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华师大版（2024）八年级下册 18.1 矩形 暑期巩固
矩形性质的理解
1、如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是(　　)

A. B. C. D.
2、矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是(　　)
A.对边平行 B.对边相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等
3、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 ．（填代号）
①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是；⑥轴对称图形．
4、矩形的对称轴有 条．
利用矩形的性质求角度
1、如图，在矩形中，对角线，相交于点O，如果，那么的度数是(　　)

A. B. C. D.
2、在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数为(　　)

A. B. C. D.不确定
3、如图，矩形中，对角线，交于点，点是上一点，且，，则的度数为 ．
4、如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．

利用矩形的性质求线段的长度
1、如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则的长为(　　)
A.3 B.4 C. D.5
2、矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3 cm和5 cm两部分，则矩形的周长为（　　）
A.22 cm和26 cm B.22 cm和24 cm C.26 cm D.22 cm
3、如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，AE＜BE，AD＝4，AB＝10，则DE长为 ．
4、如图，矩形的对角线和相交于点O，，则 ．

5、如图，在矩形中，对角线相交于点，分别过点作于点，于点，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
6、如图，在矩形中，是的平分线，过点D作，交的延长线于F，连接．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
利用矩形的性质求面积
1、数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．那么对于这个图中各部分的面积关系，说法不一定成立的是(　　)
A.
B.
C.
D.
2、如图，在矩形中，，，为的中点，点，分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为(　　)

A.18 B.14 C.16 D.12
3、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，．若，则矩形ABCD的面积是(　　)
A.16 B. C.32 D.
4、如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，以BC为一边，在BC上方作等边三角形BCE，连接DE，BD则的面积为 ．
5、已知矩形中，，，，则矩形的面积为 ．
6、如图，矩形中，点E在上，且平分，若，

(1)求证：；
(2)求的面积．
利用矩形的性质证明
1、如图，在矩形中，与交于点，点是上一点，连结交对角线于．若，则下列结论错误的是(　　)
A. B. C. D.
2、如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（　　）
A.四边形的面积是定值
B.的值不变
C.的值不变
D.
3、如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　）

A. B. C. D.
4、如图，在矩形中，点，在对角线上，请添加一个条件，使得结论“”成立，你添加的一个条件是 ．

5、如图，在矩形中，O为对角线的中点，过点O作直线分别与边、交于M、N两点，连结、．求证：四边形为平行四边形．
6、如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
矩形中的折叠问题
1、如图，将矩形沿折叠，点C的对应点是F，将沿折叠，此时点B也恰好落在点F处，若，，则的长是(　　)
A. B. C.5 D.
2、如图，在矩形中，分别为对角线上三点，为上一点，分别沿折叠和，使得点A、C的对应点恰好都落在点上，则的长等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
3、如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则折痕的长是 ．
4、矩形中，，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段的长为 ．

矩形中的动点问题
1、如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是(　　)
A.当点P与点A重合时，最小
B.当点P与点D重合时，最小
C.当最小时，A、E、C三点共线
D.当最小时，
2、如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5
3、如图，长方形，，，将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处，连接、，动点在线段上点与点、不重合，动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．点、在移动过程中，线段的长度是 ．
4、如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别AB、BC、CD、DA边上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线GE是否经过某一定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．
用定义判定矩形
1、如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)

①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角．
A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④②
2、在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　)
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
3、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝　　°时，四边形AEDF是矩形．
4、如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
用角判定矩形
1、如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)

A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
2、下列各图中，是矩形的是(　　)
A. B. C. D.
3、在四边形中，，则四边形是 ．
4、工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　　　　　　　　．
5、已知：如图，在中平分，过点A作，过点C作，垂足为点E，连接交于点F．
求证：四边形是矩形．
6、如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形.
用对角线判定矩形
1、如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1
2、如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　)
A.甲是矩形
B.乙是矩形
C.甲、乙均是矩形
D.甲、乙都不是矩形
3、在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是 形．
4、如图，在平行四边形中，点E、F分别为中点，G、H分别在边上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：四边形是矩形．
5、如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，且．求证：四边形是矩形．
矩形判定定理的理解
1、依据所标数据，下列一定为矩形的是(　　)

