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第1讲　电场力的性质
学习目标　1.掌握库仑定律的内容及使用条件,并会用来解决问题。 2.理解电场强度的定义,会计算电场强度的大小,会判断电场强度的方向。 3.理解电场线的特点,并会解决相关问题。
1.
2.
3.
4.
5.
1.思考判断
(1)两个带异种电荷的金属球接触时,正电荷从一个球转移到另一个球。(×)
(2)点电荷是理想化模型,均匀带电的绝缘球也可以视为点电荷。(√)
(3)相互作用的两个点电荷,电荷量大的受到的库仑力也大。(×)
(4)电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比。(×)
(5)由E=知,当试探电荷的电荷量q变为一半时,电场强度E变为2倍。(×)
2.(2025·福建卷,11)两个正点电荷Q1与Q2静止于竖直平面内,如图所示,于P点放置一检验电荷,其恰好处于静止状态,PQ1与Q1Q2之间的夹角为30°,PQ1⊥PQ2,则Q1与Q2电荷量之比为　　　　。在PQ1连线上　　　　(选填“存在”或“不存在”)其他点能让同一检验电荷维持平衡状态。
答案　　不存在
考点一　库仑定律的理解和应用
1.对于两个均匀带电绝缘球体,可将其视为电荷集中在球心的点电荷,r为球心间的距离。
2.对于两个距离较近的带电金属球,要考虑金属球表面电荷的重新分布,如图所示。
(1)同种电荷:F(2)异种电荷:F>k。
3.不能根据公式错误地认为r→0时,库仑力F→∞,因为当r→0时,两个带电体已不能看作点电荷了。
角度　库仑力的叠加
例1 (人教版必修第三册P24T3改编)在边长为a的正方形的每一顶点都放置一个电荷量大小为q的点电荷,点电荷的正负如图所示,静电力常量为k。如果保持它们的位置不变,则电荷A受到其他三个电荷的静电力的合力大小是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　电荷D对电荷A的静电力大小F1=k,电荷B和电荷C对电荷A的静电力大小F2=F3=k,三个静电力的方向如图所示,根据力的合成法则可知,电荷A所受的静电力大小F===,故D正确。
角度　静电力作用下的平衡问题
例2 (多选)如图所示,绝缘水平地面上固定一个光滑绝缘斜面,斜面与水平面的夹角θ=30°,一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端,另一端系有一个带电小球A,细线与斜面平行,且小球A正好静止在斜面中点,在小球A的正下方地面处固定放置一带电小球B,两球相距为d,已知两球的质量均为m、电荷量均为+q,静电力常量为k,重力加速度为g,两球均可视为点电荷,则下列说法正确的是(　　)
A.两球之间的库仑力F=
B.当=时,斜面对小球A的支持力为
C.当=时,细线上拉力为0
D.将小球B移到斜面底面左端C点,当=2时,斜面对小球A的支持力为
答案　AB
解析　根据库仑定律知,两球之间的库仑力大小为F=,故A正确;当=时,则有=mg,对A球受力分析,如图甲所示,根据平衡条件可得斜面对小球A的支持力为FN=mgcos θ-Fcos θ=mg,细线上拉力为T=mgsin θ-Fsin θ=mg,故B正确,C错误;当小球B移到斜面底面左端C点时,如图乙所示,根据几何关系可知,T'与F'的夹角为120°,当=2时,即有=mg,根据矢量的合成法则,则有静电力沿垂直于斜面方向的分力与重力沿垂直于斜面方向的分力等大反向,那么斜面对小球A的支持力为FN=0,故D错误。
1.库仑力作用下平衡问题的解题思路
2.三个自由点电荷的平衡问题的速解技巧
跟踪训练
1.(2025·山东菏泽模拟)如图所示,甲、乙、丙三个带电小球用轻质绝缘细线悬挂在水平横杆上,处于静止状态,细线均处于竖直状态,且三个小球等高,均可视为质点。已知甲、乙间距与乙、丙间距之比为3∶2,乙电荷量的绝对值为q,下列说法正确的是(　　)
A.乙受到的拉力最小
B.若乙带负电,则甲、丙可能均带负电
C.甲、丙电荷量大小之比为3∶2
D.甲、丙电荷量的乘积为q2
答案　D
解析　对任意一个小球受力分析,可知细线的拉力与小球的重力大小相等,因三个小球的质量大小未知,所以无法判断哪个小球受到的拉力最小,故A错误;若乙带负电,甲、丙也带负电,对甲、丙受力分析,可知拉甲、丙两小球的细线不可能处于竖直状态,会发生偏转,故B错误;设甲、丙的电荷量分别为q甲、q丙,小球乙处于平衡状态,在水平方向有k=k,又r甲乙∶r乙丙=3∶2,解得q甲∶q丙=9∶4,故C错误;对丙球进行受力分析,丙球处于平衡状态,在水平方向有k=k,解得q甲=q,根据q甲∶q丙=9∶4,解得q丙=q,则甲、丙电荷量的乘积为q甲q丙=q2,故D正确。
考点二　电场强度的理解和计算
1.电场强度的性质
矢量性 电场强度方向与正电荷在该点所受静电力方向相同
唯一性 电场强度取决于电场本身,与试探电荷无关
叠加性 如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场,那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和
2.电场强度的三个公式的比较
角度　电场强度的计算
例3 (人教版必修第三册P24T6改编)真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q,坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m,如图甲所示。在A点放一个带正电的试探电荷,在B点放一个带负电的试探电荷,A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同,静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图乙中直线a、b所示。忽略A、B间的作用力。下列说法正确的是(　　)
A.B点的电场强度大小为0.25 N/C
B.A点的电场强度的方向沿x轴负方向
C.点电荷Q的位置坐标为0.3 m
D.点电荷Q是正电荷
答案　C
