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2026届湖南省长沙市望城区第二中学考前预测数学试题
一、单选题
1．一组数据：2，5，3，9，7，这组数据的中位数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
3．与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
4．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间是
B．函数的减区间是
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
7．如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（ ）
A．2290 B．2540 C．2650 D．2870
8．在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
三、单选题
10．如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行
C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为
四、多选题
11．在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（ ）
A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为
B．的面积最大值为1
C．若原点始终在动弦上，则不是定值
D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为
五、填空题
12．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为__________．
13．已知函数，若存在非零实数a，b，使恒成立，则满足条件的一组值可以是_______，______.
14．设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为__________．
六、解答题
15．如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且，与平面所成的角为与交于．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
16．已知函数.
（1）若，求的值.
（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.
17．为庆祝祖国周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有个除颜色外均相同的小球，其中个是红球，个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中．
(1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率；
(2)记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式；
(3)设事件为第个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使发生概率最大，求的值．
18．已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线为的法向量为，求直线的方程；
(3)是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
19．如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；
则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线的曲率半径的最小值；
(3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．
参考答案
1．B
【详解】先从小到大排序：2，3，5，7，9，
数据个数为奇数，取中间第3个数，中位数是5.
2．C
【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误；
对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误；
对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确；
对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误.
故选：C
3．C
【详解】因为与角终边相同的角是，，
，则与角终边相同的角是，
而其他选项的角都不能用类似的式子表示．
故选：C．
4．C
【详解】，，
，
曲线在点处的切线方程为：
，即，
故选：C．
5．A
【详解】由于为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，
所以，故，
由于，
所以，
故选：A
6．D
【详解】由图及题设，当时，；
当；
当时，；
当时，；
即函数在和上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极小值，在时取得极大值；
故A，B，C错，D正确.
故选：D.
7．D
【详解】在第堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第层的球的个数多n，
记第n层球的个数为，则，
得，
其中也适合上式，则，
在第n堆中，
，
当时，，解得.
故选：D.
8．B
详解：在一次所谓“算怪”中得到六爻，
基本事件的总数为，
这六爻恰好有三个阳爻包含的基本数为，
所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是，故选B．
点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
9．BC
【详解】设复数在复平面内对应的点分别为，为坐标原点，
则复数在复平面内对应的向量为，且，
，，
所以四边形为菱形，且，
又，与轴正半轴所成的角为，
所以与轴正半轴所成的角为，所以与关于轴对称，
所以，则，所以，故B正确；
因为，所以，故A错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC
10．B
【详解】A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误；
如图建立空间直角坐标系，则，
对于B，设平面的法向量为，则，
令，则，
因为，所以，所以，
因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确，
对于C， ，所以三棱锥的体积为，所以C错误，
对于D，，直线BC与平面所成的角为，，所以D错误，
故选：B.
11．ABD
【详解】对于A，圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
当圆和圆存在公共点时，，
所以，解得，所以实数的取值范围为，正确；
对于B，的面积为，
当时，的面积有最大值为1，正确；
对于C，当弦垂直x轴时，，所以，
当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为，
与圆联立得，，
设，
则，，
综上，恒为定值，错误；
对于D，设，OP中点，该点也是AB中点，且，
又，所以，
化简得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
其周长为长度为，正确.
故选：ABD
12．
解：根据题意，如图：
，由椭圆的对称性可得：，
又，由勾股定理可得：，
所以，，
又，则，
椭圆标准方程为．
故答案为：．
13． （答案不唯一） 1（答案不唯一）
【详解】若，则，
当时，，，
故可取，
故答案为：，答案不唯一
14．
【详解】由，可得，
解得，
当时，，
即，
可得数列是首项和公比均为3的等比数列，
所以，
设是的第m项，则，
因为，
所以不是中的项，
因为，
所以是中的项，
所以
所以.
故答案为：.
15．(1)
连结，
底面是边长为2的菱形，．
，
．
点为线段中点，．
为菱形，平面，平面
又平面，平面平面，
在平面上的射影为，
为直线与平面所成的角，即．
在中，，
．
则．
又平面平面，
平面.
(2)
【详解】（1）略
（2）由（1）知平面，建立如图所示的空间直角坐标系
则，
则
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则即取，则．
即取则．
设二面角大小为，
则．
，
二面角的正弦值为．
16．（1）；（2）.
【详解】（1）
由可得：.
.
（2）由余弦定理得：，整理可得：，
，，
又，，，
，则，
，即的取值范围为.
17．(1)
(2)
(3)4
【详解】（1）设第位顾客中“特等奖”为事件，第位顾客中“参与奖”为事件，
，，
故，
所以在第位顾客中“参与奖”的条件下，第位顾客中“特等奖”的概率为.
（2）由题意得，个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”表示最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，
所以
，
故数列的通项公式为.
（3）设第个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大，
则概率，
要使最大，即使最大，
所以，
即，化简得，且，
又在上单调递减，
所以，综上所述，.
18．(1)
(2)
(3)存在，直线的斜率为
【详解】（1）由已知条件可知，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）因为直线为的法向量为，
所以直线的斜率为，方程为，
联立，得，解得（舍去），
从而，
因为直线的斜率之积为1，所以直线的方程为，
同理可得点的坐标为，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即；
（3）假设存在满足条件的直线，
设直线的方程为，
联立，得，解得（舍去），
因为直线的斜率之积为1，所以直线的方程为，
同理可得，
故直线的斜率
，
当为直角三角形时，只有或，
于是或，
若，由，可得，从而，
若，由，可得，从而，
所以存在，直线的斜率为.
19．(1)
(2)
(3)法一：函数的图象在处的曲率半径，
故，
由题意知： 令，
则有，
所以，即，故．
因为，所以，
所以，
所以．
法二：函数的图象在处的曲率半径，
有
令，则有，
则，故 ，
因为，所以，
所以有，
令，则，即，
故，所以，即；
法三：函数的图象在处的曲率半径．
故
设，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故有，
所以，
要证，即证，
即证 将 ，
下证：当时，有，
设函数（其中），
则，
故单调递增， ，
故，所以．
法四：函数的图象在处的曲率半径，
有，
设．
则有，
所以当时，当时，
故在上单调递减，在上单调递增．
故有，
所以，
要证，即证，
即证．将，
下证：当时，有，
设函数（其中），
则，
故单调递增，故 ，
故，所以．
【详解】（1）记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径．
则，，
故，，即，
所以抛物线在原点的曲率圆的方程为；
（2）设曲线在的曲率半径为．则
法一：，
由知，，
所以 ，
故曲线在点处的曲率半径，
所以，则，
则，当且仅当，即时取等号，
故，曲线在点处的曲率半径．
法二：，，
所以，而，
所以，解方程可得，
则，当且仅当，即时取等号，
故，曲线在点处的曲率半径．
（3）略

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