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沪科版2025—2026学年八年级下册期末模拟全优测评卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．在直角三角形中，两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（　　）
A． B．2 C． D．3
3．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．定义新运算：例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
1.2 0.4 1.8 0.4
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．顺次连接一个四边形四边的中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定是（　　）
A．矩形 B．平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．任意四边形
7．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，延长正方形边至点，使，则为（　　）
A．22.5° B．25° C．30° D．45°
9．若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
10．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（　　）．
A．8 B．12 C．16 D．20
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为　 　．
12．如图，要在两幢楼房的房顶、间拉一根光缆线（按线段计算），则至少要　 　米．
13．若，化简的结果是　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，若BE＝OE，AB＝2，则BC的长为　 　 ．
15．若方程组的解也是方程的解，则k的值是　 　。
16．在中，，，， 点N， M分别是边和上的动点， 始终保持， 连接，， 则的最小值为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）
（2）
18．计算：
（1） ；
（2） ．
19．如图，经过村和村（将，村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破，已知处与村的距离为300米，处与村的距离为400米，且．
（1）求，两村之间的距离；
（2）为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
20．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作 于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连结AF。
（1）求证：四边形ABEF是矩形。
（2）连结OF，若， ，求OF的长。
21．学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组： A.90≤x≤100； B.80≤x<90； C.70≤x<80； D.60≤x<70)，下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是： 83， 84， 84， 84， 85， 87， 88.
八年级 20名学生竞赛成绩是： 63， 63， 65， 71， 72， 72， 75， 78， 81， 82， 84， 86，86， 86， 89， 95， 97， 98， 98， 99.
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a c
方差 278.9 134.7
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图八年级所抽取学生竞赛成绩箱线图
根据以上数据分析信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=　 　， b= ， c=　 　， m=　 　；
（2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选　 　年级更合适（填“七”或“八”)；
（3）该校七年级有学生 560人，八年级有学生 500人.请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少
22．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
（1）已知：，求的值；
（2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
（3）计算：．
23．如图1，在中，，点是上一点，且，点为延长线上一点，且，设．
（1）用含的代数式表示的度数；
（2）求的长；
（3）如图2，在延长线上有一点，满足，连接，与交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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沪科版2025—2026学年八年级下册期末模拟全优测评卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故选项错误；
B、与不是同类二次根式，不能直接合并，所以，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确．
故选：D．
【分析】
A、任意实数的平方都是非负数；
B、只有同类二次根式才可以合并；
C、同类二次根式的加减，可参照合并同类项的方法进行；
D、算术平方根的和等于积的算术平方根．
2．在直角三角形中，两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长，
∴斜边上的中线长为，
故答案为：C．
【分析】本题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质，根据勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
3．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵第一天揽件200件，第三天揽件242件，日平均增长率为x，
则 .
故答案为：A.
【分析】因为平均增长率为x，则第三天揽件量=第一天揽件量× (1 +平均增长率) 2， 依此列出等式，即可解答.
4．定义新运算：例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得原方程为：，
∵该方程有两个实数根，
∴，
解得：．
故答案为：D
【分析】根据新定义原方程可化为，再根据一元二次方程有两个实数根， 可得出根的判别式≥0得出不等式解答，解不等式即可．
5．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
1.2 0.4 1.8 0.4
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】【解答】解：∵甲、丙、丁的平均数都是9，
∴它们的平均水平差不多，
∵S丁2=S乙2＜S甲2＜S丙2，
∴丁和乙的成绩发挥稳定，
∴ 成绩好且发挥稳定的运动员是丁.
故答案为：D
【分析】观察表中数据可知甲、丙、丁的平均数都是9，他们的成绩较好，再比较他们的方差，根据方差越小成绩越稳定，可得到参赛选项.
