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苏科版2025—2026学年八年级下册期末模拟提分冲刺卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．n为自然数，计算代数式n3-n的值时，四位同学算出了下列四个结果，其中不可能的是（　　）
A．720 B．1320 C．2729 D．9240
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．AC⊥BD B．AC=BD C．AB=BC D．∠ABD=∠DBC
3．照相机成像时，照相机镜头的焦距，物体到镜头的距离，胶片（像）到镜头的距离，满足．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知分式的值为零，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
5．以下说法中，正确的是（　　）
A．为了解全体学生的视力，对每位学生都进行视力检查是普查
B．全校学生上学的交通方式是定量数据
C．为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为1500
D．射线和射线表示同一条射线
6．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”，如图，长方形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该长方形四个顶点中“特征值”最大的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（　　）
A． B．
C． D．
8．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和为（　　）
A．3 B．4 C．7 D．8
9．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（　　）
A． B． C．2 D．
10．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．分解因式： 　 　．
12．化简：　 　．
13．如图，在正方形中，等边三角形的顶点、分别在，上，则　 　．
14．已知，则代数式的值是　 　.
15．函数中自变量x的取值范围是　 　．
16． 如图1，在边长为a(cm)的正方形纸片中间挖去一个正方形的洞，使之成为一个边宽(即阴影部分的宽度)为5cm的正方形方框。把3个这样的方框按图2所示的方式平放在桌面上(边框互相垂直或平行)，则桌面被这些方框盖住的部分的面积是　 　()
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
18．初中学生带手机上学，给学生带来了方便，同时也带来了一些负面影响针对这种现象某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）这次调查的家长总人数为　 　人，表示“无所谓”的家长人数为　 　人；
（2）机抽查一个接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是　 　；
（3）求扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数．
19．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
（2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为．
①求的值；
②求图中空白部分的面积．
20．贵州的花江峡谷大桥以625米的桥面高度成为世界第一高桥．某标段在筹建之初，有一项挖土石方工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.若每施工一天，需付甲工程队工程款2.5万元，付乙工程队工程款2万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有以下三种施工方案：
（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工；
（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天；
（方案三）若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程再由乙队单独做，也正好按规定工期完工.
（1）设这项工程的规定工期为x天，则甲队单独完成这项工程需要　 　天，乙队单独完成这项工程需要　 　天.（用含x的代数式表示）
（2）请你列方程求出这项工程的规定工期．
（3）若你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？并说明理由.
21．了解学生的艺术特长发展情况，某校决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中，你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“其他”部分对应的扇形的圆心角为　 　；
（3）已知甲乙两人均从舞蹈、乐器、声乐三项活动中任选一种，用树状图或列表法求二人恰好选择同一项活动的概率.
22．如图1，□ABCD中，对角线BD的中垂线EF分别交AD，BD，BC于点E，O，F.
（1）连结BE，DF，请判断四边形EBFD的形状，并说明理由：
（2）若∠A=130°，∠OED=70°，连结DF，求∠CDF的度数：
（3）如图2，连结AF交BD于点G，若，，，求的度数和AB的长.
23．一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如：
①；
②；
③
（1）仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（2）仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（3）已知x、y均为正整数，，且M、N均为正数．若M+N＝3，请求出x、y的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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苏科版2025—2026学年八年级下册期末模拟提分冲刺卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．n为自然数，计算代数式n3-n的值时，四位同学算出了下列四个结果，其中不可能的是（　　）
A．720 B．1320 C．2729 D．9240
【答案】C
【解析】【解答】解：，即必为偶数，因此只有C选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将进行因式分解，可发现其为三个连续自然数的乘积，其结果也必为偶数，据此可判断.
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．AC⊥BD B．AC=BD C．AB=BC D．∠ABD=∠DBC
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD
∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ABD=∠BDC
∵∠ABD=∠DBC
∴∠BDC=∠DBC
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可.
3．照相机成像时，照相机镜头的焦距，物体到镜头的距离，胶片（像）到镜头的距离，满足．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知，，
移项通分可得：，
已知，
等式两端取倒数得：．
故答案为：
【分析】本题考查分式的加减运算及分式方程的求解，已知焦距、物距和像距的关系式，要求物距u，需先通过移项将含u的项单独分离出来，得到，再对等式右边进行分式通分，找到最简公分母fv，计算得出，由于v≠f，等式两边可同时取倒数，进而求出u的表达式。
4．已知分式的值为零，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴且，
解得．
故选：A．
【分析】若分式的值为零，则表明分子为0且分母不为0，根据此条件列式解答即可
5．以下说法中，正确的是（　　）
A．为了解全体学生的视力，对每位学生都进行视力检查是普查
B．全校学生上学的交通方式是定量数据
C．为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为1500
D．射线和射线表示同一条射线
【答案】A
【解析】【解答】解：A、根据普查的定义，说法正确，
∴此选项符合题意，
B、全校学生上学的交通方式是定性数据，说法错误，
∴此选项不符合题意，
C、样本容量为100，说法错误，
∴此选项不符合题意，
D、射线和射线表示不同的射线，说法错误，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】 调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析。普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查.
