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天津市双菱中学2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科期中阶段质量监测
一、单选题
1．设函数，若，则（ ）
A．或 B．或0 C． D．0
2．已知随机变量X的分布规律为（），则（ ）
A． B． C． D．
3．从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有（ ）种．
A．30 B．36 C．56 D．66
4．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒容积最大时，（ ）
A．2 B． C． D．4
7．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（ ）
A．由“第行所有数之和为”猜想：
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想：
C．
D．第29行中从左到右第14与第15个数相等
8．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知函数，则__________.
11．若二项式的展开式中的二项式系数和为，各项系数和为，则________.
12．袋子中有3个红球，2个黄球，m个蓝球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则______．
13．已知随机变量的分布列如图：
-1 0 1
设，则的方差__________．
14．现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______．
15．已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______．
三、解答题
16．已知函数
(1)若在处有极小值，求；
(2)若，求在区间上的最值.
17．已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等.
(1)求的值；
(2)求的系数；
(3)求的值.
18．2024年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立．
(1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；
(2)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望．
19．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若恰有3个零点，求的取值范围.
20．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，存在不相等的、，满足，证明：；
(3)对任意的，恒成立，求a的取值范围．
参考答案
1．B
【详解】函数的导数为：，
由条件得：，
解得：，
即或.
2．A
【详解】因为随机变量X的分布规律为（），
所以，解得，
所以.
故选：A.
3．B
【详解】从名学生中选出3名，共有种；
从6名男生中选出3名，共有种；
则至少有1名女生的选法共有.
4．C
【详解】由函数的图象可知：
当时，，，此时单调递增；
当时，，，此时单调递减；
当时，，，此时单调递减；
当时，，，此时单调递增．
5．C
【详解】设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件，只答对一道题为事件，甲通过测试为事件，
则 ，
，
则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为.
6．D
【详解】因为铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，
所以无盖方盒的底面积为，高为.
设方盒的容积为，则，
令，
得或（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，方盒容积最大.
7．D
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，由组合数的性质可得，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D，第29行中从左到右第14个数为，第15个数为，两者不相等，D错误.
8．A
【详解】当时，由得：，
令，则在上单调递增，
在上恒成立，在上恒成立；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
，即，实数的取值范围为.
9．C
【详解】设与相切于点，
则，解得，此时.
由得，
由，可得，此时切点为，
作出函数与的图象如图，
由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点，
10．
【详解】因为函数，则，
所以.
11．
解：二项式的展开式中的二项式系数和，
令得，各项系数和，
．
12．1
【详解】记取出的两个球都是红球为事件，则，
，即
解得或（舍），
故的可能取值为，
则，
，
故答案为：1.
13．
【详解】由题意可得，
因此，
，
因为，所以.
14．
【详解】用分别表示交换1次，2次后白球还在A罐中的事件，
依题意，，，，
由全概率公式得，
所以交换2次后，白球还在A罐子中的概率是.
15．
【详解】，
则当时，，即在上单调递增，
则；
由，使得成立，
则在上有解，即在上有解，
令，，
则，
令，，
则
故在上单调递减，则，
故在上单调递减，则，
即实数a的取值范围是.
16．(1)
(2)最小值为，最大值为.
【详解】（1）由，得，
因为为的极小值点所以，解得或，
当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以为的极小值点；
当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以为的极大值点；
经检验，时，在处取极大值，不符题意，所以；
（2）当时，，令得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
所以为在区间的极大值，也是最大值.
由于，，，所以最小值为.
综上所述，在区间上的最小值为，最大值为.
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以.
（2）由（1）知，的展开式中项为：，所以.
（3）由（1）知，的展开式中，当时，，
因为
所以
当时，，
所以.
18．(1)
(2)分布列：
0 1 2 3
期望为
【详解】（1）记3人中通过第一轮的人数为，由题意可知，
记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件，
则．
（2）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为，
则，
，
，
由相互独立可知，
，
，
所以的分布列是：
0 1 2 3
则的数学期望是．
19．(1)（或）
(2)
【详解】（1），定义域为.
则，所以，
又，
则曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）令，得，
即.
设函数，则，
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则.
当时，，当时，，且当时，，当时，，
作出的大致图象，如图所示.
令，则.
显然不是方程的根，
所以函数有两个零点，因为，
所以且，
所以且，
得，即的取值范围为.
20．(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）的定义域为，.
（i）当时，，此时在上单调递增.
（ii）当时，令，得.
当时，；当时，.
在单调递减，在单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）当时，由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增.
不妨设，要证，即证，即证.
，即证.
令，
在上单调递增，，.
，，，证毕.
（3），.
分离参数可得：，对都成立，即求右侧函数最小值.
令，则.
令，则，
在上单调递增，又，，
故存在唯一的，使得，.
令，，在上单调递增，
，，.
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.
，
.

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