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北师大版2025—2026学年七年级下册期末模拟重点提分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七下·鄞州期末）若a+b=10，a2+b2=84，则ab等于（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2025七下·义乌期末）已知直线，，，，，及它们的夹角如图所示，则图中互相平行的直线是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·田阳月考）若 ， 则 的值是 ( )
A． B．-2 C． D．
4．（2024七下·深圳期末）如图，在中，平分，于点，再添加一个条件仍然不能证明的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·罗湖期末）数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（　　）
A．图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线
B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性
C．图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短
D．图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法
6．（2024七下·宝安期末）小周学习完“平方差公式和完全平方公式”后，发现这两个公式能使计算变得简便，例如计算“”，运用公式，可得，请运用所学知识求得“”的值为（　　）
A． B． C．0 D．1
7．（2025七下·平武期末）图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的简易图，座位AD和座椅靠背AE的夹角∠DAE=105°，小桌板BC与座位AD平行，小桌板支撑杆AB与桌面BC的夹角∠ABC=125°，则座椅靠背AE与小桌板支撑杆AB形成的夹角∠EAB的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
8．（2024七下·深圳期末）下列说法正确的是（　　）
A．“水中捞月”是必然事件
B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
C．测试自行车的质量应采取全面普查
D．任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数不一定是10次
9．（2025七下·温州期末）现有若干个长为a，宽为b的小长方形（如图1）.将其中2个小长方形摆放在边长为a的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为.若，则的值为（　　）
A．10 B． C．11 D．
10．（2024七下·潮阳期末）如图，已知，于点，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七下·长沙期末）如图，在R△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.若BC=5，DE =2，则BD的长为　 　.
12．（2024七下·广平期末）已知三角形的两边长分别为和，则第三边的范围是　 　．
13．（2024七下·桑植期末）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示，这个图叫做“杨辉三角”．
请观察这些系数的规律，探究的展开式中项的系数是　 　．
14．（2024七下·南海期末）如图，在ABC中，AB＞AC．按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN交AB于点D；连接CD．若AB=6，AC=4，则ACD的周长为　 　．
15．（2024七下·高州期末）一个角的补角比这个角的余角的4倍少60°，这个角的度数是　 　（度）．
16．（2024七下·涪城期末）如图，已知 ，点 在 上，点 为平面内一点， ，过点 作 平分 平分 ，若 ，则 　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七下·杭州期末）计算
（1）；
（2）．
18．（2025七下·光明期末）某中学为了解七年级学生对课后延时服务项目的参与情况，随机抽取50名学生进行问卷调查，课后延时服务项目分为以下四类：A.艺术素养、B.体育锻炼、C.科技探究、D.作业辅导.现将调查结果整理成如下不完整的统计表：
项目 A B C D
人数 15 　 10 5
频率 0.3 　 　 0.1
（1）请补全统计表中的空缺数据（直接填写在表中）：
（2）从参与调查的学生中随机抽取1人，抽到的学生恰好参与项目B是　 　事件（从“随机”“必然”“不可能”选一个填入）；
（3）若该校七年级共有400名学生，试估计选择项目A的学生人数.
19．（2025七下·深圳期末）如图， 在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，作于点G．
（1）证明∶；
（2）若，，求的大小．
20．（2025七下·绍兴期末）如图， 已知点 E、F 在直线 $AB$ 上， 点 G 在线段 CD 上， ED 与 FG交于点 H， ， .
（1） 求证： ；
（2） 若 ， ， 求 的度数.
21．（2024七下·金沙期末）地表以下岩层的温度/℃与所处深度/km有如下关系：
深度/km 1 2 3 4 5
温度/℃ 55 90 125 160 195
（1）上表中自变量x是　 　，因变量y是　 　.
（2）请写出y与x的关系式.
（3）根据(2)中的关系式，估计地表以下7km处岩层的温度.
22．（2023七下·郫都期末）如图，在中，，．过点作，且取，连接交于点．
（1）求证：；
（2）作于点，连接．
①求证：；
②设，求与的数量关系．
23．（2023七下·拱墅期末）在一次研究性学习中，同学们对乘法公式进行了研究．
（1）如图，大正方形的边长为(a＋b)，请直接写出下列结果．
①中间小正方形的边长；
②用含a，b的等式表示大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍．
（2）当x＋y＝6，x－y＝－4时，求xy的值．
（3）若当x－2y＝P，xy＝Q时，(x＋2y)的值唯一确定，用含P的代数式表示Q．
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北师大版2025—2026学年七年级下册期末模拟重点提分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七下·鄞州期末）若a+b=10，a2+b2=84，则ab等于（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
即，
∴，
故答案为：B
【分析】 将a+b=10两边同时平方，然后根据完全平方公式的变形进行求解即可.