6．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”，如图，长方形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该长方形四个顶点中“特征值”最大的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【解析】【解答】解：设，，，
四边形是矩形，
，，
∴，，，
长方形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，
，，
，
该长方形四个顶点中“特征值”最大的是点D，
故选：D．
【分析】本题考查对“特征值”新定义的理解运用，需理解”特征值”为点的纵坐标与横坐标的比值，通过设长方形顶点坐标，，，由此可得，，，根据定义计算各点的特征值并比较大小即可．
7．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得 .
故答案为：A.
【分析】根据甲农妇有x个鸡蛋，可以表示出乙农户的鸡蛋数，再根据两人蛋数不同，卖得的钱数相同为等量关系，列出方程即可.
8．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和为（　　）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：解一元一次不等式组，
解①得：x≤a，
解②得：x≤5，
∵关于的一元一次不等式组的解集为，
∴a≤5，
解关于的分式方程，
得：y﹣a+2y﹣5=y﹣2，解得：，
∴由题意得为正整数，
又∵a≤5
∴a=5或3或1或﹣1，
当a=1时，y=2，此时y-2=0，分式方程无解，故舍去，
∴所有满足条件的整数的和为5+3+（﹣1）=7，
故答案为：C．
【分析】先解一元一次不等式组，根据解集得到a的取值范围，再解关于y的分式方程，根据分式方程的解为正整数得到所有满足条件的整数a的值，然后求和即可．
9．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：正方形，
，
正方形，
，，
M是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
由题意可知，，
，，，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质得AB=BC=8，EH=EF，∠HGF=∠EFG=∠EHG=90°；由“AAS”证△DGM≌△EFM，由全等三角形的性质得DG=EF，∠GDM=∠FEM，DH=BF，DG=CF，∠DHA=∠BFC=90°，则EH=CF，由“SAS”证△DHE≌△BFC，由全等三角形的性质得DE=BC=8，∠HDE=∠FBC，由等量代换及对顶角相等推出∠FBC=∠BEN，由等角对等边得BN=NE，设BN=NE=x，则，，最后在Rt△CDN中利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，即可得出EN的长.
10．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=，令y=0，则x=，
则A（，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB==2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC==x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD==x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x=x，
解得：x=+1，
∴AC=x=（+1）=，
故选A．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得A（，0），B（0，），根据勾股定理可得AB，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=AD=x，根据勾股定理可得AC，再根据旋转性质可得∠ABC=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得BC=2CD=2x，根据勾股定理可得BD，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．分解因式： 　 　．
【答案】
【解析】【解答】原式
．
故答案为： ．
【分析】先提取公因式3，再利用完全平方公式分解即可.
12．化简：　 　．
【答案】9
【解析】【解答】解：
．
故答案为：9.
【分析】将各个加数分别进行分母有理化化简，再合并同类二次根式，进而根据二次根式性质化简后，根据有理数的加法法则可算出结果.
13．如图，在正方形中，等边三角形的顶点、分别在，上，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE=∠DAF，
∴∠BAE=（∠BAD-∠EAF）÷2=15°，
故答案为：．
【分析】根据正方形得性质可知AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，由与等边三角形的性质可知AE=AF，∠EAF=60°，根据直角三角形的判定定理可证Rt△ABE≌Rt△ADF，求得，进而即可得出答案.
14．已知，则代数式的值是　 　.
【答案】3
【解析】【解答】解：
故答案为：3.
【分析】对分式中的分子分母进行因式分解化简即可.
15．函数中自变量x的取值范围是　 　．
【答案】且
【解析】【解答】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0且分母不能为零得出x-1＞0，根据零指数幂的底数不等于0得出x-2≠0，联立两不等式，求解即可.
16． 如图1，在边长为a(cm)的正方形纸片中间挖去一个正方形的洞，使之成为一个边宽(即阴影部分的宽度)为5cm的正方形方框。把3个这样的方框按图2所示的方式平放在桌面上(边框互相垂直或平行)，则桌面被这些方框盖住的部分的面积是　 　()
【答案】60a 400
【解析】【解答】解：解：已知大正方形边长为acm，因为边宽为5cm，所以中间挖去的小正方形边长为(a 2×5)=(a 10)cm，
由图1可知：一个方框的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，
即：S框=a2 (a 10)2
=a2 (a2 20a+100)
=a2 a2+20a 100
=20a 100
观察图乙可知，桌面被盖住部分的面积等于三个方框不重叠时的总面积减去重叠部分面积，
三个方框重叠部分是4个边长为5cm的小正方形，
即：S重=4×5×5=100
∴桌面被盖住部分的面积=3×(20a 100)-100=（60a 400）cm2
故答案为：60a 400.
