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人教版2025—2026学年八年级下册期末真题演练培优卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：若鸭的质量为时，烤制时间为（　　）．
鸭的质量 1 2 3
烤制时间 40 60 80 100 120 140
A．158 B．160 C．162 D．164
2．如图，在 ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（　　）
A． B．1 C． D．
3．将两个直角三角形摆放如图，其中，则长为（　　）
A． B． C． D．
4．当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（　　）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
5．如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得，与x轴、y轴分别交于点A、点B，若，则线段的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝5cm，CD＝3cm，BE平分∠ABC交边AD于点E，则ED等于（　　）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
7．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A-B-C-D顺序解锁，按此手势解锁一次的路径长为（　　）
A．5 B．3+ C．3+ D．6
8．下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形的是（　　）
A．三个角的度数之比为 B．三边长满足关系式
C．三条边的长度之比为 D．三个角满足关系式
9．若的值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
10．某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在正方形外侧，作等边，则　 　．
12．如图，已知函数的图象交于点，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是　 　．
13．若函数是一次函数，则满足的条件是　 　.
14．已知正边形的一个内角为，则边数的值是　 　．
15．定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形中，，“筝形”的顶点是的中点，点分别在上，且，则对角线的长　 　．
16．已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒成立，则k的取值范围为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知是关于的一次函数，且点，在此函数图象上．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当时，求的取值范围．
19．2025年4月15日是第十个国家安全教育日．为了增强学生国家安全意识，某班组织学生举行国家安全法知识竞赛，现统计甲、乙两个小组每个小组的5名学生的成绩，根据甲组学生的成绩绘制了统计表，并给出了乙组学生的成绩方差的计算过程．
甲组学生的成绩统计表
学生 静静 婷婷 聪聪 慧慧 乐乐
成绩（分） 86 89 87 90 93
乙组学生的成绩直接代入方差公式，计算过程如下：
（分2）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲组5名学生成绩的平均数为______分，中位数为______分．
（2）你认为甲、乙两个小组中哪一组学生的成绩更好？请说明理由．
（3）将班级小明、小红和小亮的成绩与甲组5名学生的成绩一起组成一组新的数据，若这8个数据的平均数不低于90分，则小明、小红和小亮三名学生的成绩总和至少是______分．
20．如图，在中，，于D点，平分交于点F．
（1）求证：．
（2）取的中点G，连结．若，，求的面积．
21．全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题：
（1）本次比赛全程是___________，机器人___________先到达终点；
（2）机器人甲的平均速度是___________，其路程和时间的关系式是___________；
（3）机器人乙由于故障在途中停留了___________，恢复运行后，机器人乙的速度___________机器人甲的速度．（填“”“”或“”）
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点，点的解．
（1）请直接写出A、B两点的坐标A（ ， ），B（ ， ）；
（2）动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接，设点P的运动时间为t秒，△AOP的面积为S，用含t的式子表示△AOP的面积S；
（3）在（2）的条件下，当时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，，当点P停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿向终点C运动（当点M运动至点C时停止运动），连接、，求点M运动多少秒时，△AOP与△MBC的面积相等．
23．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______．（填写序号）
（2）如图⑤，已知矩形，延长至点E，使，过点E作交延长线于点F．请你判断四边形是否为邻等对补四边形，并说明理由．
（3）如图⑥，在中，，，，，N为上一点，且四边形是邻等对补四边形，连接，则的长为______．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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人教版2025—2026学年八年级下册期末真题演练培优卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：若鸭的质量为时，烤制时间为（　　）．
鸭的质量 1 2 3
烤制时间 40 60 80 100 120 140
A．158 B．160 C．162 D．164
【答案】B
【解析】【解答】解：设鸭子质量为，烤制时间为，
根据表格中的数据可知：当鸭子质量每增加，烤制时间增加，放鸭子前，烤箱的预热时间为：，
∴鸭子质量与烤制时间之间的关系式为：，
则鸭子的质量为时，烤制时间为：
，
故答案为：B．
【分析】根据表格中的信息可得鸭蛋质量与烤制时间之间的关系式，然后将m=3.5代入函数关系式计算即可求解．
2．如图，在 ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠DCE=∠E，
∴∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE-AB=1，
故答案为：B．
【分析】由尺规作图过程可得CF是∠BCD的平分线，由角平分线的定义得∠BCE=∠DCE，由平行四边形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠DCE=∠E，则∠BCE=∠AEC，由等角对等边得BE=BC=3，最后根据AE=BE-AB可算出答案.
