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江西吉安市四所重点县二中2025-2026学年高二下学期6月学科素养阶段训练数学试卷
一、单选题
1．若函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．已知等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．设随机变量X的概率分布列为
则（ ）
A． B． C． D．
4．若在处取得极大值，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
5．某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有12000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数约为（ ）
附：若，则，，.
A．130 B．273 C．1631 D．1804
6．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．记数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．数列是公差为1的等差数列
C．数列的前项和为 D．数列的前2025项的和为
10．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是函数的极大值点
B．的对称中心为
C．在上恒有
D．若与在有唯一交点，则或
三、填空题
12．已知数列满足，，，则______．
13．设、分别是定义在上的奇函数和非零偶函数，当时，，且，则不等的解集是______．
14．已知数列满足，为其前项和，则______．
四、解答题
15．已知函数的图象过点，且.
(1)求，的值；
(2)求函数的极值.
16．已知数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，记数列的前项和为，求证．
17．已知数列，，（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
18．中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下：
宣传天数 1 2 3 4 5
不了解的人数 108 100 92 80 70
(1)若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的回归方程；
(2)从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下列联表：
性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计
了解 不了解
老年 40 10 50
青年 30 20 50
合计 70 30 100
（i）依据显著性水平进行独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与年龄有关？
（ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表，再从这7份调查表中任意抽取3份，记为抽到的调查表来自青年调查表的份数，求的分布及期望．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，，
独立性检验常用小概率值和相应的临界值：，
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
19．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，讨论方程的根的个数.
参考答案
1．A
【详解】由，得，所以.
2．B
【详解】因为等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，
设的公差为，则，解得，
所以.
故选：B
3．B
【详解】，
则.
故选：B．
4．C
【详解】因为，则
又在处取得极大值，
，解得或，
当，时，，
当时，，当时，，
则在处取得极小值，与题意不符；
当，时，，
当时，，当时，，
则在处取得极大值，符合题意，则，
故选：C.
5．B
【详解】设，则，.
所以.
所以估计12000个该种植园种植的脐橙中，单果质量不低于210g的脐橙个数约为：
（个）.
6．B
【详解】因为在上存在单调递减区间，所以在上有解，所以当时有解，而当时，，（此时），所以，所以的取值范围是.
故选：B.
7．C
【详解】由，令，解得，
当时，由得，即，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，
由，即恒成立，
令，则，而，所以，
即数列单调递减，故，所以，所以的最小值为.
故选：C
8．A
【详解】因为，所以，
设过点的切线切曲线于点，
则切线方程为，又其过点，
所以，所以根据题意可得该关于的方程有3解，
即方程有3解，
所以与有3个交点，
设，则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以的极小值为，的极大值为，
且时，；时，，
所以要使与有3个交点，则需．
故选：A
9．ACD
【详解】数列的前项和，
当时，，
而满足上式，因此.
对于A，，A正确；
对于B，，，
则数列是公差为的等差数列，B错误；
对于C，，
数列的前项和为，C正确；
对于D，，
则数列的前2025项的和为，D正确.
故选：ACD.
10．AC
【详解】对于A，由题意得：，，正确；
对于B，，，错误;
对于C，，正确；
对于D，，错误.
11．BD
【详解】对于A，函数定义域为R，求导得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，为的极小值点，A错误；
对于B，
，因此是函数的对称中心，B正确；
对于C，由选项A得函数在上单调递减，当时，，
且，因此，C错误；
对于D，由，得，令函数，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，函数值集合为；在上单调递增，函数值集合为，
当，即时，在上有唯一解，
当，即时，在上有唯一解，
因此当与在有唯一交点时，或，D正确.
12．1
【详解】方法一：由题意知，，，，
则，，，，，
因此数列是周期为4的周期数列，所以．
方法二：把看作，则，
因此数列是周期为4的周期数列，所以．
故答案为：1.
13．
【详解】、分别是定义在上的奇函数和非零偶函数，
所以、，
令，则，
因此函数在上是奇函数，
当时，，
在上单调递增，又函数在上是奇函数，
所以在上单调递增，且，
，，
因为，，
所以时，，时，，
时，，时，，
的解集是，即的解集是．
故答案为：．
14．1830
【详解】因为，
所以，，，
即．
同理，，，，
所以.
同理可得，
由此可知，，，，成等差数列，
首项为10，公差为16，
所以．
故答案为：.
15．(1)
(2)极大值为，极小值为
【详解】（1），.
由题意得解得；
（2）由（1）得，，
，
令，解得或，
当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减；
当时，，则函数单调递增，
故当时，有极大值为；
当时，有极小值为.
综上，函数的极大值为，极小值为.
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，①
当时，，②
由①②得，即，
当时，，，
所以数列为等比数列，其首项为，公比为2，
所以；
（2）由（1）得，，所以，
所以，
所以
所以．
17．(1)；
(2).
【详解】（1）由，知，，
所以，又，
所以，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，；
（2）由（1）得，
所以，
，
所以
，
所以．
18．(1)；
(2)（i）是否了解中国民间传统文化与年龄有关；
（ii）
0 1 2 3
.
【详解】（1）根据题干可知，
，，，
，
，
，
，
所以关于的回归方程为：
（2）（i）假设：是否了解中国民间传统文化与年龄无关；
由题知显著性水平：，即；
统计量：
，
因为，故拒绝原假设，即是否了解中国民间传统文化与年龄有关；
（ii）按分层抽样抽取老年调查表4份，青年调查表3份，
,
.
所以的分布列为：
0 1 2 3
期望：
19．(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【详解】（1）的定义域为，则，
因，由，解得，
①当时，恒成立，
所以的无递增区间，递减区间为；
②当时，，
令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
③当时，，
令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
综上所述，
当时，无递增区间，递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
（2）由题设，
令，则，即在上单调递增，
故上式中满足，则有，可得，

令，则，由解得.
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，且，当时，，
故.
结合图象，可知，
当时，方程有0个实根；
当或时，方程有1个实根；
当时，方程有2个实根.

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