【分析】先根据大正方形边长和边宽求出中间小正方形边长，进而得到一个方框的面积；再通过观察图形确定重叠部分小正方形的个数和边长，算出重叠部分面积；最后用三个方框不重叠时的总面积减去重叠部分面积，得出桌面被盖住部分的面积。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=2×2-+2
=
=.
（2）解：原式=
=
=10.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质“”和合并同类二次根式的法则计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式的法则和二次根式的乘法法则即可即可求解.
18．初中学生带手机上学，给学生带来了方便，同时也带来了一些负面影响针对这种现象某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）这次调查的家长总人数为　 　人，表示“无所谓”的家长人数为　 　人；
（2）机抽查一个接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是　 　；
（3）求扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数．
【答案】（1）200；40
（2）
（3）解：“不赞同”的扇形的圆心角度数为：．
【解析】【解答】解：（1）50÷25%=200（人），200×20%=40（人）．
故答案为：200；40；
（2）∵“很赞同”的家长人数为：200-90-50-40=20（人），
∴抽到“很赞同”的家长的概率是20÷200=.
故答案为：；
【分析】（1）利用赞同的人数除以其占比可得总人数，然后用总人数乘以无所谓家长的占比，即可得解；
（2）先求出“很赞同”的家长人数20人，然后除以总人数，即可得到答案；
（3）用360°乘以不赞同所占比例，即可求解.
19．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
（2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为．
①求的值；
②求图中空白部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：①根据长方形的周长为，可得：，
，
，
．
答：的值为5．
②空白部分的面积为，
根据②得：，
∵阴影部分的面积为，
且阴影部分的面积表示为，
故，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：空白部分的面积为．
【解析】【解答】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：，
大长方形的长是，宽是，
由此可得：，
故答案为：；
【分析】（1）观察图形结合正方形及长方形面积计算方法可得题目中给的代数式是大图形的面积，根据矩形面积计算公式，因式分解的结果恰好是长方形形长与宽的乘积，从而得出答案；
（2）①根据长方形的周长公式结合大长方形的周长为30列出方程，整理可得a+b的值；
②由①得a+b=5，阴影部分的面积为2a2+2b2，结合完全平方公式的恒等变形(a+b)2-2ab=a2+b2，然后整体代入计算可得求出ab，从而根据空白部分的面积是5ab得出答案.
20．贵州的花江峡谷大桥以625米的桥面高度成为世界第一高桥．某标段在筹建之初，有一项挖土石方工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.若每施工一天，需付甲工程队工程款2.5万元，付乙工程队工程款2万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有以下三种施工方案：
（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工；
（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天；
（方案三）若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程再由乙队单独做，也正好按规定工期完工.
（1）设这项工程的规定工期为x天，则甲队单独完成这项工程需要　 　天，乙队单独完成这项工程需要　 　天.（用含x的代数式表示）
（2）请你列方程求出这项工程的规定工期．
（3）若你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？并说明理由.
【答案】（1）x；x+7
（2）解：甲队工作效率为，乙队工作效率为。
根据方案三列方程：6(+)=1
解得：x=42
检验：x=42是方程的解，
∴规定工期为 42 天.
（3）解：选择方案三。
理由：方案一工程款：42×2.5=105万元；
方案三工程款：6×2.5+42×2=15+84=99万元；
∵99<105，
∴方案三节省工程款且如期完工
【解析】 【解答】解：（1）∵甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工，
∴甲队单独完成这项工程的时间等于规定工期，
∵设这项工程的规定工期为x天，
∴甲队单独完成这项工程需要x天，
∵乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天，这项工程的规定工期为x天，
∴乙队单独完成这项工程需要（x＋7）天；
故答案为：x，（x＋7）.
【分析】（1）根据方案一可知甲队单独完成这项工程的时间等于规定工期即x天，
根据方案二乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天可知乙队单独完成这项工程需要（x＋7）天；
（2）根据方案三可知甲队6天完成的工作量＋乙队工期时间完成的工作量＝1，列方程求解即可；
（3）根据（2）求出甲乙单独完成这项工程需要的时间，分别求出方案一、三求出需要的工程款，进行比较即可．
21．了解学生的艺术特长发展情况，某校决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中，你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“其他”部分对应的扇形的圆心角为　 　；
（3）已知甲乙两人均从舞蹈、乐器、声乐三项活动中任选一种，用树状图或列表法求二人恰好选择同一项活动的概率.