A.只有③ B.只有①② C.只有②③ D.①②③
2、下列说法正确的是(　　)
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D.四个角都是直角的四边形是矩形
3、给定下列命题：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是 .
4、在四边形ABCD中，如果∠A=90°，那么还不能判定四边形ABCD是矩形，现再给出如下说法：①对角线AC、BD互相平分，那么四边形ABCD是矩形；②∠B=∠C=90°，那么四边形ABCD是矩形；③对角线AC=BD，那么四边形ABCD是矩形．其中正确的说法有 ．（把你认为正确说法的序号全部填上）
添一条件使四边形是矩形
1、如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有(　　)
A.
B.，，
C.
D.
2、下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是(　　)
A. B. C. D.
3、已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是 ．
4、已知：如图，在中，平分，交于E，平分，交于F．
(1)求证：；
(2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由．
5、如图，在中，D是边上一点，E是的中点，过C作，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)连接．若D是的中点，在中添加什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论．
综合利用矩形的判定与性质进行求解
1、如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为(　　)
A. B. C. D.
2、如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
3、如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是(　　)
A.23 B.16 C.22 D.15
4、如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为 ．
5、如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为 ．
6、如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长．
综合利用矩形的判定与性质进行证明
1、已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　)
A. B. C. D.
2、平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　)
A. B. C. D.
3、已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　)
A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④
4、如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.

①；②平分；③；④.
5、如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论：
平分；；是的中点；，其中正确的序号有 ．
6、如图，在四边形中，，，垂足为，．
求证：．
华师大版（2024）八年级下册 18.1 矩形 暑期巩固（参考答案）
矩形性质的理解
1、如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是(　　)

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵在矩形中，对角线，交于点，
∴，，，
矩形不一定有，
∴四个选项中只有D选项说法错误，
故选：D．
2、矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是(　　)
A.对边平行 B.对边相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等
【答案】D
【解析】A.矩形和平行四边形的对边都平行，故不合题意；
B.矩形和平行四边形的对边都相等，故不合题意；
C.矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故不合题意；
D.矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不相等，故符合题意．
故选D．
3、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 ．（填代号）
①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是；⑥轴对称图形．
【答案】④⑤⑥
【解析】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是：
④对角线相等；
⑤4个角都是90°；
⑥轴对称图形．
故答案为：④⑤⑥．
4、矩形的对称轴有 条．
【答案】2
【解析】如图所示，
所以矩形的对称轴有2条．
故答案为：2．
利用矩形的性质求角度
1、如图，在矩形中，对角线，相交于点O，如果，那么的度数是(　　)

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】四边形是矩形，
，
故选C．
2、在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数为(　　)

A. B. C. D.不确定
【答案】C
【解析】∵矩形中，对角线与交于点O，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选：C．
3、如图，矩形中，对角线，交于点，点是上一点，且，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
4、如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．

【答案】解：四边形是矩形，平分，
，
．
又，
，
．
故答案为：.
利用矩形的性质求线段的长度
1、如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则的长为(　　)
A.3 B.4 C. D.5
【答案】B
【解析】四边形是矩形，且，
，
，
是等边三角形，，
故选：B．
2、矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3 cm和5 cm两部分，则矩形的周长为（　　）
A.22 cm和26 cm B.22 cm和24 cm C.26 cm D.22 cm
【答案】A
【解析】如图1，∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的周长,
如图2，∵平分，
，
，
，
，
，
∴矩形的周长，
综上所述，矩形的周长为22 cm或26 cm，
故选：A.
3、如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，AE＜BE，AD＝4，AB＝10，则DE长为 ．
【答案】
【解析】设AE＝x，则BE＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝10，∠A＝∠B＝90°，
∴AD2＋AE2＝DE2，BC2＋BE2＝CE2，
∵DE⊥CE，
∴∠DEC＝90°，
∴DE2＋CE2＝CD2，
∴AD2＋AE2＋BC2＋BE2＝CD2，
即42＋x2＋42＋（10﹣x）2＝102，
解得：x＝2或x＝8（不合题意，舍去），
∴AE＝2，
∴DE＝＝＝2，
故答案为：2．
4、如图，矩形的对角线和相交于点O，，则 ．