6．顺次连接一个四边形四边的中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定是（　　）
A．矩形 B．平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．任意四边形
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，四边形是矩形，且E、F、G、H分别是、、、的中点，
∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴，，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：C．
【分析】如图，作四边形是矩形，且E、F、G、H分别是、、、的中点，根据三角形中位线定理结合四边形是矩形，可得邻边互相垂直，进一步原四边形的对角线必互相垂直，即可解题．
7．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2)，即可得方程180（n﹣2)=1080，解此方程即可求得答案．
【解答】设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180（n﹣2)=1080，
解得：n=8．
故选C．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．
8．如图，延长正方形边至点，使，则为（　　）
A．22.5° B．25° C．30° D．45°
【答案】A
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，且∠CAB=45°，
又∵BD=AE，
∴AE=CA，
∴∠E=∠ACE，
∵∠CAB=∠ACE+∠E=2∠E=45°，
∴∠E=22.5°．
故答案为：A．
【分析】连接AC，由正方形的每条对角线平分一组对角可得∠CAB=45°，根据正方形对角线相等得AC=BD，结合已知得AC=BD=CE，由等边对等角得∠ACE=∠E，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得：∠CAB=∠ACE+∠E=45°，即可求解．
9．若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【答案】D
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
10．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（　　）．
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意：，
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴设，
∴
∴FG∶CG=2∶1
∴
∵正方形的面积为
∴
∴，解得
∴阴影部分的面积之和=梯形GQPF的面积
∴阴影部分的面积之和为
=2×8
=16
∴阴影部分的面积之和为16．
故答案为：C．
【分析】先证明，得到，，再设
，，根据正方形的面积和勾股定理可，列出方程：，解得，再根据割补法可得：阴影部分的面积之和为梯形的面积，再利用梯形的面积公式和等量代换即可得出阴影部分的面积.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可知根的判别式，即可求得．
12．如图，要在两幢楼房的房顶、间拉一根光缆线（按线段计算），则至少要　 　米．
【答案】10
【解析】【解答】解：过点作于点，如图所示：
∴，米，米，
∴由勾股定理得，米，
故答案为：．
【分析】过点作于点，先求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可.
13．若，化简的结果是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
故答案为：．
【分析】
由于，则当时，，再利用整式的加减运算化简即可．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，若BE＝OE，AB＝2，则BC的长为　 　 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵AE⊥BD ，BE＝OE ，
∴AE是OB的垂直平分线，
∴AB=AO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO，
∴ABO是等边三角形，
∴BAO=60，
∴ACB=30，
在Rt ABC中，AB=2，ACB=30，
∴AC=4，BC=2，
故答案为：2.
【分析】根据AE⊥BD ，BE＝OE可得AE是OB的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AB=AO，结合矩形的性质可得ABO是等边三角形，计算可得ACB=30，利用30角的特殊性即可解答.
15．若方程组的解也是方程的解，则k的值是　 　。
【答案】-2
【解析】【解答】解：，①+②可得，2x-2y=2，
∵2x+ky=2，
∴ k=-2.
故答案为：-2.
【分析】将①＋②可得2x-2y=2，根据同解即可确定k的值.
16．在中，，，， 点N， M分别是边和上的动点， 始终保持， 连接，， 则的最小值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点C作，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值，
∴的最小值为，
故答案为：．
故答案为： .
【分析】过点C作，使，连接，利用勾股定理求出和，然后根据SAS得到，即可得到，进而可得，即点G、M、B三点共线时，的值最小为，据此解答即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，；
（2）解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，．
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
18．计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：
（2）解：
．
【解析】【分析】．（1）首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可；
（2）先进行二次根式的乘除运算，然后再进行化简即可得出答案.
19．如图，经过村和村（将，村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破，已知处与村的距离为300米，处与村的距离为400米，且．
（1）求，两村之间的距离；
（2）为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，米，米，
由勾股定理得（米），
答：A，两村之间的距离500m
（2）解：需要封锁，理由如下：过点C作交于点D，以点C为圆心，250米为半径画弧交l于点E、F，如图所示，
∵，
∴（米），
∵，
∴需要封锁，
∵米，
∴（米），
∴（米），
故需要封锁的路段长为140米
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积公式的应用.
（1）由AC⊥BC，用勾股定理直接求AB；
（2）利用三角形的面积公式求出的长，比较CD与250的大小（需要封锁）；最后用勾股定理求危险路段长度.
（1）解：由题意得，米，米，
由勾股定理得（米），
答：A，两村之间的距离500m．
（2）解：需要封锁，理由如下：
过点C作交于点D，以点C为圆心，250米为半径画弧交l于点E、F，如图所示，
∵，
∴（米），
∵，
∴需要封锁，
∵米，
∴（米），
∴（米），
故需要封锁的路段长为140米．
20．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作 于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连结AF。
（1）求证：四边形ABEF是矩形。
（2）连结OF，若， ，求OF的长。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD， AB∥CD.
∵DF=CE，
∴DF+DE=CE+ED，
即：FE=CD.
∵点F、E在直线CD上
∴AB=FE， AB∥FE.
∴四边形ABEF是平行四边形
又∵BE⊥CD， 垂足是E，
∴∠BEF=90°.
∴四边形ABEF是矩形
（2）解：∵四边形ABEF是矩形O，
∴∠AFC=90°， AB=FE.
∵AB=6， DE=2，
∴FD=4.
