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哈尔滨市第六中学2024级高二下学期6月阶段检测考试
数学试题
一、单选题单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．)
1 x．设集合 A x |1 2 8 ， B x x 1 3 ，则 A B （ ）
A． 0,3 B． 4,3 C． 4,2 D． 0,2
2． : | 1| < 1，是 : x2 x 0的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知数列 an 是等差数列，其前 n项和为 Sn，若 a1 a5 8，且 S6 15，则 Sn取得
最小值时的 n等于（ ）
A． 2 B．3 C． 4 D．5
1 2 1 4． 函数 f (x) ln x x ax(x 0)在 ,3 上有且仅有一个极值点，则实数 a的取值范2 2
围是（ ）
5 10 5 10 5 10 10
A ． ,2 3 B
． , C． , D． 2,
2 3 2 3 3
5． 已知函数 f x 是偶函数， f x 1 为奇函数，并且当 x 1,2 时， f x 1 x 2 ，
则下列选项正确的是（ ）
A． f x 在 3, 2 上为减函数，且 f x 0 B．f x 在 3, 2 上为减函数，且 f x 0
C． f x 在 3, 2 上为增函数，且 f x 0 D. f x 在 3, 2 上为增函数，且 f x 0
4 1
6．已知函数 f (x) x ，g(x) 2x a，若 x1 ,1 ， x2 [2,3]，使得 f (x1) g(x )，x 2
2

则实数 a的取值范围是（ ）
A． a 1 B． a 1 C． a <1 D． a >1
x
7 2． 若曲线C1 : y x 与曲线C2 : y
e
(a 0)存在公共切线，则实数 a的取值范围为（ ）
a

1, e
2 e2 2
A．(0,1) B． C． , 2
e
D． ,
4

4 4
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8．已知函数 f x ln x 2 ，若关于 x的方程 f x 2mf x 2m 1 0恰有 3个不同的x
实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． ,1 1, 1 1 , e 1 1 1 1 B． C． , D． , e
2 2e 2 2e 2 2
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求,全部选对的得 6分，部分选对的得部分分．)
9．若a 0，b 0， a b 4，则（ ）
a 4 0 1 1A． B． 1
b a b
C． a b 2 2 D．12 a2 3b2 48
10．设函数 f x ， g x 及其导函数 f x ， g x 的定义域均为R ，已知
f 2 x g x 4， f x 2 g x 2 2，且 g 3x g 3x ，则（ ）
A． g x 是奇函数 B． f 2 2
C．点 1,1 为曲线 y g x 的对称中心 D． f 2025 1
11．已知数列 an 满足 a1 1 a 2， n 1 an an，则下列结论正确的是（ ）
A． an 是递增数列 B．当 n 2时， an n
1 1 1
C． a 220252026 D． 1a1 1 a2 1 an 1
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．)
12．函数 f (x) 2x2 3x的单调递减区间是________．
1 1
13 f x ln 4x2．已知函数 1 2x x ，若 a、b R， + = 2026，2 1 2
则 2027 + + 1 =________．
14. 已知数列 an n的前 n项和为 Sn , an 1 1 an 2n 1,则 24=________．
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四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步
骤．）
x 3
15. 已知不等式 0的解集为 A，不等式 2
x 1 ax ax 6 0
的解集为 B .

(1)若 a 1，求 A B；
(2)若对任意实数 x，不等式 ax2 ax 6 0均成立，求实数 a的取值范围.
16 x 2．已知函数 g x xe ax a R .
(1)求 g x 在 x 0处的切线方程；
(2)讨论 g x 在 0, 上的零点个数.
17. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S2 4 ， S4 16 ；数列 bn 满足
2nb1 2
n 1b2 2b 3
n
n 1 （ n N*）
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
2b 1 2a 2
(2)记 c

n
n n
，求数列 c 的前 n项和Ta .n a n nn 1
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18. 已知数列 an
log a ,n为奇数
满足a1 1,a
2 n
n 1 2an 2
．
,n为偶数
(1)证明：求 a2 ,a3的值，并证明数列 a2n 1 为等比数列；
b a(2)设 2n 1
a2n
n ，求数列 bn 的前 n项和Tn；2
19. 已知函数 f x 2sinx ax .
(1)当 a 1时，求函数 f x 在 0, π 上的值域；
π
(2)若对任意 ∈ 0, ，都有 f x xcosx，求实数 a的取值范围；
2
n tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 8 *(3)证明： n N2n 4 22 32 42 n 1 2 3π
.
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数学 6月月考答案
一.单选
1-8 DBCA CADC
二、多选
9. BCD 10.ACD 11.ABD
三、填空
3 3
12. ， 13. 2 14. 324 4 2
四、解答题
x 3
15．已知不等式 0的解集为 A，不等式 ax2x 1 ax 6 0
的解集为 B .