2．（2025七下·义乌期末）已知直线，，，，，及它们的夹角如图所示，则图中互相平行的直线是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：先计算各直线的同位角 / 内错角 / 同旁内角，如图：
A：∵直线与直线，相交，直线与直线，相交，
∴，，，，
∵，
∴与不是平行线；所以A选项错误；
B：∵，
∴，
∴，
∵，
∴与不是平行线；所以B选项错误；
C：∵，
∴与不是平行线；所以C选项错误；
D：∵，
∴；所以D选项正确；
故答案为：D．
【分析】本题考查平行线的判定定理，核心是通过同位角、内错角、同旁内角的关系判断直线平行。
平行线判定依据：同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补，两直线平行；
解题关键：先计算出各直线被截线所形成的角的度数，再对比是否满足平行条件；
易错点：未计算邻补角直接判断，或混淆不同截线形成的角，导致误判平行关系。
3．（2024七下·田阳月考）若 ， 则 的值是 ( )
A． B．-2 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：A．
【分析】利用同底数幂的除法的逆运算及幂的乘方运算法则即可解答.
4．（2024七下·深圳期末）如图，在中，平分，于点，再添加一个条件仍然不能证明的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意可得，还有公共边．
A．，可利用证明全等，不符合题意；
B．，可利用证明全等，不符合题意；
C．，可利用证明全等，不符合题意；
D．，不可证明全等，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
5．（2024七下·罗湖期末）数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（　　）
A．图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线
B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性
C．图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短
D．图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法
【答案】D
【解析】【解答】解：对于A．图（1）中用数学原理为：两点确定一条直线，解释正确，不合题意；
对于B．图（2）中用数学原理为：三角形具有稳定性，解释正确，不合题意；
对于C．图（3）中用数学原理为：垂线段最短，解释正确，不合题意；
对于D．图（4）中编号为③的部分满足两个角和夹边是完整的，根据全等三角形的判定方法“”，能够得到要配的三角形模具和原来的三角形模具是全等的，因此该选项解释错误，符合题意；
故选：D．
【分析】由数学原理及其原因逐一判断，即两点定线及其应用判断A，三角形稳定性及其应用判断B，垂线段最短判断C，全等三角形的判定及其应用判断D.
6．（2024七下·宝安期末）小周学习完“平方差公式和完全平方公式”后，发现这两个公式能使计算变得简便，例如计算“”，运用公式，可得，请运用所学知识求得“”的值为（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：
；
故选.：B
【分析】理解材料观察式子数值2023与2025的均值为2024，直接利用平方差公式，逐步计算即可；
7．（2025七下·平武期末）图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的简易图，座位AD和座椅靠背AE的夹角∠DAE=105°，小桌板BC与座位AD平行，小桌板支撑杆AB与桌面BC的夹角∠ABC=125°，则座椅靠背AE与小桌板支撑杆AB形成的夹角∠EAB的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵BC//AD
∴∠DAB=∠ABC
∵∠ABC=125°，
∴∠DAB=125°
∵∠DAE=105°，
∴∠EAB=∠DAB-∠DAE=125°-105°=20°
故答案为：C.
【分析】根据BC//AD得∠DAB=∠ABC=125°，再根据∠EAB=∠DAB-∠DAE即可得出答案.
8．（2024七下·深圳期末）下列说法正确的是（　　）
A．“水中捞月”是必然事件
B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
C．测试自行车的质量应采取全面普查
D．任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数不一定是10次
【答案】C
【解析】【解答】解：A、“水中捞月”是不可能事件，故原说法错误，不符合题意，A错误；
B、“概率为0.0001的事件”是随机事件，故原说法错误，不符合题意，B错误；
C、测试自行车的质量应采取抽样普查，故原说法错误，不符合题意，C错误；
D、任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数不一定是10次，正确，符合题意，D正确，
故选：C．
【分析】本题考查事件的分类，概率的意义，调查方式的选择.根据题意可得：“水中捞月”是不可能事件，据此可判断A选项；根据题意可得：“概率为0.0001的事件”是随机事件，据此可判断B选项；根据题意可得：测试自行车的质量应采取抽样普查，据此可判断C选项；根据任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数不一定是10次，据此可判断D选项；
9．（2025七下·温州期末）现有若干个长为a，宽为b的小长方形（如图1）.将其中2个小长方形摆放在边长为a的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为.若，则的值为（　　）
A．10 B． C．11 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据小长方形的长为a，宽为b，
可得图2中阴影部分面积为（a-b）2=9，根据a>b，得a-b=3，
又∵，故（a+b）2=（a-b）2+4ab，
得（a+b）2=36，∴a+b=6，
在图3中，可表示得到S1=b2，S2=(a-b)a，
∴=a2-ab-b2=(a+b)(a-b)-ab=3×6-=.
