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华师大版（2024）八年级下册 18.2 菱形 暑期巩固
利用菱形的性质求角度
1、如图，在菱形中，直线分别交、、于点M、N和O，且，连接，若，则为(　　)

A. B. C. D.
2、如图，在菱形中，，对角线，相交于点，以，为边作矩形，则的度数为(　　)
A. B. C. D.
3、如图，在菱形中，，分别以，为圆心，以大于长为半径，作弧交于两点，过此两点的直线交边于点，连接，，则的度数为 ．
4、如图，是菱形的一条对角线，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，直线与射线交于点．若，则 ．
5、如图，BD是菱形ABCD的对角线，．
(1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为点E、交AD于点F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）条件下，连接BF，求的度数．
利用菱形的性质求线段的长
1、如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为(　　)
A. B. C. D.
2、如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为(　　)

A. B. C. D.
3、如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩的距离（即）为，则之间的距离是 ．

4、如图，在菱形中，，点E，F分别在上，与关于直线对称，点B的对称点是G，且点G在边上，若，，则的长为 ．
5、如图，在菱形中，．连接交于点，过点作交延长线于点．，求的长．
利用菱形的性质求面积
1、如图，在菱形中，对角线、交于点，，，是菱形的外角，点是的角平分线上任意一点，连接、，则的面积等于(　　)
A.6 B.9 C.12 D.无法确定
2、已知，菱形的周长为，其中一条对角线长为，则菱形的面积(　　)
A. B. C. D.
3、如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，若，则菱形的面积是(　　)

A. B.1 C. D.4
4、如图，某市计划在一片空地上修建一个边长为的菱形公园，顶点作为主要出入口．为小路的中点，、是两条主要通道，要在它们的交点以及点处建两个休息亭，使得这两个休息亭到出入口的距离相等，则计划建造的这个菱形公园的面积为 ．

5、如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求菱形的面积．
利用菱形的性质证明
1、如图，在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定成立的是(　　)
A. B. C. D.
2、如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是(　　)

A. B.平分 C. D.
3、如图，在菱形中，点M，N分别在上，且．
求证：．
4、如图，已知菱形，，点E在的延长线上，且满足．求证：是等边三角形．

菱形中的翻折问题
1、如图，为矩形的对角线，点E、F分别在边上，将边沿折叠，点B恰好落在上的点M处，将边沿折叠、点D恰好落在上的点N处，若四边形是菱形，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
2、如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（　　）
A. B. C. D.
3、如图，已知菱形的边长为3，，点、分别在边、上．若将沿直线折叠，使得点恰好落在边的中点处，则 ．
4、如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则 ．
菱形中的动点问题
1、如图，菱形中，，，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于（　　）
A.1 B. C. D.
2、如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，P是对角线上的动点，且．若，，则的最小值是(　　)

A.2 B.3 C.4 D.
3、如图，在菱形中，°，在对角线上任取一点Р（端点除外），连接、．在BA的延长线上取一点Q，使．当点Р在线段上移动时：①；②当点P沿CA方向运动时，的度数先变小，后变大；③；④．其中，说法正确的序号是 ．
4、如图，在菱形中，点、分别为边、上的动点（都与菱形的顶点不重合），连接、、．若，且，判断的形状，并说明理由．
5、如图，在菱形中，，点E是上的动点，点F是上的动点，

(1)若，求证∶ ；
(2)若，猜想形状（不写证明过程）．
用定义判定菱形
1、如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　)
A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60°
2、如图，在中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，当四边形为菱形时，则a的值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4
3、如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为______________．
4、菱形判定方法1：有一组邻边 　　　的平行四边形是菱形．
5、利用所给的图形证明：一个顶点到它所对的两边距离相等的平行四边形是菱形．（写出已知、求证并加以证明）
已知：
求证：
证明：
6、如图，已知AB∥CD，∠BAC的平分线与CD交于点E，∠ACD的平分线与AB交于点F，试说明：四边形ACEF是菱形．
用边判定菱形
1、如图，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可直接判定四边形为菱形的条件是(　　)
A.有一组邻边相等
B.对角线平分一组对角
C.对角线互相垂直
D.四条边相等的四边形
2、如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　)
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平分四边形是菱形
3、如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直接MN交BC于点M，交AD于点N．求证：四边形AMCN是菱形．
4、如图，在矩形中，对角线相交于点O，且，．求证：四边形是菱形．
添加一个条件是菱形
1、如图，的对角线，相交于点，添加下列条件仍不能判断四边形是菱形的是(　　)