∵FD=CE，
∴CE=4.
∴FC=10.
在Rt△AFD中， ∠AFD=90°.
∵∠ADF=45°，
∴AF=FD=4.
在Rt△AFC中， ∠AFC=90°.
∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴O为AC中点
在Rt△AFC中， ∠AFC=90°. O为AC中点.
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据矩形的性质求出FC=10，利用勾股定理计算AC的长，根据直角三角形斜边中线可得 可得结论.
21．学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组： A.90≤x≤100； B.80≤x<90； C.70≤x<80； D.60≤x<70)，下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是： 83， 84， 84， 84， 85， 87， 88.
八年级 20名学生竞赛成绩是： 63， 63， 65， 71， 72， 72， 75， 78， 81， 82， 84， 86，86， 86， 89， 95， 97， 98， 98， 99.
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a c
方差 278.9 134.7
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图八年级所抽取学生竞赛成绩箱线图
根据以上数据分析信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=　 　， b= ， c=　 　， m=　 　；
（2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选　 　年级更合适（填“七”或“八”)；
（3）该校七年级有学生 560人，八年级有学生 500人.请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少
【答案】（1）84；72；30
（2）八
（3）解：人
【解析】【解答】（1） 将七年级数据按从小到大排序：D 组（2 人）→ C 组（5 人）→ B 组（7 人）→ A 组（6 人），共 20 个数。第 10、11 个数都在 B 组中，B 组数据为：83， 84， 84， 84， 85， 87， 88，即 B 组是第 8~14 个数。
第 10 个数是 84，第 11 个数是 85，因此中位数：；
八年级 20 名学生成绩已按从小到大排序：63， 63， 65， 71， 72， 72， 75， 78， 81， 82， 84， 86， 86， 86， 89， 95， 97， 98， 98， 99
b是下四分位数（第 25% 分位数，即第20×25%=5个数）：第 5 个数是 72，因此b=72；c是中位数（第 10、11 个数的平均数）：第 10 个数是 82，第 11 个数是 84，因此：；
扇形统计图中B组人数为7，占比为35%，所以m=100-35-25-10=30；
综上，a=84.5，b=72，c=83，m=30；
（2）已知七年级方差为 278.9，八年级方差为 134.7。
因为134.7<278.9，八年级的方差更小，说明八年级成绩波动更小、更稳定。
因此，选八年级更合适。
【分析】（1）本题考查中位数、扇形统计图、箱线图的相关知识，核心是利用样本数据的分布特征，计算中位数和百分比。
中位数：将数据从小到大排序后，第 10、11 个数的平均数（20 个数据，中位数为第 10、11 位的平均值）。扇形统计图：通过各组百分比之和为 100%，计算 A 组的百分比m%。箱线图：b为下四分位数（第 25% 分位数，即第 5 个数），c为中位数（第 10、11 个数的平均数）；
（2） 本题考查方差的意义：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。只需比较七、八年级的方差大小即可；
（3） 本题考查用样本估计总体：用样本中成绩不低于 90 分的百分比，估计总体中对应人数，再求和。
22．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
（1）已知：，求的值；
（2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
（3）计算：．
【答案】（1）解：∵，且，
∴；
（2）解：∵∴，
化简后两边同时平方得：，
∴，
经检验：是原方程的解；
（3）解：
．

【解析】【分析】（1）仿照题意，进行计算，等于2；
（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组，得x=-5；
（3）利用平方差公式，对原式进行变形后，得．
（1）解：∵，
且，
∴；
（2）解：∵
∴，
化简后两边同时平方得：，
∴，
经检验：是原方程的解；
（3）解：
．
23．如图1，在中，，点是上一点，且，点为延长线上一点，且，设．
（1）用含的代数式表示的度数；
（2）求的长；
（3）如图2，在延长线上有一点，满足，连接，与交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过A作于H，如图1，则，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，
由得，
解得，即；
（3）解：．理由：在上截取，连接FM，如图2，
∵，
∴，又，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，
∴，即．
【解析】【分析】（1）利用等边对等角得，，由三角形的内角和定理求得，最后再根据等边对等角可得；
（2）过A作于H，利用等腰三角形的三线合一得BH=CH=3，由勾股定理算出，设，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可；
（3）在AE上截取AF=AD，连接FM，由邻补角及等角的补角相等得，用“SAS”证，得到，，再利用等边对等角、（1）中结论及等式性质得，用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得到，进而可得结论．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过A作于H，如图1，则，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，
由得，
解得，即；
（3）解：．理由：
在上截取，连接，如图2，
∵，
∴，又，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，
∴，即．
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