故答案为：B.
【分析】表示图2的阴影部分面积，得（a-b）2=9，利用（a+b）2=（a-b）2+4ab，可得a+b的值，进而根据图3列式，将a+b，a-b，ab作为整体代入求解.
10．（2024七下·潮阳期末）如图，已知，于点，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点H作，过点F作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】过点H作，过点F作，则，，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七下·长沙期末）如图，在R△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.若BC=5，DE =2，则BD的长为　 　.
【答案】3
【解析】【解答】解：
平分、
故答案为：3.
【分析】直接应用角平分线的性质定理得DE=DC即可.
12．（2024七下·广平期末）已知三角形的两边长分别为和，则第三边的范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得：5-3＜x＜5+3，
∴2＜x＜8．
故答案为：2＜x＜8．
【分析】
三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可得到答案。
13．（2024七下·桑植期末）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示，这个图叫做“杨辉三角”．
请观察这些系数的规律，探究的展开式中项的系数是　 　．
【答案】10
【解析】【解答】解：；
∴含项的系数是10，
故答案为：10．
【分析】根据“杨辉三角”展开，再找出展开式的规律即可．
14．（2024七下·南海期末）如图，在ABC中，AB＞AC．按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN交AB于点D；连接CD．若AB=6，AC=4，则ACD的周长为　 　．
【答案】10
【解析】【解答】解：∵分别以点B和点C为圆心，以大于BC一半的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN．直线MN交AB于点D，连接CD，
∴直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴BD+AD=CD+AD=AB，
∵AB=6，AC=4，
∴△ADC的周长=（CD+AD）+AC=AB+AC=6+4=10．
故答案为：10．
【分析】先证出直线MN是线段BC的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质可得BD=CD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△ADC的周长=（CD+AD）+AC=AB+AC=6+4=10．
15．（2024七下·高州期末）一个角的补角比这个角的余角的4倍少60°，这个角的度数是　 　（度）．
【答案】40
【解析】【解答】解：设这个角为x，
由题意得， ，
解得 ．
故答案为：40．
【分析】这个角为x，则余角为（90°-x），补角为（180°-x），根据题意可列方程求解即可。
16．（2024七下·涪城期末）如图，已知 ，点 在 上，点 为平面内一点， ，过点 作 平分 平分 ，若 ，则 　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：设
平分
，
平分
在 中
，
即
解得
故答案为：
【分析】设，可求出，，从而得出，利用三角形内角和求出∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=，根据补角的性质可得，据此建立方程求出α，由于=2α，从而得出结论.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七下·杭州期末）计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
=7
（2）解：
【解析】【分析】（1）乘方运算： 12= 1（注意与( 1)2=1的区别）（2）负整数指数幂：a n= （a ≠ 0），因此( ) 2==9零指数幂：a0=1（a≠0），因此(π 1)0=1
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025七下·光明期末）某中学为了解七年级学生对课后延时服务项目的参与情况，随机抽取50名学生进行问卷调查，课后延时服务项目分为以下四类：A.艺术素养、B.体育锻炼、C.科技探究、D.作业辅导.现将调查结果整理成如下不完整的统计表：
项目 A B C D
人数 15 　 10 5
频率 0.3 　 　 0.1
（1）请补全统计表中的空缺数据（直接填写在表中）：
（2）从参与调查的学生中随机抽取1人，抽到的学生恰好参与项目B是　 　事件（从“随机”“必然”“不可能”选一个填入）；
（3）若该校七年级共有400名学生，试估计选择项目A的学生人数.
【答案】（1）解：
项目 A B C D
人数 15 20 10 5
频率 0.3 0.4 0.2 0.1
（2）随机
（3）解：400×0.3=120（名)
答：估计选择项目A的学生有120名
【解析】【分析】（1）根据总人数减去A，C，D组人数可得B组人数，再求出对应频率即可求出答案.