解析　由A处试探电荷的F-q图像可得,该处的电场强度大小为E1==4×105 N/C,方向沿x轴正方向,同理可得,B处的电场强度大小为E2==0.25×105 N/C,方向沿x轴负方向,A、B错误;由A、B的分析可知,点电荷Q应为负电荷,且在A、B之间,设Q到A点的距离为l,由点电荷电场强度公式可得E1=k=4×105 N/C,E2=k=0.25×105 N/C,联立解得l=0.1 m,故点电荷Q的位置坐标为0.3 m,C正确,D错误。
角度　电场强度的叠加
例4 (点电荷电场强度的叠加)(多选)(2025·湖北卷,10)如图所示,在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形,顶点到O点的距离为R,在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷,且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k,则O点处的电场强度(　　)
A.方向沿x轴负方向
B.方向与x轴负方向成18°夹角斜向下
C.大小为(cos 54°+cos 18°)
D.大小为(2cos 54°+cos 18°)
答案　AD
解析　由题意可知,如图甲所示
将五个点电荷等效成图乙所示
作出等效电荷在O点产生的电场强度,设点电荷q在O点产生的电场强度为E0,则E0=,由对称性可知,5个点电荷在O点产生的电场强度沿y轴方向的分量为0,则O点的电场强度大小为E=2×2E0cos 54°+2E0cos 18°,代入可得E=2(2cos 54°+cos 18°),方向沿x轴负方向,故A、D正确。
例5 (对称法)(2026·安徽阜阳高三期中)如图所示,AB和CD是用绝缘材料制成的两段正对的半径为R的圆弧,AD和BC是圆弧的两条直径,AD和BC相交于O点。AB圆弧带负电荷,CD圆弧带等量正电荷,且电荷在两段圆弧上均匀分布,过O点建立平面直角坐标系,其中y轴恰好在∠AOB的角平分线上,G和H、E和F都关于O点对称,下列说法正确的是(　　)
A.O点的电场强度方向沿y轴负方向
B.G点的电势高于H点的电势
C.E点与F点的电场强度大小相同,方向不同
D.G点与H点的电场强度的大小和方向都相同
答案　D
解析　任何一条直径两端的电荷都是等量异种电荷,结合对称性可知,O点的电场强度方向沿y轴正方向,故A错误;根据对称性可知,x轴是所有等量异种电荷连线的中垂线,是等势线,所以G点的电势等于H点的电势,故B错误;根据等量异种电荷分布情况和对称性可知,E点和F点的电场强度等大同向,G点和H点的电场强度等大同向,故C错误,D正确。
总结提升　求解特殊带电体电场强度的计算方法
等效法 在保证效果相同的前提下,将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景
对称法 空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性
补偿法 将有缺损的带电空腔球补全为全球,或将有缺口的带电圆环补全为圆环,或将半球面补全为球面等
微元法 可将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷,每个微元电荷可看成点电荷,再利用公式和电场强度的叠加原理求出合电场强度
跟踪训练
2.(2025·江苏南京模拟)如图所示,一些负电荷在半球面ACB上均匀分布,球面半径为R,CD为通过半球顶点C和球心O的轴线。P、M、O'均为CD上的点,P、M关于O点对称,PM=MO'=R,在O'点固定点电荷-Q(Q>0)。已知P点的电场强度方向指向C点,大小为,已知带电均匀的封闭球壳内部电场强度处处为零,则M点的电场强度大小及方向为(　　)
A.0 B.,指向O'点
C.,指向O点 D.,指向O'点
答案　D
解析　已知P点的合电场强度为,方向指向C点,说明半球面上电荷与点电荷-Q在P点产生的合电场强度大小为,点电荷-Q在P点产生的电场强度大小为E=k=k,方向水平向右,所以半球面上的电荷在P点产生的电场强度大小为E'=k+E=k,方向水平向左。假如是一个封闭球壳,球壳内部电场强度处处为零,则知所补半球面上的电荷在P点产生的电场强度大小也等于k,方向向右,根据对称性可知,左半球在M点产生的电场强度大小为k,方向向左,点电荷在M点产生的电场强度大小为E″=k,方向向右,所以M点的合电场强度大小为EM=k-k=k,方向向右,即指向O'点,故D正确。
考点三　电场线的理解和应用
两种等量点电荷的电场线的比较
等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布
电荷连线上的电场强度 沿连线先变小后变大
O点最小,但不为零 O点为零
中垂线上的电场强度 O点最大,向外逐渐减小 O点最小,向外先变大后变小
关于O点对称位置的电场强度 A与A'、B与B'、C与C'
等大同向 等大反向
例6 (2025·云南丽江模拟)如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图,左侧点电荷带电荷量为+2q,右侧点电荷带电荷量为-q,P、Q两点关于两点电荷连线对称。下列说法中正确的是(　　)
A.P、Q两点的电场强度相同
B.M点的电场强度小于N点的电场强度
C.在两点电荷连线上,中点处的电场强度最小
D.在M点由静止释放一个正的试探电荷,电荷不会沿电场线通过P点
答案　D
解析　根据题图及对称性可知,P、Q两点的电场强度大小相同,但是方向不同,故P、Q两点的电场强度不相同,故A错误;M点处的电场线比N点处的电场线密集,则M点的电场强度大于N点的电场强度,故B错误;由电场线分布可知,在两点电荷连线上,中点处的电场线不是最稀疏的,则电场强度不是最小,故C错误;因M、P之间的电场线是曲线,则在M点由静止释放一个正的试探电荷,电荷不会沿电场线通过P点,故D正确。
总结提升　电场线的应用
跟踪训练
3.(多选)(2026·天津东丽区高三期末)某静电场中的电场线分布如图所示,带电粒子在电场中仅受静电力作用,其运动轨迹如图中虚线所示,由M点运动到N点,以下说法正确的是(　　)
A.粒子带正电荷
B.粒子受到的静电力为恒力
C.粒子在M点的动能大于在N点的动能