【答案】6
【解析】∵是矩形，
∴，
由∵
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：6．
5、如图，在矩形中，对角线相交于点，分别过点作于点，于点，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
【答案】解：（1）∵在矩形在中，，，
∴，
又∵，，
，，
在和中，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）在矩形在中，，，
∵，
∴，
∴在中，，
，
∴是等边三角形，
，
∴在中，，，
由勾股定理得，．
6、如图，在矩形中，是的平分线，过点D作，交的延长线于F，连接．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
由（1）得，，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图所示，连接，
由（2）知，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．

利用矩形的性质求面积
1、数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．那么对于这个图中各部分的面积关系，说法不一定成立的是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据题意可知，故A正确；
根据矩形的性质得，，故B，D正确，
而与不一定相等，
故选：C．
2、如图，在矩形中，，，为的中点，点，分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为(　　)

A.18 B.14 C.16 D.12
【答案】C
【解析】为等腰直角三角形，，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，为的中点，
，，
，
，
故选：C．
3、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，．若，则矩形ABCD的面积是(　　)
A.16 B. C.32 D.
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，∠ABC=90°，
∴AO=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB，
∴AC=2AO=8，
∴，
∴矩形ABCD的面积=AB BC=．
故选：B．
4、如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，以BC为一边，在BC上方作等边三角形BCE，连接DE，BD则的面积为 ．
【答案】
【解析】作EF⊥BC于点F，如图，
∵△BCE是等边三角形，BC=4，
∴∠ECF=60°，EC=BC=4，BF=CF=2，
∴，
∴S△BDE=S四边形BCDE－S△BCD
= S△BCE+S△CDE－S△BCD
=
=；
故答案为：．
5、已知矩形中，，，，则矩形的面积为 ．
【答案】20
【解析】连接，相交于点M，过A作轴，过C作轴，过B作轴，交于点G，交于点F，
，
∵矩形，
∴M为，的中点，
又，，，
∴，
解得，
∴，，
∴矩形的面积为．
故答案为：20．
6、如图，矩形中，点E在上，且平分，若，

(1)求证：；
(2)求的面积．
【答案】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积=．
利用矩形的性质证明
1、如图，在矩形中，与交于点，点是上一点，连结交对角线于．若，则下列结论错误的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，故正确，不符合题意；
∵，
∴，
即，故正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵根据条件无法推出平分，
∴推导不出，
故推导不出，故错误，符合题意．
故选：．
2、如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（　　）
A.四边形的面积是定值
B.的值不变
C.的值不变
D.
【答案】C
【解析】过点C作，交的延长线于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形的面积是定值，故A正确；
∵，
∴的值不变，故B正确；
∵，
∴，故D正确；
∴的值不变不成立，
故选：C．
3、如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.由矩形，可得，，
．
又，
，故A正确；
B.由，可得，
由矩形，可得，
又，
，故B正确；
C.由，可得，
由矩形，可得，
，故C正确；
D.不一定等于，
直角三角形中，不一定等于的一半，故D错误；
故选：D．
4、如图，在矩形中，点，在对角线上，请添加一个条件，使得结论“”成立，你添加的一个条件是 ．

