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课标要求　1.理解函数的概念. 2.了解构成函数的三要素，会求简单函数的定义域和值域.
1.函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围
值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一个函数的概念
(1)前提条件:①定义域相同;②对应关系相同.
(2)结论:这两个函数为同一个函数.
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.
2.注意以下几种特殊函数的定义域:
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f(x)＝是一个函数.(　　)
(2)函数就是定义域到值域的对应关系.(　　)
(3)若A＝R，B＝{x|x>0}，f:x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.(　　)
(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)错误.无解，可知其说法错误.
(2)错误.根据函数的概念可知其错误.
(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.
(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
2.(人教A必修一P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　)
A.y＝()2 B.u＝
C.y＝ D.m＝
答案　B
解析　函数y＝()2与函数m＝和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数，故选B.
3.(北师大必修一P55例2(2)改编)函数y＝的定义域为　　　　.
答案　[－3，0)∪(0，＋∞)
解析　由
故函数的定义域为[－3，0)∪(0，＋∞).
4.(人教A必修一P72T3改编)函数y＝的值域为　　　　.
答案　(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析　y＝＝1＋，由于≠0，故y≠1，
则其值域为(－∞，1)∪(1，＋∞).
考点一　函数的概念
例1 (1)(多选)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}.下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)
(2)有如下对应关系:
①A＝{0，2}，B＝{0，1}，f:x→;
②A＝{－2，0，2}，B＝{4}，f:x→x2;
③A＝R，B＝{y|y>0}，f:x→;
④A＝R，B＝R，f:x→2x＋1;
⑤A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，f:(x，y)→x＋y.
其中能构成从集合A到集合B的函数的有　　　　.(填序号)
答案　(1)BC　(2)①④
解析　(1)A中1(2)①由函数的定义知，满足题意;
②当x＝0时，B中不存在数值与之对应，不满足题意;
③当x＝0时，B中不存在数值与之对应，不满足题意;
④由函数的定义知，满足题意;
⑤集合A不是数集，故不满足题意.
感悟提升　1.函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.
2.构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.
训练1 (1)下列各组函数中，表示同一个函数的一组是(　　)
A.f(x)＝1，g(x)＝x0
B.f(x)＝，g(x)＝x
C.f(x)＝·，g(x)＝
D.f(x)＝与g(x)＝
(2)已知集合A＝{1，2}，B＝{4，5，6}，则从A到B的函数f(x)有(　　)
A.8个 B.6个
C.7个 D.9个
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)对于A，f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，两个函数的定义域不同，故二者不是同一个函数;
对于B，f(x)＝与g(x)＝x的对应关系不同，故二者不是同一个函数;
对于C，f(x)的定义域是[1，＋∞)，g(x)的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，两个函数的定义域不同，故二者不是同一个函数;
对于D，g(x)＝＝|x|＝与f(x)＝的定义域和对应关系都相同，故二者是同一个函数.故选D.
(2)集合A＝{1，2}中有两个元素，若在集合B中都对应相同的元素，则有3种情况:f(1)＝4，f(2)＝4;f(1)＝5，f(2)＝5;f(1)＝6，f(2)＝6.
若在集合B中都对应不同的元素，则有6种情况:f(1)＝4，f(2)＝5;f(1)＝5，
f(2)＝4;f(1)＝4，f(2)＝6;f(1)＝6，f(2)＝4;f(1)＝5，f(2)＝6;f(1)＝6，f(2)＝5.
所以从A到B的函数f(x)有9个.
故选D.
考点二　函数的定义域
例2 (1)(2026·重庆质检)函数f(x)＝的定义域是(　　)
A.[1，4] B.[1，4)
C.[1，＋∞) D.[2，4)
(2)若函数f(3x－2)的定义域为[－2，3]，则函数f(2x＋3)的定义域为　　　　.
答案　(1)B　(2)
解析　(1)由题意知，函数f(x)＝有意义，
需满足解得1≤x<4，
故f(x)＝的定义域为[1，4).
(2)因为－2≤x≤3，所以－8≤3x－2≤7，
所以f(x)的定义域为[－8，7]，
要使f(2x＋3)有意义，需满足－8≤2x＋3≤7，
解得－≤x≤2，
所以函数f(2x＋3)的定义域为.
感悟提升　1.求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解;对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
训练2 (1)函数f(x)＝＋ln(x－1)的定义域为(　　)
A.(1，＋∞) B.(1，2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1) D.(0，2)∪(2，＋∞)
(2)(2026·长沙模拟)已知函数y＝f(x)的定义域和值域分别为[－1，1]和[5，9]，则函数y＝f(x＋1)的定义域和值域分别为(　　)
A.[0，2]和[6，10] B.[－2，0]和[6，10]
C.[0，2]和[5，9] D.[－2，0]和[5，9]
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)因为f(x)＝＋ln(x－1)，
所以要使函数有意义，则
解得x>1且x≠2，
所以f(x)的定义域为(1，2)∪(2，＋∞).