D.粒子在M点的加速度小于在N点的加速度
答案　AD
解析　曲线运动中粒子所受外力的合力方向指向轨迹内侧,由于带电粒子仅受静电力作用,可知静电力方向沿电场方向指向轨迹内侧,则静电力方向与电场方向相同,可知粒子带正电荷,故A正确;根据题图知,电场不是匀强电场,粒子受到的静电力为变力,故B错误;粒子在由M点运动到N点的过程中,静电力做正功,根据动能定理可知,动能增大,则粒子在M点的动能小于在N点的动能,故C错误;电场线分布的疏密程度表示电场强弱,根据题图可知,M点的电场强度小于N点的电场强度,则粒子在M点受到的静电力小于在N点受到的静电力,即粒子在M点的加速度小于在N点的加速度,故D正确。
电场线与轨迹问题的判断方法
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向),从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况。
(2)三不知时要用“假设法”——电荷的正负、电场强度的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向,若已知其中的任意一个,可顺次向下分析判定各待求量;若三个都不知,则要用假设法分别讨论各种情况。
A级　基础对点练
对点练1　库仑定律的理解和应用
1.(多选)(2025·河北卷,8)如图,真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B,带有等量同种电荷,电荷量为q,两者间距远大于小球直径,两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触,再跟B接触,移走C后,A和B之间的静电力大小仍为F,则Q∶q的绝对值可能是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.5
答案　AD
解析　设A、B间的距离为L,A、B间原来的静电力为F=k。C先跟A接触后,A、C电荷量均变为q1=,C再跟B接触后,B、C的电荷量均变为q2==,移走C后,A、B间的静电力F=,联立解得Q=q或Q=-5q,则Q∶q的绝对值可能是1或5,故A、D正确。
2.(2026·江苏镇江中学学情检测)如图所示,在一个点电荷Q(可视为场源电源)的电场中(Q在坐标原点处),Ox坐标轴与它的一条电场线重合,坐标轴上A、B两点的坐标分别为2.0 m和5.0 m,现将两个试探电荷qA和qB分别放在A、B两处,两个电荷受到的静电力的大小之比为2∶1,以下关于qA和qB的大小之比说法正确的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由库仑定律可知,两个试探电荷受到的静电力的大小分别为FA=,FB=,其中rA=2.0 m,rB=5.0 m,FA∶FB=2∶1,则有==×=,B正确。
3.(2026·安徽淮北质检)如图所示,A、B两小球(可视为点电荷)带等量异种电荷,电荷量大小均为q,A球被一根绝缘轻绳系于O点,B球固定在绝缘轻杆上,两球稳定时位于同一高度,轻绳与竖直方向夹角为60°。已知两球质量均为m,重力加速度为g,静电力常量为k。则下列说法正确的是(　　)
A.A、B两球距离为
B.OA绳拉力大小为mg
C.B球对轻杆的作用力大小为2mg
D.若B球电荷量变为原来的2倍,稳定后,A、B间库仑力大小变为原来的2倍
答案　C
解析　对A球分析,受重力mg、绳的拉力T和库仑力F,由平衡条件得Tsin 60°=F=k,Tcos 60°=mg,解得F=mg,T=2mg,r=,A、B错误;对B球分析,受重力mg、库仑力F'和轻杆的作用力FN,由平衡条件得FN===2mg,根据牛顿第三定律知B球对轻杆的作用力大小为2mg,C正确;若B球电荷量变为原来的2倍,稳定后,A球会绕O点转动使得轻绳与竖直方向夹角变大,A、B间距离变小,A、B间库仑力大小会大于原来的2倍,D错误。
对点练2　电场强度的理解和计算
4.(2025·广西卷,4)用带电玻璃棒接触验电器的金属球,移走玻璃棒,验电器内的两片金属箔张开,稳定后如图。图中a、b、c、d四点电场强度最强的是(　　)
A.a点 B.b点
C.c点 D.d点
答案　D
解析　带电玻璃棒与金属球接触后,金属球带电,金属箔与金属球通过导体棒连接,金属箔与金属球带同种电荷;净电荷在尖锐的地方聚集,因此d点的电荷聚集最多,电场强度最强,A、B、C错误,D正确。
5.(2026·江西赣州联考)如图,ab是圆的直径,O为圆心。在圆弧上某点放置一点电荷,该点电荷在a点产生的电场强度大小为E,在b点产生的电场强度大小是a点的3倍,则该点电荷在O点产生的电场强度大小为(　　)
A.E B.2E
C.3E D.4E
答案　C
解析　设该点电荷的电荷量为Q,圆半径为R,该点电荷到a点的距离为x,到b点的距离为y,由点电荷的电场强度公式,有E=,3E=,两式联立可得x2=3y2,根据几何关系有x2+y2=(2R)2,解得y=R,即b点和O点与点电荷距离相等,则该点电荷在O点产生的电场强度大小为EO=Eb=3E,故C正确。
6.(2025·北京西城模拟)如图所示,电荷量为q的正点电荷与竖直放置的均匀带电薄板相距2d,点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心,垂线上的A、B两点到薄板的距离均为d。已知A点的电场强度为0,下列说法正确的是(　　)
A.薄板带正电
B.B点电势高于A点电势
C.B点电场强度的方向向右
D.B点电场强度的大小为
答案　B
解析　q在A点产生的电场强度的大小为E1=k,方向向左;因A点电场强度为零,则薄板在A点产生的电场强度方向向右,薄板带负电,薄板在A点产生的电场强度大小也为k,故A错误;由对称性可知,薄板在B点产生的电场强度大小也为k,方向向左;电荷量为q的正点电荷在B点产生的电场强度大小为k,方向向左,所以B点的电场强度大小E2=k+k=,方向向左,若只存在带电薄板,则A点电势等于B点电势,若只存在正点电荷q,则B点电势高于A点电势,根据电势叠加原理可知,两者都存在时,B点电势高于A点电势,故B正确,C、D错误。
对点练3　电场线的理解和应用
