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2026年初中毕业年级调研测试
数学
一、单选题
1．下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．下列各图所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图（不考虑花纹因素）一样的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组在安全的前提下测得，验证了斑马线是由一组平行线组成的．这种验证方法依据的基本事实是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等
5．下列调查中，只适宜采用全面调查的是（ ）
A．了解一批日光灯管的使用寿命 B．了解全国九年级学生的视力状况
C．调查长江流域的水质状况 D．检查运载火箭的各零部件
6．已知方程，下列选项中是此方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，直线交于B，C两点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展．经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，“漏壶”是一种古代计时器，壶内壁有刻度，在它内部盛一定量的水，水从壶底的小孔匀速漏出，人们根据壶中水面的位置计算时间．用t表示漏水时间，h表示壶内底面到水面的高度，下列图象能表示h与t的变化关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
二、填空题
11．写出一个绝对值等于自身的值的数：__________．
12．如图，在一个平衡的天平左右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜．现从质量为的砝码中，随机选取一个放置在天平右端的托盘上，则天平恢复平衡的概率为________．
13．计算：________．
14．如图，矩形是长方体玻璃片的截面，已知．现将长方体玻璃片打磨成一个凸透镜（截面如图中的阴影部分所示），透镜的边缘经过矩形各边的中点E，F，G，H，若点E，F，G在以点O为圆心的圆上，则的半径为________．
15．数形结合思想在数学中有着广泛的应用，常常借助简单几何图形解决较为复杂的代数问题，比如：
计算 借助图①，设大正方形的面积为1，则阴影部分的面积为： ，同理借助图②可得： ，借助图③可得： ，观察规律，完成填空：
①________
②________．
三、解答题
16．计算：
17．如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交于点．判断四边形的形状，并说明理由．

18．如图，点A在反比例函数 图象上，过点A作垂直于x轴于点B．已知，．
(1)求k的值．
(2)点C是反比例函数 的图象上一点，点 D，E在x 轴上，，．若，求点C的坐标．
19．“五一”国际劳动节来临之际，某校开展以“勤学乐干，劳动光荣”为主题的实践活动，并对学生“一周参与家务劳动时间”进行问卷调查．以下是对问卷调查数据收集、整理与描述的过程．
【收集数据】在全校学生中随机抽取若干名学生进行问卷调查．
【整理数据】将问卷数据进行整理，根据劳动时间x（单位：min）将其分为以下四组：A组，B组，C组，D组．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下不完整的条形图和扇形图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次共抽取了 名学生进行问卷调查，并补全条形统计图．
(2)在扇形图中求C组所对圆心角的度数．
(3)估计该校1500名学生中一周参与家务劳动时间不低于1小时的人数．
20．某班数学兴趣小组学习勾股定理后，对构成直角三角形三边长a，b，c（c为斜边长）为正整数的情况进行深入探究．
【特例发现】
(1)①；②；③；④；…它们都满足 ，若，则 ．
【提出问题】
该兴趣小组进一步探究发现，当时，总能找到正整数b，c使 于是该小组成员提出问题：当或时，是否存在正整数b，c，满足
【解决问题】
小组成员给出了当时，不存在正整数b，c，满足的证明过程．
证明：假设存在正整数b，c满足
移项得：
因式分解：
∵b，c为正整数且
∴
∵或
∴，，解得，与假设相矛盾；或，．
综上所述，不存在正整数b，c，满足
(2)请类比上面的方法证明：当时，不存在正整数b，c，满足．
21．如图，在中，，是的角平分线．以O为圆心，为半径作．
(1)求证：是的切线．
(2)已知交于点E，延长交于点 D．若，，求的长．
22．图1是抛物线形拱桥平面示意图，当拱顶离水面时，水面宽．此时桥拱与水面的交点分别为点 A 和点 B，拱顶为点 C．
(1)请从下列两种方案中任选一种，在图2中画出平面直角坐标系，并求出所选方案中的抛物线解析式．
方案一：以点A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系；
方案二：以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(2)当水面下降时，水面宽度增加多少？
23．如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，其中点 B，点C的对应点分别为点E 和点D，连接．
(1)当时，求的度数．
(2)如图2，当点 D落在边 上时，求 的长．
(3)如图3，延长交 于点F．
①求证：点 F为 的中点；
②连接，当时，直接写出的长．
24．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点作轴，交抛物线于另一点，求点到直线的距离．
(3)如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为．
①求关于的函数解析式；
②当时，请直接写出的取值范围．
参考答案
1．A
【详解】解：∵ 实数大小比较中，负数小于0，0小于正数，
∴ 先排除负数和，
∵ ，，
∴，可得，
∴ 四个数中最大的数是．
2．A
【详解】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意；
B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故都不符合题意．
3．C
【详解】解：选项A，∵与不是同类项，不能合并，
∴该选项不符合题意；
选项B，∵，
∴该选项不符合题意；
选项C，∵，运算正确，
∴该选项符合题意；
选项D，∵，
∴该选项不符合题意．
4．B
【详解】解：，且为同位角，
根据同位角相等，两直线平行，判定直线是平行的．
5．D
【详解】解：∵调查一批日光灯管的使用寿命具有破坏性，无法对所有灯管进行测试，
∴不适宜全面调查，A错误；
∵全国九年级学生人数多，调查范围过大，
∴不适宜全面调查，B错误；
∵长江流域水域范围广，无法对全流域水质逐一检查，
∴不适宜全面调查，C错误；
∵运载火箭各零部件的质量直接关系发射安全，必须保证每个零件都合格，对精度要求极高，
∴只适宜采用全面调查，D正确．
6．A
【详解】解：A、把代入方程得，，
∴是方程的解，该选项符合题意；
B、把代入方程得，，
∴不是方程的解，该选项不合题意；
C、把代入方程得，，
∴不是方程的解，该选项不合题意；
D、把代入方程得，，
∴不是方程的解，该选项不合题意．
7．A
【详解】解：连接，，
由作图可知直线是线段的垂直平分线，
，
，
，
为等边三角形，
，
与分别是弧所对的圆周角和圆心角，
.
