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上海市2025—2026学年八年级下册期末综合素养提升卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可引12条对角线，则它是（　　）
A．十二边形 B．十三边形 C．十四边形 D．十五边形
2．下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图像的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在矩形中，点O，M分别是的中点，，则的长为（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
4．如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（　　）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
5．下列说法错误的是（　　）
A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．菱形的对角线相等
D．平行四边形是中心对称图形
6．如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（　　）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
7．如图，在中，对角线，相交于点O．若，，，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
8．对于函数，说法正确的是（　　）
A．点在这个函数图象上 B．y随着x的增大而增大
C．它的图象必过一、三象限 D．当时，
9．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．已知两地相距300千米，甲骑摩托车从地出发匀速驶向地，当甲行驶1后，乙骑自行车以 的速度从地出发匀速驶向地.甲到达地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙.在此过程中，甲、乙两人之间的距离（）与甲行驶时间之间的函数关系如图所示.下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米.其中说法正确的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是　 　．
12．一次函数部分x和y的对应值如表所示：
… 0 1 2 …
… 2 1 0 m …
则表中m值是　 　．
13．如图，直线经过点，当时，的取值范围为　 　．
14．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为　 　万元．
15．矩形中，为对角线上一点，点是边的中点，且当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为　 　．
16． 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 点A(0， 4)， B(4 ，0)， 点C是线段AB 上的一个动点，在AB的右侧作以BC为边的等边△BCD，若E为CD的中点，连接AE，当OE取最小值时， 则AE=　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且．
（1）求直线和的解析式；
（2）若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标．
18．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F。
（1）求证：AE=CF。
（2）若M，N分别为边AD，BC上的点，且DM=BN，求证：四边形MENF是平行四边形。
19． 2026年央视春晚，人形机器人不再是简单的伴舞或者背景板而是以“演员”“劳动者”甚至“情感伙伴”的身份深度融入节目，人形机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长、某公司旗下人形机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件.已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元.
（1）求A，B两种配件的进货单价；
（2）若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍.据市场销售分析，A配件提价20%销售，B配件按进价的1.5倍销售.怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大 最大利润是多少
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）在图中画出关于y轴对称的；
（2）直接写出，，三点的坐标以及的面积；
（3）如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的D点坐标．
21．小益在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（g o）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小益记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小 300 200 150 120 100
（1）小益通过分析表格数据发现，是的函数．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
（2）根据以上数据和图象，直接写出关于的函数表达式（不要求写自变量取值范围）．并判断当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
（3）已知横杆总长为，小益想用的拉力汲水，小益是否能成功？请说明理由．
22．综合实践
如图1，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，且，，延长交于点F，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明；
（3）如图1，若，，请求出的长．
23．有如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点，，的“完美间距”．例如：如图，点，，的“完美间距”是．
（1）点，，的“完美间距”是　 　；
（2）已知，，，
①若点的，，的“完美间距”是，则的值为　 　；
②点，，的“完美间距”的最大值为　 　；
（3）已知点，，点为线段上一动点，当，，的“完美间距”最大时，求此时点的坐标．
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上海市2025—2026学年八年级下册期末综合素养提升卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可引12条对角线，则它是（　　）
A．十二边形 B．十三边形 C．十四边形 D．十五边形
【答案】D
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形．
依题意，得，
∴．
故这个多边形是15边形．
故答案为：D．
【分析】设这个多边形是n边形，利用“ 最多可引12条对角线 ”列出方程，再求解即可.
