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重庆市南岸区命题培训
第一小组 数学试题 参考答案及评分意见
（全卷共三大题 满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C D C C A D B
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11．； 12．； 13．十； 14．(50－2x)(30－2x)＝1196；
15．45°； 16．5； 17．4；16； 18．2938；5629．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）
19．解：（1）原式
． …………………………………………………………4分
（2）原式＝
＝
＝． ……………………………………………………………8分
20．解：（1）86，87.5； …………………………………………………………………2分
（2）八年级学生掌握环保知识较好，理由：两个年级平均数相同，而八年级中位数87.5大于七年级中位数86.5；………………………………………5分
（3）因为抽取的样本中七年级成绩优秀人数为3，
所以估计七年级竞赛成绩优秀人数为（人）．
因为八年级C组占比为：，
所以八年级D组占比为．
因为估计八年级竞赛成绩优秀人数为（人）．
(
21
题答图
)所以估计两个年级成绩优秀的学生总人数为（人）．…10分
21．解：（1）如图所示，垂线即为所求；……………………………………………5分
（2）①四边形ABCD是矩形；②∠CGD＝90°；③∠ADE=∠GCD ；④．
……………………………………………………………………………………10分
22．解：（1）；．…………………………………4分
（2）函数，图象如图所示：
(
2
2
题答图
)
函数的性质是：当0＜t＜6时，随的增大而增大，
函数的性质是：当0＜t＜6时，随的增大而减小；……………8分
（3）由函数图象可知，0＜t＜2.1（右端点的值可为2.1，2.2，2.3）．……10分
23．解：（1）设VIP票的价格是x元，则普通票的价格是元．
根据题意，得．
解这个方程，得x＝100．
所以＝60(元)．
答：VIP票的价格是100元，则普通票的价格是60元．………………5分
（2）设第一次购进徽章的进价是每个y元.
根据题意，得 ．
解这个方程，得y＝5．
经检验：y＝5是原分式方程的解．
答：第一次购进徽章的进价是每个5元．………………………………10分
(
24
题答图
)24．解：（1）过点C作CE⊥AB于E（如答图），
∴△ACE和△ACE为直角三角形．
∵∠CAE＝30°，AC＝1200 m，
∴在Rt△ACE中，CE＝AC＝×1200＝600（m）．
∴AE＝AC×cos ∠CAE ＝×1200＝600（m）．
又∵∠CBE＝45°，
∴在Rt△BCE中，BE＝CE÷tan ∠CBE＝600÷1＝600（m）．
∴AB＝BE＋EA＝（）m．
答：A，B两个景点之间的距离为m．…………………4分
（2）由（1）知，在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，CE＝600 m．
∴BC＝CE÷sin ∠CBE＝600÷＝（m）．
∴（m）＝2.046（km）．
∴（h）．
由题知，∠BAD＝60°，∠ABD＝30°，
∴∠ADB＝90°．
∵AB＝（）m，
∴AD＝AB＝（）m，
BD＝＝（）m．
∴＝
≈（m）=2.238（km）．
∴（h）．
∵0.68>0.56，
∴小亮先到达景点B．……………………………………………………10分
25．解：（1）令x＝0，则＝3，
∴B(0,3)，OB＝3．
令＝0，则＋3＝0，解得：x＝6，
∴A(6,0)，OA＝6．
∵∠AOB＝90°
在Rt△ABO中，由勾股定理：．
∴sin∠OAB＝＝＝．………………………………………3分
（2）∵PE∥y轴
∴∠FEP＝∠ABO．
又∵PF⊥AC于点F，
(
（
25
题答图）
)∴∠PFE＝∠AOB＝90°．
∴△PEF∽△ABO．
∴＝＝，即＝＝．
∴EF＝PE，PF＝PE．
∴△PEF的周长＝PE＋PF＋EF＝(1＋)PE．
∴当PE最大时，△PEF的周长最大．
设P(f，)，则E(f，)，（－4＜f＜6）
∴PE＝－()＝．
∵＜0，－4＜f＜6
∴当f＝1时，PE最大，最大为．
即当P(1，)时，△PEF的周长最大，
最大为＝．
令＝，则＝，
解得：＝，＝6，
∴C()．
将PN沿NM方向平移个单位得到P′M，过点C作CQ∥x轴，
过点M作MH⊥CQ于点H．
∴P′M＝PN，且P′() ．
∵CQ∥x轴，
∴∠HCM＝∠OAB．
∴HM＝CM×sin∠HCM＝CM×sin∠OAB＝CM．
∴PN＋MN＋CM＝P′M＋＋HM．
∴当P′，M，H三点共线时，PN＋MN＋CM最小，
最小为5＋＋＝．…………………………………………8分
（3）(4,)或()． ………………………………………………………10分
26．解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝75°，
∴∠A＝180°∠B∠C＝180°30°75°＝75°＝∠C．
又∵BC＝6，
∴AB＝CB＝6．
∵点E是AB的中点，BD＝ BC，
∴BE＝AB＝3 ，BD＝BC＝4．
(
（
2
6
题答图
1
）
