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浙教版2025—2026学年八年级下册期末考点集训进阶卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·玉环期末） 如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（　　）
A．48 B．36 C．24 D．12
2．（2025八下·杭州期末）某合唱团成员的平均年龄为52，方差为10，在人员没有变动的情况下，两年后这批成员平均年龄、方差分别是（　　）
A．平均年龄为52，方差为10 B．平均年龄为54，方差为10
C．平均年龄为52，方差为12 D．平均年龄为54，方差为12
3．（2025八下·杭州期末）一元二次方程 配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·东阳期末） 已知A（m﹣2，y1），B（m，y2）两点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．当m＜0时，0＜y2＜y1 B．当0＜m＜2时，y2＜0＜y1
C．当m＞0时，0＜y2＜y1 D．当m＞2时，y2＜y1＜0
5．（2025八下·嵊州期末） 如图，平行四边形中，，，是对角线的中点，点在边上，连结，若的长度恰好是平行四边形周长的，则要计算的长度，只需要知道（　　）
A．平行四边形的周长 B．边的长
C．边的长 D．边的长
6．（2025八下·兰溪期末）若点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． 或
7．（2025八下·海曙期末）一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
8．（2025八下·杭州期末）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·镇海区期末）如图，在正方形中，对角线、交于点，延长到，连结，过点作，分别交、于点、，连结，则下面哪个图形的面积与的面积相等（　　）
A．四边形 B． C．四边形 D．
10．（2023八下·晋安期末）如图，正方形的边长为，点和点在轴正半轴上，点、在第一象限，一次函数的图象交、分别于、．若与的面积比为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八下·镇海区期末）若，则的取值范围是　 　.
12．（2024八下·平湖期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为　 　．
13．（2024八下·桂平期末）设矩形的一条对角线长为，两条对角线组成的对顶角中，有一组是，则矩形的周长是　 　．
14．（2024八下·苍南期末）如图，在矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，，为的三等分点，作矩形使点落在上，反比例函数的图象同时经过点，若矩形的面积为，则的值为　 　．
15．（2024八下·云梦期末）已知数据，，，的平均数是，方差是，若一组新数据，，，的平均数是，方差是，则　 　．
16．（2025八下·诸暨期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=BD，∠BAD=45°，AD=4，过点B作BE⊥AD于点E，点F为BC上一动点，连接EF，取EF中点G，连接AG，BG，DG，若△BDG面积为△ABG面积的，则BF的长度是　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八下·余姚期末）计算：
（1） .
（2） .
18．（2024八下·鄞州期末）解方程：
（1）；
（2）
19．（2025八下·中山期末）在某校科技文化节系列活动中，举办了“魅力几何，勾勒未来”的竞赛活动，A班和B班各有10名学生参加该竞赛活动．统计两个班的竞赛成绩（满分100），并对数据（成绩）讲行了收集、分析如下．
【收集数据】
A班10名学生竞赛成绩：18，40，60，80，60，80，92，80，70，100
B班10名学生竞赛成绩：24，90，40，88，68，86，68，72，74，70
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数
A班 68 b 80
B班 a 71 c
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）请你分别求出a，b，c的值；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由．
20．（2025八下·叙永期末）已知，如图，在四边形ABCD中，，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
21．（2025八下·衢州期末）下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务.
（1） 指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）.
（2） 请写出正确的解题过程.
22．（2024八下·深圳期末）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是元台厂商建议，台灯的标价应不低于元台，且不高于元台．
（1）小亮根据日常销售的数据发现，当销售价格为元台时，每天能售出台；若台灯的价格每上涨元，日销量会下降台求日销售量台与元台之间的函数关系式；
（2）“”促销日之前的销售数据显示，最高日销售利润为元“”当天，小亮为提高店铺知名度，采用如下促销方式：台灯按元台标价，并打折销售；当天销售量在台的基础上增加了倍，日销售利润上升为“”促销日之前的最高日销售利润的倍，求的值．
23．（2025八下·中山期末）如题图1，在正方形ABCD中，点P在边CD上，点M在边BC上，点N在边AD上，连接AP，MN交于点O，且MN⊥AP.
