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甘肃白银市第十一中学2025-2026学年度第二学期九年级考前模拟数学试卷
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．兰州地铁 B．甘肃高速
C．甘肃银行 D．甘肃地矿
3．是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知：如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线l与正五边形的边分别交于点M、N，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．国家发展改革委、市场监管总局、生态环境部联合发布《关于进一步强化碳达峰碳中和标准计量体系建设行动方案（2024-2025年）》．提出到2025年面向企业、项目、产品的三位一体的碳排放核算和评价标准体系基本形成．实现碳中和，已成为全球共识，碳替代、碳减排、碳封存、碳循环是实现碳中和的4种主要途径．科学家预测，2020-2050年，4种途径对全球碳中和的贡献率如图所示．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A．2020-2050年，实现碳中和贡献最大的途径是碳替代
B．2020-2050年，碳减排的贡献率占比为
C．图中表示碳封存的扇形所占圆心角度数为
D．2020-2050年，4种途径的贡献率大小为碳替代碳减排碳循环碳封存
10．如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
二、填空题
11．因式分解=______．
12．若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
13．将一次函数的图象向下平移4个单位长度后经过点，则______．
14．如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____．
15．兰州牛肉面（如图1），以“汤清者镜，肉烂者香，面细者精”的独特风味和“一清二白三红四绿五黄”，赢得了国内乃至全世界顾客的好评，并被中国烹饪协会评为三大中式快餐之一，被誉为“中华第一面”．如图2，是一个盛放兰州牛肉面面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为______（碗的厚度不计）．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转后点的坐标为________．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出其所有整数解．
19．先化简，再求值：，其中．
20．“勾股容圆”是通过勾股形和圆的各种相切关系求圆直径的问题，这是中国古代数学史上的一个重要问题．西汉的《九章算术》勾股章有已知勾股形的勾、股求其内切圆直径的问题，开创了“勾股容圆”的研究．“勾股容圆”的研究不仅展示了古代数学家在几何学方面的高超技艺，而且对后来的数学发展产生了深远的影响．
如图，已知，，作出的内切圆．作法如下：
①作的平分线；
②作的平分线，两条角平分线交于点O；
③以点O为圆心，适当长为半径画弧，与交于点E，F，以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作直线，与交于点D；
④以点O为圆心，长为半径作圆，则即为的内切圆．
(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图中画出的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在中，若，，则内切圆的直径为______．
21．甘肃“甘味”是省级农产品区域公用品牌，代表甘肃省特色农业的精髓．“甘”代表甘肃，谐音“干”，体现农产品因昼夜温差大、光照充足而积累的干物质，象征醇厚甘甜的口感；“味”则强调甘肃农产品的独特风味和品质．某班的一次实践活动课上，老师将分别印有A．兰州百合；B．天水花牛苹果；C．华亭核桃；D．岷县当归这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍．
(1)求小智抽取的卡片上不是A．兰州百合的概率为______；
(2)用画树状图或列表的方法，求小智和小慧介绍的特产相同的概率．
22．交警通常通过限速来降低交通事故发生的概率，而测速摄像头主要通过读取汽车的车牌来识别车辆身份．如图，某条笔直的公路限速，在公路上方高的位置A处有一个摄像头，第一次识别到B处一辆汽车，俯角为，后在C处再次识别到这辆车，俯角为，已知此车辆车牌位于地面高的位置，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由．（参考数据：，，，，，）
23．今年央视春晚节目《武》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取 A、B 两种型号的智能机器人各 10 台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
A 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
（数据：13 万件：1 台；14 万件：3 台；15 万件：2 台；16 万件：3 台；17 万件：1 台）
B 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
众数 中位数 / 万件 平均数 / 万件 方差
A 型号 14 和 16 15
B 型号 20 20
请你根据以上数据，解答下列问题：
(1)填空：表中 ， ．
(2) 型号的机器人每天分拣的快递数量更稳定？（填 A 或 B ）
(3)若某快递公司只能购买一种型号的智机器人，请你结合 “数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议．
24．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将正比例函数的图象沿y轴向上平移，平移后的直线l与反比例函数的图象在第二象限内交于点C，当的面积为10时，求平移后直线l的表达式．
25．如图，内接于，是的直径，点E在上，C是的中点，，垂足为D，的延长线交的延长线于点F，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)当的直径为10，时，求的值．
26．在中，，，D是斜边上的动点（不与点A，B重合），E是直线上的动点（不与点B，C重合），连接，将绕点D顺时针旋转至，连接．
(1)如图1，若D为的中点，连接，点E在的延长线上，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若D不是的中点，点E在边上，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图3，作点D关于的对称点F，连接，已知，，求的长．
27．如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，P为抛物线上一点，连接交x轴于点D，若，求点P的坐标；
(3)如图3，D，E是抛物线对称轴上的两个动点，且，点D在点E的上方，求四边形周长的最小值．
《甘肃白银市第十一中学2025-2026学年度第二学期九年级考前模拟数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C D C B D C A
1．A
解析：解：的相反数是．
2．C
解析：解：A.该图案不符合中心对称图形的定义，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图案不符合中心对称图形的定义，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图案符合中心对称图形的定义，是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.该图案不符合中心对称图形的定义，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
3．B
解析：解：依题意，6710亿，
故选：B
4．C
解析：A．，故选项A计算错误，不合题意；
B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意；
C．，选项运算正确，符合题意；
D．，故选项D计算错误，不合题意；
故选C．
5．D
解析：解：设和交于点F，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
6．C
解析：解：∵正五边形，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C.