【答案】（答案不唯一）
【解析】可以添加条件为：
在矩形中，，，
，
，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
5、如图，在矩形中，O为对角线的中点，过点O作直线分别与边、交于M、N两点，连结、．求证：四边形为平行四边形．
【答案】证明∵四边形是矩形，O为对角线的中点，
∴，，
∴，．
在和中，
,
∴,
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形．
6、如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
【答案】证明：（1）∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
又∵，，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）∵，
∴．
又∵，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
矩形中的折叠问题
1、如图，将矩形沿折叠，点C的对应点是F，将沿折叠，此时点B也恰好落在点F处，若，，则的长是(　　)
A. B. C.5 D.
【答案】A
【解析】四边形为矩形，，，
，，
设，则，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
解得，
，
故选：A．
2、如图，在矩形中，分别为对角线上三点，为上一点，分别沿折叠和，使得点A、C的对应点恰好都落在点上，则的长等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】∵折叠,
∴,
∵四边形是矩形,
∴,
∴,
∵,
∴,
在中，,
即,
解得,
∴,
故选：B.
3、如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则折痕的长是 ．
【答案】
【解析】过点F作于G,
∵是直角梯形的折痕,
∴，．
又∵,
,
∴,
∴,
，,
,
在中，,
,
，,
,
在中，，
,
（负值已舍去）,
故答案为：．
4、矩形中，，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段的长为 ．

【答案】
【解析】四边形是矩形，，，
，，，，
在中，，
，
由折叠的性质可知，，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，
在中，，
故答案为：．
矩形中的动点问题
1、如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是(　　)
A.当点P与点A重合时，最小
B.当点P与点D重合时，最小
C.当最小时，A、E、C三点共线
D.当最小时，
【答案】D
【解析】如图，以为边向右作等边，连接．

是等边三角形，
，，，
，
，
，，
点在射线上运动，且，设交于点，
则，
当时，的长最小，此时，则，
，，
，
，即：点为中点，
，
，
．
综上，当点为中点时，的长最小，此时，
故选：D．
2、如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】过点M作，交延长线于G，延长线于H，

则四边形为矩形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
当点E与D重合时，，
设，则 ，
在中， ，解得，
∴，
∴当点从点运动到点时，则点运动的路径长是，
故选：C．
3、如图，长方形，，，将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处，连接、，动点在线段上点与点、不重合，动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．点、在移动过程中，线段的长度是 ．
【答案】
【解析】四边形是长方形，
，，
将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处，
，
，
，
，
过点作交于，
，
，
，
，
，又，
，
又，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
4、如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别AB、BC、CD、DA边上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线GE是否经过某一定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD，∠A＝∠C＝90°，
∵BF＝DH，
∴BC﹣BF＝AD﹣DH，即CF＝AH，
又AE＝CG，
∴△HAE≌△FCG，
∴HE＝FG，
同理可证：HG＝FE，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）直线GE经过一个定点，这个定点为矩形的对角线AC、BD的交点．
理由如下：
如图，连接AC、AG、CE，设AC、EG的交点为M．
∵AE∥CG，AE＝CG，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴MA＝MC，MG＝ME，
即点M为AC的中点，
又矩形ABCD的对角线互相平分
∴点M为矩形对角线ACBD的交点，
∴直线GE总过AC、BD的交点M．
用定义判定矩形
1、如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)

①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角．
A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④②
【答案】B
【解析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
A：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故④不能推导出②，故A错误；
B：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．故B正确；
C：矩形本身就是平行四边形，不需要由矩形去证明它本身平行四边形，故C错误；
D：应先确定该四边形是平行四边形，故D错误．
故选：B．
2、在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　)
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【答案】B
【解析】连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=BC，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形,
故选：B.
3、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝　　°时，四边形AEDF是矩形．
【答案】45
【解析】当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形．
∵DF∥AB，DE∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
故答案为45．
4、如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
【答案】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
∴，
又，
四边形是平行四边形．
．
（2），平分，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
用角判定矩形
1、如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)

