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江苏省泰州市泰兴市2025—2026秋学期八年级上册数学期末试卷
一、单选题
1．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各点中，位于第三象限的点是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．，2， D．5，12，13
4．如图，在中，用直尺和圆规在边上找一点P，使得P到点A、C的距离相等，以下符合要求的作图是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果能被n整除，则n的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点是直线（）上一点，下列四个点中有三个点在该直线上，则不在该直线上的点是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7． ．
8．若分式有意义，则的取值范围是 ．
9．在平面直角坐标系中，将点先向向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是 ．
10．分式与的最简公分母是 ．
11．若二次三项式可分解为，则m的值为 ．
12．若点在函数的图象上，则 ．
13．已知点，在一次函数的图象上，若，则实数m的值可以是 （写一个符合条件的值即可）．
14．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动 ．
15．如图，点在直线：上，经过点A的一次函数图象：与x轴相交于，若时，，则t的取值范围是 ．
16．在中，，，，P是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，点B的对应点为点D，若与直线所夹的锐角为，则的长为 ．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）分解因式：．
18．解下列方程：
(1)；
(2)．
19．已知与x成正比，且当时，．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)当时，请直接写出x的取值范围为_________．
20．小明化简分式：出现了错误，其解答过程如下：
原式 （第一步）
（第二步）
……
(1)小明的解答过程是从第_________步开始出错的；
(2)请写出此题正确的化简过程，并从的范围内选取一个合适的整数a代入求值．
21．【观察】；；；…
【发现】两个连续偶数的平方差是4的倍数；
【验证】
(1)的结果是4的_________倍；
(2)设连续的两个偶数为2n，（n为整数）．试说明：与2n的平方差是4的倍数．
22．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？
23．如图，在四边形中，，M是对角线的中点，垂直平分，垂足为N．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
24．综合与实践：杆秤中的数学
背景 杆秤，是中国人发明的人类最早的衡器，它凝聚了古代劳动人民的智慧，你知道杆秤中隐含的数学原理吗？
素材1 杆秤称物符合杠杆原理：如图1，要使杆秤平衡，杆秤左端物体的质量M、左端物体到秤纽O（即杆秤的支点）的水平距离与右端秤砣的质量m、秤砣到秤纽的水平距离满足等式：．
素材2 如图2，利用杆秤称重时，当秤盘所托重物为（不包括秤盘的质量）时，秤砣到秤纽的水平距离为，根据杠杆平衡原理可得y是关于x的一次函数．
素材3 为了便捷的利用杆秤称重，需在杆秤上标记分布均匀的刻线来刻画刻度与重物质量的对应关系，其制作过程如下： （1）标记零刻线：当秤盘不放重物时，移动秤砣，直至杆秤平衡，标出零刻线； （2）标记末刻线：当秤盘放入杆秤允许的最大质量（即杆秤的最大量程）重物时，移动秤砣，直至杆秤平衡，标出末刻线； （3）标记计量刻线：量出零刻线与末刻线之间的距离，将零刻线与末刻线之间的距离等间距分割成10大格，每大格再等间距分割成10小格．
小明根据素材3制作了最大量程为的杆秤，若干次称重时所记录的一些数据如下表所示：
25 50 75 100
3 4
(1)若称一重物时的读数为5大格3小格，则此时称得的重物的质量为_________；
(2)求y关于x的函数表达式；
(3)求此杆秤的每小格的长度．
25．已知一次函数，（，k，b为常数）的图象分别记为，，当时，．
(1)求b的值；
(2)若点在上，点在上．
①当时，若，，比较p、q大小，并说明理由；
②当时，．若k，m都为整数，求q的最大值．
26．【数学建模】
（1）如图1，在中，，，，垂足分别为点D、E．求证：；
【模型运用】
（2）如图2，在（1）的条件下，，相交于点O，连接，．求证：垂直平分；
（3）如图3，平面直角坐标系第一象限内有一定点M．
①用无刻度的直尺和圆规在坐标轴上找点A，B，C，使A，B，C满足下列条件（不写作法，保留作图痕迹）：
（a）点A、B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，且直线经过点M；
（b）点C在y轴上，且，；
②在①的条件下，若点M的坐标为，求点B的坐标．（请利用备用图分析作答）
《江苏省泰州市泰兴市2025—2026秋学期八年级上册数学期末试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D D B C A
1．B
解析：解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．D
解析：解：第三象限的点的符号特征为，
故符合题意的只有点，