7.(多选)如图所示是实验室模拟出的等量异种点电荷电场线的显形平面图片,该平面中有A、B、C、D四个点,其中B、C两点处在等量异种点电荷连线的中垂线上,下列说法正确的是(　　)
A.A点的电场强度大于B点的电场强度
B.将一个电子从C点由静止释放,它可能会沿着电场线运动到D点
C.B点的电场强度小于C点的电场强度
D.将一个质子从B点由静止释放,运动到A点的过程中,加速度逐渐增大
答案　AD
解析　电场线越密,电场强度越大,则A点的电场强度大于B点的电场强度,B点的电场强度大于C点的电场强度,A正确,C错误;将一个电子从C点由静止释放,它不会沿着电场线运动到D点,因为C、D两点间的电场线不是直线,B错误;将一个质子从B点由静止释放,运动到A点的过程中,电场线越来越密,质子所受到的静电力越来越大,加速度逐渐增大,D正确。
8.(多选)(2025·湖南长沙模拟)真空中存在点电荷q1、q2产生的静电场,其电场线的分布如图所示,图中P、Q两点的位置关于点电荷q1水平对称。P、Q两点电场强度的大小分别为EP、EQ,电势分别为φP、φQ。一个带电粒子仅在静电力作用下沿虚线轨迹从M运动至N,则(　　)
A.EP>EQ,φP>φQ
B.q1和q2带同种电荷,q1>q2
C.粒子从M运动至N,加速度先增大后减小
D.粒子带正电,从M至N它的电势能先变大后变小
答案　AD
解析　电场线的疏密程度表示电场强度的大小,由图可知EP>EQ;P、Q两点关于点电荷q1水平对称,P到q1之间电场强度较大,电势降低较快,可知φP>φQ,故A正确;由电场线分布可知,q1带负电,q2带正电,由电场线的疏密可知,q1的电荷量绝对值大于q2的电荷量绝对值,故B错误;由电场线分布可知,粒子从M运动至N,电场强度先减小后增大,根据a=可知加速度先减小后增大,故C错误;粒子受力指向与电场线方向相同,带正电,从M至N,静电力先做负功后做正功,它的电势能先变大后变小,故D正确。
B级　综合提升练
9.(2024·贵州卷,7)如图,A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上,直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时,C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向,则等于(　　)
A. B.
C. D.2
答案　B
解析　根据题意,作出C点电场强度的两种情况分别如图甲、乙所示,无论哪种情况,均有tan 30°===·,又tan 30°=,解得=tan 30°=,故B正确,A、C、D错误。
10.(2025·四川绵阳模拟)如图所示,在光滑绝缘水平面上,固定电荷量分别为+2Q和-Q的点电荷A、B,间距为L,在AB延长线上距离B为L的位置,自由释放另一电荷量为+q的点电荷C,释放瞬间加速度为a1;将A、B接触,静电平衡后放回原处,再从相同位置自由释放C,释放瞬间加速度为a2。则(　　)
A.a1、a2的方向均水平向右
B.a1、a2的方向均水平向左
C.a1与a2大小之比等于
D.a1与a2大小之比等于
答案　C
解析　在A、B接触前,由于B、C间的吸引力大于A、C间的排斥力,所以a1的方向水平向左,根据库仑定律和牛顿第二定律得k-k=ma1,在A、B接触后,点电荷A、B的电荷量先中和再平分,二者所带电荷量均为+0.5Q,由于A、B都带正电,所以C受到的都是排斥力,则a2的方向水平向右,故A、B错误;根据库仑定律和牛顿第二定律得k+k=ma2,联立解得a1与a2大小之比为=,C正确。
11.(2024·新课标卷,18)如图,两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上,下端分别系有均带正电荷的小球P、Q;小球处在某一方向水平向右的匀强电场中,平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等,则(　　)
A.两绳中的张力大小一定相等
B.P的质量一定大于Q的质量
C.P的电荷量一定小于Q的电荷量
D.P的电荷量一定大于Q的电荷量
答案　B
解析　设细绳与竖直方向的夹角均为θ,两球之间的库仑力大小为F,将两球间的库仑力与静电力合成为一个力,将四力平衡转化为三力平衡,如图所示,FQ=,FP=,则两绳中的张力大小关系为FQmQ,B正确;F库=mQgtan θ+qQE=mPgtan θ-qPE,只根据mP>mQ无法确定qP与qQ的大小关系,C、D错误。
C级　培优加强练
12.(多选)(2025·安徽卷,10)如图,两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内,空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球(均可视为质点)在轨道上同一高度保持静止,间距为L,甲、乙所带电荷量分别为q、2q,质量分别为m、 2m,静电力常量为k,重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为F1、F2,匀强电场的电场强度大小为E,不计空气阻力,则(　　)
A.F1=F2
B.E=
C.若将甲、乙互换位置,二者仍能保持静止
D.若撤去甲,乙下滑至底端时的速度大小v=
答案　ABD
解析　设轨道倾角为θ,对甲、乙两小球受力分析如图所示,由力的平衡条件有F1=mgtan θ,F2=2mgtan θ,则F1=F2,A正确;甲小球受到的静电力的合力大小F1=-qE,乙小球受到的静电力的合力大小F2=+2qE,结合A项分析可得E=,B正确;甲、乙互换位置后,两者所受合力均不为0,因此不能保持静止,C错误;若撤去甲,对乙小球的下滑过程,由动能定理有2mg·tan θ-2qE·=×2mv2,结合A、B项分析可得v=,D正确。(共63张PPT)
第1讲　电场力的性质
第八章　静电场
1.掌握库仑定律的内容及使用条件,并会用来解决问题。 2.理解电场强度的定义,会计算电场强度的大小,会判断电场强度的方向。 3.理解电场线的特点,并会解决相关问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
1.60×10-19
1.