3．将两个直角三角形摆放如图，其中，则长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
∵
∴
∵，
∴
在和中，
∴
∴
∴
在中，根据勾股定理可得，
∴
解得：（负值舍去）
故选：B．
【分析】过点作于点，证明得出，在中，根据勾股定理建立方程，即可求解．
4．当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（　　）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意分两种情况：
①当m+1＞0，即m＞-1时，y随x的增大而增大，
当x=5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，
∴5(m+1)+m2+1=6，
解得：m1=0，m2=-5(舍去)；
②当m+1＜0，即m＜-1时，y随x的增大而减小，
当x=2时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，
∴2(m+1)+m2+1=6，
解得：m1=-3，m2=1(舍去)；
综上可得：当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，则实数m的值为0或-3.
故答案为：A.
【分析】由题意分两种情况：
①当m+1＞0，即m＞-1时，y随x的增大而增大，②当m+1＜0，即m＜-1时，y随x的增大而减小，然后根据“当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6”可得关于m的方程，解之可求解.
5．如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得，与x轴、y轴分别交于点A、点B，若，则线段的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：直线向上平移得，
设直线对应的函数表达式为，
，
直线经过，
，
直线对应的函数表达式为，
令，得，
解得，
，
，
故选A．
【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，掌握一次函数平移的性质（k不变，b变化)是关键．设直线对应的函数表达式为，根据，确定b的值为6，求得直线的解析式，再求出与x轴交点A的坐标，进而得到OA的长度.
6．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝5cm，CD＝3cm，BE平分∠ABC交边AD于点E，则ED等于（　　）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠AED=∠CBE，
∵BE平分∠ABC交边AD于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=CD=3，
∵AD=5
∴ED=5-3=2(cm）.
故答案为：C。
【分析】首先根据平行线的性质和角平分线的定义，得出AB=AE，再根据平行四边形的性质，得出AB=AE=CD=3，进而根据线段的差得出ED的长。
7．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A-B-C-D顺序解锁，按此手势解锁一次的路径长为（　　）
A．5 B．3+ C．3+ D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：，
∴AB+BC+CD=2++1=3+.
故答案为：C.
【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后再把AB、BC、CD相加即可。
8．下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形的是（　　）
A．三个角的度数之比为 B．三边长满足关系式
C．三条边的长度之比为 D．三个角满足关系式
【答案】C
【解析】【解答】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、，
∴，
∴，故三角形三个内角的度数分别为、、，
∴三个角的度数之比为的三角形是直角三角形，不符合题意；
、∵，
∴，
∴三条边满足关系式的三角形是直角三角形，不符合题意；
、结合题意可设三角形的三条边分别为、、（为正数），
∵，
∴三条边的长度之比为的三角形不是直角三角形，符合题意；
、∵，
∴，
∴三个角满足关系的三角形是直角三角形，不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用三角形的内角和定理可对A、D作出判断；利用勾股定理的逆定理可对B、C作出判断.
9．若的值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【解析】【解答】解：
或
当时，，则原式；
当时，，则原式；
故答案为：D.
【分析】由已知与的平方和等于4知，与都是介于之间的数字且包含；又因为所求代数式中包含二次根式，则其被开方数是非负数；由于可对二次根式的被开方数分解因式，结合与的取值范围可判断二次根式的被开方数只能为0，此时可分类讨论，即当时或时，分别可求得对应的和的值，再代入到所求代数式中计算即可.
