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华师大版（2024）八年级下册 17.1 平行四边形的性质 暑期巩固
利用平行四边形的对边平行且相等求解
1、 如图， ABCD中，AE平分∠BAD，若CE＝3 cm，AB＝4 cm，则 ABCD的周长是(　　)
A. 20 cm B. 21 cm C. 22 cm D. 23 cm
2、如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3、如图，平行四边形ABCD周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC长(　　)
A. 14 cm B. 12 cm C. 10 cm D. 8 cm
4、一根8米长的铜丝围成一个平行四边形，使长边和短边的比是5∶3，则长边的长是____________米．
5、如图，在中，平分，交于点E，，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
利用平行四边形的对边平行且相等证明
1、如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（　　　）
A. B. C. D.
2、如图，在 ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是(　　)
A.AG平分∠DAB
B.AD＝DH
C.DH＝BC
D.CH＝DH
3、如图，在中，为对角线，下列结论正确的是（　　）
A. B. C. D.
4、如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论：
①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号）
5、如图所示，在中，、是对角线上的两点，要使，还需添加一个条件为 ．（只需添加一个即可）
6、 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＋CD＝AD.连接CE，求证：CE平分∠BCD.
7、 如图，在 ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DCF.
利用平行四边形的对角相等求解
1、如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DEA等于（　　）
A.100° B.80° C.60° D.40°
2、如图，在平行四边形ABCD中，BA＝BD，∠AEB＝90°，若∠C＝70°，则∠DAE＝（　　）
A.10° B.20° C.30° D.40°
3、如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______.
4、如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝__________.
5、如图，如果 ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求 ABCD的内角∠D、∠BAD的度数．
利用平行四边形的对角相等证明
1、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，小明给出如下结论：
①AB=CD，②AB=BC，③∠A=∠C，④ ∠ABC=60°，⑤∠A+∠B=180°，其中正确的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、如图，四边形是平行四边形，E、F分别是边、上的点，且．
求证：．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴……，
在和中，
∴．省略号表示的是（ ）
A.，
B.，
C.，
D.，
3、如图，在中，、分别平分、，交于点E、G．
(1)求证：，；
(2)过点E作，垂足为F．若的周长为56，，求的面积．
4、 如图，在 ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点．求证：△ABE≌△CDF.
求平行线间的距离
1、已知直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4 cm，AC＝5 cm，AD＝6 cm，则m与n之间的距离（ ）
A.等于5 cm B.等于6 cm C.等于4 cm D.小于或等于4 cm
2、如图，在中，，，，则与间的距离为（ ）
A.5 B.10 C. D.26
3、如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，EA=3，D为OM上的一个动点，C是DA延长线与BC的交点，BCOM，则CD的最小值是（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
4、如图，，点为直线上的任意一点，三角形的面积为6，，则直线与的距离为 ．
5、如图，已知，，于点，于，．
（1）求证：；
（2）求点到的距离．
利用平行线间的距离解决问题
1、如图，，，，垂足为 A，，垂足为D．下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2、如图，在平行四边形中，为边延长线上一点，连接．若的面积为4，则平行四边形和的面积分别为（ ）
A.4，12 B.4，8 C.2，8 D.8，12
3、如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔距离均为a，正方形四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ．
4、如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在格点上．
(1)将平移，使得格点M、N在的内部，画出平移后的图形；
(2)利用格点画出的高线，中线；
(3)若的面积与的面积相等，满足条件的格点P有__________个．
利用平行四边形的对角线互相平分求解
1、如图，平行四边形中，，交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为7，则的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
2、如图，在中，对角线相交于点O，，则的长为（ ）
A. B.6 C.5 D.
3、如图，平行四边形的周长为，的周长比的周长多6，则为（ ）
A.7 B.9 C. D.
4、如图，平行四边形的周长是，对角线、相交于点，交于点，则的周长为 ．
5、如图，四边形是平行四边形，，，，求、．
6、综合与实践：
如图，已知中，对角线，交于点，过点任作直线分别交，于点，．
(1)请判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，，，求四边形的周长；
(3)若，，，，请直接写出的长．
利用平行四边形的对角线互相平分证明
1、如图所示，的对角线交于点，下列结论错误的是（　　）
A.是中心对称图形
B.且
C.