整数
转移
2.
保持不变
感应
电子
形状
3.
大小
真空
点电荷
正比
反比
k
9.0×109
真空
点电荷
4.
切线
5.
疏密
1.思考判断
(1)两个带异种电荷的金属球接触时,正电荷从一个球转移到另一个球。( )
(2)点电荷是理想化模型,均匀带电的绝缘球也可以视为点电荷。( )
(3)相互作用的两个点电荷,电荷量大的受到的库仑力也大。( )
(4)电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比。( )
(5)由E=知,当试探电荷的电荷量q变为一半时,电场强度E变为2倍。( )
×
√
×
×
×
2.(2025·福建卷,11)两个正点电荷Q1与Q2静止于竖直平面内,如图所示,于P点放置一检验电荷,其恰好处于静止状态,PQ1与Q1Q2之间的夹角为30°,PQ1⊥PQ2,则Q1与Q2电荷量之比为　　　　。在PQ1连线上　　　　(选填“存在”或“不存在”)其他点能让同一检验电荷维持平衡状态。
答案　　不存在
研透核心考点
2
考点二　电场强度的理解和计算
考点一　库仑定律的理解和应用
考点三　电场线的理解和应用
考点一　库仑定律的理解和应用
1.对于两个均匀带电绝缘球体,可将其视为电荷集中在球心的点电荷,r为球心间的距离。
2.对于两个距离较近的带电金属球,要考虑金属球表面电荷的重新分布,如图所示。
(1)同种电荷:F(2)异种电荷:F>k。
3.不能根据公式错误地认为r→0时,库仑力F→∞,因为当r→0时,两个带电体已不能看作点电荷了。
角度　　库仑力的叠加
例1 (人教版必修第三册P24T3改编)在边长为a的正方形的每一顶点都放置一个电荷量大小为q的点电荷,点电荷的正负如图所示,静电力常量为k。如果保持它们的位置不变,则电荷A受到其他三个电荷的静电力的合力大小是(　　)
A. B.
C. D.
D
解析　电荷D对电荷A的静电力大小F1=k,电荷B和电荷C对电荷A的静电力大小F2=F3=k,三个静电力的方向如图所示,根据力的合成法则可知,电荷A所受的静电力大小F===,故D正确。
角度　　静电力作用下的平衡问题
例2 (多选)如图所示,绝缘水平地面上固定一个光滑绝缘斜面,斜面与水平面的夹角θ=30°,一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端,另一端系有一个带电小球A,细线与斜面平行,且小球A正好静止在斜面中点,在小球A的正下方地面处固定放置一带电小球B,两球相距为d,已知两球的质量均为m、电荷量均为+q,静电力常量为k,重力加速度为g,两球均可视为点电荷,则下列说法正确的是(　　)
A.两球之间的库仑力F=
B.当=时,斜面对小球A的支持力为
C.当=时,细线上拉力为0
D.将小球B移到斜面底面左端C点,当=2时,斜面对小球A的支持力为
AB
解析　根据库仑定律知,两球之间的库仑力大小为F=,故A正确;当=时,则有=mg,对A球受力分析,如图甲所示,根据平衡条件可得斜面对小球A的支持力为FN=mgcos θ-Fcos θ=mg,细线上拉力为T=mgsin θ-Fsin θ=mg,故B正确,C错误;当小球B移到斜面底面左端C点时,如图乙所示,根据几何关系可知,T'与F'的夹角为120°,当=2时,即有=mg,根据矢量的合成法则,则有静电力沿垂直于斜面方向的分力与重力沿垂直于斜面方向的分力等大反向,那么斜面对小球A的支持力为FN=0,故D错误。
1.库仑力作用下平衡问题的解题思路
2.三个自由点电荷的平衡问题的速解技巧
1.(2025·山东菏泽模拟)如图所示,甲、乙、丙三个带电小球用轻质绝缘细线悬挂在水平横杆上,处于静止状态,细线均处于竖直状态,且三个小球等高,均可视为质点。已知甲、乙间距与乙、丙间距之比为3∶2,乙电荷量的绝对值为q,下列说法正确的是(　　)
跟踪训练
A.乙受到的拉力最小
B.若乙带负电,则甲、丙可能均带负电
C.甲、丙电荷量大小之比为3∶2
D.甲、丙电荷量的乘积为q2
D
解析　对任意一个小球受力分析,可知细线的拉力与小球的重力大小相等,因三个小球的质量大小未知,所以无法判断哪个小球受到的拉力最小,故A错误;若乙带负电,甲、丙也带负电,对甲、丙受力分析,可知拉甲、丙两小球的细线不可能处于竖直状态,会发生偏转,故B错误;设甲、丙的电荷量分别为q甲、q丙,小球乙处于平衡状态,在水平方向有k=k,又r甲乙∶r乙丙=3∶2,解得q甲∶q丙=9∶4,故C错误;对丙球进行受力分析,丙球处于平衡状态,在水平方向有k=k,解得q甲=q,根据q甲∶q丙
=9∶4,解得q丙=q,则甲、丙电荷量的乘积为q甲q丙
=q2,故D正确。
考点二　电场强度的理解和计算
1.电场强度的性质
矢量性 电场强度方向与正电荷在该点所受静电力方向相同
唯一性 电场强度取决于电场本身,与试探电荷无关
叠加性 如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场,那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和
2.电场强度的三个公式的比较
角度　　电场强度的计算
例3 (人教版必修第三册P24T6改编)真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q,坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m,如图甲所示。在A点放一个带正电的试探电荷,在B点放一个带负电的试探电荷,A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同,静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图乙中直线a、b所示。忽略A、B间的作用力。下列说法正确的是(　　)
A.B点的电场强度大小为0.25 N/C
B.A点的电场强度的方向沿x轴负方向
C.点电荷Q的位置坐标为0.3 m
D.点电荷Q是正电荷
C