A. B. C. D.
2、已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是(　　)
A. B. C. D.
3、如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有 （只填写序号）．

4、已知：如图，在中，，的平分线交于点F，E是的中点，过点A作，交的延长线于点D．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)给添加一个条件，使得四边形是菱形．请证明你的结论．
综合利用菱形的判定与性质进行求解
1、如图，在矩形中，对角线相交于点，，，若，，则四边形的周长为(　　)

A. B. C. D.
2、如图，平行四边形的对角线相交于点，，，则四边形的面积为（　　）
A.48 B.15 C.24 D.12
3、如图，在中，是角平分线，交于，交于，若，那么四边形的周长为（　　）
A. B. C. D.
4、如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为 ．
5、如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若的周长为36，求长．
6、如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点A作于点H，求的长．
综合利用菱形的判定与性质进行证明
1、如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是(　　)

A. B. C. D.
2、如图，在平行四边形ABCD中，，，以点A为圆心AB长为半径画弧交边AD于点F：以点B为圆心AB长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，BF和EF．下列结论不正确的是(　　)
A. B. C. D.
3、如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，以点B为圆心，一定长度为半径画弧，分别交于点E和点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，射线恰好经过顶点D．则下列结论中不一定成立的是(　　)
A. B. C. D.
4、如图，是的边的垂直平分线，垂足点为点O，与的延长线交于点E，连接，，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
5、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．
(1)求证：；
(2)求证：OE⊥AD．
华师大版（2024）八年级下册 18.2 菱形 暑期巩固（参考答案）
利用菱形的性质求角度
1、如图，在菱形中，直线分别交、、于点M、N和O，且，连接，若，则为(　　)

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
故选：C．
2、如图，在菱形中，，对角线，相交于点，以，为边作矩形，则的度数为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵在菱形中，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：B．
3、如图，在菱形中，，分别以，为圆心，以大于长为半径，作弧交于两点，过此两点的直线交边于点，连接，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】四边形是菱形，
，
，
，
，
由题意得：在的垂直平分线上，
，
，
．
故答案为：．
4、如图，是菱形的一条对角线，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，直线与射线交于点．若，则 ．
【答案】
【解析】设与的交点为，
由题意可得，为的角平分线，为线段的垂直平分线，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5、如图，BD是菱形ABCD的对角线，．
(1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为点E、交AD于点F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）条件下，连接BF，求的度数．
【答案】解：（1）如图所示，直线EF 即为所求；
（2）∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠ABD=∠DBC，DA∥CB，
∴∠ABC+∠A=180°，
又∵∠A=40°，
∴∠ABC=140°，
∴∠ABD=∠DBC=70°，
∵EF 垂直平分线段AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=40°，
∴∠DBF=∠ABD－∠FBA=70°－40°=30°．
利用菱形的性质求线段的长
1、如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接、交于点，
菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，
，，
，，，
由旋转的性质可得：，，
，
点的对应点的坐标为，
故选：B．
2、如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为(　　)

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴菱形的周长，
故选：．
3、如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩的距离（即）为，则之间的距离是 ．