D.与的面积相等
2、如图，在中，对角线与相交于点，点，在上，添加一个条件使，这个条件不可以是（ ）
A. B. C. D.
3、如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论：
①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号）
4、在①；②；③这三个条件中，选择一个合适的条件补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知：如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点，点、在上，且 (填写序号)．
求证：．
5、如图，□的对角线，相交于点，过点作，分别交，于点，，连接．求证：．
华师大版（2024）八年级下册 17.1 平行四边形的性质 暑期巩固（参考答案）
利用平行四边形的对边平行且相等求解
1、 如图， ABCD中，AE平分∠BAD，若CE＝3 cm，AB＝4 cm，则 ABCD的周长是(　　)
A. 20 cm B. 21 cm C. 22 cm D. 23 cm
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝10，AB＝DC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝4 cm，
∴BC＝BE＋CE＝7 cm，
∴ ABCD的周长＝2(DC＋BC)＝2×(4＋7)＝22 cm；
故选C.
2、如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的顶点的坐标分别是，
∴，
∴顶点D的坐标为．
故选：A．
3、如图，平行四边形ABCD周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC长(　　)
A. 14 cm B. 12 cm C. 10 cm D. 8 cm
【答案】D
【解析】∵ ABCD的周长是28 cm，
∴AB＋AD＝14 cm，
∵△ABC的周长是22 cm，
∴AC＝22－(AB＋AC)＝8(cm)，
故选D.
4、一根8米长的铜丝围成一个平行四边形，使长边和短边的比是5∶3，则长边的长是____________米．
【答案】2.5
【解析】设长边和短边长分别为5x m,3x m，
∴2(5x＋3x)＝8，解得x＝0.5，
∴长边的长是2.5米．
5、如图，在中，平分，交于点E，，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且；
（2）解：由（1）可知，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
即CE的长为．
利用平行四边形的对边平行且相等证明
1、如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（　　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由作图的痕迹得AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，所以A选项不符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，CD∥AB，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DA=DE，所以B选项不符合题意，
∴CD=DE，所以D选项不符合题意，
不能确定DE=BE，所以C选项符合题意．
故选：C．
2、如图，在 ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是(　　)
A.AG平分∠DAB
B.AD＝DH
C.DH＝BC
D.CH＝DH
【答案】D
【解析】根据作图的方法可得AG平分∠DAB，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAH＝∠BAH，
∵CD∥AB，
∴∠DHA＝∠BAH，
∴∠DAH＝∠DHA，
∴AD＝DH，
∴BC＝DH，
故选D.
3、如图，在中，为对角线，下列结论正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
即．
故选：B．
4、如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论：
①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【解析】∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点，
∴BE=DE，AD∥BC，AD=BC，
∴∠MDE=∠NBE，∠DME=∠BNE，
∴ DME BNE，
∴DM=BN，
∴AM=CN，故①正确；
由图可得：BM>AB≠AD=BC，
故②错误；
连接AE、CE，
四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点，
∴BE=DE，
∴ ADE CBE，
∴AE=CE，∠AED=∠CEB，
点A、E、C三点共线，故③正确；
如图所示：过点D、E两点向BC作垂线分别为Q和P点，
∵E是BD的中点，且点E为平行四边形对角线的交点，
∴DQ=2EP，
，
，
∴，故④正确；
故答案为：①③④．
5、如图所示，在中，、是对角线上的两点，要使，还需添加一个条件为 ．（只需添加一个即可）
【答案】或或或等
【解析】添加DF=BE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADF=∠CBE，
∵DF=BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
另外还可以添加或或等；
故答案：DF=BE或或或等．
6、 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＋CD＝AD.连接CE，求证：CE平分∠BCD.
【答案】证明　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠E＝∠DCE，
∵AE＋CD＝AD，
∴BE＝BC，
∴∠E＝∠BCE，
∴∠DCE＝∠BCE，即CE平分∠BCD.
7、 如图，在 ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DCF.
【答案】证明　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△DCF中，BA=DC,
∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴∠BAE＝∠DCF.
