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实验九　用单摆测量重力加速度的大小
原理装置图 实验步骤 注意事项
测摆长l和周期T,由 T=2π得g= 1.做单摆 将细线穿过带中心孔的小钢球,并打一个比小孔大一些的结,然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上,让摆球自然下垂。 2.测摆长 用米尺量出摆线长l'(精确到毫米),用游标卡尺测出小球直径D,则单摆的摆长l=l'+。 3.测周期 将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°),然后释放小球,记下单摆摆动30~50次的总时间,算出一次全振动的时间,即为单摆的周期。 4.改变摆长,重做几次实验。 1.摆线要选1 m左右、柔软不易伸长的细线,不要过长或过短。 2.悬线长要待悬挂好摆球后再测,计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。 3.单摆要在竖直平面内摆动,不要形成圆锥摆。 4.要从平衡位置开始计时,并数准全振动的次数。
数据 处理 1.公式法:g=,算出重力加速度g的值,再求出g的平均值。 2.图像法:根据测出的一系列摆长l对应的周期T,作l-T2的图像,由单摆周期公式得l=T2,图像应是一条通过原点的直线,如图所示,求出图线的斜率k,即可利用g=4π2k求重力加速度。
考点一　教材原型实验
例1 (2026·北京海淀区高三期末)某同学用图甲所示装置测量当地重力加速度。
(1)关于器材选择及测量时的一些实验操作,下列说法正确的是　　　　。
A.摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的
B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C.为了使单摆的周期大一些以方便测量,应使摆角大一些
(2)在某次实验中,测得单摆摆长为L、单摆完成n次全振动的时间为t,则利用上述测量量可得重力加速度的表达式g=　　　　。
(3)实验时改变摆长,测出几组摆长L和对应的周期T的数据,作出L-T2图像,如图乙所示。
①利用A、B两点的坐标可得重力加速度的表达式g=　　　　。
②因摆球质量分布不均匀,小球的重心位于其几何中心的正下方。若只考虑摆长测量偏小造成的影响,则由①计算得到的重力加速度的测量值　　　　真实值(选填“大于”“等于”或“小于”)。
(4)关于摩擦力可以忽略的斜面上的单摆,某同学猜想单摆做小角度摆动时周期满足T=2π,如图丙所示。为了验证猜想正确与否,他设计了如下实验:如图丁所示,铁架台上装一根重垂线,在铁架台的立柱跟重垂线平行的情况下,将小球、摆线、摆杆组成的“杆线摆”装在立柱上,调节摆线的长度,使摆杆与立柱垂直,摆杆可绕着立柱自由转动。且不计其间的摩擦。如图戊所示,把铁架台底座的一侧垫高,立柱倾斜,静止时摆杆与重垂线的夹角为β,小球实际上相当于是在一倾斜平面上运动。下列图像能直观地验证猜想是否正确的是　　　　。
A.-sin β图像
B.-cos β图像
C.-tan β图像
答案　(1)AB　(2)　(3)①　②等于　(4)B
解析　(1)单摆的摆长不能改变,摆球的机械能守恒,因此摆线需要选择细且伸缩性较小的,摆球需要选择质量较大、体积较小的以减小空气阻力的影响,A、B正确;单摆的摆角不能超过5°,C错误。
(2)该单摆的周期为T=,结合单摆的周期公式T=2π,解得g=。
(3)①根据T=2π可知L=T2,结合题图乙图像斜率可知=,解得g=;②由于=,只考虑摆长增大,则对图像斜率无影响,因此计算得到的重力加速度的测量值等于真实值。
(4)小球摆动示意图如图所示,等效重力加速度为g0=gcos β,结合单摆的周期公式有T=2π,变形得=·cos β,B正确,A、C错误。
跟踪训练
1.(2026·天津和平高三期末)利用单摆可以测量当地的重力加速度。
(1)为了较精确地进行测量,以下两种单摆组装方式,应选择　　　　。
(2)组装好单摆,先用刻度尺测量摆线长度,再用游标卡尺测量小球的直径,其示数如图甲,则小球直径为　　　　 mm;摆球在竖直平面内稳定摆动后,用秒表记录单摆经历多次全振动所用的时间t如图乙所示,则t= 　　　　s。
(3)测量出多组单摆的摆长L和运动周期T,作出T2-L图像,如图丙所示,由此可求出重力加速度g=　　　　 m/s2(π2≈10,保留2位有效数字)。
(4)丙图像不过坐标原点,原因可能是将　　　　　　　