解析　由A处试探电荷的F-q图像可得,该处的电场强度大小为E1==4×105 N/C,方向沿x轴正方向,同理可得,B处的电场强度大小为E2==0.25×105 N/C,方向沿x轴负方向,A、B错误;由A、B的分析可知,点电荷Q应为负电荷,且在A、B之间,设Q到A点的距离为l,由点电荷电场强度公式可得
E1=k=4×105 N/C,E2=k=0.25×105 N/C,
联立解得l=0.1 m,故点电荷Q的位置坐标为0.3 m,
C正确,D错误。
角度　　电场强度的叠加
例4 (点电荷电场强度的叠加)(多选)(2025·湖北卷,10)如图所示,在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形,顶点到O点的距离为R,在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷,且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k,则O点处的电场强度(　　)
A.方向沿x轴负方向
B.方向与x轴负方向成18°夹角斜向下
C.大小为(cos 54°+cos 18°)
D.大小为(2cos 54°+cos 18°)
AD
解析　由题意可知,如图甲所示
将五个点电荷等效成图乙所示
作出等效电荷在O点产生的电场强度,设点电荷q在O点产生的电场强度为E0,则E0=,由对称性可知,5个点电荷在O点产生的电场强度沿y轴方向的分量为0,则O点的电场强度大小为E=2×2E0cos 54°+2E0cos 18°,
代入可得E=2(2cos 54°+cos 18°),方向沿x轴负方向,故A、D正确。
例5 (对称法)(2026·安徽阜阳高三期中)如图所示,AB和CD是用绝缘材料制成的两段正对的半径为R的圆弧,AD和BC是圆弧的两条直径,AD和BC相交于O点。AB圆弧带负电荷,CD圆弧带等量正电荷,且电荷在两段圆弧上均匀分布,过O点建立平面直角坐标系,其中y轴恰好在∠AOB的角平分线上,G和H、E和F都关于O点对称,下列说法正确的是(　　)
A.O点的电场强度方向沿y轴负方向
B.G点的电势高于H点的电势
C.E点与F点的电场强度大小相同,方向不同
D.G点与H点的电场强度的大小和方向都相同
D
解析　任何一条直径两端的电荷都是等量异种电荷,结合对称性可知,O点的电场强度方向沿y轴正方向,故A错误;根据对称性可知,x轴是所有等量异种电荷连线的中垂线,是等势线,所以G点的电势等于H点的电势,故B错误;根据等量异种电荷分布情况和对称性可知,E点和F点的电场强度等大同向,G点和H点的电场强度等大同向,故C错误,D正确。
总结提升　求解特殊带电体电场强度的计算方法
等效法 在保证效果相同的前提下,将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景
对称法 空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性
补偿法 将有缺损的带电空腔球补全为全球,或将有缺口的带电圆环补全为圆环,或将半球面补全为球面等
微元法 可将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷,每个微元电荷可看成点电荷,再利用公式和电场强度的叠加原理求出合电场强度
2.(2025·江苏南京模拟)如图所示,一些负电荷在半球面ACB上均匀分布,球面半径为R,CD为通过半球顶点C和球心O的轴线。P、M、O'均为CD上的点,P、M关于O点对称,PM=MO'=R,在O'点固定点电荷-Q(Q>0)。已知P点的电场强度方向指向C点,大小为,已知带电均匀的封闭球壳内部电场强度处处为零,则M点的电场强度大小及方向为(　　)
跟踪训练
A.0 B.,指向O'点
C.,指向O点 D.,指向O'点
D
解析　已知P点的合电场强度为,方向指向C点,说明半球面上电荷与点电荷-Q在P点产生的合电场强度大小为,点电荷-Q在P点产生的电场强度大小为E=k=k,方向水平向右,所以半球面上的电荷在P点产生的电场强度大小为E'=k+E=k,方向水平向左。假如是一个封闭球壳,球壳内部电场强度处处为零,则知所补半球面上的电荷在P点产生的电场强度大小也等于k,方向向右,根据对称性可知,左半球在M点产生的电场强度大小为k,方向向左,点电荷在M点产生的电场强度大小为E″=k,方向向右,所以M点的合电
场强度大小为EM=k-k=k,方向向右,即指向O'点,
故D正确。
两种等量点电荷的电场线的比较
考点三　电场线的理解和应用
等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布
电荷连线上的电场强度 沿连线先变小后变大 O点最小,但不为零 O点为零
等量异种点电荷 等量同种点电荷
中垂线上的电场强度 O点最大,向外逐渐减小 O点最小,向外先变大后变小
关于O点对称位置的电场强度 A与A'、B与B'、C与C' 等大同向 等大反向
例6 (2025·云南丽江模拟)如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图,左侧点电荷带电荷量为+2q,右侧点电荷带电荷量为-q,P、Q两点关于两点电荷连线对称。下列说法中正确的是(　　)
A.P、Q两点的电场强度相同
B.M点的电场强度小于N点的电场强度
C.在两点电荷连线上,中点处的电场强度最小
D.在M点由静止释放一个正的试探电荷,电荷不会沿电场线通过P点
D
解析　根据题图及对称性可知,P、Q两点的电场强度大小相同,但是方向不同,故P、Q两点的电场强度不相同,故A错误;M点处的电场线比N点处的电场线密集,则M点的电场强度大于N点的电场强度,故B错误;由电场线分布可知,在两点电荷连线上,中点处的电场线不是最稀疏的,则电场强度不是最小,故C错误;因M、P之间的电场线是曲线,则在M点由静止释放一个正的试探电荷,电荷不会沿电场线通过P点,故D正确。
总结提升　电场线的应用
3.(多选)(2026·天津东丽区高三期末)某静电场中的电场线分布如图所示,带电粒子在电场中仅受静电力作用,其运动轨迹如图中虚线所示,由M点运动到N点,以下说法正确的是(　　)
跟踪训练