利用平行四边形的对角相等求解
1、如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DEA等于（　　）
A.100° B.80° C.60° D.40°
【答案】D
【解析】在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＝180°﹣∠B＝180°﹣100°＝80°．
∵AE平分∠DAB，
∴∠AED∠DAB＝40°．
故选：D．
2、如图，在平行四边形ABCD中，BA＝BD，∠AEB＝90°，若∠C＝70°，则∠DAE＝（　　）
A.10° B.20° C.30° D.40°
【答案】B
【解析】∵平行四边形ABCD，
∴BA＝CD，AD∥BC，
∵BA＝BD，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝70°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣70°＝20°，
故选：B．
3、如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______.
【答案】23°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝67°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠BCD＝67°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝90°－67°＝23°.
4、如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝__________.
【答案】55°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，
由折叠的性质，得∠D1AE＝∠C，
∴∠D1AE＝∠BAD，
∴∠D1AD＝∠BAE＝55°.
5、如图，如果 ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求 ABCD的内角∠D、∠BAD的度数．
【答案】解　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，
∵EA平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝∠AEB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B＝∠D＝60°，∠C＝∠BAD＝120°.
利用平行四边形的对角相等证明
1、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，小明给出如下结论：
①AB=CD，②AB=BC，③∠A=∠C，④ ∠ABC=60°，⑤∠A+∠B=180°，其中正确的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】根据平行四边形的边的性质，可以得出“对边平行且相等”，得不出邻边相等，故①正确，②错误；由“对边平行”，可得AD∥BC，由“两直线平行，同旁内角互补”，可得A+∠B=180°，故⑤正确；
根据平行四边形的角的性质，可以得出“对角相等”，得不出角的具体度数，故③正确，④错误；
综上，正确的有①③⑤，3个正确的结论．
故选C．
2、如图，四边形是平行四边形，E、F分别是边、上的点，且．
求证：．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴……，
在和中，
∴．省略号表示的是（ ）
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】B
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，…，
∴．
故选：B．
3、如图，在中，、分别平分、，交于点E、G．
(1)求证：，；
(2)过点E作，垂足为F．若的周长为56，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵、分别平分、，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：如图，过E作于H．
∵，平分，
∴．
∵的周长为56，
∴，
∴．
4、 如图，在 ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点．求证：△ABE≌△CDF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，
∵点E，F分别为边BC，AD的中点，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
求平行线间的距离
1、已知直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4 cm，AC＝5 cm，AD＝6 cm，则m与n之间的距离（ ）
A.等于5 cm B.等于6 cm C.等于4 cm D.小于或等于4 cm
【答案】D
【解析】∵直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，
且AB＝4 cm，AC＝5 cm，AD＝6 cm，
∴AB＜AC＜AD，
∴m与n之间的距离小于或等于4 cm，
故选：D．
2、如图，在中，，，，则与间的距离为（ ）
A.5 B.10 C. D.26
【答案】B
【解析】∵四边形为平行四边形，
∴，与互相平分，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
故与间的距离为10；
故选：B．
3、如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，EA=3，D为OM上的一个动点，C是DA延长线与BC的交点，BCOM，则CD的最小值是（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】A
【解析】∵OB平分∠MON，AE⊥ON于点E，CD⊥OM，
∴AD=AE=3，
∵BC∥OM，
∴∠DOA=∠B，
∵A为OB中点，
∴AB=AO，
在△ADO与△ABC中，
∴△ADO≌△ABC(SAS),
∴AC=AD=3，
∴，
故选A．
4、如图，，点为直线上的任意一点，三角形的面积为6，，则直线与的距离为 ．
【答案】3
【解析】作PM⊥AB于M，
∵AB//CD，
∴PM的长就是两平行线间的距离，
∵三角形PAB的面积为6，AB=4，
∴AB PM=6，即×4PM＝6，
∴PM=3．
故答案为：3．
5、如图，已知，，于点，于，．
（1）求证：；
（2）求点到的距离．
【答案】解：（1）∵，，
∴，
∴；
（2），，
∴，
∴即为点到的距离，
∵，，
∴，
，
故点到的距离为6．
利用平行线间的距离解决问题
1、如图，，，，垂足为 A，，垂足为D．下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】A
【解析】∵，，，，
∴四边形和四边形均为平行四边形，
∴，，，，
∴向右平移即可得到，
∴，
∵平行四边形和平行四边形有公共边和公共的高，
∴，
∴① ② ③ ④都正确，
故选：A．
2、如图，在平行四边形中，为边延长线上一点，连接．若的面积为4，则平行四边形和的面积分别为（ ）
A.4，12 B.4，8 C.2，8 D.8，12
【答案】D
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
设点E到的距离为h，
∵的面积为4，
∴，
∴，
∴，
故选D．
3、如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔距离均为a，正方形四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ．
【答案】
【解析】过点C作，交于点E，交于点F，如图，
∵直线，，
∴，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：．
4、如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在格点上．
(1)将平移，使得格点M、N在的内部，画出平移后的图形；
(2)利用格点画出的高线，中线；
(3)若的面积与的面积相等，满足条件的格点P有__________个．
【答案】解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，高线，中线即为所求；
（3）如图，点即为所求．
满足条件的格点P有4个．
故答案为：4.