（2）根据事件的分类即可求出答案.
（3） 根据总人数乘以对应频率即可求出答案.
19．（2025七下·深圳期末）如图， 在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，作于点G．
（1）证明∶；
（2）若，，求的大小．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴DG=EF，
∵ =5
∵，
∵，于点G，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据AAS可证得；
（2）由可得出 ，再根据等腰三角形三线合一可得出，进而得出CD=12，再根据三角形的面积计算公式即可得出的大小；
20．（2025七下·绍兴期末）如图， 已知点 E、F 在直线 $AB$ 上， 点 G 在线段 CD 上， ED 与 FG交于点 H， ， .
（1） 求证： ；
（2） 若 ， ， 求 的度数.
【答案】（1）证明：∵∠2=∠3
∴
∴∠C=∠DGF
∵∠C=∠1
∴∠DGF=∠1
∴
（2）解：∵与是对顶角
∴
在中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵与是对顶角
∴
【解析】【分析】（1）首先根据内错角相等推出两直线，再利用平行线的性质进一步得到同位角∠C=∠DGF，然后等量代换出∠DGF=∠1，再一次利用内错角相等得到两直线；
（2）先根据对顶角相等将∠3放入中，然后利用三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出，，最后再利用对顶角相等即可求出
21．（2024七下·金沙期末）地表以下岩层的温度/℃与所处深度/km有如下关系：
深度/km 1 2 3 4 5
温度/℃ 55 90 125 160 195
（1）上表中自变量x是　 　，因变量y是　 　.
（2）请写出y与x的关系式.
（3）根据(2)中的关系式，估计地表以下7km处岩层的温度.
【答案】（1）深度x；温度y
（2）解：y=35x+20
（3）解：y=35x+20=35
【解析】【解答】解：（1）上表中自变量x是深度，因变量y是温度，
故答案为：深度，温度.
（2）∴设y与x的关系式为：
∴
解得：
∴y与x的关系式为：
（3）将x=7代入关系式，
∴地表以下7km处岩层的温度为265℃.
【分析】（1）由题干中的表格可知，上表中自变量x是深度，因变量y是温度；
（2）在表中任找两个变量的数据，利用代入假设的关系即可求解；
（3）由（2）中的关系式，将x=7代入关系式，即可求出对应的值.
22．（2023七下·郫都期末）如图，在中，，．过点作，且取，连接交于点．
（1）求证：；
（2）作于点，连接．
①求证：；
②设，求与的数量关系．
【答案】（1）证明：
在和中
（2）解：①作于．
在和中
②作交于．
∵在和中，
由等腰直角及可得
从而，由可得
，即
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出 ，最后根据全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①根据垂直求出∠AFE=∠CGE=90°，再利用全等三角形的性质求出AF=CG，最后证明求解即可；
②结合图形，利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
23．（2023七下·拱墅期末）在一次研究性学习中，同学们对乘法公式进行了研究．
（1）如图，大正方形的边长为(a＋b)，请直接写出下列结果．
①中间小正方形的边长；
②用含a，b的等式表示大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍．
（2）当x＋y＝6，x－y＝－4时，求xy的值．
（3）若当x－2y＝P，xy＝Q时，(x＋2y)的值唯一确定，用含P的代数式表示Q．
【答案】（1）解：①由拼图可知：中间小正方形的边长为a-b；
②大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a-b）2，每个小长方形的长为a，宽为b，则小长方形的面积为ab；
∴（a+b）2-（a-b）2=4ab，即大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍；
（2）当x＋y＝6，x－y＝－4时，
∵（x+y）2-（x-y）2=4xy，
∴62-(-4)2=4xy，即xy=5；
（3）由（1）得：（x+2y）2-（x-2y）2=8xy，
而 x－2y＝P，xy＝Q，
∴（x+2y）2-P2=8Q，即（x+2y）2=P2+8Q.
【解析】【分析】（1）①由拼图可求解；②根据图中面积的构成和正方形的面积以及长方形的面积公式可求解；
（2）根据（1）中的结论可得（x+y）2-（x-y）2=4xy，然后把x＋y和x－y的值代入计算即可求解；
（3）根据（1）中的结论可得（x+2y）2-（x-2y）2=8xy，然后把x－2y＝P，xy＝Q代入整理即可求解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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