)
A.8 km/h B.16 km/h
C.32 km/h D.64 km/h
解析　当车身因经过减速带而产生的受迫振动的频率与车的“车身—悬挂系统”振动的固有频率相等时,车身上下颠簸得最剧烈,此时车的速度为v== m/s=9 m/s≈
32 km/h,故C正确。
AC
9.(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)飞力士棒通过利用特殊构造和弹性,产生一定的振动频率,这些振动会深入到身体内的核心肌肉,从而达到强化锻炼的作用。如图所示。飞力士棒的固有频率为3.5 Hz,则(　　)
A.若该棒做自由振动,则频率为3.5 Hz
B.使用时手振动的频率增大,飞力士棒振动
的幅度也随之增大
C.手每分钟震动210次,飞力士棒产生共振
D.PVC软杆长度不变,负重头质量减小时,飞力士棒的固有频率保持不变
解析　若棒做自由振动,则振动频率为固有频率3.5 Hz,故A正确;随着手振动的频率增大,飞力士棒振动的频率随之增大,但是幅度可能越来越小,故B错误;手振动频率为f= Hz=3.5 Hz,此时频率与固有频率相等,飞力士棒产生共振,故C正确;负重头质量减小,PVC软杆长度不变,则其结构改变,飞力士棒的固有频率会变化,故D错误。
AD
10.(多选)(2025·湖北卷,9)质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接,小球a由不可伸长的细线悬挂在O点,系统处于静止状态,如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g,忽略空气阻力,弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后(　　)
A.小球a可能会运动
B.若小球b做简谐运动,则其振幅为
C.当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动
D.当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动
B级　综合提升练
解析　如果小球a不动而小球b做简谐运动,则小球b的初始位置为其做简谐运动的平衡位置,可知振幅为l,B错误;系统静止时,对小球b由平衡条件得此时弹簧的伸长量x1=;当小球a恰不运动时细线拉力为零,此时小球b运动到最高点。对小球a由平衡条件得弹簧的压缩量x2=,此时小球b的振幅为A=x1+x2=,所以当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动,C错误,D正确;综上可知,当l>时,小球a会运动,A正确。
D
11.(2026·广西桂林模拟)如图所示,θ-t图像为两单摆的振动图像,θ为摆线偏离竖直方向的角度(θ<5°)。两单摆的摆球质量相同,则(　　)
A.摆长之比=
B.摆长之比=
C.摆球的最大动能之比=
D.摆球的最大动能之比=
解析　根据题中两单摆的振动图像知,两单摆的周期之比为,根据单摆周期公式T=2π,可得T2=L=kL,故摆长之比==,故A、B错误;甲、乙两个单摆的摆球质量相同,摆线的最大摆角相同,从最高点到最
低点,由动能定理有mgL(1-cos θ)=Ek,故摆球的最大
动能之比==,故C错误,D正确。
AC
12.(多选)(2025·河北卷,9)如图,截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上,两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮,静止在斜面体两侧,细绳与斜面平行。此外,两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连,且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离,然后松开。弹簧始终在弹性限度内,斜面倾角为θ,不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.左侧小物块沿斜面做简谐运动
B.细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大
C.右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等
D.若θ增大,则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长
C级　培优加强练
解析　初始时,两物块均处于静止状态,故初始位
置为其平衡位置,此时弹簧均处于原长,弹簧弹力
为0,当小物块离开平衡位置的位移为x时,由牛顿
第二定律,对左侧小物块有FT+kx-mgsin θ=ma,对右侧小物块有mgsin θ+kx-FT=ma,联立解得细绳拉力FT=mgsin θ,kx=ma,可知细绳拉力FT不变,因合力方向与位移方向相反,结合牛顿第二定律可得两小物块受到的合力F合=-kx,故两小物块均做简谐运动,故A正确,B错误;根据简谐运动的对称性可知,右侧小物块在最高位置和最低位置的加速度大小相等,故C正确;弹簧振子振动周期T=2π,与斜面夹角无关,故D错误。
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