利用平行四边形的对角线互相平分求解
1、如图，平行四边形中，，交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为7，则的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】由作法得垂直平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵的周长为7，
∴，即，
∴，
故选：B．
2、如图，在中，对角线相交于点O，，则的长为（ ）
A. B.6 C.5 D.
【答案】A
【解析】 ，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
故选A．
3、如图，平行四边形的周长为，的周长比的周长多6，则为（ ）
A.7 B.9 C. D.
【答案】A
【解析】∵平行四边形，
∴，
由题意知，平行四边形的周长为，
的周长为，的周长为，
∴，整理得，，
得，，
解得，，
故选：A．
4、如图，平行四边形的周长是，对角线、相交于点，交于点，则的周长为 ．
【答案】7
【解析】四边形是平行四边形，
，，，
的周长为，
，
，
是线段的中垂线，
，
的周长，
故答案为：7．
5、如图，四边形是平行四边形，，，，求、．
【答案】解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
．
6、综合与实践：
如图，已知中，对角线，交于点，过点任作直线分别交，于点，．
(1)请判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，，，求四边形的周长；
(3)若，，，，请直接写出的长．
【答案】解：（1），理由如下：
四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，，，
，
．
（2），
，
，
又，
四边形的周长．
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴.
利用平行四边形的对角线互相平分证明
1、如图所示，的对角线交于点，下列结论错误的是（　　）
A.是中心对称图形
B.且
C.
D.与的面积相等
【答案】C
【解析】∵是中心对称图形，故正确；
∵四边形是平行四边形，
∴且，故正确；
在和中，，，，
∴和不全等，故错误；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴和的底边，高相同，
∴与的面积相等，故正确，
故选：．
2、如图，在中，对角线与相交于点，点，在上，添加一个条件使，这个条件不可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，，，，，则，
A.∵，则，
∴，
又∵，，
∴，故A选项不符合题意；
B.∵，，，
∴，故B选项不符合题意；
C.而，，，不能证明三角形全等，故C选项符合题意；
D.∵，
∴，则，
又∵，，
∴，故D选项不符合题意；
故选：C．
3、如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论：
①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【解析】∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点，
∴BE=DE，AD∥BC，AD=BC，
∴∠MDE=∠NBE，∠DME=∠BNE，
∴ DME BNE，
∴DM=BN，
∴AM=CN，故①正确；
由图可得：BM>AB≠AD=BC，
故②错误；
连接AE、CE，
四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点，
∴BE=DE，
∴ ADE CBE，
∴AE=CE，∠AED=∠CEB，
点A、E、C三点共线，故③正确；
如图所示：过点D、E两点向BC作垂线分别为Q和P点，
∵E是BD的中点，且点E为平行四边形对角线的交点，
∴DQ=2EP，
，
，
∴，故④正确；
故答案为：①③④．
4、在①；②；③这三个条件中，选择一个合适的条件补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知：如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点，点、在上，且 (填写序号)．
求证：．
【答案】解：若②，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
∴，
若③，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，
∴，
故答案为：②或③．
5、如图，□的对角线，相交于点，过点作，分别交，于点，，连接．求证：．
【答案】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴．

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