（1）求证：PD+ND=MC：
（2）如图2，若AB=4，点O为线段AP的中点，OD=，求BM的长.
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浙教版2025—2026学年八年级下册期末考点集训进阶卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·玉环期末） 如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（　　）
A．48 B．36 C．24 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：如图
∵四边形ABCD是菱形，
∴，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴，
∴BD=2OB=8，
∴菱形ABCD的面积，
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质得OA=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，由勾股定理求出OB=4，则BD=8，由菱形面积公式即可得出答案.
2．（2025八下·杭州期末）某合唱团成员的平均年龄为52，方差为10，在人员没有变动的情况下，两年后这批成员平均年龄、方差分别是（　　）
A．平均年龄为52，方差为10 B．平均年龄为54，方差为10
C．平均年龄为52，方差为12 D．平均年龄为54，方差为12
【答案】B
【解析】【解答】解：两年后这批成员的平均年龄为：52+2-54岁，
方差不变，仍为10岁，
故答案为：B.
【分析】根据平均数和方差的定义求解即可.
3．（2025八下·杭州期末）一元二次方程 配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：x2-4x-1=0，
x2-4x=1，
x2-4x+4=1+4，
（x-2）2=5，
故答案为：D．
【分析】根据移项，配方，即可得出选项．
4．（2025八下·东阳期末） 已知A（m﹣2，y1），B（m，y2）两点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．当m＜0时，0＜y2＜y1 B．当0＜m＜2时，y2＜0＜y1
C．当m＞0时，0＜y2＜y1 D．当m＞2时，y2＜y1＜0
【答案】B
【解析】【解答】解：当m<0时，m-2∵在第二象限内y随x的增大而增大，且m-2∴y1又∵在第二象限y>0，
∴0当00，则A(m-2，y1)在第二条限，B(m，y2)在第四象限，
在第二象限y>0，在第四象限y<0，
∴y1>0，y2<0，即y2<0当m>0时，m-2的正负不确定，
若00>y2；
若m>2，m-2>0，A(m-2，y1)，B(m，y2)都在第四象限，
∵在第四象限内y随x的增大而增大，且m-2∴y1当m>2时，m-2>0，A(m-2，y1)，B(m，y2)都在第四象限，
∵在第四象限内y随x的增大而增大，且m-2∴y1故答案为：B.
【分析】对于反比例函数(k为常数，k≠0)，当k=-1<0时，函数图象在二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，根据m的不同取值范围，判断A、B两点所在象限，进而比较y1与y2的大小.
5．（2025八下·嵊州期末） 如图，平行四边形中，，，是对角线的中点，点在边上，连结，若的长度恰好是平行四边形周长的，则要计算的长度，只需要知道（　　）
A．平行四边形的周长 B．边的长
C．边的长 D．边的长
【答案】C
【解析】【解答】解：取CD的中点F，连接OF，作OG⊥CD，
∵平行四边形ABCD
∴AD=BC，AB//CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°
∴∠D=135°，
设AD=BC=a，CD=b，
则四边形ABCD的周长=2(a+b)，，
∵CE的长度恰好是平行四边形ABCD周长的
∴，
∴，
∵O是对角线AC的中点，F是CD的中点，
∴OF//AD，，
∴∠OFD=180°-∠D=45°，
∵OG⊥CD，
∴△OGF为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在Rt△OEG中，，
故只需要知道边BC的长，即可求出OE的长；
故答案为：C.
【分析】取CD的中点F，连接OF，作OG⊥CD，易得OF//AD，，推出△OFG为等腰直角三角形，设AD=BC=α，CD=b，得到，进而得到，勾股定理求出OG，FG的长，进而求出EG的长，再利用勾股定理求出OE的长，进行判断即可.
6．（2025八下·兰溪期末）若点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． 或
【答案】B
【解析】【解答】解：∵反比例函数 ，
∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，
∵ ，
∴a-1＞a+1，
此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能.
综上， 的取值范围是 .
故答案为：B.
【分析】由反比例函数 ，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可.
7．（2025八下·海曙期末）一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 一个多边形的每一个外角都等于30° ，
∴这个多边形的边数：360°÷30=12
故答案为：C.