(选填“摆线长”或“摆线长加小球直径”)作为摆长,上述操作在使用图像法求解重力加速度时会使测量值　　　　　　(选填“偏大”“偏小”或“无影响”)。
答案　(1)b　(2)9.3　100.0　(3)10　(4)摆线长　无影响
解析　(1)根据单摆模型可知,单摆的悬点要固定,故选b。
(2)小球直径为d=9 mm+3×0.1 mm=9.3 mm,单摆经历多次全振动所用的时间t=60 s+40.0 s=100.0 s。
(3)根据单摆周期公式T=2π,整理得T2=L,则斜率为k== s2/m=4 s2/m,解得g=10 m/s2。
(4)根据上述分析可知,理论上图像应该为过原点的直线,题中图像相对理论图像在相同周期下,所测摆长比实际值偏小,则原因可能是将摆线长作为摆长,根据T=2π,整理得T2=L+
由于斜率不变,所以使用图像法求解重力加速度时会对测量值无影响。
考点二　创新拓展实验
例2 (2024·湖北卷,12)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案,所用器材有:2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。
具体步骤如下:
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上,弹簧下面挂上装有遮光片的托盘,在托盘内放入一个砝码,如图(a)所示。
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l,并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放,使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量,重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T=2π,其中k为弹簧的劲度系数,M为振子的质量。
(1)由步骤④,可知振动周期T=　　　　。
(2)设弹簧的原长为l0,则l与g、l0、T的关系式为l=　　　　。
(3)由实验数据作出的l-T2图线如图(b)所示,可得g=　　　　m/s2(保留3位有效数字,π2取9.87)。
(4)本实验的误差来源包括　　　　　(双选,填标号)。
A.空气阻力
B.弹簧质量不为零
C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
答案　(1)　(2)l0+T2　(3)9.65　(4)AB
解析　(1)由于30次全振动所用的时间为t,则1次全振动的时间,即振动周期T=。
(2)弹簧振子平衡时,由力的平衡条件有k(l-l0)=Mg,又T=2π,联立可得l=l0+T2。
(3)结合(2)问分析可知l-T2图线的斜率k=,由题图(b)可知k= m/s2,联立解得g=9.65 m/s2。
(4)空气阻力会使本实验中的振动系统做阻尼振动,即本实验中的振动系统并不是理想化的弹簧振子,而本实验中是将振动系统理想化为弹簧振子,从而测出重力加速度的,所以空气阻力是本实验的一个误差来源,A正确;(2)问分析中将弹簧振子的质量等效为托盘及其上砝码的总质量,但是实际上弹簧振子的质量为弹簧的质量和托盘及其上砝码的总质量之和,所以弹簧质量不为零是本实验的一个误差来源,B正确;由于数字计时器记录的是30次全振动的时间,所以光电门的位置只要在托盘经过的位置均可,即光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置不是本实验的误差来源,C错误。
跟踪训练
2.(2025·广东广州模拟)某同学利用双线摆和光传感器测量当地的重力加速度,如图甲,A为激光笔,B为光传感器。
实验过程如下:
(1)用20分度的游标卡尺测量小球的直径,如图乙,则小球的直径d=　　　　mm。
(2)①测出两悬点(两悬点位于同一水平高度)间的距离s和摆线长L(两摆线等长)。
②使悬线偏离竖直方向一个较小角度并将摆球由静止释放,同时启动光传感器,得到光照强度随时间变化的图像如图丙,则双线摆摆动的周期T=　　　　。
(3)根据上述数据可得当地重力加速度g=　　　　　　　　(用Δt、d、L、s表示)。
(4)该双线摆装置测重力加速度较传统的单摆实验优势在于　　　　　　　　　　　　(回答一点即可)。
答案　(1)20.80　(2)2Δt (3) (4)使小球更好地在同一竖直平面内摆动
解析　(1)该游标卡尺的分度值为0.05 mm,则小球的直径为d=36 mm-16×0.95 mm=20.80 mm。
