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沪科版2025—2026学年七年级下册期末综合模拟测试卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若，则的值是（　　）
A．16 B．8 C．32 D．12
2．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋个数不同，卖得的钱却相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果我有你的鸡蛋个数，我的单价不变，可以卖得15个铜板.”乙农妇回答道：“如果我有你的鸡蛋个数，我的单价不变，我就只能卖得 个铜板.”问两人各有多少个鸡蛋 设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程(　　)
A． B．
C． D．
3．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（（　　）
A．不变
B．缩小到原来的二分之一
C．扩大2倍
D．扩大4倍
4． 如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是（　　）
A． B． C． D．
7．如果 ，那么代数式 的值为（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
8．关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中①若abc 0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点；④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc 0，
所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
10．如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C、D，下列结论：①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．小强在解分式方程 时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解.请你帮小强猜测一下△处的数应是　 　.
12．若，．则　 　．
13．小张准备用35 元买冰红茶和可乐共10瓶，已知冰红茶4.5元/瓶，可乐3元/瓶，则小张最多能买　 　瓶冰红茶.
14．五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB 和CD 是五线谱上的两条线段，点 E 在 AB，CD 之间的一条平行线上， 若∠1=120°，∠2 =30°，则∠BEC 的度数是　 　.
15．已知 的整数部分为a，小数部分为b，x，y为有理数，若x，y，a，b满足 则x+y的值为　 　．
16． 若满足方程，则　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）．
（2）．
18．解不等式：
（1）；
（2）．
19．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
20．为响应国家的美丽乡村十百千万工程建设，打造和美特色，推动乡村振兴．南街街道是从和美乡业、和美乡貌、和美乡建、和美乡风、和美乡境、和美乡智、和美乡治共7个方面进行典型村创建．其中，为了全面开展绿美生态建设，需要购买甲、乙两种树苗进行栽植．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵元，若购买株甲树苗和株乙树苗，共需元．
（1）求甲、乙两种树苗每株的价格．
（2）从成活率上去考虑，调查统计发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为和．若南街街道计划购买甲、乙两种树苗共株，并且要使这批树苗的成活率不低于．那么在树苗的选购中，最多能购买甲种树苗多少株？
21．已知，，，，，，
当为大于的奇数时，；
当为大于的偶数时，；
（1）求；（用含的式子表示）
（2）_____；（用含的式子表示）
（3）计算．
22．如图1，已知，，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）当时，求，的度数；
（3）如图（2），求，的度数（用含m的代数式表示）．
23．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值．
解：，因为不论取何值；总是非负数，
即．所以，所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）将变形为的形式______，则的最小值为______；
（2）已知，求代数式的最大值；
（3）已知，请比较与的大小，并说明理由；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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沪科版2025—2026学年七年级下册期末综合模拟测试卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若，则的值是（　　）
A．16 B．8 C．32 D．12
【答案】A
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式可得 +8t，把s+t=4代入可得原式==4(s-t)+8t=4(s+t)，再代入即可求解.
2．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋个数不同，卖得的钱却相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果我有你的鸡蛋个数，我的单价不变，可以卖得15个铜板.”乙农妇回答道：“如果我有你的鸡蛋个数，我的单价不变，我就只能卖得 个铜板.”问两人各有多少个鸡蛋 设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设甲农妇有x个鸡蛋，乙农妇有(100-x)个鸡蛋，由题意得，
故答案为：A .
【分析】设甲农妇有x个鸡蛋，乙农妇有(100-x)个鸡蛋，根据题意“两人原本卖得的钱数相同，且交换鸡蛋后的总金额分别为15和 个铜板”列分式方程解答即可.
3．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（（　　）
A．不变
B．缩小到原来的二分之一
C．扩大2倍
D．扩大4倍
【答案】B
【解析】【解答】解：把分式中的x和y的值都扩大2倍，得，
化简，得.
所以缩小到原来的二分之一.
故答案选B.
【分析】根据分式的性质即可求出答案.
4． 如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
平分，
.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义求得的度数，再通过邻补角的定义得到的度数，继而由角平分线的定义计算出的度数.
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵，∴该选项计算错误，不符合题意；
B、∵，∴该选项计算正确，符合题意；
C、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
D、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，积的乘方，分别对各个选项计算验证，即可解答.
6．如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵直径为单位1的圆的周长为π，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，
即，
∴A点表示的数是-π．
故选：D．
【分析】先求出圆的周长π，结合题意可得，即可得出A点表示的数是-π．
7．如果 ，那么代数式 的值为（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：原式=
∴原式=3，
故答案为：D.