【分析】根据多边形外角和性质，多边形的外角和是360°，根据外角和与每个外角的度数的关系来求解边数，边数=外角和÷每个外角的度数，即可计算出边数.
8．（2025八下·杭州期末）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】 解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故答案为：C
【分析】过点D作交的延长线于点F，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，由直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，即可求出答案.
9．（2025八下·镇海区期末）如图，在正方形中，对角线、交于点，延长到，连结，过点作，分别交、于点、，连结，则下面哪个图形的面积与的面积相等（　　）
A．四边形 B． C．四边形 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是正方形，所以DC=BC，∠DCB= ∠ BCG=90°，AC⊥BD， OC=OB，
由于DF⊥BG，所以∠DFG=90°，则∠CDH+∠DGC 90°，又因为∠GBC +∠DGC =90°，根据同角的余角相等，可得∠CDH=∠GBC，
在△DCH和△BCG中：
根据“ASA”(两角及其夹边对应相等)可判定△DCH≌△BCG，所以S△ DCH=S△ BCG，且CH=CG，
同理，可证明△DCE≌△BCH，则S△ DCE=S△ BCH，
由此可以得出：S△DEG=S△DGC-S△EGC，S△DGC=S△DCH+S△CHG，S△BCG =S△BCH+S△CHG .
又因为S△DCH=S△BCG，S△DCE =S△ BCH，
经过转化可得S△DEG=S△BCG. 故答案为：D
【分析】本题考查正方形的性质（包括边、角、对角线的性质 ）以及 全等三角形的判定与性质（ASA判定等 ），还有三角形面积的转化与等量关系，利用正方形的特殊性质构造全等三角形，通过全等三角形面积相等，对△DEG的面积进行转化，从而找到与之面积相等的图形.
10．（2023八下·晋安期末）如图，正方形的边长为，点和点在轴正半轴上，点、在第一象限，一次函数的图象交、分别于、．若与的面积比为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+4的图象交y轴于点E，
∴E（0，4），
∴OE=4，
∵ 正方形ABCD的边长为4，点A（0，2）和点D在y轴正半轴上 ， 点B、C在第一象限 ，
∴D（0，6），BC=CD=4，
∴OD=6，
∴DE=OD-OE=2，
设DF=x，则CF=4-x，
∴S△DEF=DE×DF=x，S△BCF=BC×CF=2（4-x），
∵S△DEF∶S△BCF=1∶2，
∴x∶2（4-x）=1∶2，
解得x=2，
∴DF=2，
∴F（2，6），
将点F（2，6），代入y=kx+4得2k+4=6，
解得k=1.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数图象与y轴交点的坐标特点先求出点E的坐标，进而根据正方形的边长及点的坐标特点求出D点坐标，进而求出DE的长，设DF=x，则CF=4-x，根据三角形的面积计算公式分别表示出△DEF与△BCF的面积，再由S△DEF∶S△BCF=1∶2建立方程求出x的值，从而可求出点F的坐标，最后将点F的坐标代入一次函数y=kx+4可求出k的值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八下·镇海区期末）若，则的取值范围是　 　.
【答案】a≤1
【解析】【解答】解：由得|a-1|-|2-a|=-1，
①当a≤1时，有1-a-(2-a)=-1去括号得-1=-1，符合题意；
②当a≥2时，有a-1-(a-2)=-1去括号得1=-1，不符合题意；
③当1综合所述：a≤1
故答案为：a≤1.
【分析】化简二次根式后分a≤1，a≥2，112．（2024八下·平湖期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，
由题意得，，
解得：，
∴他去世时年龄为或，
又∵他去世时的年龄大于，
∴他去世时的年龄为
故答案为：．
【分析】设他去世时年龄的个位数为x，可用x表示出他去世时年龄的十位数，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程求解．
13．（2024八下·桂平期末）设矩形的一条对角线长为，两条对角线组成的对顶角中，有一组是，则矩形的周长是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AC=BD=2cm，∠AOD=120°，
∴OA=OB=OC=OD=2，∠ABC=90°，AB=CD，AD=BC，
∴∠AOB=180°-∠AOD=60°，OA=OB=1cm，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=OA=1cm，
∴BC=，
∴矩形的周长为：2（AB+BC）=2（1+）=2+2（cm）.