2．下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图像的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】根据一次函数的图象分析可得：
A.由一次函数图像可知 ；正比例函数的图象可知，故此选项正确，符合题意；
B. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
C. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
D. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据一次函数y＝kx＋b的图像与系数的关系结合题意进行分析，进而即可求解。
3．如图，在矩形中，点O，M分别是的中点，，则的长为（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【解析】【解答】解：∵矩形中，点O，M分别是的中点，，
∴，，，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质，得到，中位线定理，得到，勾股定理求出的长即可．
4．如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（　　）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：连接，
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵M是的中点，
∴．
根据直线外一点与直线上任一点所连的线段中，垂线最短， 可知当时，最短．同样也最短．
当时，有，
即，
解得．
∴的最小值为，．
故答案为：A．
【分析】连接CP，根据勾股定理逆定理可得．再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则．再根据线段中点可得，当时，最短．同样也最短，当时，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
5．下列说法错误的是（　　）
A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．菱形的对角线相等
D．平行四边形是中心对称图形
【答案】C
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴选项A正确；
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴选项B正确；
∵菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等，
∴选项C不正确；
∵平行四边形是中心对称图形，
∴选项D正确．
故选：C．
【分析】A：根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角的两边的距离相等．
B：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
C：根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等．
D：根据中心对称图形的性质，可得常见的中心对称图形有：平行四边形、圆形、正方形、长方形，据此判断即可．（1）此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个角的平分线把这个角分成两个大小相同的角．（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）此题还考查了直角三角形斜边上的中线，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（4）此题还考查了中心对称图形，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
6．如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（　　）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
【答案】B
【解析】【解答】解：设反比例函数的表达式为，
过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，
设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为，
由图象可知：，，
依题意得：，，，分别为1班，2班，3班，4班的优秀人数．
1班点，点，点，4班点在反比例函数的图象上，
，
，，
，，
，
即：2班优秀人数1班优秀人数4班优秀人数3班优秀人数，
2班的优秀人数为最多．
故答案为：B．
【分析】设反比例函数表达式为，过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，由点的坐标与图形性质得点为，点为，根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于比例系数“k”比较，，，与的大小即可得出答案．
7．如图，在中，对角线，相交于点O．若，，，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，，
，，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，可得DO的长，再根据勾股定理即可求出，进而可得的长．
8．对于函数，说法正确的是（　　）
A．点在这个函数图象上 B．y随着x的增大而增大
C．它的图象必过一、三象限 D．当时，
【答案】D
【解析】【解答】解：A、函数，
当时，，故选项A不符合题意；
B、∵函数y=-3x+2中，-3＜0，
∴随的增大而减小，故选项B错误，不符合题意；
C、∵函数y=-3x+2中，-3＜0，2＞0，
∴它的图象经过第一、二、四象限，故选项C错误，不符合题意；
D、∵函数y=-3x+2中，-3＜0，
∴随的增大而减小，当时，，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】将x=1代入y=-3x+2算出对应的函数值，即可判断A选项；一次函数y=ax+b中，当a＞0时，y随x的增大而增大，当a＜0时，y随x的增大而减小，据此可判断B、D选项；一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此可判断C选项.
9．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【解析】【解答】解：①∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵为中点，
∴，故①正确．
②如下图所示，连接，，
∵是中点，
∴．
∵、分别是、中点，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∴四边形是平行四边形，
∴，故②正确．
③如上图所示：∵是中点，
∴．
∵是中点，
∴．
∵平行四边形的对角线、交于点，
∴是中点，．
∴．
∵是中点，是中点，
∴．
∴，故③不正确．
故答案为：A．
【分析】
根据平行四边形的性质和，再根据已知条件代换可得，再根据． 利用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据中点的定义得到，根据三角的中位线定理得到， ，再根据平行四边形的性质可得，，从而判定得到平行四边形，再根据平行四边形对角相互平分可确定②正确；根据三角形中线分三角形面积相等可得， 再计算，再根据平行四边形的对角线的性质得到，代入计算可得和，再计算三角形的面积之和得，从而可判断③不正确，逐一判断即可解答 ．
10．已知两地相距300千米，甲骑摩托车从地出发匀速驶向地，当甲行驶1后，乙骑自行车以 的速度从地出发匀速驶向地.甲到达地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙.在此过程中，甲、乙两人之间的距离（）与甲行驶时间之间的函数关系如图所示.下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米.其中说法正确的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【解析】【解答】解：①(300 20×3)÷4=60(km/h)，
300÷60=5(小时)，
设甲最终追上乙时乙行驶了a小时，由题意得：60(a+1) 300=20a，
解得：a=6，故①错误；
②300 60×1=240(km)，所以P的纵坐标为240，②正确；
③20+60=80(km)，所以M坐标为(5，80)，又因为Q的坐标为(4，0)，
设线段QM所在直线的解析式y=kx+b，
解得：，
所以y=80x 320③错误；
④x=时，300 60× 20×( 1)=60(km)；
x=时，(20+60)×( 4)=60(km)；
x=时，20×( 1) (60× 300)=60(km)，④正确；
综上所述：②④正确.