A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【答案】B
【解析】因为四边形是平行四边形，
所以，,
则，，,
因为、、、分别是、、、的角平分线，
所以，，
所以，,
在中，，
即；
在中，，
即；
在中，，
即；
所以四边形是矩形,
故选：B.
2、下列各图中，是矩形的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意；
B.只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意；
C.不是四边形，即不是矩形，不符合题意；
D.该四边形是有三个直角的四边形，则该四边形为矩形，符合题意；
故选：D．
3、在四边形中，，则四边形是 ．
【答案】矩形
【解析】对于四边形，其内角和为，
即，
又∵，
∴．
故答案为：矩形．
4、工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　　　　　　　　．
【答案】三个角是直角的四边形为矩形
【解析】用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形．
故答案为：三个角是直角的四边形为矩形.
5、已知：如图，在中平分，过点A作，过点C作，垂足为点E，连接交于点F．
求证：四边形是矩形．
【答案】证明：∵平分，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形．
6、如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形.
【答案】证明：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形.
用对角线判定矩形
1、如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】A
【解析】∵四边形是平行四边形，，
∴，
当时，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故选：A．
2、如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　)
A.甲是矩形
B.乙是矩形
C.甲、乙均是矩形
D.甲、乙都不是矩形
【答案】A
【解析】由题意知，甲中对角线相等且互相平分，
∴甲中四边形是矩形，
如图乙，记的交点为，
由图可知，，的数量关系未知，
∴乙中四边形不一定是矩形，
故选：A．
3、在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是 形．
【答案】矩
【解析】四边形为平行四边形，，
这个平行四边形是矩形，
故答案为：矩．
4、如图，在平行四边形中，点E、F分别为中点，G、H分别在边上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：四边形是矩形．
【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E、F分别为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点E、F分别为中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
5、如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，且．求证：四边形是矩形．
【答案】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
矩形判定定理的理解
1、依据所标数据，下列一定为矩形的是(　　)

A.只有③ B.只有①② C.只有②③ D.①②③
【答案】C
【解析】图②可根据有三个角是直角的四边形是平行四边形证明该四边形是矩形，符合题意；
图③可由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明该四边形是矩形，符合题意；
根据现有条件无法证明图①中的四边形是矩形，不符合题意；
故选C．
2、下列说法正确的是(　　)
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D.四个角都是直角的四边形是矩形
【答案】D
【解析】A.有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误；
B.两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
C.两条对角线互相垂直的四边形可能是菱形，故错误；
D.四个角都是直角的四边形是矩形，正确，
故选：D．
3、给定下列命题：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是 .
【答案】（1）、（2）、（4）
【解析】（1）对角线相等的平行四边形是矩形，则原命题错误；（2）对角相等的四边形是平行四边形，则原命题错误；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；（4）一个角为直角,两条对角线互相平分的四边形是矩形，则原命题错误；（5）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形，则原命题错误，所以错误的命题有（1）、（2）、（4），故答案为（1）、（2）、（4）.
4、在四边形ABCD中，如果∠A=90°，那么还不能判定四边形ABCD是矩形，现再给出如下说法：①对角线AC、BD互相平分，那么四边形ABCD是矩形；②∠B=∠C=90°，那么四边形ABCD是矩形；③对角线AC=BD，那么四边形ABCD是矩形．其中正确的说法有 ．（把你认为正确说法的序号全部填上）
【答案】①②
【解析】①对角线AC、BD互相平分的四边形是平行四边形，又∠A=90°，所以四边形ABCD是矩形，正确；
②∠A=90°，∠B=∠C=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，正确；
③只有对角线相等，不能判定其为平行四边形，也就不能判定四边形ABCD是矩形，所以不正确．
故应填：①②.
添一条件使四边形是矩形
1、如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有(　　)
A.
B.，，
C.
D.
【答案】D
【解析】A.正确．对角线相等的平行四边形是矩形．
B.正确．，，，
，
，
平行四边形为矩形．
C.正确，，
，
，
平行四边形是矩形，
D.错误．对角线垂直的平行四边形是菱形．
故选：D
2、下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，即对角线相等，