【答案】（1）解：被抽查的学生总数为： 8÷16%=50
选戏曲的学生数为： 50-12-16-8-10=4 (人)
如图所示，即为所求：
（2）72°
（3）解：
乙 甲 舞蹈 乐器 声乐
舞蹈 (舞蹈，舞蹈) (乐器，舞蹈) (声乐，舞蹈)
乐器 (舞蹈，乐器) (乐器，乐器) (声乐，乐器)
声乐 (舞蹈，声乐) (乐器，声乐) (声乐，声乐)
由表可以看出，甲乙两人均从舞蹈、乐器、声乐三项活动中任选一种共有9种等可能的结果，其中二人恰好选择同一项活动的有3种，即(舞蹈，舞蹈)，(乐器，乐器)，(声乐，声乐)
P(二人恰好选择同一项活动)
答：二人恰好选择同一项活动的概率为
【解析】【解答】（2）∵360°×＝72°，
∴扇形统计图中“其他”部分对应的扇形的圆心角为72°；
故答案为：72°.
【分析】（1）利用“声乐”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“戏曲”的人数并作出条形统计图即可；
（2）先求出“其他”的百分比，再乘以360°可得答案；
（3）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
22．如图1，□ABCD中，对角线BD的中垂线EF分别交AD，BD，BC于点E，O，F.
（1）连结BE，DF，请判断四边形EBFD的形状，并说明理由：
（2）若∠A=130°，∠OED=70°，连结DF，求∠CDF的度数：
（3）如图2，连结AF交BD于点G，若，，，求的度数和AB的长.
【答案】（1）解：四边形EBFD是菱形，
理由如下：
在□ABCD中，∵AD//BC，∴∠EDO=∠FBO，
∵EF为BD中垂线，
∴BO=DO，∠EOD=∠FOB，
∴△BOF≌△DOE（AAS），∴BF=DE，
∵AD//BC，BF=DE，
∴四边形EBFD是平行四边形.
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形；
（2）解：∵AB//DC，∴∠EDC=180°-∠A，
∵∠A=130°，∴∠EDC=50°，
∵EF⊥BD，
∴∠EDO=90°-∠OED=90°-70°=20°，
由(1)得，四边形EBFD是菱形，
∴∠EDF=2∠EDO=40°，
∴∠CDF=∠EDC-∠EDF=10°；
（3）解：在 ABCD中，∵，∴，
∵四边形EBFD是菱形，∴，
∴，
，
，即，
∴BO=4OG，
∴设OG=m，则BG-4m，OB=OG+BG=5m，
在Rt△BOF中，OF2=BF2-OB2=112-25m2，
在Rt△OGF中，OF2=GP2-OG2=16-m2，
即112-25m2=16-m2，解得m=2或-2（舍去），
∴BG=8，
在Rt△OGF中，OG=2，GF=4，OF=2，
∴∠OGF=60°
∴∠AGB=∠OGF=60°，
∵S△OGF=2，S△ABG=6S△DGF=12.
过点A作AH⊥BG于点H，
，
，解得，
在Rt中，，
，
，
在Rt中，．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质可得∠EDO=∠FBO，根据中垂线的定义可得BO=DO，EF⊥BD，依据AAS判定△BOF≌△DOE推出BF=DE，根据菱形的判定即可证明；
（2）根据平行线的性质可得∠EDC=50°，根据菱形的性质可得∠EDF=2∠EDO，即可求得；
（3）根据菱形的性质可推出BO=4OG，设OG=m，根据勾股定理建立方程求得BG，过点A作AH⊥BG于点H，再根据三角形的面积求得AH，根据边长求得∠AGB，求得HG，BH，再根据勾股定理求AB即可.
23．一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如：
①；
②；
③
（1）仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（2）仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（3）已知x、y均为正整数，，且M、N均为正数．若M+N＝3，请求出x、y的值．
【答案】（1）解：1；
2（x﹣1）；
（2）解：
＝x2
＝x2﹣3x+9；
（3）解：∵1，
1，
因为M+N＝3，
所以113，
即1，
令x﹣5＝a，7y﹣5＝b，
∴，
∴ab﹣5a﹣5b＝0，
∴ab﹣5a﹣5b+25＝25，
∴（ab﹣5a）﹣（5b﹣25）＝25，
∴a（b﹣5）﹣5（b﹣5）＝25，
∴（a﹣5）（b﹣5）＝25，
∵M、N均为正数，x、y均为正整数，
∴a，b为正整数，
∴或或，
∴或（此时y，舍去）或（此时y，舍去），
∴a＝6，b＝30，
∴x＝11，y＝5，
经检验，符合题意，
∴x＝11，y＝5．
【解析】【分析】(1)仿照示例，把分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式即可；
(2)分步进行，仿照示例，把分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式即可；
(3)先把分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，结合M、N均为正数，x、y均为正整数，转化为求方程整数解的情况，得到结果.
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