【分析】将代数式进行因式分解化简，将得到的结果把m+n的值代入求出答案。
8．关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，由②得：，
解集为，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，
∴，
∴；
故选：A．
【分析】本题聚焦一元一次不等式组的整数解问题，综合考查不等式组的求解与参数范围的确定. 解题时需先解出不等式组的解集，再结合整数解的具体数量，精准锁定解集的边界范围，进而建立关于参数m的不等式，最终求出m的取值区间.
9．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中①若abc 0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点；④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc 0，
所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：①若abc 0，则a，b，c不可能都小于0，至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故①符合题意；
②若a+b+c＝0，因为a，b，c不能都为0，则a，b，c中至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故②符合题意；
③若a+c＝2b，则a- b＝b- c，点B为线段AC的中点，故③符合题意；
④如图1， B、C都在点O的右侧，
∵OB﹣OC＝BC， AB﹣AC=BC，
∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc 0，
如图2， B、C都在点O的左侧，
∵OB﹣OC＝BC， AB﹣AC=BC，
∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc 0，
如图3， B、C在点O的两侧时，若点A在点C的右侧，
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图4， B、C在点O的两侧时，若点A在O、C之间（不与O重合），
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图5， B、C在点O的两侧时，若点A在O、B之间（不与O重合），
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图6， B、C在点O的两侧时，若点A在B右侧时，
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
综上所述，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则B、C在点O的同一侧，所以b和c同号，即 bc 0，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】①根据乘法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；②根据加法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；③根据两点距离公式可判断；④分情况讨论：B、C都在点O的右侧；B、C都在点O的左侧；B、C在点O的两侧且点A在点C的右侧；B、C在点O的两侧且点A在O、C之间（不与O重合）； B、C在点O的两侧且点A在O、B之间（不与O重合）； B、C在点O的两侧且点A在B右侧时；逐一画出图形进行判断，据此可解．
10．如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C、D，下列结论：①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】
∵ AM∥BN
∴ ∠ACB=∠CBN，
故 ① 正确；
∵ AM∥BN，∠A=64°
∴ ∠A+∠ABN=180°
∴ ∠ABN=116°
又∵ BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN
∴ ∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠PBD
∴ ∠ABN=∠ABP+∠PBN=2（CBP+∠PBD）=2∠CBD
∴ ∠CBD=58°，
故 ② 正确；
由①知：∠ACB=∠CBN，∴∠CBN≠∠ABN，
故 ③ 错误；
∵ AM∥BN
∴ ∠ADB=∠DBN
又 ∵ BD平分∠PBN
∴ ∠DBN=∠PBD
∴ ∠ADB=∠PBD
∴ ∠APB=∠ADB+∠PBD=2∠ADB
即∠APB：∠ADB=2：1
故 ④ 正确；
综上，正确结论的是①②④，共3个
故C正确。
【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，也要熟练掌握三角形外角定理和内角和定理，方便计算。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．小强在解分式方程 时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解.请你帮小强猜测一下△处的数应是　 　.
【答案】2
【解析】【解答】解：设△表示的数为a，则方程为，
两边同乘，得，
解得．
∵方程无解，
∴其增根，
故，
∴，
∴△处的数应是2．
故答案为：2．
【分析】设△表示的数为a，则方程为，去分母求出x的值，根据题意得到x是方程的增根，即x=2，然后代入方程的解求出a的值即可．
12．若，．则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：将，两式相加，
可得：，
即：，
解得：，
故答案为：．
【分析】先将两式相加，再利用完全平方公式求解即可．
13．小张准备用35 元买冰红茶和可乐共10瓶，已知冰红茶4.5元/瓶，可乐3元/瓶，则小张最多能买　 　瓶冰红茶.
【答案】3
【解析】【解答】解：设小张能买x瓶冰红茶，则可乐买瓶，
由题意得：，
解得，
∵x为整数，
∴x最大为3．
故答案为：3．
【分析】设冰红茶购买x瓶，则可乐购买瓶，根据“费用不超过35元”列不等式，求出x的最大值解答即可．
14．五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB 和CD 是五线谱上的两条线段，点 E 在 AB，CD 之间的一条平行线上， 若∠1=120°，∠2 =30°，则∠BEC 的度数是　 　.
【答案】90°
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质求出∠BEF和∠FEC的度数，然后根据角的和差解答即可．
15．已知 的整数部分为a，小数部分为b，x，y为有理数，若x，y，a，b满足 则x+y的值为　 　．
【答案】-5
【解析】【解答】解：∵，
∴的整数部分．
∵，
∴的整数部分为2，小数部分．
代入方程得，
整理得，
由于为有理数，为无理数，
∴且，
解得．
∴．
故答案为：．
【分析】先估算和，确定和的值，代入等式根据 x，y为有理数求解和，最后计算即可．
16． 若满足方程，则　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：2.
【分析】对方程进行变形可得，再将其整体代入代数式中，通过通分化简求得代数式的值.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、负整式指数幂和立方根的性质化简，再计算即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可.