(2)因为每半个周期小球挡光一次,故双线摆摆动的周期T=2Δt。
(3)根据几何关系可得摆长为
l=+,
根据单摆周期公式T=2π
解得g=。
(4)该装置测重力加速度可使小球更好地在同一竖直平面内摆动。
1.(2026·山东淄博模拟)某同学利用如图甲所示的一半径较大的固定光滑圆弧面测定当地重力加速度。该同学将小钢球从最低点移开一小段距离由静止释放,则小钢球的运动可等效为一单摆的简谐运动。
具体步骤如下:
(1)用螺旋测微器测量小钢球的直径,示数如图乙所示,则小钢球的直径d=　　　　mm。
(2)用秒表测量小钢球的运动周期T时,开始计时的位置为图甲中的　　　　(选填“A”“O”或“A'”)。
(3)更换不同的小钢球测出对应直径d进行实验,根据实验记录的数据,绘制如图丙所示的-T2图像,横、纵轴截距分别为a、b。由图像可得当地的重力加速度g=　　　　,圆弧的半径R=　　　　(用字母π、a、b表示)。
(4)该同学查阅资料得知,单摆做简谐运动的周期T0是初始摆角很小时的近似值,实验过程中初始摆角对周期T有一定的影响,与初始摆角θ的关系如图丁所示,由图像可知随θ角的增大,重力加速度g的测量值　　　　(选填“增大”“减小”或“不变”)。
答案　(1)13.870　(2)O　(3)　b　(4)减小
解析　(1)根据螺旋测微器读数规则,可读出图乙所示小钢球的直径为
d=13.5 mm+37.0×0.01 mm=13.870 mm。
(2)小钢球在O点运动速度最快,从O点开始计时造成的时间测量误差最小,所以应从O点开始计时。
(3)由题意,根据单摆周期公式可得
T=2π,整理可得=-T2+R
根据实验记录的数据,绘制如图丙所示的-T2图像,横、纵轴截距分别为a、b。由图丙可得-=-,可得当地的重力加速度g=,圆弧的半径R=b。
(4)由题意,根据单摆周期公式有T=2π,T0=2π,解得=
由图像可知随θ角的增大,增大,则g测减小。
2.(2026·天津南开一模)某同学使用如图甲所示装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点,下端悬挂一小钢球,通过光电门传感器采集摆动周期。请完成以下问题:
甲
(1)为了减小测量误差,下列做法正确的是　　　　。
A.摆的振幅越大越好
B.摆球质量和体积都要小些
C.摆线尽量细些、短些、伸缩性小些
D.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
(2)某次摆球在最高点接通数据采集器,当摆球第一次(n=1)通过光电门时开始计时,数据采集器记录n(n≥30)次小球通过光电门时间为t,则该单摆的周期为　　　　,设该单摆摆长为L,则重力加速度g=　　　　(用L、n、t、π表示)。
(3)该同学用标准的实验器材和正确的实验方法测量出几组不同摆长L和周期T的数值,画出如图乙T2-L图像中的实线OM;如果实验中测量摆长时忘了加上摆球的半径,则该同学作出的T2-L图像为　　　　。
乙
A.虚线①,不平行实线OM
B.虚线②,平行实线OM
C.虚线③,平行实线OM
答案　(1)D　(2)　　(3)B
解析　(1)单摆在摆角小于5°时的振动为简谐运动,故A错误;为减小空气阻力对实验的影响,摆球应质量大些、体积小些,故B错误;为保证摆长不变且减小周期测量的误差,摆线尽量细些、长些、伸缩性小些,故C错误;实验时须使摆球在同一竖直面内摆动,不能使单摆成为圆锥摆,故D正确。
(2)小球第一次通过光电门开始计时,依次每通过两次为一周期,所以t时间为个周期,所以周期T=,根据T=2π,解得g=。
(3)测量摆长时忘了加上摆球的半径,也就是将摆线的长度l作为摆长,则T2===+,斜率未受影响,故B正确。
3.(2026·广东惠州高三期末)某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。实验装置如图甲所示,测得每根悬线长为L,两悬点间距为2 s,小球两侧为光电计数器。实验步骤如下,请回答下列问题:
(1)用游标卡尺测量小球的直径如图乙,则小球的直径D是　　　　mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动,使悬线偏离竖直方向的角度　　　　5°(选填“大于”或“小于”)。
(3)启动光电计数器,悬线偏离竖直方向后,由静止释放小球,当小球经过平衡位置O时,计时器开始计时,并计为第1次。当光电计数器上显示的计数次数刚好为n时,测得所用的时间为t,由此可知,单摆的振动周期T为　　　　。