故答案为D．
【分析】由题意可得两人起始距离为300km，求出甲的速度，再求出甲到B地的时间，再根据题意建立代数式可判断①；当甲行驶1小时，两人的距离等于300km减去甲1小时走的路程，可判断②；由题意可得M坐标为(5，80)，Q的坐标为(4，0)，设线段QM所在直线的解析式y=kx+b，根据待定系数法将点M，Q坐标代入解析式可判断③；计算当x=，，时，甲、乙两人之间距离，可判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是　 　．
【答案】六
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意可知，
(n-2)×180°=2×360°，
即n=6，
∴正多边形的边数为六.
故答案为：六.
【分析】根据多边形内角和定理列出方程，解方程即可得到答案.
12．一次函数部分x和y的对应值如表所示：
… 0 1 2 …
… 2 1 0 m …
则表中m值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：将，代入，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为．
当时，．
故答案为．
【分析】此题主要考查一次函数的解析式，利用待定系数法，将两组x，y的对应值代入一次函数，求出k和b的值，得到函数解析式后，再代入x=2求出m的值.
13．如图，直线经过点，当时，的取值范围为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵正比例函数也经过点，
∴的解集为，
故答案为：．
【分析】先判断直线的图象过点A，借助图象可得解集即可．
14．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为　 　万元．
【答案】4500
【解析】【解答】解：设 某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系 y=kx+b（k≠0）
由题知：x=10，y=1000；x=90，y=5000
∴
解得k=50，b=500
∴ y=50x+500
∴ x=80时，y=50×80+500=4500
故答案为：4500
【分析】本题考查一次函数的实际应用，根据题意，设函数解析式和函数过点的坐标，列出关于k，b的方程组，求出k，b值，可得一次函数解析式，代入所给自变量值，求出函数值即可。
15．矩形中，为对角线上一点，点是边的中点，且当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解：分两种情况：
①当时，连接AM ，如图所示，
则，
四边形的矩形，
，
∴，
点是边的中点，
为对角线的中点，，
，
，
，
；
② 当时，连接BN，如图所示，
则，
点是边的中点，
，
，，
，
，
，
设，
则，
，
，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【分析】分两种情况：当时，时，根据矩形的性质，利用勾股定理，求解即可．
16． 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 点A(0， 4)， B(4 ，0)， 点C是线段AB 上的一个动点，在AB的右侧作以BC为边的等边△BCD，若E为CD的中点，连接AE，当OE取最小值时， 则AE=　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，取的中点，连接，
∵点，，
∴，，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
如图，连接，作于点，
∵等边，为的中点，
∴，，，平分，
∴，，
∴点在过点且与夹角为的直线上运动，
∴当时，即，取最小值，
∴，
∴三点共线，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，根据勾股定理得到，根据斜边中线定理得到，进而推出是等边三角形，得到；连接，作于点，根据等边三角形的性质得到，，则点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，即，取最小值，此时三点共线，则，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质和勾股定理即可求出的长．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且．
（1）求直线和的解析式；
（2）若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标．
【答案】（1）解：∵直线与直线相交于点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线交轴于点，
∴当时，有，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵直线交轴负半轴于点，
∴，
将点，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵，
∴，
设点的坐标为，
∵的面积是9，
∴，
解得：或，
当时，有，
当时，有，
综上所述，点的坐标为或．
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法得直线的解析式，从而可得点的坐标，进而得到的值，然后根据可得点的坐标，最后利用待定系数法可得直线的解析式；
（2）先求出，再设点的坐标为，利用三角形的面积公式求解即可.