【答案】36
【解析】如图，设与交于点O，

则，，
，
，
，
故答案为：36．
4、如图，在菱形中，，点E，F分别在上，与关于直线对称，点B的对称点是G，且点G在边上，若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】四边形是菱形，，
，，
，是等边三角形，
则边上的高，
即，
，
，
∵与关于直线对称，
，
，
，即，
，
，
．
故答案为.
5、如图，在菱形中，．连接交于点，过点作交延长线于点．，求的长．
【答案】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
利用菱形的性质求面积
1、如图，在菱形中，对角线、交于点，，，是菱形的外角，点是的角平分线上任意一点，连接、，则的面积等于(　　)
A.6 B.9 C.12 D.无法确定
【答案】A
【解析】四边形是菱形，
，，，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：A．
2、已知，菱形的周长为，其中一条对角线长为，则菱形的面积(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，
四边形是菱形，且周长是，，
，，，，
在中，，
，
菱形的面积：，
故选：D．
3、如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，若，则菱形的面积是(　　)

A. B.1 C. D.4
【答案】C
【解析】∵，，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4、如图，某市计划在一片空地上修建一个边长为的菱形公园，顶点作为主要出入口．为小路的中点，、是两条主要通道，要在它们的交点以及点处建两个休息亭，使得这两个休息亭到出入口的距离相等，则计划建造的这个菱形公园的面积为 ．

【答案】
【解析】如图，连接交于点，则，

为的中点，
)，
)，
，
，
，
，
，
)，
)，
)，
在中，由勾股定理得，
，
菱形公圆的面积为 ．
故答案为：．
5、如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴且，
∴且，
则四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵是等边三角形，，
∴．
利用菱形的性质证明
1、如图，在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定成立的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.根据菱形的性质四条边相等，可知正确；
B.根据菱形对角线互相垂直，可知正确；
C.根据菱形的对角线平分每一组对角，可知正确；
D.根据菱形的性质，可知不一定正确．
故选：D．
2、如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是(　　)

A. B.平分 C. D.
【答案】D
【解析】A.∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，故选项A不符合题意；
B.因为四边形是菱形，所以平分，故选项B不符合题意；
C.∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，故选项C不符合题意；
D.∵不能得出四边形是菱形，
∴不一定等于，故选项D符合题意；
故选：D．
3、如图，在菱形中，点M，N分别在上，且．
求证：．
【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
4、如图，已知菱形，，点E在的延长线上，且满足．求证：是等边三角形．

【答案】证明：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴是等边三角形．
菱形中的翻折问题
1、如图，为矩形的对角线，点E、F分别在边上，将边沿折叠，点B恰好落在上的点M处，将边沿折叠、点D恰好落在上的点N处，若四边形是菱形，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
2、如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由翻折变换可知，AB=FB，∠A=∠EFB=65°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=65°，
∴BF=BC，
∴∠BFC=∠C=65°，
∴∠DFE=180°-∠EFB-∠BFC =180°-65°-65° =50°，
故选：D．
3、如图，已知菱形的边长为3，，点、分别在边、上．若将沿直线折叠，使得点恰好落在边的中点处，则 ．
【答案】2.1
【解析】过点作于点，如图所示：
，四边形是菱形，
，
，
设，则，，，
，
，
中，，
解得：，
，
故答案为：2.1．
4、如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则 ．
【答案】30°
【解析】∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，
由折叠的性质得：∠B=∠AOM，∠D=∠AON，
∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD，
∵∠MON=80°，
∴∠AOM=∠AON=(360°-80°)=140°，
∴∠B=∠AOM=140°,
∴∠BAD=40°,
∴∠OAM=10°,
∴∠AMO=180°-140°-10°=30°,
故答案为:30°．
菱形中的动点问题
1、如图，菱形中，，，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于（　　）
A.1 B. C. D.
【答案】B
【解析】作点F关于的对称点G，连接，作于，作交于，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴点G在上，，，
∵，
∴最小值为：，
故选B．
2、如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，P是对角线上的动点，且．若，，则的最小值是(　　)