A. B.
C. D.
(4)根据上述实验方法测量得到的物理量,可得到当地重力加速度g=　　　　　　　(用字母L、s、D、T表示)。
答案　(1)15.4　(2)小于　(3)D (4)
解析　(1)小球的直径为d=15 mm+4×0.1 mm=15.4 mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动,小球做简谐运动,则应使悬线偏离竖直方向的角度小于5°。
(3)当光电计数器显示数为“1”时是0时刻,故计数次数刚好为n时,全振动次数为N=
故单摆的振动周期T==,故D正确。
(4)摆长等于摆线的有效长度与小球的半径之和,即等效摆长为 l=+
根据单摆的周期公式T=2π
可得g=l
代入数据得g=(+)。
4.一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径,首先,调节螺旋测微器,拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时,发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐,如图(a)所示,该示数为　　　　　　　mm,螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示,该示数为　　　　mm,则摆球的直径为　　　　　mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示,其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处,摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方,则摆线在角度盘上所指的示数为5°时,实际摆角　　　5°(选填“大于”或“小于”)。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm,则摆长为　　　　cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s,则此单摆周期为　　　　s,该小组测得的重力加速度大小为　　　　m/s2(结果均保留3位有效数字,π2取9.870)。
答案　(1)0.006　20.035　20.029　(2)大于　(3)82.5　1.82　9.83
解析　(1)题图(a)中,螺旋测微器固定刻度读数为0,可动刻度部分读数为0.6×0.01 mm=0.006 mm,所以示数为0.006 mm;题图(b)中,螺旋测微器固定刻度读数为20.0 mm,可动刻度部分读数为3.5×0.01 mm=0.035 mm,所以示数为20.035 mm,摆球的直径d=20.035 mm-0.006 mm=20.029 mm。
(2)角度盘固定在O点时,摆线在角度盘上所指角度为摆角大小,若将角度盘固定在O点上方,即角度盘到悬点的距离变短,同样的角度,摆线在刻度盘上扫过的弧长变短,故摆线在角度盘上所指的示数为5°时,实际摆角大于5°。
(3)单摆的摆长l等于摆线长L与摆球半径之和,即l=L+=82.5 cm;从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点,单摆完成30次全振动,故单摆的周期T= s=1.82 s;由单摆的周期公式T=2π可得g=,代入相关数据解得g=9.83 m/s2。
5.(2024·湖南卷,12)在太空,物体完全失重,用天平无法测量质量。如图(a),某同学设计了一个动力学方法测量物体质量的实验方案,主要实验仪器包括:气垫导轨、滑块、轻弹簧、标准砝码、光电计时器和待测物体,主要步骤如下:
(1)调平气垫导轨,将弹簧左端连接气垫导轨左端,右端连接滑块。
(2)将滑块拉至离平衡位置20 cm处由静止释放,滑块第1次经过平衡位置处开始计时,第21次经过平衡位置时停止计时,由此测得弹簧振子的振动周期T。
(3)将质量为m的砝码固定在滑块上,重复步骤(2)。
(4)依次增加砝码质量m,测出对应的周期T,实验数据如下表所示,在图(b)中绘制T2-m关系图线。
m/kg T/s T2/s2
0.000 0.632 0.399
0.050 0.775 0.601
0.100 0.893 0.797
0.150 1.001 1.002
0.200 1.105 1.221
0.250 1.175 1.381
(5)由T2-m图像可知,弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是　　　　(选填“线性的”或“非线性的”)。
