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广东江门市恩平黄冈实验中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，，，则△ABC的外接圆半径为（ ）
A．6 B．12 C． D．
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，点在边上，且满足，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．1
8．如图，在中，，E在边AC上，且，若，，则（ ）
A．20 B．24 C．26 D．28
二、多选题
9．已知复数（），，若为纯虚数，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．在复平面内对应的点为
10．下列关于立体图形的说法错误的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
B．侧面都是矩形的四棱柱是长方体
C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D．圆台的母线延长后一定交于同一点
11．已知函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，则（ ）
A．函数的周期为4
B．函数在上单调递增
C．关于x的方程有且仅有2个不同的实根
D．当时，
三、填空题
12．已知一个正六棱柱的底面是边长为2的正六边形，且所有棱长之和为48，则该正六棱柱的侧棱长为__________.
13．已知，，且，则的最小值为__________，此时__________.
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________.
四、解答题
15．已知复数.
(1)求z的共轭复数；
(2)求的实部和虚部；
(3)若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.
16．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的面积.
17．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和曲线的对称轴方程；
(2)若关于x的方程在上有两个不同的实根，求实数m的取值范围.
18．已知平面内两个非零不共线向量，满足，，且对任意实数t，不等式恒成立，向量满足.
(1)求，夹角的余弦值；
(2)求的最小值.
19．某自动化港口的水平作业区为水平面，岸边桥吊作业点A，集装箱堆场B，维修站C构成三角形布局，米，，.无人集卡（无人驾驶集装箱卡车的简称）在作业区的最大行驶速度为10米/秒，道路均为直线通行.
(1)求A，B到C的直线距离（结果保留根号）.
(2)无人集卡从A运输集装箱到B（按10米/秒的速度行驶），行驶到AB的中点D时收到调度指令，需先前往C维修故障，再前往B卸货，其中从C到B按最大速度10米/秒行驶.为不影响卸货时效，从D点出发后的行驶总时间不得超过原计划D直接到B的时间的3倍，求无人集卡从D到C的行驶速度的最小值（结果保留根号）.
(3)港口计划在∠ACB的角平分线上新建一个充电补给站P，使得补给站到A，B两点的距离相等.求补给站P到维修站C的距离（结果保留根号）.
参考答案
1．B
【详解】，则，
又，所以.
2．A
【详解】因为，，
所以.
设外接圆的半径为，，
则，
所以外接圆的半径为.
3．D
【详解】指数函数在上单调递增，所以，即；
指数函数在上单调递减，所以，
又因为指数函数的值域大于0，所以，即.
对数函数在上单调递减，所以，即.
由上述分析可知，所以.
4．C
【详解】
.

5．D
【详解】因为，为内角，则，
则.
6．C
【详解】由于，所以，
即，
又，，
所以.
则向量在向量上的投影向量等于：
.
7．B
【详解】因为，
所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上，
因为表示点与定点的距离，
所以点与定点的距离的最小值等于圆心与的距离减去圆的半径，
即.
8．A
【详解】由，得，
而E在边AC上，且，所以
.
9．AC
【详解】由题意得，，
因为为纯虚数，所以，解得，A正确；
此时，，故B错误；C正确；
，在复平面内对应的点为，故D错误.
10．ABC
【详解】对于A，棱锥的一个面是多边形，其余各面的三角形必须有公共顶点，若仅满足“一个面是多边形，其余各面是三角形”，
不一定是棱锥（例如两个同底的三棱锥拼接得到的几何体符合描述，但不是棱锥），A错误；
对于B，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，但直四棱柱的底面不一定是矩形，只有底面为矩形的直四棱柱才是长方体，B错误；
对于C，只有以直角三角形的直角边为轴旋转一周，得到的旋转体才是圆锥，
若绕斜边旋转一周，得到的是两个同底圆锥组成的组合体，不是圆锥，C错误；
对于D，圆台是平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，因此所有母线延长后一定交于原圆锥的同一点，D正确.
11．ACD
【详解】对于A，由上的奇函数满足，得，
则，，因此函数的周期为4，A正确；
对于C，当时，，由是奇函数，则当时，单调递增，
，因此函数在上单调递增，，
由，得函数的图象关于直线对称，则在上单调递减，，
而函数的周期为4，则在上值域为，
当或时，，于是方程在上无解，
当时，由，得无解；
当时，，，由，得，解得；
当时，，由，得，解得；
显然函数的图象关于直线对称，当时，，，
由，得，于是，而此方程在上无解，
因此方程在各有一个解，C正确；
对于B，由选项C知，在上单调递减，由，得，
又周期为4，因此函数在上单调递减，B错误；
对于D，当时，，，D正确.
12．4
【详解】正六棱柱上下底面均为正六边形，每个正六边形有 6 条边，
所以上下底面的棱共有 条，且每条棱的长度都为 2 ，
正六棱柱有 6 条侧棱，设侧棱长为 ，已知所有棱长之和为 48 ，
则 ，解得 .
综上，该正六棱柱的侧棱长为 4.
13． 12
【详解】由，，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为12，此时.
14．
【详解】在中，由正弦定理及有两解，
得且，解得，
所以所求的取值范围是.
15．(1)
(2)实部为 ，虚部为
(3)
【详解】（1）因为
，
所以 .
所以 .
（2）由（1）知 ，则 ，
所以 的实部为 ，虚部为 .
（3）已知 ，则，
复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，
因为该点位于第四象限，则，
所以不等式组的解集为 ，即 的取值范围是 .
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
所以，
所以；
（2）由余弦定理可得，
又为的内角，
所以
（3）
17．(1)，；
(2).
【详解】（1）函数，
所以函数的最小正周期为；
由，得，
所以曲线的对称轴方程为.
（2）当时，，由，得，
由，得，因此函数在上单调递减，
函数值从递减到；函数在上单调递增，函数值从增大到，
由方程在上有两个不同的实根，
得直线与函数的上的图象有两个不同交点，因此，
所以实数m的取值范围是.
18．(1)；
(2).
【详解】（1）不等式，
设向量的夹角为，则,而，代入整理得，
依题意，对任意实数，不等式恒成立，
则需使，因对，，
则有，解得，
所以向量夹角的余弦值为.
（2）以为原点，射线为轴非负半轴建立平面直角坐标系，
则，由（1）知，而，不妨令，满足，
设，则，，
由，得，
即，令，
因此
，当且仅当时取等号，
其中锐角由确定，所以的最小值为.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在中，米，，，，
由正弦定理，得
.
（2）设从D到C的行驶速度为米/秒，
因为D是AB的中点，所以米，
在中，由余弦定理，得，
（米），
从C到B所需的时间为秒，原计划D直接到B的时间为秒，
由题意，得
.
.
（3）以 A为原点,以 AB 所在直线为轴正方向建立平面直角坐标系，则，
，，
，
∵，∴在AB的中垂线上，
设，，则
因为点在∠ACB的角平分线上，所以
,
,
.
所以补给站P到维修站C的距离为米.

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