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云南楚雄第一中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题
一、单选题
1．已知是空间中三条不同的直线，若，则（ ）
A． B．
C．与相交 D．与是异面直线
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，，点P满足，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．21
6．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面四边形中，与不共线，点满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，两座山峰的高度米，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（三点在同一水平面上）测得点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ）
等级计算方法
A．米 B．米 C．米 D．米
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．正四棱柱的侧面都是正方形
B．棱台的侧棱延长后交于一点
C．正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形
D．四面体的每个侧面都是等边三角形
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是锐角三角形
C．若，，，则有两解
D．若的面积为S，且，则
11．如图，在四面体中，，分别为棱，的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．，，，四点共面
B．平面
C．与是异面直线
D．直线，，相交于一点
三、填空题
12．复数的虚部是________.
13．某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为_________．
14．在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________.
四、解答题
15．已知复数．
(1)求；
(2)若，求．
16．已知向量，．
(1)求；
(2)若向量，且，求的值；
(3)求与垂直的单位向量的坐标．
17．已知函数．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)若且，求的值．
18．如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面.
(1)证明：；
(2)求证：平面；
(3)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.
19．记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，求的周长；
(3)若为边上一点，且的面积为，求的值.
试卷第4页，共4页
《云南楚雄第一中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B B D B D BC AD
题号 11
答案 BCD
1．A
【详解】选项A：因为，，所以；
选项B：由选项A可知，，所以和不垂直；
选项C：由选项A可知，，所以和不相交；
选项D：由选项A可知，，所以和共面.
2．B
【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．
3．C
【详解】点，，则，于是，
所以点的坐标为.
故选：C
4．B
【详解】根据斜二测画法可知，，又，所以，所以
5．B
【详解】由棱台的体积公式，可得.
故选：B.
6．D
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），
可得的图象，
令，得，可得，
．
7．B
【详解】解：如图，
由题意知①，②，又，
则得，
所以，又与不共线，
所以，所以.
8．D
【详解】在中，，
在中，，
在中，
米.
9．BC
【详解】正四棱柱的底面为正方形，侧棱垂直于底面，则其侧面为矩形，不一定为正方形，A错误；
用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，所以棱台的侧棱延长后交于一点，B正确；
正六棱锥的底面为正六边形，侧棱都相等，所以侧面都是全等的等腰三角形，C正确；
四面体的每个侧面都是三角形，不一定为等边三角形，D错误.
10．AD
【详解】对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确；
对于B，由正弦定理得，所以，所以C为锐角，但A，B可能为钝角，不能确定为锐角三角形，故B错误；
对于C，已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，C错误；
对于D，若的面积为S，因为，则，所以，则，由于，则，故D正确.
11．BCD
【详解】对于A，依题意得，，平面，且，，三点不共线，而平面，
所以，，，四点不共面，故A错误；
对于B，因为，分别为棱，的中点，所以，且，
又平面，而平面，所以平面，故B正确；
对于C，因为点，分别在棱，上，且，，
所以，且，所以，且，所以，，，四点共面，
又平面，所以与是异面直线，故C正确；
对于D，因为，，，四点共面，且显然不平行，所以相交，
设，又平面，平面，所以平面，且平面，
又平面平面，所以，所以直线，，相交于一点，故D正确．
12．
【详解】因为，所以其虚部为.
故答案为：
13．/
【详解】由题意知扇形的弧长，
设该圆锥的底面圆的半径为，则，
即，得，即该圆锥的底面圆的直径为.
故答案为：
14．
【详解】如图所示，以为原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则

设，则，
所以，
，
当且仅当时，取得最小值.
15．(1)
(2)
【详解】（1），
所以．
（2）由，得，
即，
所以 ，解得，， 故．
16．(1)
(2)
(3)或.
【详解】（1）由，，得，
所以.
（2）由，则，
因为，所以，解得.
（3）由题可得，设与垂直的向量，
则，取，得，则，
所以，与向量共线的单位向量为，
因此，与垂直的单位向量的坐标或.
17．(1)，单调递增区间为（）
(2)
【详解】（1）因为，
所以的最小正周期，
令（），解得（），
所以的单调递增区间为（）；
（2）由（1）可得，所以，
因为，所以，
所以，
所以
.
18．(1)因为平面平面，
所以平面，
又平面平面平面，所以.
(2)取中点，连接，
则在中，，
又在中，，
则，
即四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面.
(3)存在，为中点；当为中点时，平面平面.
证明如下：取的中点为，连接，
则在中，，
又平面平面，则平面，
同理可证，平面，
又平面 ，
所以平面平面.
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
19．(1)
(2)
(3)2
【详解】（1）由，两边平方整理得，即，
由余弦定理得，又，所以.
（2）由知，则为钝角.
由，得，
所以，
又，所以，则 ，
所以，则，故.
由正弦定理，得，，
故的周长为.
（3）由，得.
设 ，则，
所以，
所以，
则 ，
整理得 ，
由 ，知 ，
所以 ，解得，或（舍去），
故 .
答案第6页，共7页
答案第5页，共7页

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