10．某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，，，，，
∴，
∴在中，，
∵是等边三角形，
∴，
∴
，
∴在中，，
∴，
∴，
同理可得：，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可证：，
∴，，
∴，
又∵，，
∴是等边三角形，
如图②，过点作于点，
则，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，即可得到和，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，即可得到，然后推理得到，即可得到，，过点作于点，求出的面积是，即可得到解题即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在正方形外侧，作等边，则　 　．
【答案】75°
【解析】【解答】解：∵在正方形外侧，作等边，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先根据正方形的性质结合等边三角形的性质得到，进而根据等腰三角形的性质结合题意进行角的运算得到，从而得到∠ABE的度数，再根据即可求解.
12．如图，已知函数的图象交于点，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得于的二元一次方程组的解是，
故答案为：
【分析】根据两个一次函数的交点坐标结合题意即可求解.
13．若函数是一次函数，则满足的条件是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵函数是一次函数，
∴m-2≠0，
∴m≠2，
故答案为：m≠2
【分析】根据一次函数的定义结合题意得到m-2≠0，进而即可求解。
14．已知正边形的一个内角为，则边数的值是　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵正n边形的一个内角为135°，n边形的一个外角为180°-135°=45°，n=360°÷45°=8.
故答案为：8.
【分析】根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解。
15．定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形中，，“筝形”的顶点是的中点，点分别在上，且，则对角线的长　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解：①如图，，，
∵点是的中点，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如图，，，
过点作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案为或．
【分析】
①当四边形EFGH的另一个顶点G为CD中点，另外两个顶点H、F分别在AD和BC上，且AH=BF时，四边形EFGH是筝形，此时EG等于BC=7；
②当四边形EFGH的另一个顶点G不是CD中点，另外两个顶点H、F分别在AD和BC上，且EF=GF、EH=GH时，四边形EFGH也是筝形，此时可过点G作AB的垂线段GM，由于EF=GF=5，则BF=4、CF=3，CG=4、DG=2；由于可证四边形ADGM是矩形，则AM=DG=2、ME=1，利用勾股定理即可求得EG的长．
16．已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒成立，则k的取值范围为　 　．
【答案】且
【解析】【解答】解：过点作平行于轴的直线为．
将代入，得．
将代入，得．
∴．
由题意，时，恒成立，
即，化简得．
情况1：当时，，不等式恒成立．
情况2：当时，，
不等式两边同时除以（，不等号方向不变），得，
对于在范围内恒成立，
∵，越大，越大，当时，取得最大值，
∴，解得．
对于在范围内恒成立，解得．
又∵是一次函数，，
∴的取值范围为且．
故答案为：且
【分析】
先求出点B、C的坐标，计算BC的长度表达式，再根据绝对值不等式在给定的范围内恒成立的条件，分情况讨论求解k的取值范围.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=4-（-3）+-1

（2）解：原式．
．
【解析】【分析】（1）先计算开平方和开立方，去绝对值，再计算加减法即可；
（2）先用单项式乘多项式展开，再化简二次根式，计算乘法，最后计算加减法．
18．已知是关于的一次函数，且点，在此函数图象上．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：设把，代入得：
把，代入得：
∴这个函数表达式为：．
（2）
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式；
（1）设，将点A和点B代入解析式可列出方程组，，解方程组可求出k和b的值，据此可求出这个一次函数的表达式.
（2）根据题意可列出不等式，解不等式可求出实数x的取值范围.
（1）解：设
把，代入得：
把，代入得：
∴这个函数表达式为：．
（2）
19．2025年4月15日是第十个国家安全教育日．为了增强学生国家安全意识，某班组织学生举行国家安全法知识竞赛，现统计甲、乙两个小组每个小组的5名学生的成绩，根据甲组学生的成绩绘制了统计表，并给出了乙组学生的成绩方差的计算过程．
甲组学生的成绩统计表
学生 静静 婷婷 聪聪 慧慧 乐乐
成绩（分） 86 89 87 90 93
乙组学生的成绩直接代入方差公式，计算过程如下：
（分2）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲组5名学生成绩的平均数为______分，中位数为______分．
（2）你认为甲、乙两个小组中哪一组学生的成绩更好？请说明理由．
（3）将班级小明、小红和小亮的成绩与甲组5名学生的成绩一起组成一组新的数据，若这8个数据的平均数不低于90分，则小明、小红和小亮三名学生的成绩总和至少是______分．
【答案】（1），；
（2）解：甲组学生的成绩更好，理由如下：甲组学生成绩的方差为，
由题意知，乙组学生成绩的平均数为分，方差为，方差大于甲组，
∴甲组学生成绩较为稳定，更好
（3）
【解析】【解答】（1）解：甲组5名学生成绩的平均数为：
（分），
将甲组5名学生成绩按从小到大的顺序排列为：，排在最中间的数为，
∴中位数为分，
故答案为：，；
（3）由题意知，小明、小红和小亮三名学生的成绩总和至少为：（分），
故答案为：．
【分析】（1）利用平均数和中位数的定义可求出甲组5名学生成绩的平均数和中位数.