18．解不等式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
n
【解析】【分析】（1）先移项，再合并同类项，然后将x的系数化为1.
（2）先去括号，再移项，合并同类项，然后将x的系数化为1.
（1）解：
（2）解：
19．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，，
∴，，
∵c是的整数部分，
∴．
（2）解：将a＝5，b＝2，c＝3代入得：，
∴的平方根是．
【解析】【分析】（1）首先立方根的定义，求得a的值；再根据算数平方根的定义求得b的值，最后根据实数的估算可求出c的值；
（2）根据（1）的结果，代入3a-b+c中，先求出代数式的值，然后根据平方根的定义，得出它的平方根即可。
20．为响应国家的美丽乡村十百千万工程建设，打造和美特色，推动乡村振兴．南街街道是从和美乡业、和美乡貌、和美乡建、和美乡风、和美乡境、和美乡智、和美乡治共7个方面进行典型村创建．其中，为了全面开展绿美生态建设，需要购买甲、乙两种树苗进行栽植．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵元，若购买株甲树苗和株乙树苗，共需元．
（1）求甲、乙两种树苗每株的价格．
（2）从成活率上去考虑，调查统计发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为和．若南街街道计划购买甲、乙两种树苗共株，并且要使这批树苗的成活率不低于．那么在树苗的选购中，最多能购买甲种树苗多少株？
【答案】（1）解：设甲种树苗每株的价格为x元，则乙种树苗每株的价格为元，
∵购买株甲树苗和株乙树苗，共需元，
∴，
解得：，
∴，
答：甲种树苗每株的价格为4元，乙种树苗每株的价格为6元；
（2）解：设甲种树苗购买b株，则乙种树苗购买株，
由题意可得：，
解得：，
∴，
即最多能购买甲种树苗120株．
【解析】【分析】（1）设甲种树苗每株的价格为x元，则乙种树苗每株的价格为元，利用“购买株甲树苗和株乙树苗，共需元”列出方程求解即可；
（2）设甲种树苗购买b株，则乙种树苗购买株，利用“ 这批树苗的成活率不低于 ”列出不等式求解即可.
21．已知，，，，，，
当为大于的奇数时，；
当为大于的偶数时，；
（1）求；（用含的式子表示）
（2）_____；（用含的式子表示）
（3）计算．
【答案】（1）解：，，
；
（2）
（3）解：
，
．
【解析】【解答】
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
每个一循环，
，
，
故答案为：；
【分析】
（1）根据，把S1代入S2求出S2，再把S2代入S3即可求解；
（2）根据题意可得规律：每个一循环，根据2024÷6=337 2，其中2是余数，所以S2024的值与循环节中第2项的值相同即可求解；
（3）先求出一个循环节的和，即：，由，再根据总项数与循环节长度的关系，计算出所有项的和，即，即可求解．
（1）解：，，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
每个一循环，
，
，
故答案为：；
（3）
，
．
22．如图1，已知，，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）当时，求，的度数；
（3）如图（2），求，的度数（用含m的代数式表示）．
【答案】（1）解：．理由如下：
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点E作EF∥AC，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，；
（3）解：如图，过点E作EF∥AC，而AC∥BC，
∴，
∴，，
∵，
∴，①
又②
联立①②
解得，．
【解析】【分析】（1）AC∥BD，理由如下：根据∠A与∠B的度数可得∠A+∠B=180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行可得结论；
（2）过点E作EF∥AC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AC∥EF∥BD，由二直线平行，内错角相等得∠CEF=∠C，∠DEF=∠D，从而可得∠C+∠D=80°，进而结合2∠C-∠D=10°可求出∠C与∠D的度数；
（3）过点E作EF∥AC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AC∥EF∥BD，由二直线平行，内错角相等得∠CEF=∠C，∠DEF=∠D，从而可得∠D-∠C=80°，进而结合2∠C-∠D=m°可求出∠C与∠D的度数.
23．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值．
解：，因为不论取何值；总是非负数，
即．所以，所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）将变形为的形式______，则的最小值为______；
（2）已知，求代数式的最大值；
（3）已知，请比较与的大小，并说明理由；
【答案】（1），
（2）解：，
移项，得，
∴
，
∵，
∴，
∴当时，有最大值．
（3）解：，理由如下：
∵，
∴
，
∵．
∴，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1）解：，
∵不论取何值，总是非负数，即．
∴，
∴当时，有最小值．
故答案为：，；
【分析】（1）依据题意，根据完全平方公式求解；
（2）先根据，得出，再代入，利用配方法求出最大值；
（3）先计算A-B，再配方后得出求出，从而可得A、B的大小．
（1）解：，
∵不论取何值，总是非负数，即．
∴，
∴当时，有最小值．
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最大值．
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵不论取何值，总是非负数，即．
∴，
∴，即．
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