A.2 B.3 C.4 D.
【答案】D
【解析】过作于，过作于，

∵菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴当、、三点共线且与垂直时最小，最小值为菱形的高，
∵，
∴,
∵，，
∴，
∴，
即的最小值是，
故选：D．
3、如图，在菱形中，°，在对角线上任取一点Р（端点除外），连接、．在BA的延长线上取一点Q，使．当点Р在线段上移动时：①；②当点P沿CA方向运动时，的度数先变小，后变大；③；④．其中，说法正确的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】连接，过点分别作于点，于点，如图所示，
四边形为菱形，
，．
，
，
，，
①和④正确．
，，
为等边三角形，
．
，，
，．
，
．
，
．
为定值．
②不正确．
，，
是等边三角形．
，，
，
，，
．
．
③正确．
故答案为：①③④
4、如图，在菱形中，点、分别为边、上的动点（都与菱形的顶点不重合），连接、、．若，且，判断的形状，并说明理由．
【答案】解：的形状为等边三角形，
如图，在菱形中，，
，，
，
，
，
，．
，，
，
在和中，
，
.
，，
又，
，即，
为等边三角形．
5、如图，在菱形中，，点E是上的动点，点F是上的动点，

(1)若，求证∶ ；
(2)若，猜想形状（不写证明过程）．
【答案】解：（1）连接，如下图：

在菱形中，，，
∴为等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）等边三角形，理由如下：
作，如下图，

则，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
用定义判定菱形
1、如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　)
A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60°
【答案】B
【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC平行且等于ED，
∴四边形ACDE为平行四边形，
当AC＝BC时，则DE＝EC，
∴平行四边形ACED是菱形．
故选B.
2、如图，在中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，当四边形为菱形时，则a的值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】四边形是平行四边形，
，，，
将线段水平向右平得到线段，
，
四边形为平行四边形，
当时，为菱形，
此时．
故选：B.
3、如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为______________．
【答案】菱形
【解析】由题意知，HG∥EF∥AC，EH∥FG∥BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HG＝EF＝AC，EH＝FG＝BD，
∵矩形的对角线相等，
∴AC＝BD，
∴EH＝HG，
∴平行四边形EFGH是菱形．
4、菱形判定方法1：有一组邻边 　　　的平行四边形是菱形．
【答案】相等
【解析】有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
故答案为：相等．
5、利用所给的图形证明：一个顶点到它所对的两边距离相等的平行四边形是菱形．（写出已知、求证并加以证明）
已知：
求证：
证明：
【答案】解：已知：在 ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝DF，
求证： ABCD是菱形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEA＝∠DFC＝90°，
又∵DE＝DF，
∴△DAE≌△DCF（AAS）
∴DA＝DC，
∴ ABCD是菱形.
6、如图，已知AB∥CD，∠BAC的平分线与CD交于点E，∠ACD的平分线与AB交于点F，试说明：四边形ACEF是菱形．
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠ECF，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ECF＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴AF＝AC，
同理：AC＝CE，
∴AF＝CE＝AC，
又∵AF∥CE，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵AF＝AC，
∴四边形ACEF是菱形．
用边判定菱形
1、如图，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可直接判定四边形为菱形的条件是(　　)
A.有一组邻边相等
B.对角线平分一组对角
C.对角线互相垂直
D.四条边相等的四边形
【答案】D
【解析】由作法得，
所以四边形为菱形．
故选：D．
2、如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　)
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平分四边形是菱形
【答案】B
【解析】如题图所示；
∵将△ABC延底边BC翻折得到△DBC，
∴AB＝BD，AC＝CD，
∵AB＝AC，
∴AB＝BD＝CD＝AC，
∴四边形ABDC是菱形，
故选B.
3、如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直接MN交BC于点M，交AD于点N．求证：四边形AMCN是菱形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM＝∠NMC，
由折叠的性质，可得：∠ANM＝∠CNM，AM＝CM，AN＝CN，
∴∠NMC＝∠CNM，
∴CM＝CN，
∴AM＝CM＝CN＝AN，
∴四边形AMCN为菱形．
4、如图，在矩形中，对角线相交于点O，且，．求证：四边形是菱形．
【答案】证明：四边形是矩形，
，，．
．
，，，
．
，．
．
四边形是菱形．
添加一个条件是菱形
1、如图，的对角线，相交于点，添加下列条件仍不能判断四边形是菱形的是(　　)