A.粒子带正电荷
B.粒子受到的静电力为恒力
C.粒子在M点的动能大于在N点的动能
D.粒子在M点的加速度小于在N点的加速度
AD
解析　曲线运动中粒子所受外力的合力方向指向轨迹内侧,由于带电粒子仅受静电力作用,可知静电力方向沿电场方向指向轨迹内侧,则静电力方向与电场方向相同,可知粒子带正电荷,故A正确;根据题图知,电场不是匀强电场,粒子受到的静电力为变力,故B错误;粒子在由M点运动到N点的过程中,静电力做正功,根据动能定理可知,动能增大,则粒子在M点的动能小于在N点的动能,故C错误;电场线分布的疏密程度表示电场强弱,根据题图可知,M点的电场强度
小于N点的电场强度,则粒子在M点受到的静电力小于在N
点受到的静电力,即粒子在M点的加速度小于在N点的加速
度,故D正确。
电场线与轨迹问题的判断方法
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向),从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况。
(2)三不知时要用“假设法”——电荷的正负、电场强度的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向,若已知其中的任意一个,可顺次向下分析判定各待求量;若三个都不知,则要用假设法分别讨论各种情况。
提升素养能力
3
A级　基础对点练
AD
对点练1　库仑定律的理解和应用
1.(多选)(2025·河北卷,8)如图,真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B,带有等量同种电荷,电荷量为q,两者间距远大于小球直径,两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触,再跟B接触,移走C后,A和B之间的静电力大小仍为F,则Q∶q的绝对值可能是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.5
解析　设A、B间的距离为L,A、B间原来的静电力为F=k。C先跟A接触后,A、C电荷量均变为q1=,C再跟B接触后,B、C的电荷量均变为q2==,移走C后,A、B间的静电力F=,联立解得Q=q或Q=-5q,则Q∶q的绝对值可能是1或5,故A、D正确。
B
2.(2026·江苏镇江中学学情检测)如图所示,在一个点电荷Q(可视为场源电源)的电场中(Q在坐标原点处),Ox坐标轴与它的一条电场线重合,坐标轴上A、B两点的坐标分别为2.0 m和5.0 m,现将两个试探电荷qA和qB分别放在A、B两处,两个电荷受到的静电力的大小之比为2∶1,以下关于qA和qB的大小之比说法正确的是(　　)
A. B.
C. D.
解析　由库仑定律可知,两个试探电荷受到的静电力的大小分别为FA=,
FB=,其中rA=2.0 m,rB=5.0 m,FA∶FB=2∶1,则有==×=,B正确。
C
3.(2026·安徽淮北质检)如图所示,A、B两小球(可视为点电荷)带等量异种电荷,电荷量大小均为q,A球被一根绝缘轻绳系于O点,B球固定在绝缘轻杆上,两球稳定时位于同一高度,轻绳与竖直方向夹角为60°。已知两球质量均为m,重力加速度为g,静电力常量为k。则下列说法正确的是(　　)
A.A、B两球距离为
B.OA绳拉力大小为mg
C.B球对轻杆的作用力大小为2mg
D.若B球电荷量变为原来的2倍,稳定后,A、B间库仑力大小变为原来的2倍
解析　对A球分析,受重力mg、绳的拉力T和库仑力F,由平衡条件得Tsin 60°=F
=k,Tcos 60°=mg,解得F=mg,T=2mg,r=,A、B错误;对B球分析,受重力mg、库仑力F'和轻杆的作用力FN,由平衡条件得FN==
=2mg,根据牛顿第三定律知B球
对轻杆的作用力大小为2mg,C正确;若B球电荷量变
为原来的2倍,稳定后,A球会绕O点转动使得轻绳与
竖直方向夹角变大,A、B间距离变小,A、B间库仑
力大小会大于原来的2倍,D错误。
D
对点练2　电场强度的理解和计算
4.(2025·广西卷,4)用带电玻璃棒接触验电器的金属球,移走玻璃棒,验电器内的两片金属箔张开,稳定后如图。图中a、b、c、d四点电场强度最强的是(　　)
A.a点 B.b点
C.c点 D.d点
解析　带电玻璃棒与金属球接触后,金属球带电,金属箔与金属球通过导体棒连接,金属箔与金属球带同种电荷;净电荷在尖锐的地方聚集,因此d点的电荷聚集最多,电场强度最强,A、B、C错误,D正确。
C
5.(2026·江西赣州联考)如图,ab是圆的直径,O为圆心。在圆弧上某点放置一点电荷,该点电荷在a点产生的电场强度大小为E,在b点产生的电场强度大小是a点的3倍,则该点电荷在O点产生的电场强度大小为(　　)
A.E B.2E
C.3E D.4E
解析　设该点电荷的电荷量为Q,圆半径为R,该点电荷到a点的距离为x,到b点的距离为y,由点电荷的电场强度公式,有E=,3E=,两式联立可得x2=3y2,根据几何关系有x2+y2=(2R)2,解得y=R,即b点和O点与点电荷距离相等,则该点电荷在O点产生的电场强度大小为EO=Eb=3E,故C正确。
B
6.(2025·北京西城模拟)如图所示,电荷量为q的正点电荷与竖直放置的均匀带电薄板相距2d,点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心,垂线上的A、B两点到薄板的距离均为d。已知A点的电场强度为0,下列说法正确的是(　　)
A.薄板带正电
B.B点电势高于A点电势
C.B点电场强度的方向向右
D.B点电场强度的大小为
解析　q在A点产生的电场强度的大小为E1=k,方向向左;因A点电场强度为零,则薄板在A点产生的电场强度方向向右,薄板带负电,薄板在A点产生的电场强度大小也为k,故A错误;由对称性可知,薄板在B点产生的电场强度大小也为k,方向向左;电荷量为q的正点电荷在B点产生的电场强度
大小为k,方向向左,所以B点的电场强度大小E2=k+
k=,方向向左,若只存在带电薄板,则A点电势等于B
点电势,若只存在正点电荷q,则B点电势高于A点电势,根