(6)取下砝码后,将待测物体固定在滑块上,测量周期并得到T2=0.880 s2,则待测物体质量是　　　　kg(保留3位有效数字)。
(7)若换一个质量较小的滑块重做上述实验,所得T2-m图线与原图线相比将沿纵轴　　　　(选填“正方向”“负方向”或“不”)移动。
答案　(4)见解析图　(5)线性的　(6)0.120 (7)负方向
解析　(4)将题表中的数据在题图(b)中进行描点,然后用直线拟合,使尽可能多的点在直线上,不在直线上的点均匀分布在直线两侧,偏离直线较远的点舍去,如图所示。
(5)由于T2-m图像为一条直线,则弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是线性的。
(6)根据解析图可知T2=0.880 s2时,m=0.120 kg。
(7)当m=0时,T2为滑块对应的弹簧振子振动周期的平方,由图可知物体的质量越大,对应的弹簧振子的振动周期越大,所以质量较小的滑块对应的弹簧振子的振动周期较小,故换一个质量较小的滑块重做实验,所得T2-m图线与原图线相比将沿纵轴负方向移动。(共51张PPT)
实验九　用单摆测量重力加速度的大小
第七章　机械振动　机械波
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
原理装置图 实验步骤 注意事项
1.摆线要选1 m左右、柔软不易伸长的细线,不要过长或过短。
2.悬线长要待悬挂好摆球后再测,计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。
3.单摆要在竖直平面内摆动,不要形成圆锥摆。
4.要从平衡位置开始计时,并数准全振动的次数。
数据 处理
研透核心考点
2
考点二　创新拓展实验
考点一　教材原型实验
考点一　教材原型实验
例1 (2026·北京海淀区高三期末)某同学用图甲所示装置测量当地重力加速度。
(1)关于器材选择及测量时的一些实验操作,下列说法正确的是　　　　。
A.摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的
B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C.为了使单摆的周期大一些以方便测量,应使摆角大一些
解析　单摆的摆长不能改变,摆球的机械能守恒,因此摆线需要选择细且伸缩性较小的,摆球需要选择质量较大、体积较小的以减小空气阻力的影响,A、B正确;单摆的摆角不能超过5°,C错误。
答案　AB
(2)在某次实验中,测得单摆摆长为L、单摆完成n次全振动的时间为t,则利用上述测量量可得重力加速度的表达式g=　　　　。
解析　该单摆的周期为T=,结合单摆的周期公式T=2π,解得g=。
答案　　
(3)实验时改变摆长,测出几组摆长L和对应的周期T的数据,作出L-T2图像,如图乙所示。
①利用A、B两点的坐标可得重力加速度的表达式g=　　　　。
②因摆球质量分布不均匀,小球的重心位于其几何中心的正下
方。若只考虑摆长测量偏小造成的影响,则由①计算得到的重
力加速度的测量值　　　　真实值(选填“大于”“等于”或“小于”)。
答案　①　②等于
解析　①根据T=2π可知L=T2,结合题图乙图像斜率可知=,解得g=;②由于=,只考虑摆长增大,则对图像斜率无影响,因此计算得到的重力加速度的测量值等于真实值。
(4)关于摩擦力可以忽略的斜面上的单摆,某同学猜想单摆做小角度摆动时周期满足T=2π,如图丙所示。为了验证猜想正确与否,他设计了如下实验:如图丁所示,铁架台上装一根重垂线,在铁架台的立柱跟重垂线平行的情况下,将小球、摆线、摆杆组成的“杆线摆”装在立柱上,调节摆线的长度,使摆杆与立柱垂直,摆杆可绕着立柱自由转动。且不计其间的摩擦。如图戊所示,把铁架台底座的一侧垫高,立柱倾斜,静止时摆杆与重垂线的夹角为β,小球实际上相当于是在一倾斜平面上运动。下列图像能直观地验证猜想是否正确的是　　　　。
A.-sin β图像
B.-cos β图像
C.-tan β图像
解析　小球摆动示意图如图所示,等效重力加速度为g0=gcos β,结合单摆的周期公式有T=2π,变形得=·cos β,B正确,A、C错误。
答案　B
跟踪训练
1.(2026·天津和平高三期末)利用单摆可以测量当地的重力加速度。
(1)为了较精确地进行测量,以下两种单摆组装方式,应选择　　　　。
(2)组装好单摆,先用刻度尺测量摆线长度,
再用游标卡尺测量小球的直径,其示数如
图甲,则小球直径为　　　　 mm;摆球在
竖直平面内稳定摆动后,用秒表记录单摆
经历多次全振动所用的时间t如图乙所示,则t= 　　　　s。