)过点E作EM⊥AB（见答图1）．
∵BE＝3，∠B＝30°，
∴EM＝．
∴＝×BDEM＝×4×3＝6． ………………………………3分
（2）延长CG到H使得CG＝GH，连接AH（见答图2）．
∵点G是AD的中点，
∴AG＝DG．
在△CDG和△HAG中，
(
（
2
6
题答图
2
）
)
∴△CDG≌△HAG（SAS）．
∴AH＝CD．
∵∠BCG＝∠ACE，
∴∠BCG∠ECG＝∠ACE∠ECG．
∴∠BCE＝∠ACG．
∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠ACB＝∠BCE+∠ACE，
∴∠AEC＝∠AEB．
又∵2∠A+∠B＝108°，
∴∠BAE＝∠AEB．
∴AC＝CE．
在△ACH和△ECB中，
∴△ACH≌△ECB（AAS）．
∴AH＝BE＝CD．
又∵AB＝BC，
∴ABBE＝BCCD．
∴AE＝BD．…………………………………………………………………8分
（3）．…………………………………………………………………10分重庆市2026年中考模拟
数学试题
（全卷共三大题 满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标：，对称轴：直线
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了
A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的框涂黑．
1．下列各数中，比小的数是
A．5 B． C．0 D．
2．下列图形是轴对称图形的是
A． B． C． D．
(
4
题图
)3．反比例函数的图象一定经过的点是
A． B． C． D．
4．如图，，若∠D=65°，则∠B为
A． B． C． D．
5．两个等边三角形的边长之比为1:4，则面积比为
A．1:2 B．1:4 C．1:8 D．1:16
6．用圆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有7个圆，第②个图案中有11个
(
④
③
①
②
6
题图
)圆，第③个图案中有15个圆，第④个图案中有19个圆，此规律排列下去，则第⑩个图案中圆的个数为
A．39 B．40 C．43 D．47
(
8
题图
)7．估计的值应在
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
8．如图，在菱形ABCD中，分别以点A和C为圆心 ，AB的长为半
径画弧，若AB=6，∠A=60°，则图中阴影部分的面积为
(
9
题图
)A． B．
C． D．
9．如图，正方形ABCD边长为1，点M是对角线AC上一点，CM=BC，
连接BM，将BM绕点B顺时针旋转90°，得到BN，BN的延长线与
DC的延长线交于点E，则CE长为
A． B． C． D．
10．(原创)已知整式，其中a符号，添加绝对值符号后原运算符号不变，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对运算”．例如：；．
下列说法：
①不存在任何一种“绝对运算”的结果与原式相等；
②存在至少一种“绝对运算”其结果与原式互为相反数；
③满足条件的所有“绝对运算”的结果共有7种．其中正确的个数是
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答
题卡中对应的横线上．
11．= ．
(
14
题图
)12．趣味运动会有两人三足跑、背球跑、转圈跑和蒙眼跑四个项目，报名者只能参加其中一个项目，小颖和小萌都报了名，则她们二人选中相同项目的概率是 ．
13．一个正多边形的内角为144°，则这个正多边形的边数为 ．
14．如图，在长为50 m，宽为30 m的矩形土地的四周修建一条宽
(
15
题图
)度相同的道路，中间的阴影部分铺上草坪．若要使草坪的面积
为1196 m2，道路的宽应为多少米？若设道路的宽为x m，则根
据题意，可列方程为 ．
如图，△ABC中，∠BAC=70°，点D在BC边上，且AC=AD，
点E在△ABC外，若∠BAE=∠CAD，AE=AB，∠CAE=120°，
则∠E的度数是 ．
若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程
(
17
题图
)的解是整数，则所有满足条件的整数m的和为 ．
如图，AB为⊙O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB=8，
BD与⊙O相切于点B，点P为AM上一动点（不与点A，M重
合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC
于点F，则BC= ，CF·CP= ．
(原创)如果一个四位自然数M=的各数位上的数字互不相等且满足
a+b=c+d=11，那么称这个四位数M为“双11数”．例如：四位数8347，∵8+3=4+7=11，∴8347是“双11数”；则最小的“双11数”是 ；若“双11数”M能被13整除，且M=（k为整数），则满足条件M的值为 ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．计算：（1）； （2）．