据电势叠加原理可知,两者都存在时,B点电势高于A点电
势,故B正确,C、D错误。
AD
对点练3　电场线的理解和应用
7.(多选)如图所示是实验室模拟出的等量异种点电荷电场线的显形平面图片,该平面中有A、B、C、D四个点,其中B、C两点处在等量异种点电荷连线的中垂线上,下列说法正确的是(　　)
A.A点的电场强度大于B点的电场强度
B.将一个电子从C点由静止释放,它可能会沿着
电场线运动到D点
C.B点的电场强度小于C点的电场强度
D.将一个质子从B点由静止释放,运动到A点的过程中,加速度逐渐增大
解析　电场线越密,电场强度越大,则A点的电场强度大于B点的电场强度,B点的电场强度大于C点的电场强度,A正确,C错误;将一个电子从C点由静止释放,它不会沿着电场线运动到D点,因为C、D两点间的电场线不是直线,B错误;将一个质子从B点由静止释放,运动到A点的过程中,电场线越来越密,质子所受到的静电力越来越大,加速度逐渐增大,D正确。
AD
8.(多选)(2025·湖南长沙模拟)真空中存在点电荷q1、q2产生的静电场,其电场线的分布如图所示,图中P、Q两点的位置关于点电荷q1水平对称。P、Q两点电场强度的大小分别为EP、EQ,电势分别为φP、φQ。一个带电粒子仅在静电力作用下沿虚线轨迹从M运动至N,则(　　)
A.EP>EQ,φP>φQ
B.q1和q2带同种电荷,q1>q2
C.粒子从M运动至N,加速度先增大后减小
D.粒子带正电,从M至N它的电势能先变大后变小
解析　电场线的疏密程度表示电场强度的大小,由图可知EP>EQ;P、Q两点关于点电荷q1水平对称,P到q1之间电场强度较大,电势降低较快,可知φP>φQ,故A正确;由电场线分布可知,q1带负电,q2带正电,由电场线的疏密可知,q1的电荷量绝对值大于q2的电荷量绝对值,故B错误;由电场线分布可知,粒子从M运动至N,电场强度先减小后增大,根据a=可知加速度先减小后增大,
故C错误;粒子受力指向与电场线方向相同,带正电,
从M至N,静电力先做负功后做正功,它的电势能先
变大后变小,故D正确。
B级　综合提升练
B
9.(2024·贵州卷,7)如图,A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上,直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时,C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向,则等于(　　)
A. B.
C. D.2
解析　根据题意,作出C点电场强度的两种情况分别如图甲、乙所示,无论哪种情况,均有tan 30°===·,又tan 30°=,解得=tan 30°=,故B正确,A、C、D错误。
C
10.(2025·四川绵阳模拟)如图所示,在光滑绝缘水平面上,固定电荷量分别为+2Q和
-Q的点电荷A、B,间距为L,在AB延长线上距离B为L的位置,自由释放另一电荷量为+q的点电荷C,释放瞬间加速度为a1;将A、B接触,静电平衡后放回原处,再从相同位置自由释放C,释放瞬间加速度为a2。则(　　)
A.a1、a2的方向均水平向右
B.a1、a2的方向均水平向左
C.a1与a2大小之比等于
D.a1与a2大小之比等于
解析　在A、B接触前,由于B、C间的吸引力大于A、C间的排斥力,所以a1的方向水平向左,根据库仑定律和牛顿第二定律得k-k=ma1,在A、B接触后,点电荷A、B的电荷量先中和再平分,二者所带电荷量均为+0.5Q,由于A、B都带正电,所以C受到的都是排斥力,则a2的方向水平向右,故A、B错误;根据库仑定律和牛顿第二定律得k+k=ma2,联立解得a1与a2大小之比为=,C正确。
B
11.(2024·新课标卷,18)如图,两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上,下端分别系有均带正电荷的小球P、Q;小球处在某一方向水平向右的匀强电场中,平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等,则(　　)
A.两绳中的张力大小一定相等
B.P的质量一定大于Q的质量
C.P的电荷量一定小于Q的电荷量
D.P的电荷量一定大于Q的电荷量
解析　设细绳与竖直方向的夹角均为θ,两球之间
的库仑力大小为F,将两球间的库仑力与静电力合
成为一个力,将四力平衡转化为三力平衡,如图所
示,FQ=,FP=,则两绳中的张力大小
关系为FQ可知mP>mQ,B正确;F库=mQgtan θ+qQE=mPgtan θ-qPE,只根据mP>mQ无法确定qP与qQ的大小关系,C、D错误。
ABD
12.(多选)(2025·安徽卷,10)如图,两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内,空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球(均可视为质点)在轨道上同一高度保持静止,间距为L,甲、乙所带电荷量分别为q、2q,质量分别为m、 2m,静电力常量为k,重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为F1、F2,匀强电场的电场强度大小为E,不计空气阻力,则(　　 )
A.F1=F2
B.E=
C.若将甲、乙互换位置,二者仍能保持静止
D.若撤去甲,乙下滑至底端时的速度大小v=
C级　培优加强练
解析　设轨道倾角为θ,对甲、乙两小球受力分析如图所示,由力的平衡条件有F1=mgtan θ,F2=2mgtan θ,则F1=F2,A正确;甲小球受到的静电力的合力大小F1=-qE,乙小球受到的静电力的合力大小F2=+2qE,结合A项分析可得E=,B正确;甲、乙互换位置后,两者所受合力均不为0,因此不能保持静止,C错误;若撤去甲,对乙小球的下滑过程,由动能定理有
2mg·tan θ-2qE·=×2mv2,结合A、B项分析可得
v=,D正确。
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