（2）先求出甲组学生成绩的方差，再根据方差越小，成绩越稳定，可求解.
（3）根据题意，小明、小红和小亮三名学生的成绩总和至少为，计算即可.．
（1）解：甲组5名学生成绩的平均数为：
（分），
将甲组5名学生成绩按从小到大的顺序排列为：，排在最中间的数为，
∴中位数为分，
故答案为：，；
（2）解：甲组学生的成绩更好，理由如下：
甲组学生成绩的方差为，
由题意知，乙组学生成绩的平均数为分，方差为，方差大于甲组，
∴甲组学生成绩较为稳定，更好；
（3）解：由题意知，小明、小红和小亮三名学生的成绩总和至少为：（分），
故答案为：．
20．如图，在中，，于D点，平分交于点F．
（1）求证：．
（2）取的中点G，连结．若，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠AEF+∠ACE＝90°，∠BCE+∠CFD＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴∠AEF＝∠CFD，
∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF；
（2）解：在直角三角形ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°，
由勾股定理得：，
∴，
∵点G是CE的中点，
∴，
∴，
∴，
即△ABG的面积为3．
【解析】【分析】（1）根据等角的余角相等可得出∠AEF＝∠CFD，进而根据对顶角相等，可等量代换为∠AEF＝∠AFE，进而即可得出结论；
（2）首先根据勾股定理可求得，进而得出，再根据点G是CE的中点，即可得出。
21．全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题：
（1）本次比赛全程是___________，机器人___________先到达终点；
（2）机器人甲的平均速度是___________，其路程和时间的关系式是___________；
（3）机器人乙由于故障在途中停留了___________，恢复运行后，机器人乙的速度___________机器人甲的速度．（填“”“”或“”）
【答案】（1）；甲
（2）；
（3）
【解析】【解答】解：如图，
（1）根据赛跑路程和赛跑时间之间的关系图得：本次比赛全程是，机器人甲所用时间为，机器人乙所用时间为，
∴机器人甲先到终点.
故答案为：800；甲.
（2）根据图像可知，平均速度为：，
路程和时间的关系式是：.
故答案为：100；.
（3）根据图像可知，乙由于故障在途中停留了，
，同一时刻，越大，越大，
图像越为陡峭，
恢复运行后，乙的线比甲陡，
机器人乙的速度机器人甲的速度．
故答案为：.
【分析】（1）根据赛跑路程和赛跑时间之间的关系图得：本次比赛全程是，机器人甲所用时间为，机器人乙所用时间为，即可得答案.
（2）根据速度=路程时间即可求解.
（3）观察图像即可得到故障时间3分钟，速度即为图像陡的程度，根据图像比较速度大小即可得答案.