(3)测量出多组单摆的摆长L和运动周期T,作出T2-L图像,如图丙所示,由此可求出重力加速度g=　　　　 m/s2(π2≈10,保留2位有效数字)。
(4)丙图像不过坐标原点,原因可能是将　　　　　　　 (选填“摆线长”或“摆线长加小球直径”)作为摆长,上述操作在使用图像法求解重力加速度时会使测量值　　　　　　(选填“偏大”“偏小”或“无影响”)。
答案　(1)b　(2)9.3　100.0　(3)10　(4)摆线长　无影响
解析　(1)根据单摆模型可知,单摆的悬点要固定,故选b。
(2)小球直径为d=9 mm+3×0.1 mm=9.3 mm,单摆经历多次全振动所用的时间t=
60 s+40.0 s=100.0 s。
(3)根据单摆周期公式T=2π,整理得T2=L,
则斜率为k== s2/m=4 s2/m,解得g=10 m/s2。
(4)根据上述分析可知,理论上图像应该为过原点的直线,题中图像相对理论图像在相同周期下,所测摆长比实际值偏小,则原因可能是将摆线长作为摆长,根据T=2π,整理得T2=L+
由于斜率不变,所以使用图像法求解重力加速度时会对测量值无影响。
考点二　创新拓展实验
例2 (2024·湖北卷,12)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案,所用器材有:2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。
具体步骤如下:
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上,弹簧下面挂上装有遮光片
的托盘,在托盘内放入一个砝码,如图(a)所示。
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l,并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放,使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量,重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T=2π,其中k为弹簧的劲度系数,M为振子的质量。
(1)由步骤④,可知振动周期T=　　　　。
解析　由于30次全振动所用的时间为t,则1次全振动的时间,即振动周期T=。
答案　　
(2)设弹簧的原长为l0,则l与g、l0、T的关系式为l=　　　　。
解析　弹簧振子平衡时,由力的平衡条件有k(l-l0)=Mg,又T=2π,联立可得l=l0+T2。
答案　l0+T2　
(3)由实验数据作出的l-T2图线如图(b)所示,可得g=　　　　m/s2(保留3位有效数字,π2取9.87)。
解析　结合(2)问分析可知l-T2图线的斜率k=,由题图(b)可知k= m/s2,联立解得g=9.65 m/s2。
答案　9.65
(4)本实验的误差来源包括　　　　　(双选,填标号)。
A.空气阻力
B.弹簧质量不为零
C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
解析　空气阻力会使本实验中的振动系统做阻尼振动,即本实验中的振动系统并不是理想化的弹簧振子,而本实验中是将振动系统理想化为弹簧振子,从而测出重力加速度的,所以空气阻力是本实验的一个误差来源,A正确;(2)问分析中将弹簧振子的质量等效为托盘及其上砝码的总质量,但是实际上弹簧振子的质量为弹簧的质量和托盘及其上砝码的总质量之和,所以弹簧质量不为零是本实验的一个误差来源,B正确;由于数字计时器记录的是30次全振动的时间,所以光电门的位置只要在托盘经过的位置均可,即光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置不是本实验的误差来源,C错误。
答案　AB
2.(2025·广东广州模拟)某同学利用双线摆和光传感器测量当地的重力加速度,如图甲,A为激光笔,B为光传感器。
跟踪训练
实验过程如下:
(1)用20分度的游标卡尺测量小球的直径,如图乙,则小球的直径d=　　　　mm。
(2)①测出两悬点(两悬点位于同一水平高度)间的距离s和摆线长L(两摆线等长)。
②使悬线偏离竖直方向一个较小角度并将摆球由静止释放,同时启动光传感器,得到光照强度随时间变化的图像如图丙,则双线摆摆动的周期T=　　　　。
(3)根据上述数据可得当地重力加速度g=　　　　　　　　(用Δt、d、L、s表示)。
(4)该双线摆装置测重力加速度较传统的单摆实验优势在于　　　　　　　(回答
一点即可)。
答案　(1)20.80　(2)2Δt (3) (4)使小球更好地在同一竖直平面内摆动