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，即，
∴是菱形，
故选项A正确，但不符合题意；
∵，
∴是菱形，
故选项B正确，但不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又，
∴，
∴是矩形，
故选项C错误，符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴是菱形，
故选项D正确，但不符合题意；
故选：C．
2、已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，
A．，不能判断平行四边形是菱形，故A不符合题意；
B．，不能判断平行四边形是菱形，故B不符合题意；
C．，
四边形是平行四边形，
∴，
，
，
，
，
四边形是菱形，故C符合题意；
D．，不能判断平行四边形是菱形，故D不符合题意；
故选：C．
3、如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有 （只填写序号）．

【答案】①②③④
【解析】①∵，
∴四边形是平行四边形，故①正确；
②若，
∴平行四边形是矩形；故②正确；
③若平分，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴；
∴平行四边形是菱形；故③正确；
④若；
∴平分；
∴结合③可得平行四边形是菱形；故④正确；
所以正确的结论是①②③④，
故答案为：①②③④．
4、已知：如图，在中，，的平分线交于点F，E是的中点，过点A作，交的延长线于点D．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)给添加一个条件，使得四边形是菱形．请证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴（ASA）,
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当时，四边形是菱形．
证明如下：∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
综合利用菱形的判定与性质进行求解
1、如图，在矩形中，对角线相交于点，，，若，，则四边形的周长为(　　)

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴四边形的周长为，
故选：．
2、如图，平行四边形的对角线相交于点，，，则四边形的面积为（　　）
A.48 B.15 C.24 D.12
【答案】C
【解析】四边形是平行四边形，
，，
又，
，
，即，
四边形是菱形，
四边形的面积为，
故选：C．
3、如图，在中，是角平分线，交于，交于，若，那么四边形的周长为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴四边形周长为,
故选：．
4、如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】如图，设交于点，连接,
由作图可知：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
故答案为：．
5、如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若的周长为36，求长．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，，
平分，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，
，，，，
的周长为36，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
．
6、如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点A作于点H，求的长．
【答案】（1）证明：在中，对角线，相交于点，，，，
，，
，且，
，
是直角三角形，且，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
解得：．

综合利用菱形的判定与性质进行证明
1、如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是(　　)

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据作图可知：垂直平分，
∴，
∴点O为的对称中心，

∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∴，
∴，故A正确；
∴四边形是菱形，
∴，故C正确；
与不一定相等，故D错误，
故选：D．
2、如图，在平行四边形ABCD中，，，以点A为圆心AB长为半径画弧交边AD于点F：以点B为圆心AB长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，BF和EF．下列结论不正确的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由作图可知：AB=BE，AF=AB，
∴AB=BE=AF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，即AFBE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AB=EF，AE⊥BF，∠AEB=∠AEF，故A、B、C选项都不符合题意；
而∠ABC≠90° ，∴四边形ABEF不是矩形，∴AE≠BF，故D选项符合题意．
故选：D．
3、如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，以点B为圆心，一定长度为半径画弧，分别交于点E和点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，射线恰好经过顶点D．则下列结论中不一定成立的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由作法知，是的平分线，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，即四边形为菱形，
∴，
但不一定成立，
即选项A、B、C正确，
故选：D．
4、如图，是的边的垂直平分线，垂足点为点O，与的延长线交于点E，连接，，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①②③
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故②正确，
∴，，
∵，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，故④错误；
综上分析可知：①②③正确；
故答案为：①②③．
5、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．
(1)求证：；
(2)求证：OE⊥AD．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，BO=OD，AO=OC，
∴OA=OD；
（2）∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形．
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OD．
∴平行四边形AODE为菱形．
∴OE⊥AD．

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