（1）解：将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，即，
∵，
∴，
∵点位于轴负半轴，
∴，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为．
（2）解：∵，
∴，
设点的坐标为，
∵的面积是9，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
则点的坐标为或．
18．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F。
（1）求证：AE=CF。
（2）若M，N分别为边AD，BC上的点，且DM=BN，求证：四边形MENF是平行四边形。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD。∴∠BAC=∠DCA。
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB=∠CFD=90°。
∵∠BAC=∠DCA，AB=CD，∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF(AAS)。
∴AE=CF。
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC。∴∠DAC=∠BCA。
∵DM=BN，∴AM=CN。
又∵∠DAC=∠BCA，AE=CF，
∴△AME≌△CNF(SAS)。
∴ME=NF，∠AEM=∠CFN。
∴∠MEF=∠NFE。∴ME∥NF，且ME=NF。
∴四边形MENF是平行四边形。
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AB =CD，AB∥CD，由‘“AAS"可证△ABE≌△CDF， 可得AE=CF；
(2)由““SAS"’可证△AME≌△CNF，可得ME = NF，∠AEM =∠CFN， 可得ME∥NF， 即可证四边形MENF是平行四边形.
19． 2026年央视春晚，人形机器人不再是简单的伴舞或者背景板而是以“演员”“劳动者”甚至“情感伙伴”的身份深度融入节目，人形机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长、某公司旗下人形机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件.已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元.
（1）求A，B两种配件的进货单价；
（2）若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍.据市场销售分析，A配件提价20%销售，B配件按进价的1.5倍销售.怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大 最大利润是多少
【答案】（1）解：设A配件的进货单价是x元，B配件的进货单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：A配件的进货单价是250元，B配件的进货单价是60
（2）解：设购进m件A配件，则购进（300-m）件B配件，
根据题意得：300-m≥2m，
解得：m≤100，
设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为ω元，
根据题意得：w=250×20%m+60×（1.5-1）（300-m）=20m+9000，保存进入下一题
∵20>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=100时，w取得最大值，最大值为20×100+9000=11000，此时300-m=200.
答：购进A配件100件，B配件200件B时，才能让本次销售的利润达到最大，最大利润是11000元
【解析】【分析】(1)设A配件的进货单价是x元，B配件的进货单价是y元，根据购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设购进m件A配件，则购进(300-m)件B配件，根据B配件进货件数不低于A配件件数的2倍，列出一元一次不等式，解得m≤100，再设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为w元，由题意列出w关于m的次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题.
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）在图中画出关于y轴对称的；
（2）直接写出，，三点的坐标以及的面积；
（3）如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的D点坐标．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）；；；
（3）或或
【解析】【解答】（2）解：；；，
．
（3）
解：如图，当时，，
当时，或．
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征可得，，三点坐标，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）根据全等三角形性质即可求出答案.
（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：；；，
．
（3）解：如图，当时，，
当时，或．
21．小益在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（g o）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小益记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小 300 200 150 120 100
（1）小益通过分析表格数据发现，是的函数．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
（2）根据以上数据和图象，直接写出关于的函数表达式（不要求写自变量取值范围）．并判断当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
（3）已知横杆总长为，小益想用的拉力汲水，小益是否能成功？请说明理由．
【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：根据表中数据，可发现与的乘积为定值300，
关于的函数表达式为：．
当的长增大时，拉力减小，理由如下：
、都是正数，
∴这条曲线是反比例函数的一支，
，
∴在第一象限内，随的增大而减小，
即当的长增大时，拉力减小．
（3）解：横杆总长为，，
，即．
当时，，
，
小益不能成功．
【解析】【分析】（1）结合表格中的数值，在平面直角坐标系中描出各点，然后将所描出的点用平滑的曲线连接起来并向两侧延伸即可；
（2）根据图形和条件得知，该函数为反比例函数，最后根据反比例函数的性质进行分析即可得到答案；
（3）根据横杆总长为，，得出=7m，然后代入反比例函数中求出的值，再与进行比较即可。
（1）解：如图所示．
（2）根据表中数据，可发现与的乘积为定值300，
关于的函数表达式为：．
当的长增大时，拉力减小，理由如下：
、都是正数，
∴这条曲线是反比例函数的一支，
，
∴在第一象限内，随的增大而减小，
即当的长增大时，拉力减小．
（3）横杆总长为，，
，即．
当时，，
，
小益不能成功．
22．综合实践
如图1，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，且，，延长交于点F，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明；
（3）如图1，若，，请求出的长．
【答案】（1）解：四边形是正方形，
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形.