故答案为：(2+2)cm.
【分析】由邻补角的定义求出∠AOB=180°-∠AOD=60°，结合矩形的性质可证△AOB为等边三角形，可得AB=OA=1cm，利用勾股定理求出BC，根据矩形的周长为2（AB+BC）即可求解.
14．（2024八下·苍南期末）如图，在矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，，为的三等分点，作矩形使点落在上，反比例函数的图象同时经过点，若矩形的面积为，则的值为　 　．
【答案】6
【解析】【解答】解：过点作轴，过点作轴，如图，
设矩形的长为，宽为，矩形的长为，
D，E为的三等分点，
，
，，
，，在反比例函数（）的图象上，
，，
，
整理得，
又矩形的面积为3，即，
，
．
故答案为：6．
【分析】过点D作DH⊥x轴，过点F作FI⊥x轴，设矩形BEFG的长为b，宽为a，矩形ABCO的长为d，结合D，E为BC的三等分点，可得D和F的坐标，代入反比例函数的解析式，利用矩形BEFG的面积为3，即ab=3，代入即可求解．
15．（2024八下·云梦期末）已知数据，，，的平均数是，方差是，若一组新数据，，，的平均数是，方差是，则　 　．
【答案】4
【解析】【解答】数据，，，相较于，，，整体增加8，故平均数m=2+8=10，而，，，数据波动没有发生变化，故n=6，故m-n=10-6=4
答案：4
【分析】根据新数据的特点即可发现平均数增加8，方差不变，即可得m-n的值.
16．（2025八下·诸暨期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=BD，∠BAD=45°，AD=4，过点B作BE⊥AD于点E，点F为BC上一动点，连接EF，取EF中点G，连接AG，BG，DG，若△BDG面积为△ABG面积的，则BF的长度是　 　.
【答案】或
【解析】【解答】解：∵AB=BD，BE⊥AD，AD=4，
∴AE=DE=AD=2.（"三线合一"）
又∵∠BAD=45°，∠AEB=90°，
∴BE=AE=2.
设点A到BG的距离为h1，点D到BG的距离为h2，
∵G是EF的中点，
∴S△ABG=BG×h1，S△BDG=BG×h2.
又∵S△BDG=S△ABG，
∴BG×h2=BG×h1，即h2=h1.
又∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BE⊥AD，
∴BE⊥BC，
∴h1+h2=BE=2.
∴h1=，h2=.
∵G是EF的中点，
∴S△ABG=(S△ABE+S△ABF)，S△BDG=(S△BDE+S△BDF)，
又S△ABE=×AE×BE=×2×2=2，S△BDE=×DE×BE=×2×2=2，
S△ABF=×BF×BE=×BF× 2=2=BF，S△BDF=×BF×BE=×BF× 2=BF，
∴S△ABG=(2+BF)，S△BDG=(2-BF).
又∵S△BDG=S△ABG，
∴( 2-BF)=×( 2+BF)，解得BF=.
同理，假设点A到BG的距离h1是点D到BG的距离h2的（即h1=h2），解得BF=.
故答案为：或.
【分析】先根据等腰三角形 “三线合一” 的性质和结合等腰直角三角形，求出AE、DE、BE的长度；再根据三角形的面积公式，分析△ABG与△BDG的面积关系（第一种情况：h2=h1），再结合已知条件S△BDG=S△ABG，求出BF的长为；最后同理求出BF的长为；综上，即可得出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八下·余姚期末）计算：
（1） .
（2） .
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式= .
【解析】【分析】(1)先化简二次根式，计算乘法，再算加法即可；
(2)根据完全平方公式计算，同时化简二次根式，然后算加减法即可.