(1)若 a 1，求 A B；
(2)若对任意实数 x，不等式 ax2 ax 6 0均成立，求实数 a的取值范围.
(1) A B x 1 x 2
(2) 24,0
【分析】（1）解不等式分别求出集合 A,B，可求得 A B x 1 x 2 ；
（2）对参数 a的取值进行分类讨论，利用判别式以及二次函数性质解不等式可得结果.
x 3 x 3 x 1 0
【详解】（1）易知不等式 0等价于
x 1 x 1
，
0
可得 A x 1 x 3 ；
当 a 1时，不等式 ax2 ax 6 0即为 x2 x 6 x 3 x 2 0，
可得 B x 3 x 2 ；
因此可得 A B x 1 x 2
（2）当 a 0时，不等式为 6 0恒成立；
a 0
当a 0时，由恒成立可得 24 a 0
Δ a
2 24a 0，解得 ；
综上可得实数 a的取值范围为 24,0 .
x 2
16．已知函数 g x xe ax a R .
(1)求 g x 在 x 0处的切线方程；
(2)讨论 g x 在 0, 上的零点个数.
(1) y x
试卷第 1页，共 5页
(2)当a e时，无零点；当 a e时，一个零点；当a e时，两个零点.
【分析】(1)求出切点坐标及切线斜率后即可求解
(2)分离参数将零点问题转化为直线与曲线交点个数问题，再利用导数研究函数单调性与最值求解即
可.
【详解】（1） g 0 0，所以 g x 在 x 0处的切点坐标为 0,0 ，
g x x 1 ex 2ax，则 g 0 1，
故 g x 在 x 0处的切线方程为 y x.
x 2
（2）讨论函数 g x xe ax 的零点个数，即方程 xex ax2 0的解.
x
x 0, e e
x
当 时， xex ax2 0等价于： ex ax a ，令 h x x 0 ，
x x
问题转化为直线 y a与 h(x)的交点个数.
ex

x 1
h x ，h x 0得 x 1，当0＜x＜1时，h x 0，h(x)2 单调递减；x
当 x 1 时，h x 0，h x 单调递增； x 1是极小值点，h 1 e .
x 0 时，h(x) ，x 时， h(x) .
结合 a的取值讨论零点个数：
当a e时， y a与h(x)无交点，无零点；
当 a e时， y e与h(x)有一个交点，一个零点；
当a e 时， y a与h(x)有两个交点，两个零点.
综上：当a e时，无零点；当 a e时，一个零点；当a e时，两个零点.
17．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S2 4， S4 16；数列 bn 满足
2nb1 2
n 1b n 1 2 2bn n 1 2 2， n N .
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
2b
c n 1 2an 2 (2)记 n c n Tan a
，求数列 n 的前 项和 n；
n 1
（1）设等差数列 an 的公差为d，
S2 2a1 d 4 a1 1
由 得： ， an 1 2 n 1 2n 1S 4a 6d 16 ； 4 1 d 2
2nb 2n 11 b2 2bn n 1 2n 1 2，
试卷第 2页，共 5页
b b b 2 3 bn 11 2 n 1 2 n 1 2 2 2 2n 1 ，
b b b 1
当 n 2且 n N 时，b 21 3 n 1 2 n 2 22 2n 2 2n 2，
bn 2 1 1 1 n 1 n 1 n 2 2
n
n 1 ，则bn 2 12 2 2 2 ；
当n 1时，b1 4 1 3，满足bn 2
n 1；
b 2n 综上所述： n 1 n N .
c 2bn 1 2an 2 3
n 1 4n 4 3n 3n 1
（2） n a ，n an 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
3 1 32 3 33 32 3n 3n 1 3n
则Tn 1；3 1 5 3 7 5 2n 1 2n 1 2n 1
log2 an ,n为奇数18．已知数列 an 满足a1 1,an 1 2an 2 ． ,n为偶数
(1)证明：求a2 ,a3的值，并证明数列 a2n 1 为等比数列；
b a(2)设 2n 1
a2n
n ，求数列 bn 的前 n项和Tn；2
(1)a2 0，a3 4，
证明：当n 1时，可得 a2 log2 a1 log2 1 0，
n 2 a 2 2当 时，可得 a 2 23 2 4，
a
因为a 2 2n 2 2log2a2n 1 2 22n 1 2 a2n 1 4a2n 1, n 1 ，a1 1，
a2n 1
所以 4, n 1 a ，2n 1
所以数列 a2n 1 为首项为1，公比为 4的等比数列.
T 3n 4 4n 1 16(2) n
9 9
19．已知函数 f x 2sinx ax .
(1)当 a 1时，求函数 f x 在 0,π 上的值域；
x 0, π (2)若对任意
2
，都有 f x xcosx，求实数 a的取值范围；