(2)由函数y＝f(x)的定义域和值域分别为[－1，1]和[5，9]，
可得x∈[－1，1]，f(x)∈[5，9]，
令－1≤x＋1≤1，解得－2≤x≤0，
所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2，0]，
将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，
得到y＝f(x＋1)的图象，
所以函数y＝f(x＋1)与函数y＝f(x)的值域相同，
即f(x＋1)∈[5，9].故选D.
考点三　函数的值域
例3 求下列函数的值域.
(1)y＝－1;
(2)f(x)＝x2－4x＋6，x∈[1，5);
(3)f(x)＝;
(4)y＝x＋.
解　(1)(观察法)　因为≥0，所以－1≥－1，所以y＝－1的值域为[－1，＋∞).
(2)(配方法)　f(x)＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1，5)，如图所示，所以函数f(x)的值域为 [2，11).
(3)(分离常数法)　f(x)＝＝3－(x≠－1)，显然可取到0以外的一切实数，
即函数f(x)的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞).
(4)(换元法)　设u＝(x≥0)，
则x＝u2(u≥0)，
y＝u2＋u＝(u≥0).
由u≥0，可知≥，所以y≥0，
所以函数y＝x＋的值域为[0，＋∞).
感悟提升　求函数值域的常用方法
(1)观察法:对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到;
(2)配方法:若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法.
(3)图象法:通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域;
(4)换元法:通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.
(5)分离常数法:此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.
训练3 (1)下列函数中，值域为[0，4]的是(　　)
A.f(x)＝x－1，x∈{1，2，3，4，5}
B.f(x)＝－x2＋4
C.f(x)＝
D.f(x)＝x＋－2(x>0)
(2)对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的值域为　　　　.
答案　(1)C　(2)
解析　(1)对于A，f(x)的值域为{0，1，2，3，4}，A错误;
对于B，f(x)的值域为(－∞，4]，B错误;
对于C，由16－x2≥0得－4≤x≤4，即f(x)的定义域为[－4，4]，
当x∈[－4，4]时，16－x2∈[0，16]，
∴f(x)∈[0，4]，C正确;
对于D，当x>0时，x＋≥2，
当且仅当x＝1时取等号，
∴f(x)∈[0，＋∞)，D错误.
(2)由|x＋1|≥|x－2|，
得(x＋1)2≥(x－2)2.
所以x≥，所以f(x)＝
其图象如图所示.
由图象易知，当x＝时，函数有最小值，
∴f(x)min＝f，无最大值.
故f(x)的值域为.
　一、单选题
1.已知集合M＝{x|0≤x≤4}，N＝{x|0≤x≤2}，下列对应关系能够构成从M到N的函数的是(　　)
A.f:x→ B.f:x→x2
C.f:x→|x| D.f:x→x－1
答案　A
解析　对于f:x→，对于任意x∈M，在N＝{x|0≤x≤2}中都存在唯一确定的元素与之对应，满足函数定义，A正确;
对于f:x→x2，取x＝4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，B错误;
对于f:x→|x|，当x＝4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，C错误;
对于f:x→x－1，当x＝4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，D错误.
2.下列哪一组中的函数是同一函数(　　)
A.f(x)＝x－1，g(x)＝－1 B.f(x)＝，g(x)＝x
C.f(x)＝x2，g(x)＝ D.f(x)＝x2，g(x)＝()4
答案　C
解析　f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，不是同一函数，A错误;
f(x)＝＝|x|，与g(x)＝x的对应关系不同，B错误;
f(x)＝x2与g(x)＝＝x2的定义域都为R，且对应关系相同，是同一函数，C正确;
f(x)＝x2，g(x)＝x2(x≥0)的定义域不同，不是同一函数，D错误.
3.函数y＝的定义域为(　　)
A.(－∞，－4)∪(－4，1) B.(－∞，－1)∪(－1，4)
C.(－∞，1) D.(1，＋∞)
答案　A
解析　由
∴函数y＝的定义域为(－∞，－4)∪(－4，1).故选A.
4.已知函数f＝x2－3x，则f(1)＝(　　)
A.0 B.－2
C.－1 D.4
答案　D
解析　由＝1得x＝4，∴f(1)＝42－3×4＝4.
5.(2026·长春调考)若函数y＝的定义域为M，值域为N，则M∩N＝(　　)
A.(0，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(1，2] D.[1，2)
答案　D
解析　由y＝有意义可得2x－x2>0，
所以x2－2x<0，解得0所以函数y＝的定义域M＝(0，2).
由0所以函数y＝的值域N＝[1，＋∞)，
所以M∩N＝[1，2).
6.已知函数f(x)＝的定义域为R，则m的取值范围是(　　)
A.(－1，2) B.(－1，2]
C.[－1，2] D.[－1，2)
答案　C
解析　由题意得，(m＋1)x2－(m＋1)x＋≥0在R上恒成立.