∴平行四边形是矩形，
∴A选项符合题意；
∵，即一组邻边相等，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形；
∴B选项不符合题意；
∵，即对角线垂直
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形；
∴C选项不符合题意；
∵，即一组边和对角线垂直，
∴平行四边形不能判定是矩形；
∴D选项不符合题意；
故选：A．
3、已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】①∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴此项成立；
②∵菱形是平行四边形，它的对角线也互相垂直，但它不是矩形，∴此项不成立；
③∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴此项成立；
④∵平行四边形的对角线互相平分，由可得它的对角线相等，∴此项成立．
故答案为：①③④．
4、已知：如图，在中，平分，交于E，平分，交于F．
(1)求证：；
(2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由．
【答案】（1）证明：在中，，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
∴.
（2）解：，四边形是矩形．理由如下：
，
，，
又，
，
四边形是平行四边形，
，平分，
，
平行四边形是矩形．
5、如图，在中，D是边上一点，E是的中点，过C作，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)连接．若D是的中点，在中添加什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论．
【答案】解：（1）∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，是矩形．
连接，

∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等腰三角形，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
综合利用矩形的判定与性质进行求解
1、如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
2、如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】B
【解析】平行四边形的对角线的交点是的中点O，当时，最小，即最小．
∵，，
∴，
又∵四边形的平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
故选：B．
3、如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是(　　)
A.23 B.16 C.22 D.15
【答案】B
【解析】如图，延长到点，使得，连接．
，四边形是矩形，
∴，
四边形和四边形是矩形．
∴，，
，
，
，
．
分别是上的动点，故当三点共线时，的值最小，
且的值等于的值．
在中，，
四边形的周长的最小值是
．
4、如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴、为等边三角形，
∴，，
∵E、F为的中点，
∴垂直平分，垂直平分，，
∴，
∴四边形为矩形，
又，
∴，
∴，，
∴四边形的面积为：，
故答案为：.
5、如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由勾股定理得，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
如图，连接，
∴，
∴当时，最小，即最小，
∵，
∴，
解得，，
∴的最小值为，
故答案为：．
6、如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长．
【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，
OA=OC=AC，OB=OD=BD，
又∵OA=OB，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OD．
又∵∠AOD=60°，
∴AOD是等边三角形，
∴OD=AD=4，
∴BD=2OD=8，
在RtABD中，AB=．
综合利用矩形的判定与性质进行证明
1、已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴四边形是矩形，
∴，一定成立，故B符合要求；
，不成立，故D不符合要求；
，，不一定成立，故A、C不符合要求；
故选：B．
2、平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵平行四边形中，，
∴四边形是矩形，
∴，，但对角线不一定垂直，
故选项C不一定正确；
故选：C．
3、已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　)
A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④
【答案】D
【解析】①∵四边形是平行四边形，
∴．
∵、分别为边、的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，故①正确；
②∵且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故②正确；
③连接，
∵四边形是矩形，
∴过点E，．
若，则，显然与不一定相等，故③不正确；
④∵四边形是矩形，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
∵为边的中点，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故选D．
4、如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.

①；②平分；③；④.
【答案】①②④
【解析】平移恰好到，
四边形为平行四边形，
，故正确；
平分，
，
，
，
，
，
，
平分，故正确；
平分，平分，
，，
但，
，故错误；
四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形，
，
在中，，故正确．
故选①②④．
5、如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论：
平分；；是的中点；，其中正确的序号有 ．
【答案】
【解析】①，，
，，
将绕点逆时针旋转，
，，，，，
，，
又，
四边形是矩形，
，，，
，，
∴Rt△DEC≌Rt△DEH(HL)， ∴ R t △ D E C ">
，，，
平分，故①正确；
②，，
，
，
，，
，
，故②正确；
③如图，连接，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
点是的中点，故③正确，
④，，
，
，
，故④不合题意，
故答案为：①②③．
6、如图，在四边形中，，，垂足为，．
求证：．
【答案】证明：过作于，
则，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．

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