n 1 1 1 1 8 *
(3)证明： tan 2 tan 2 tan 2 tan n N2n 4 2 3 4 n 1 2 3 π
.
试卷第 3页，共 5页

(1) π, 3
π

3
(2) ,1
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数判断 f x 在 0,π 上的单调性即可求解；
2sinx xcosx ax 0 0,
π
（2）问题转化为 在 上恒成立，令h x 2sinx xcosx ax，利用二阶导数求h x 2
π π
的最小值，对二阶导数的符号进行分类讨论，分 a ，1 a 2，
a 1三种情况进行讨论；
2
x sinx x 1 1 1
（3）利用（2）的结论可得 tan tan n N*，进而利用放缩可得
2 1 cosx 2 (n 1)2 n 1 n 2
，然后
4 π π
利用裂项相消求和可证明不等式的左半部分，令 p x x tanx, 0 x ，利用导数证明当 0 x 时，
π 4 4
4 1 8 1 1 *x tanx，再利用放缩可得 tan n 1 2 π
n N
2n 1 2n 3

，最后利用裂项相消求和可证明不等式π
的右半部分.
【详解】（1）当 a 1时， f x 2sinx x, x 0, π ，则 f x 2cosx 1，
令 f x 0 1 π，则cosx 2，即
0 x
3 ；
令 f x 0 1 π，则cosx x π2，即 3 .
所以 f x π π在 0, 上单调递增，在 , π

3 3 上单调递减，
又 f 0 0, f π 3
π
, f π π
3 3 ，
f x 所以 的值域为 π, 3 π .
3
（2）由 f x xcosx，得 2sinx xcosx ax 0，
设 h x 2sinx xcosx ax, x 0,
π
，则h 0 0，
2
h x 2cosx cosx xsinx a cosx xsinx a，
设 g x cosx xsinx a，则 g x xcosx，
所以当 x

0,
π
时， g x 0，所以h x
0, π 在
2 2
上单调递增，

1 a h 0 h x h π π所以 a .
2 2
π
①当 a
π
时，h x 0,h x 在 0, 上单调递减，则h x 02 ，不满足题意；2
1 a π ②当 时， x0 0,
π
，使得h x0 02 ， 2
试卷第 4页，共 5页
当0 x x0时，h x 0,h x 在 0, x0 上单调递减，则h x h 0 0，不满足题意；
h x 0,h x 0, πa 1 ③当 时， 在
2
上单调递增，则 h x h 0 0，满足题意.

综上可得a 1，即实数 a的取值范围是 ,1 .
π
（3）由（2）得，当 a 1时，任意 x 0, , 2sinx xcosx x 02 恒成立，
即 tan
x sinx x
，
2 1 cosx 2
tan 1 1 1 1 1所以 n N
*
(n 1)2 (n 1)2 n 1 n 2 n 1 n 2 ，
1 1 1 1
所以 tan 2 tan 2 tan tan2 3 42 ( n 1)2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
2 3 3 4 4 5 n 1 n . 2 2 n 2 2n 4
p x 4 x tanx, 0 x π p x 4 1 4cos
2x π
令 ，则 ，
π 4 π cos2x πcos2x
x 0, π 存在 0 4 ，使得
p x0 0.

则当 x 0, x0 时， p x 0
π
；当 x x0 , 时， p x 0，
4
于是 p x 在 0, x 0 上单调递增，在 x0 ,
π π
4 上单调递减，而
p 0 p 0 ，
4
π 4
所以 p x 0，即当 0 x 时， x tanx4 .π
1 4 1 8 1 1 *
所以 tan n N(n 1)2 π (n 1)2 π 2n 1 2n 3 ，
所以 tan
1 tan 1 tan 1 1 8 1 1 1 1 1 1 8 1 1 82 2 2 tan

2 3 4 n 1 2 π 3 5 5 7 2n 1 2n 3 π 3 2n 3 3π .
n
综上所述， tan
1 1 1
2 tan 2 tan 2 tan
1 8
n N*
2n 4 2 3 4 (n 1) 2 3 π .
试卷第 5页，共 5页

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