8．D
【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，
∴燃油车平均每公里的加油费为元，
∵100元充电费对应的电动汽车行驶路程为公里，100元加油费对应的燃油车行驶路程为公里，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，
∴可列方程．
故选：D．
9．B
【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，
∴随的增大而匀速地减小，选项B图象适合表示与的对应关系．
10．D
【详解】解：∵点在直线上，且B的横坐标为3，
∴点的纵坐标为3，
∴，
∵轴，
∴，
把，，代入，得
，解得，
∴，
∴，；
由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，故；
即；
综上：只有选项D错误.
11．（答案不唯一）
【详解】解：因为正数和的绝对值等于它本身，
所以可以取（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【详解】解：∵，随机选择一个砝码，共3种等可能的结果，其中能使天平恢复平衡的结果只有一种情况，
∴天平恢复平衡的概率为.
13．
【详解】解：．
14．
【详解】解：连接交于点，
四边形是矩形，分别是的中点，
则：互相垂直平分，
，
∵点在上，
圆心在弦的垂直平分线上，
且平分，
圆心在直线上，
设的半径为，则，
由图可知点在的延长线上，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得.
15．
【详解】解：①∵，，，
∴；
②由①可知：，
.
16．
【详解】解：原式.
17．菱形，理由见详解
【详解】解：四边形是菱形．
证明：∵四边形是矩形，
，
，
∵点是的中点，
，
又，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴平行四边形是菱形．
18．(1)
(2)
【详解】（1）解：∵垂直于x轴，，，
∴点A的坐标为，
∵点A在反比例函数 图象上，
∴，
解得．
（2）解：∵点 D，E在x 轴上，，，垂直于x轴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，即点C的纵坐标为2，
∵点C是反比例函数 的图象上一点，
∴点C的横坐标为，
∴．
19．(1)这次共抽取了200名学生进行问卷调查，补全条形统计图见解析
(2)
(3)1350
【详解】（1）解：（名），所以这次共抽取了200名学生进行问卷调查，
C组人数：（名），A组人数：（名），
补全条形统计图即可如下：
（2），
C组所对圆心角是；
（3）（名），
该校1500名学生中一周参与家务劳动时间不低于1小时的学生约有1350名．
20．(1)
(2)见解析
【详解】（1）解：∵，，为斜边长，满足，且为正整数，
∴，
∴（负值舍去）；
（2）解：假设存在正整数，满足，
移项得，
利用平方差公式因式分解得；
∵，为正整数且
∴
∵
∴，，解得，与假设相矛盾，
故不存在正整数b，c，满足.
21．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：过点O作于F，
∵，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，即，
∴在中，，即，
∴，
∴．
22．(1)方案一：,图见解析；方案二：,图见解析
(2)
【详解】（1）解：方案一，如图，
根据题意可知，抛物线与x轴的交点为，，顶点坐标为，
设解析式为，
将点代入得，
解得：，
则抛物线解析式为；
方案二，如图，
根据题意可知，，，顶点坐标为，
设解析式为，
将点代入得，
解得：，
则抛物线解析式为；
（2）解：如图，以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系，
当水面下降时，，
将代入得：，
解得：，
∴水面宽度增加米．
23．(1)
(2)
(3)①见解析：②
【详解】（1）解：由旋转知，，，
．
（2）解：∵中，，，，
∴．
过点C作于点F，
则，
∴，
∴，
由旋转性质得：，
当在上，，
∴ ．
（3）解：①证明：连接，
由旋转性质得，，
∴，
∵的延长线交于点F，
∴点F在的外接圆上，
∴，
，
，
∴，
是的中点；
②解：过点A作于点H，过点E作，交延长线于点I，由已知得，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
解得（），
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)；
(2)；
(3)①；
②或；
【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于点，，
将点坐标代入抛物线解析式中，可得方程组，解得，
抛物线解析式为．
（2）解：抛物线对称轴为直线，且轴，点坐标为，点与点关于直线对称，
，，
令，即，
，解得，，
，
设直线解析式为，代入点，
，
解得，
直线解析式为，
过点作于点，
， ，
，为等腰直角三角形：
，
点到直线距离为．
（3）解：①点横坐标为，且在轴正半轴，
因此，且，
轴，交直线于点，可得，
线段长度为，
当时，点在轴上方，长度为，
，
当时，点在轴下方，长度为，
，
因此关于的函数解析式为：
②当时，
当时，
由，
得，
，
解得，，结合，得
；
由，
，
，
解得，为任意数，
两部分取公共部分：；
当时，
由得，
，
解得，或；
由，
，
；
取两者公共部分：，
综上，的取值范围是或．

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