（1）根据图像可知，本次比赛全程是，
机器人甲所用时间为，机器人乙所用时间为，
所以机器人甲先到终点；
（2）根据图像可知，平均速度为：，
路程和时间的关系式是：；
（3）根据图像可知，乙由于故障在途中停留了，
，同一时刻，越大，越大，
图像越为陡峭，
恢复运行后，乙的线比甲陡，
机器人乙的速度机器人甲的速度．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点，点的解．
（1）请直接写出A、B两点的坐标A（ ， ），B（ ， ）；
（2）动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接，设点P的运动时间为t秒，△AOP的面积为S，用含t的式子表示△AOP的面积S；
（3）在（2）的条件下，当时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，，当点P停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿向终点C运动（当点M运动至点C时停止运动），连接、，求点M运动多少秒时，△AOP与△MBC的面积相等．
【答案】（1）0，4；2，0
（2）解：根据题意得：，当时，点P在x轴的正半轴，此时，
∴；
当时，点P在x轴的负半轴，此时，
∴；
终上所述，；
（3）解：当时，，此时，
∵点B的坐标为，，
∴，
如图，当点M在上时，
∴，
即，解得：，
此时点M运动的时间为；
如图，当点M在上时，过点M作轴于点N，此时点M到x轴的距离为，即，
根据题意得：，
在中，，
∴，
设直线的解析式为，
把点代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴点M运动的时间为；
综上所述，点M运动或秒时，与的面积相等．

【解析】【解答】
（1）
解：，
解得：，
∴点A的坐标为，点B的坐标为；
故答案为：；.
【分析】
（1）解关于m，n的二元一次方程组求出m、n的值即可求解；
（2）由题意，可分两种情况讨论：①当时，点P在x轴的正半轴，②当 时，点P在x轴的负半轴，分别用含t的代数式表示出OP的长，再根据三角形的面积公式即可求解；
（3）由题意，可分两种情况讨论：①当点M在上时，②当点M在上时，即可求解．
（1）解：，
解得：，
∴点A的坐标为，点B的坐标为；
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
当时，点P在x轴的正半轴，此时，
∴；
当时，点P在x轴的负半轴，此时，
∴；
终上所述，；
（3）解：当时，，此时，
∵点B的坐标为，，
∴，
如图，当点M在上时，
∴，
即，解得：，
此时点M运动的时间为；
如图，当点M在上时，过点M作轴于点N，此时点M到x轴的距离为，即，
根据题意得：，
在中，，
∴，
设直线的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴点M运动的时间为；
综上所述，点M运动或秒时，与的面积相等．
23．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______．（填写序号）
（2）如图⑤，已知矩形，延长至点E，使，过点E作交延长线于点F．请你判断四边形是否为邻等对补四边形，并说明理由．
（3）如图⑥，在中，，，，，N为上一点，且四边形是邻等对补四边形，连接，则的长为______．
【答案】（1）②④
（2）解：四边形是邻等对补四边形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是邻等对补四边形；
（3）
【解析】【解答】（1）解：观察可知，图①既不存在一组邻边相等，也不存在对角互补，所以不是邻等对补四边形；图③虽然存在一组邻边相等，但不存在对角互补，所以不是邻等对补四边形；
图②和图④存在对角互补且邻边相等，所以②和④是邻等对补四边形；
故答案为：②④；
（3）解：如图，在中，，
∴．
根据勾股定理，得．
∵，
∴，
∴．
∵四边形是邻等对补四边形，则，
∴，
∴．
过点N作，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据三角板的特征和邻等对补四边形的定义逐个判断即可；
（2）先根据矩形的性质得到，再根据垂直定义、直角三角形两锐角互余及同角的补角相等得到，从而“ASA”证明△ADE≌△ECF，由全等三角形的对应边相等可得AE=EF，然后根据邻等对补四边形的定义解答；
（3）首先根据含30°角直角三角形的性质求出AB=4，然后利用勾股定理算出BC，再结合已知，根据线段和差求出CM，然后根据邻等对补四边形定义，结合∠ABC=90°可求出∠ANM=∠CNM=90°，再根据含30°角直角三角形的性质求出MN，接下来根据勾股定理求出CN；过点N作NH⊥CM于点H，根据含30°角直角三角形的性质求出NH、MH，由线段和差求出BH，最后在Rt△BHN中，利用勾股定理算出BN即可.
（1）解：观察可知，图①和图③不存在对角互补，所以不符合题意；图②和图④存在对角互补且邻边相等，所以②和④是邻等对补四边形；
故答案为：②④；
（2）解：四边形是邻等对补四边形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是邻等对补四边形；
（3）解：如图，在中，，
∴．
根据勾股定理，得．
∵，
∴，
∴．
∵四边形是邻等对补四边形，则，
∴，
∴．
过点N作，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
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