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天津市和平区双菱中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．在美术字中，有些汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，木工师傅做门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不易变形，这种做法的依据是（　　）
A．三角形稳定性 B．长方形是轴对称图形
C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线
3．在与中，，添加下列条件后，仍不能得到的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．2.5
5．如图，中，与的平分线交于点，过点作，分别交，于点，，若，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在一张长方形纸板上找一点P，使点P到的距离相等，且到点C，D的距离也相等，则下列作法错误的有（ ）个．
（1） （2）（3）（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°．将纸片的一角对折，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
8．如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（ ）
A． B． C． D．
9．为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道l上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示，在中，，，于点E，于点D，，，则的长是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．22
11．如图，的外角的平分线 与内角的平分线交于点E，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，中，，的角平分线和的外角平分线相交于点．过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，点 关于轴对称的点的坐标是__________．
14．两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形．如果第三根木棒长为偶数，则第三根木棒长为___________．
15．如图，在中，是边的垂直平分线．若，则的周长为______．
16．在如图所示的3×3正方形网格中， __________度．
17．如图，是三边都不相等的三角形，点P是内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点．点P，O同时在三角形的内部时：
（1）若，则________；
（2）若，则________．
18．如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是____．
三、解答题
19．如图，直线交的边、于，交延长线于，若，，，，垂足为G，求的度数．
20．如图，点E在上，与交于点F，，，求证：．
21．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图，在中，是边上的中线，延长到点，使，连接．
【探究发现】
（1）图中与的数量关系是　　　　，位置关系是　　　　．
【初步应用】
（2）若，，求的取值范围．
22．如图，在等边中，，、相交于点．
(1)求证；
(2)过点作，垂足为．若，，求的长．
23．在中，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，在内部作，与边相于点．
(1)如图，当时，______（度），______（度）；
(2)如图，若，证明：；
(3)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出此时的度数；若不可以，请说明理由．
24．（1）问题背景：

如图1：在四边形中，，，，E、F分别是上的点且，探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证，再证明可得出结论，他的结论应是______；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以46海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为，请直接写出此时两舰艇之间的距离．
参考答案
1．B
【详解】A、C、D选项均无法找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它们都不是轴对称图形；
B选项，沿着如图所示的虚线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故它是轴对称图形．
故选：B．
2．A
解：用木条EF固定矩形门框ABCD，得到三角形形状，主要利用了三角形的稳定性．
故选：A．
3．C
【详解】A．，，根据可判定，故A可以判定，不符合题意．
B．已知，可证，再加上，根据可判定，故B可以判定，不符合题意．
C．，，无法根据判定，故C不可以判定，符合题意．
D．， ，根据可判定，故D可以判定，不符合题意．
故选：C．
4．A
解：作于H，如图，
∵的平分线交于点，，，
∴，
∵Q为上一动点，
∴的最小值为的长，即的最小值为2．
故选：B．
5．A
解：如图，
∵分别是与的平分线，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴的周长，
又∵，，
∴的周长，
故选：．
6．D
解：∵点P到的距离相等，且到点C，D的距离也相等，
∴点P为的平分线与的垂直平分线的交点．
∴没有符合题意的作图，
故选：D．
7．B
解：∵∠A=65°，∠B=75°，
∴∠C=180°﹣（65°+75°）=40°，
∴∠CDE+∠CED=180°﹣∠C=140°，
∴∠2=360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）=360°﹣300°=60°．
故选B．
8．B
解：∵在三角形中，是中线，
∴，
∴．
∵于E，于F，，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9．D
【详解】要使读书亭到、两小区的距离之和最小，根据“轴对称＋两点之间线段最短”的原理：
选项D中，作出点关于直线的对称点，则，
此时．
因为、、三点共线，根据“两点之间，线段最短”，
此时最小，即最小．
而其他选项的作图方法均不符合最短路径的求解，
故选：D．
10．B
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故选B．
11．A
解：如图，过点E作交延长线于点F，于点M，交延长线于点N，
设，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
12．D
解：①∵的角平分线和的外角平分线相交于点，
在中
，故①正确；
，
，
为的角平分线，
，
在和中
，
，；故②正确；
③，即：，，
则由三角形三条高所在直线交于一点可知，
，，
，
，
，
，
与都是等腰直角三角形，
，，
，
，
不成立，故③错误，
④，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述①②④正确．
故选：．
13．
解：点 关于轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
14．/4厘米
解：设第三根木棒长度为 ，根据题意得：
，即，
∵第三根木棒的长为偶数，
∴，
即第三根木棒长为，
故答案为：．
15．21
解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∴的周长为；
故答案为：21．
16．
解：如图，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即，
根据网格的特点可知，
∴，
故答案为：．
17．
解：（1）由题意得：
，
故答案为：；
（2）连接，如图所示，
由题意得：，
，
，
，
由（1）知，，
则，
∴．
故答案为：．
18．①②③
解：，，
是等腰直角三角形，
，结论①正确；
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，结论②正确；
平分，
，
是等腰三角形，
，
，结论③正确；
，
，结论④错误；
综上，结论正确的是①②③，
故答案为：①②③．
19．．
解：∵，，
∴在中，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
20．证明见解析
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，，，
根据三角形内角和为，可得，
在和中，
，
∴．
21．（1），；（2）的取值范围为．
【详解】（1）是边上的中线，
，
又， ，
在和中，
，
≌，
，，
，
故答案为：，；
（2）由（1）可知≌，
，，
在中，，
，
即，
，
的取值范围为．
22．(1)见解析
(2)7
【详解】（1）证明：等边，
，，
，
，即，
在和中，
，
．
（2）解：由（1）得，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为7．
23．(1)，；
(2)证明见解析；
(3)的形状可以是等腰三角形，的度数为为或．
（1）解：∵，
∴，
∵，，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（3）解：的形状可以是等腰三角形，的度数为或，理由如下:
∵，，
∴，
分三种情况讨论：
当时，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴点与点重合，不合题意；
当时，，
∴，
∵，
∴，
综上所述，的形状可以是等腰三角形，的度数为为或．
24．（1）；（2）结论仍然成立，详见解析；（3）此时两舰艇之间的距离为232海里
解：（1）结论：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，连接，延长相交于点C．

由题意可知，①，
∵，
∴②，
又∵③，
∴由①②③可知，符合（2）中的条件，
∴结论成立，
∴（海里）．
答：此时两舰艇之间的距离为232海里．

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