（2）解：如图2，过D作于H，则，
∴，又，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，即.
（3）解：如图1，过D作于H，
在中，，，
∴，
由（2）知，，
∴，，
在中，，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质得到，，再求出，从而证出四边形是矩形，再结合，证出四边形是正方形即可；
（2）过D作于H，先利用“AAS”证明，再利用全等三角形的性质得到，再利用等腰三角形的三线合一性质得到，再结合正方形和全等三角形的性质得到，，最后利用等量代换可得答案；
（3）过D作于H，先利用勾股定理求得，再利用得到，，再利用线段的和差求出HE的长，最后利用勾股定理求出DE的长即可.
（1）解：四边形是正方形，理由：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，又，
∴四边形是正方形；
（2）解：如图2，过D作于H，则，
∴，又，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，即；
（3）解：如图1，过D作于H，
在中，，，
∴，
由（2）知，，
∴，，
在中，，
∴．
23．有如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点，，的“完美间距”．例如：如图，点，，的“完美间距”是．
（1）点，，的“完美间距”是　 　；
（2）已知，，，
①若点的，，的“完美间距”是，则的值为　 　；
②点，，的“完美间距”的最大值为　 　；
（3）已知点，，点为线段上一动点，当，，的“完美间距”最大时，求此时点的坐标．
【答案】（1）1
（2）；
（3）解：设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
点为线段上一动点，
，
，
，，
，，
，
，，
当时，，
解得：，
即时，“完美间距”：，
“完美间距”的最大值为；
当时，，
解得：，
即时，“完美间距”：，
“完美间距”的最大值为，
此时，
．
【解析】【解答】
（1）解：，，，
，，
，
∵1<2<
点，，的“完美间距”是，
故答案为：．
（2）
①，，，
，，
，
点的，，的“完美间距”是，
，
，
故答案为：；
②当，即时，“完美间距”是，
当，即时，“完美间距”是，
点，，的“完美间距”的最大值为，
故答案为：；
【分析】
（1）根据坐标中两点间的距离得出，，，再由题意“完美间距”的定义比较距离大小：1<2<，即可求解；
（2）①根据两点间的距离公式得出，，，因为“完美间距”是3，且OA=4，所以AB=∣y∣=3；据此即可求解；
②当AB≤OA，即∣y∣≤4时，“完美间距”是∣y∣；当AB>OA，即∣y∣>4时，“完美间距”是OA=4，据此即可得出答案；
（3）设直线CD的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出CD解析式为y=x+5，因为点P(m，n)在线段CD上，所以n=m+5，则P(m，m+5)，E(m，0)，根据两点间距离公式求出OE= m，PE=m+5，OP=，所以OP>OE，OP>PE，分情况：当OE≥PE时，即 m≥m+5，当OE（1）解：，，，
，，
，
点，，的“完美间距”是，
故答案为：．
（2）①，，，
，，
，
点的，，的“完美间距”是，
，
，
故答案为：；
②当，即时，“完美间距”是，
当，即时，“完美间距”是，
点，，的“完美间距”的最大值为，
故答案为：；
（3）设直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
点为线段上一动点，
，
，
，，
，，
，
，，
当时，，
解得：，
即时，“完美间距”：，
“完美间距”的最大值为；
当时，，
解得：，
即时，“完美间距”：，
“完美间距”的最大值为，
此时，
．
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