18．（2024八下·鄞州期末）解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
解得，
（2）解：
解得，．
【解析】【分析】（1）用因式分解法求解，把3x移到左边，再提公因式x即可；
（2）用公式法求解即可．
19．（2025八下·中山期末）在某校科技文化节系列活动中，举办了“魅力几何，勾勒未来”的竞赛活动，A班和B班各有10名学生参加该竞赛活动．统计两个班的竞赛成绩（满分100），并对数据（成绩）讲行了收集、分析如下．
【收集数据】
A班10名学生竞赛成绩：18，40，60，80，60，80，92，80，70，100
B班10名学生竞赛成绩：24，90，40，88，68，86，68，72，74，70
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数
A班 68 b 80
B班 a 71 c
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）请你分别求出a，b，c的值；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由．
【答案】（1）解：根据题意得：，
A班成绩从低到高排列为18，40，60，60，70，80，80，80，92，100，
∴中位数：，
B班成绩中68出现次数最多，
∴．
∴a，b，c的值分别为68，75，68.
（2）解：∵A，B两个班的平均分相同都为68分，但A班中位数、众数均大于B班，
∴A班成绩更好．
【解析】【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的概念进行计算即可得答案.
（2）根据平均数，中位数，众数的意义进行比较分析即可得答案.
（1）解：由题得，
A班成绩从低到高排列为18，40，60，60，70，80，80，80，92，100，
则中位数，
B班成绩中68出现次数最多，
所以．
（2）因为A，B两个班的平均分相同都为68分，但A班中位数、众数均大于B班，
所以A班成绩更好．（本问答案不唯一，言之有理即可）
20．（2025八下·叙永期末）已知，如图，在四边形ABCD中，，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1） 解： 如图，连接，
∵，，，
∴
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，，
∴四边形的面积.
【解析】【分析】（1）通过连接对角线AC，将四边形分割为两个三角形，首先在直角三角形ABC利用勾股定理求出AC的长，然后在三角形ADC中，利用利用三边长度关系，通过勾股定理的逆定理求出度数即可；
（2）利用割补法，将四边形ABCD的面积转化为两个直角三角形的面积之和进行计算.
（1）如图，连接，
∵，，，
∴
∵，
∴
∴；
（2）∵，，
∴四边形的面积.
21．（2025八下·衢州期末）下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务.
（1） 指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）.
（2） 请写出正确的解题过程.
【答案】（1）解：①
（2）解：
=
=.
【解析】【分析】(1)分别对照各项化简的过程，即可判断；
(2)按照二次根式化简的规则进行化简，再合并同类二次根式.
22．（2024八下·深圳期末）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是元台厂商建议，台灯的标价应不低于元台，且不高于元台．
（1）小亮根据日常销售的数据发现，当销售价格为元台时，每天能售出台；若台灯的价格每上涨元，日销量会下降台求日销售量台与元台之间的函数关系式；
（2）“”促销日之前的销售数据显示，最高日销售利润为元“”当天，小亮为提高店铺知名度，采用如下促销方式：台灯按元台标价，并打折销售；当天销售量在台的基础上增加了倍，日销售利润上升为“”促销日之前的最高日销售利润的倍，求的值．
【答案】（1）解：根据题意可得：日销售量盏与时间天之间的函数关系式为：
（2）解：根据题意列方程：，
整理得：．
解得或舍去．
【解析】【分析】（1）根据题意列出日销售量P与x之间的函数关系式即可；
（2）根据题意列出关于a的二元一次方程求解即可。
23．（2025八下·中山期末）如题图1，在正方形ABCD中，点P在边CD上，点M在边BC上，点N在边AD上，连接AP，MN交于点O，且MN⊥AP.
（1）求证：PD+ND=MC：
（2）如图2，若AB=4，点O为线段AP的中点，OD=，求BM的长.
【答案】（1）证明：过点N作于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
，
.
∴四边形NECD为矩形，
∴NE=CD，.
.
，
.
.
又，
.
.
.
.
（2）解：连接NP，设，
则.
∵，点O为线段AP的中点，
∴.
在中，点O为线段AP的中点.
∴.
∴.
在中，.
即.
解得.
.
由（1）知.
【解析】【分析】（1）过点N作于点E，然后可根据矩形的性质得出，再通过证明，得出ME=PD，进而得出结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得出AP的长度，进而根据勾股定理可得出DP的长为2，设首先在直角三角形ADP中，，则：，根据中垂线的性质得出PN=AN=x， 在中， 根据勾股定理，可得出，即，解方程可求得x的值，进一步得出ND=4-x=，由（1）知：MC=PD+ND，可得出MC的长，然后用BC-MC即可得出BM的长。
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