20．(原创)每年的4月22日是“世界地球日”，人们会以不同的方式宣传环境保护，守护我们共同的家园．某校为增强学生的环保意识，在七、八年级组织了“蔚蓝地球”环保知识竞赛，现从七、八年级各抽取10名同学的竞赛成绩进行统计分析（得分用x表示，两个年级抽取同学的成绩都不低于60分）共分成四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100，绘制了如下的图表，请根据图中的信息解答下列问题．
七年级10名学生的成绩是：69，71，78，79，86，86，88，96，97，100
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：85，86，89
(
20
题图
)七、八年级抽取学生比赛成绩统计表 八年级抽取学生比赛成绩扇形统计图
年级 平均数 中位数 众数
七年级 85 86.5 m
八年级 85 n 92
（1）根据以上信息填空：m= ，n= ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握环保知识较好？请
说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校七年级有500人，八年级有520人参加了此次知识竞赛，请估计两个年
级竞赛成绩优秀（90≤x≤100）的学生总人数．
21．(原创)如图，在矩形ABCD中，直线l1经过点D，与AB交于点E．
（1）用直尺和圆规作图：过点C作DE的垂线l2，垂足为G，交AD于点F．（请保
留作图痕迹，不要求写作图过程）
（2）同学们作图完成后，观察到△EAD∽△FDC，进一步有=．请你根据
他们的思路完成以下证明：
(
21
题图
)如图，在矩形ABCD中，l1⊥l2，l1，l2分别被矩形的一组对边所截，得到线段
DE和CF．
求证：=．
证明：∵ ① ，
∴ ∠EAD＝∠FDC＝90°．
∴ ∠ADE+∠CDG=90°．
∵ CF⊥DE，
∴ ② ．
∴ ∠GCD+∠CDG=90°．
∴ ③ ．
∴ △EAD∽△FDC．
∴ ④ ．
22．(原创)随着动漫文化逐渐走向主流，漫展行业在逐渐的成熟繁荣，漫展的规模和影响力不断的扩大，参展商和观众数量逐年增加．在漫展上，参与者可以尽情地展现自己，扮演自己喜欢的角色，结交更多志同道合的朋友．
（1）某漫展的门票分为普通票和VIP票两种，已知普通票的价格比VIP的价格的
一半多10元；如果购买3张VIP票和2张普通票共花费420元，则普通票和VIP票的价格各是多少？
（2）在某次漫展期间，一家热门周边店定制了一批限量版徽章，在漫展期间销售．
第一次用1300元购进一批徽章，很快售完；第二次购进时，发现进价提高了20%，用1500元购进的徽章数量比第一次少了10个，求第一次购进徽章的进价是每个多少元．
(
2
3
题图
图
1
图
2
)23．(原创)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AB方向运动，当点Q到达B点时停止运动，过点Q作PQ⊥AB交AC于点P．设运动时间为t秒（0（1）请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，
的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，
误差不超过0.2）．
24．(原创)某公园内有一个天然湖泊，将A，B两个景点分隔开来．已知景点A在B的正东方，景点C在A北偏西60°方向与A相距1200 m，且在B的东北方向．（参考数据：，）
（1）求A，B两个景点之间的距离；（结果保留根号）
（2）为方便市民在公园游玩，政府在公园内又修建了一个景点D，并修建了一条联
通A，B，C，D四个景点的步道．已知D在A南偏西
(
24
题图
)30°，在B的南偏东60°，小明以3 km/h的速度从A-C-B
散步，同时小亮以4 km/h的速度从A-D-B慢跑．请问
两人谁先到达景点B，请通过计算说明．（结果保留两
位小数）
25．(原创)如图，平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，抛物线与x轴交于点A和点D，直线与抛物线的另一交点是点C．
（1）求sin∠OAB的值；
（2）如图1，点P是直线AC下方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作
PE∥y轴交直线AC于点E，过点P作PF⊥AC于点F，当△PEF的周长取得最
大值时，在线段AC上取两个动点M，N（点M在点N的上方），且MN=，连接PN，求PN＋MN＋CM的最小值；
（3）将抛物线沿BA方向平移个单位，得到新抛物线，若点Q是新抛物线对称轴
上一动点，若∠QBA＝45°，请直接写出点Q的坐标．
(
25
题图
1
25
题备用图
)
26．(原创)在△ABC中，点D，E分别是线段BC，AB上的点．
（1）如图1，已知∠B=30°，∠C=75°，BC=6，点E是AB的中点，BD=BC，求
△BDE的面积；
（2）如图2，连接AD，连接CE交AD于点F，∠B+2∠BAC=180°，点G是AD的
中点，连接CG，若∠B=∠BCG=∠ACE，求证：BD=AE；
（3）如图3，若∠A=60°，∠ACB=90°，将△BCE沿CE折叠，得到△HCE，连接
(
2
6
题图
2
)AD，DH，点D、E在BC边上运动的过程中，当CH⊥AB，DE⊥AB时，直接写出的值．
(
2
6
题图
3
) (
2
6
题图
1
)

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