故选D．
3．D
解析：解：A：，，，不是勾股数；
B：，，不是正整数，不是勾股数；
C：，不是正整数，不是勾股数；
D：，，即，且均为正整数，是勾股数．
故选：D．
4．B
解析：
解：A．，可知，但无法判断P到点A、C的距离是否相等；
B．，作的是的垂直平分线，即P到点A、C的距离相等；
C．，可知平分，但无法判断P到点A、C的距离是否相等；
D．，作的是的垂直平分线，但无法判断P到点A、C的距离是否相等；
故选：B．
5．C
解析：解：根据因式分解，可得，
的因数为2和7，而中不含因数2和7，
不能被整除，即n的值不可能是．
故选：C．
6．A
解析：解：∵点是直线（）上一点，
∴，
若点在该直线上，则，
整理得：，
∴，
解得，
∴直线解析式为；
若点在该直线上，则，
整理得：，
∴，
解得，
∴直线解析式为；
若点在该直线上，则，
整理得：，
∴，
解得，
∴直线解析式为；
若点在该直线上，则，
整理得：，
∴，
解得，
∴直线解析式为；
∴点，，都在直线上，
∴不在该直线上的点是．
故选：A．
7．3
解析：解：，
故答案为：．
8．
解析：解：，
．
故答案为：．
9．
解析：解：点先向向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到坐标，
故答案为：．
10．/
解析：解：分式与的最简公分母是，
故答案为：．
11．1
解析：解：，
，
，
解得，
故答案为．
12．2022
解析：解：因为点在函数的图象上，
所以．
代入，得．
故答案为：2022．
13．0（答案不唯一）
解析：解：∵，，
∴，
解得．
故答案为（答案不唯一）．
14．
解析：解：根据勾股定理，得，
设，则，，
根据勾股定理，得，
解得，负的舍去，
故即梯子的底端B向右滑动．
故答案为：．
15．
解析：解：∵点，在一次函数：上，
∴，
解得：，
∴一次函数：，
∵若时，，直线：，
∴，，
解可得，
解，整理可得，
∵，
∴，
∴，
综上所述，，
故答案为：．
16．3或
解析：解：∵，，
∴，，
∵与直线所夹的锐角为，
∴或；
当时，如图，
由翻折的性质得，，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，
由翻折的性质得，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
综上，的长为3或．
故答案为：3或．
17．（1）；（2）
解析：（1）解：
．
（2）解：
．
18．(1)
(2)原方程无解
解析：（1）解：根据题意，得
，
解得
检验：当时，
所以原方程的解为．
（2）解：去分母，得，
解得
检验：当时，，是增根
所以原方程无解．
19．(1)
(2)
解析：（1）解：∵与x成正比，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：在中，当时，，
解得，
∵，
∴随着的增大而减小，
∴当时， x的取值范围为．
20．(1)一
(2)，
解析：（1）解：应先算除法，再算减法，即小明的解答过程是从第一步开始出错的；
故答案为：一；
（2）解：原式
，
，且a为整数，
或或0或1或2，
根据分式有意义的条件可知且且且，
，
当时，原式．
21．(1)13
(2)见解析
解析：（1）解：根据题意，得积中的两个因数，一个是常数4，另一因数是两个平方幂底数的和的一半，
故，
故的结果是4的13倍．
（2）证明：
n为整数，
也为整数，且是4的倍数
是4的倍数
22．原计划每天种树60棵．
解析：试题分析：设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为x棵，根据实际比原计划提前4天完成任务，列方程求解．
试题解析：设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为x棵，
由题意得，，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种树60棵．
23．(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：连接，，
，M是的中点，
，
垂直平分，
，
，，
，
，
，
，
即，
；
（2）解：由（1）可知：，
垂直平分，
，，
由勾股定理得：，
，
．
24．(1)530
(2)
(3)
解析：（1）解：根据题意，每个大格表示的质量为，每一小格表示的质量为，
由称重物时的读数为5大格3小格，故其质量为；
（2）解：设y关于x的函数表达式为（）
将和分别代入得：解得
y关于x的函数表达式为；
（3）解：令，，令，
每小格的长度为：．
25．(1)
(2)①，理由见解析；②q的最大值为6
解析：（1）解：当时，，，
，
，
；
（2）解：①，理由如下：
由题意：，，
，
，
，
，，
，，
，
，
；
②由题意：，，
，
∴，
，
，
，
k，m都为整数，1为整数，
为整数，
是2的因数，
或或2或，
或0或3或，
又且，
当时，，不合题意，故舍去，
的取值为0，2，3，
，
又，
q随m的增大而增大，
当时，q的最大值为6．
26．（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②
解析：（1）证明：，，
在和中，
，
，
（2）解：由（1）可知：，
∵在和中，
，
，
，
垂直平分．
（3）解：①如图，点A，B，C即为所求作的点．
证明：由作图可知，，
∵，，
∴，
∴；
②过点M作，垂足为点H，
设点A的坐标为，则
M的坐标为，
，，
在中，，
解得：，
A的坐标为
设直线的函数表达式为（）
将，分别代入得：
解得
直线的函数表达式为
令，
点B的坐标为

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