解析　(1)该游标卡尺的分度值为0.05 mm,则小球的直径为
d=36 mm-16×0.95 mm=20.80 mm。
(2)因为每半个周期小球挡光一次,故双线摆摆动的周期T=2Δt。
(3)根据几何关系可得摆长为
l=+,
根据单摆周期公式T=2π
解得g=。
(4)该装置测重力加速度可使小球更好地在同一竖直平面内摆动。
提升素养能力
3
1.(2026·山东淄博模拟)某同学利用如图甲所示的一半径较大的固定光滑圆弧面测定当地重力加速度。该同学将小钢球从最低点移开一小段距离由静止释放,则小钢球的运动可等效为一单摆的简谐运动。
具体步骤如下:
(1)用螺旋测微器测量小钢球的直径,
示数如图乙所示,则小钢球的直径
d=　　　　mm。
(2)用秒表测量小钢球的运动周期T时,开始计时的位置为图甲中的　　　　(选填“A”“O”或“A'”)。
(3)更换不同的小钢球测出对应直径d进行实验,根据实验记录的数据,绘制如图丙所示的-T2图像,横、纵轴截距分别为a、b。由图像可得当地的重力加速度g=　　　　,圆弧的半径R=　　　　(用字母π、a、b表示)。
(4)该同学查阅资料得知,单摆做简谐运动的周期T0是初始摆角很小时的近似值,实验过程中初始摆角对周期T有一定的影响,与初始摆角θ的关系如图丁所示,由图像可知随θ角的增大,重力加速度g的测量值　　　　(选填“增大”“减小”或“不变”)。
答案　(1)13.870　(2)O　(3)　b　(4)减小
解析　(1)根据螺旋测微器读数规则,可读出图乙所示小钢球的直径为
d=13.5 mm+37.0×0.01 mm=13.870 mm。
(2)小钢球在O点运动速度最快,从O点开始计时造成的时间测量误差最小,所以应从O点开始计时。
(3)由题意,根据单摆周期公式可得
T=2π,整理可得=-T2+R
根据实验记录的数据,绘制如图丙所示的-T2图像,横、纵轴截距分别为a、b。由图丙可得-=-,可得当地的重力加速度g=,圆弧的半径R=b。
由图像可知随θ角的增大,增大,则g测减小。
2.(2026·天津南开一模)某同学使用如图甲所示装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点,下端悬挂一小钢球,通过光电门传感器采集摆动周期。请完成以下问题:
(1)为了减小测量误差,下列做法正确的是　　　　。
A.摆的振幅越大越好
B.摆球质量和体积都要小些
C.摆线尽量细些、短些、伸缩性小些
D.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
甲
(2)某次摆球在最高点接通数据采集器,当摆球第一次(n=1)通过光电门时开始计时,数据采集器记录n(n≥30)次小球通过光电门时间为t,则该单摆的周期为　　　　,设该单摆摆长为L,则重力加速度g=　　　　(用L、n、t、π表示)。
(3)该同学用标准的实验器材和正确的实验方法测量出几组不同摆长L和周期T的数值,画出如图乙T2-L图像中的实线OM;如果实验中测量摆长时忘了加上摆球的半径,则该同学作出的T2-L图像为　　　　。
乙
A.虚线①,不平行实线OM
B.虚线②,平行实线OM
C.虚线③,平行实线OM
答案　(1)D　(2)　　(3)B
解析　(1)单摆在摆角小于5°时的振动为简谐运动,故A错误;为减小空气阻力对实验的影响,摆球应质量大些、体积小些,故B错误;为保证摆长不变且减小周期测量的误差,摆线尽量细些、长些、伸缩性小些,故C错误;实验时须使摆球在同一竖直面内摆动,不能使单摆成为圆锥摆,故D正确。
甲
乙
(2)小球第一次通过光电门开始计时,依次每通
过两次为一周期,所以t时间为个周期,
所以周期T=,根据T=2π,解得g=。
(3)测量摆长时忘了加上摆球的半径,也就
是将摆线的长度l作为摆长,
则T2===+,斜率未受影响,故B正确。
甲
乙
3.(2026·广东惠州高三期末)某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。实验装置如图甲所示,测得每根悬线长为L,两悬点间距为2 s,小球两侧为光电计数器。实验步骤如下,请回答下列问题:
(1)用游标卡尺测量小球的直径如图
乙,则小球的直径D是　　　　mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动,使
悬线偏离竖直方向的角度　　　　5°
(选填“大于”或“小于”)。
(3)启动光电计数器,悬线偏离竖直方向后,由静止释放小球,当小球经过平衡位置O时,计时器开始计时,并计为第1次。当光电计数器上显示的计数次数刚好为n时,测得所用的时间为t,由此可知,单摆的振动周期T为　　　　。