7．B
解析：解：∵方程是关于x的一元二次方程
∴
∵方程没有实数根，
∴判别式，
整理得
解得．
∴k的取值范围是．
8．D
解析：解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
和是同弧所对的圆心角与圆周角，
．
9．C
解析：由统计图可知，碳替代占，碳循环占，碳封存占，
碳减排的占比为，
A、最大， 实现碳中和贡献最大的途径是碳替代，故A选项结论正确；
B、由上可知碳减排的贡献率占比为，故B选项结论正确；
C、图中表示碳封存的扇形所占圆心角度数为，， 故C选项结论错误；
D、， 4种途径的贡献率大小为碳替代碳减排碳循环碳封存，故D选项结论正确．
10．A
解析：解：设菱形的边长为，过点作于，如图，
，
则，
，
，
，，
由图可知，当点在点时，的面积最大，
此时，
解得：或（舍去），
，，
当点到达点时，，
，
．
故选：A．
11．．
解析：解：
=
=，
故答案为．
12．
解析：根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）列出关于x的不等式，然后解不等式即可．
解：根据二次根式有意义，得：1-2x≥0，
解得：x≤．
故答案是：x≤．
13．
解析：解：将的图象向下平移个单位长度后，所得图象的解析式为，
整理得，
将点代入，得，
解得．
14．或
解析：解：∵反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，
∴由函数图象可知，当或时，反比例函数图象在正比例函数图象的下方，
∴若，则的取值范围是或．
15．16
解析：设抛物线的解析式为，
由题意可知，碗口宽，碗深，且抛物线关于轴对称，
所以点的横坐标为 ，纵坐标为，即点的坐标为，
将点代入，得，
解得，
所以抛物线的解析式为，
当满碗汤面的竖直高度下降时，汤面的高度为，
令，则，
∴，
解得，
此时碗中汤面的水平宽度为．
16．
解析：解：如图，连接，交轴于点，连接，交轴于点，
由旋转得，，
∴是等边三角形，
∴，
∵点，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
由旋转得，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
同理得，，
将绕点逆时针每次旋转：
，，，，，，每次一个循环，
∵，
∴第次旋转后，点的坐标为．
17．
解析：解：
．
18．，数轴上表示见解析，整数解为4，5，6
解析：解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
∴原不等式组的整数解为4，5，6．
19．，
解析：解：原式．
代入，原式．
20．(1)如图，即为所求
(2)
解析：（1）略
（2）解：∵在中，若，，
∴，
解得（舍负）
过点分别作，垂足为点，
∵
∴
∴四边形为矩形，
∴，
设半径为，
由切线长定理可得，，
∴，
∵，
∴
∴，即内切圆的直径为．
21．(1)
(2)
解析：（1）解：由题意得，一共有种等可能结果，小智抽取的卡片上不是A．兰州百合的结果有种，
故小智抽取的卡片上不是A．兰州百合的概率为．
（2）解：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知：一共有种等可能结果，其中小智和小慧介绍的特产相同的结果有种，
小智和小慧介绍的特产相同的概率为．
22．这辆汽车没有超速，理由见解析
解析：解：这辆汽车没有超速，理由如下：
如图，过点A作交延长线于点D，
根据题意得，，，
∴，
∴
∴这辆汽车的速度为
∴这辆汽车没有超速．
23．(1)20，15
(2)A
(3)购买B型机器人，分析见解析
解析：（1）解：把10台A 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量按照从低到高的顺序排列，第5个数据和第6个数据分别为15万件，15万件，
∴A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量的中位数为万件，即；
∵B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量为20万件的数量最多，
∴B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量的众数为20万件，即；
（2）解：∵，
∴A型号的机器人每天分拣的快递数量更稳定；
（3）解：从众数、中位数和平均数来看，B型机器人的相应数据都高于A型机器人，故应该购买B型机器人．
24．(1)
(2)
解析：（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点
∴当时，
解得，
，
，
反比例函数的表达式为；
（2）解：∵直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），
∴
设平移后的直线与x轴交于点D，连接．
，
．
的面积为10，
，
∴，
∴
，
，
，
设平移后的直线的函数表达式为，
把代入，可得，
解得，
平移后的直线的函数表达式为．
25．(1)证明：连接，
∵C是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
(2)
解析：（1）略
（2）解：连接交于H，
，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵C是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．(1)，理由如下：
∵等腰，
∴
∵D是等腰斜边的中点，
∴，即
∴为等腰直角三角形，
由旋转得，，
∴，
∴，
由旋转得，
∴，
∴
∵
∴
∵
∴；
(2)，理由如下：
如图，过点D作交的延长线于点H，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)
解析：（1）略
（2）略
（3）解：如解图，连接，过点E作交的延长线于点H，
∵
∴由对称可得，
∴
∴四边形是菱形，
∵
∴四边形是正方形，
∴，
由(2)可知，
∵，
∴四点共圆，
∴，，
∴
∴
在等腰中，，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
由(2)中结论，得，
∴，
∴．
27．(1)
(2)
(3)
解析：（1）解：对于，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，解得，（舍去），
∴
∴；
（3）解：在y轴上取点F，使，连接，交直线于点E，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∴四边形的周长最小值为：，
∵，，，，
∴，，
∴四边形的周长最小值为：．

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