A. B.
C. D.
(4)根据上述实验方法测量得到的物理
量,可得到当地重力加速度g=　　　　　　　(用字母L、s、D、T表示)。
答案　(1)15.4　(2)小于　(3)D (4)
解析　(1)小球的直径为d=15 mm+4×0.1 mm=15.4 mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动,小球做简谐运动,则应使悬线偏离竖直方向的角度小于5°。
(3)当光电计数器显示数为“1”时是0时刻,故计数次数刚好为n时,全振动次数为N=
故单摆的振动周期T==,故D正确。
(4)摆长等于摆线的有效长度与小球的半径之和,即等效摆长为 l=+
根据单摆的周期公式T=2π
可得g=l
代入数据得g=(+)。
4.一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径,首先,调节螺旋测微器,拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时,发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐,如图(a)所示,该示数为　　　　　　　mm,螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示,该示数为　　　　mm,则摆球的直径为　　　　　mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示,其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处,摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方,则摆线在角度盘上所指的示数为5°时,实际摆角　　　5°(选填“大于”或“小于”)。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm,则摆长为　　　　cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s,则此单摆周期为　　　　s,该小组测得的重力加速度大小为　　　　m/s2(结果均保留3位有效数字,π2取9.870)。
答案　(1)0.006　20.035　20.029　(2)大于　(3)82.5　1.82　9.83
解析　(1)题图(a)中,螺旋测微器固定刻度读数
为0,可动刻度部分读数为0.6×0.01 mm=
0.006 mm,所以示数为0.006 mm;题图(b)中,
螺旋测微器固定刻度读数为20.0 mm,可动
刻度部分读数为3.5×0.01 mm=0.035 mm,
所以示数为20.035 mm,摆球的直径
d=20.035 mm-0.006 mm=20.029 mm。
(2)角度盘固定在O点时,摆线在角度盘上所指角度为摆角大小,若将角度盘固定在O点上方,即角度盘到悬点的距离变短,同样的角度,摆线在刻度盘上扫过的弧长变短,故摆线在角度盘上所指的示数为5°时,实际摆角大于5°。
(3)单摆的摆长l等于摆线长L与摆球半径之和,即l=L+=82.5 cm;从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点,单摆完成30次全振动,故单摆的周期T= s=1.82 s;由单摆的周期公式T=2π可得g=,代入相关数据解得g=9.83 m/s2。
5.(2024·湖南卷,12)在太空,物体完全失重,用天平无法测量质量。如图(a),某同学设计了一个动力学方法测量物体质量的实验方案,主要实验仪器包括:气垫导轨、滑块、轻弹簧、标准砝码、光电计时器和待测物体,主要步骤如下:
(1)调平气垫导轨,将弹簧左端连接气垫导轨左端,右端连接滑块。
(2)将滑块拉至离平衡位置20 cm处由静止释放,滑块第1次经过平衡位置处开始计时,第21次经过平衡位置时停止计时,由此测得弹簧振子的振动周期T。
(3)将质量为m的砝码固定在滑块上,重复步骤(2)。
(4)依次增加砝码质量m,测出对应的周期T,实验数据如下表所示,在图(b)中绘制T2-m关系图线。
m/kg T/s T2/s2
0.000 0.632 0.399
0.050 0.775 0.601
0.100 0.893 0.797
0.150 1.001 1.002
0.200 1.105 1.221
0.250 1.175 1.381
(5)由T2-m图像可知,弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是　　　　(选填“线性的”或“非线性的”)。
(6)取下砝码后,将待测物体固定在滑块上,测量周期并得到T2=0.880 s2,则待测物体质量是　　　　kg(保留3位有效数字)。
(7)若换一个质量较小的滑块重做上述实验,所得T2-m图线与原图线相比将沿纵
轴　　　　(选填“正方向”“负方向”或“不”)移动。
答案　(4)见解析图　(5)线性的　(6)0.120 (7)负方向
解析　(4)将题表中的数据在题图(b)中进行描点,然后用直线拟合,使尽可能多的点在直线上,不在直线上的点均匀分布在直线两侧,偏离直线较远的点舍去,如图所示。
(5)由于T2-m图像为一条直线,则弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是线性的。
(6)根据解析图可知T2=0.880 s2时,m=0.120 kg。
(7)当m=0时,T2为滑块对应的弹簧振子振动周期的平方,由图可知物体的质量越大,对应的弹簧振子的振动周期越大,所以质量较小的滑块对应的弹簧振子的振动周期较小,故换一个质量较小的滑块重做实验,所得T2-m图线与原图线相比将沿纵轴负方向移动。
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