当m＋1＝0，即m＝－1时，f(x)＝恒成立，符合题意;
当m＋1≠0时，只需
解得－1综上，m∈[－1，2].
7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如:[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0A. B.{－1，0，1}
C.{－1，0，1，2} D.{0，1，2}
答案　B
解析　令t＝2x，t∈(1，4)，
则可设f(x)＝g(t)＝t2－3t＋4，t∈(1，4).
由二次函数性质，－≤g(t)<，
因此[g(t)]∈{－1，0，1}，
则函数y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}.
二、多选题
8.下列说法正确的是(　　)
A.式子y＝可表示自变量为x、因变量为y的函数
B.若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝1
C.函数y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有1个交点
D.若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素
答案　BC
解析　对于A，有不等式组无解，A错误;
对于B，因为f(x)＝|x－1|－|x|，
所以f＝0，
故f＝f(0)＝1，B正确;
对于C，根据函数的概念知，当函数f(x)在x＝1处无定义时，函数f(x)的图象与直线x＝1无交点;当函数f(x)在x＝1处有定义时，函数f(x)的图象与直线x＝1只有1个交点，
所以函数f(x)的图象与直线x＝1最多有1个交点，C正确;
对于D，取函数f(x)＝5(x∈R)，其值域为{5}，定义域为R，D错误.故选BC.
9.(2026·成都诊断)已知函数f(＋1)＝x＋2，则(　　)
A.f(x)＝x2－1(x∈R) B.f(x)的最小值为－1
C.f(2x－3)的定义域为[2，＋∞) D.f的值域为[0，＋∞)
答案　CD
解析　依题意，f(＋1)＝()2＋2＝(＋1)2－1，
则f(x)＝x2－1，x≥1，A错误;
当x≥1时，f(x)≥0，当且仅当x＝1时取等号，B错误;
由2x－3≥1，得x≥2，
因此f(2x－3)的定义域为[2，＋∞)，C正确;
易知f－1，则∈[1，＋∞)，
因此f的值域为[0，＋∞)，D正确.
三、填空题
10.函数f(x)＝的定义域为　　　　.
答案　[－1，2)∪(2，3]
解析　由
得－1≤x≤3且x≠2.
故f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，3].
11.函数y＝x－的值域为　　　　.
答案　[－2，2]
解析　由4－x2≥0，得－2≤x≤2，
所以设x＝2cos θ(θ∈[0，π])，
则y＝2cos θ－＝2cos θ－2sin θ＝2cos.因为θ＋∈，
所以cos∈，
所以y∈[－2，2].
12.(2026·湖北多校联考)已知函数f(x－1)的定义域为(－1，3)，则函数g(x)＝的定义域为　　　　.
答案　(－1，0)∪
解析　由函数f(x－1)的定义域为(－1，3)，得－1则－2可得
解得－1所以函数g(x)的定义域为(－1，0)∪.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝.
(1)求f＋f(3)，f＋f(2)的值;
(2)探索f(x)＋f;
(3)利用(2)的结论求表达式:f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…f(2 026)＋f(2 027)的值.
解　(1)已知函数f(x)＝，
∴f＋f(3)＝＝1，f＋f(2)＝
＝＝1.
(2)f(x)＋f＝1.
(3)原式＝f＋f(2 027)＋f＋f(2 026)＋…＋f＋f(2)＋f(1)
＝2 026＋f(1)＝2 026＋.
14.求下列函数的值域:
(1)y＝1＋;(2)y＝;
(3)y＝(x>1);(4)y＝2x－.
解　(1)(直接法)∵>0，∴1＋>1，
∴y＝1＋的值域为(1，＋∞).
(2)(分离常数法)　y＝
＝2＋，
显然≠0，所以y≠2，
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
(3)(基本不等式法)　由x>1，知x－1>0，
则y＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8，
当且仅当x－1＝，即x＝4时，上式取“＝”，∴y＝(x>1)的最小值为8.
故函数y＝的值域为[8，＋∞).
(4)(换元法)　设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1，
所以y＝2(t2＋1)－t＝2，
由t≥0，结合函数的图象得原函数的值域为.(共50张PPT)
数学
高考总
复
习
第二章　函数
第1节　函数的概念
1.理解函数的概念.
2.了解构成函数的三要素，会求简单函数的定义域和值域.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的______________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有______确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 ____的取值范围
值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
实数集
任意一个数x
唯一
x
2.同一个函数的概念
(1)前提条件:①定义域______;②对应关系______.
(2)结论:这两个函数为同一个函数.
相同
相同
常用结论与微点提醒
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.
2.注意以下几种特殊函数的定义域:
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f(x)＝是一个函数.(　　)
(2)函数就是定义域到值域的对应关系.(　　)
(1)错误.无解，可知其说法错误.
(2)错误.根据函数的概念可知其错误.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
×
×
(3)若A＝R，B＝{x|x>0}，f:x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.(　　)
(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.(　　)
(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.
(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
×
×
2.(人教A必修一P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　)
A.y＝()2 B.u＝
C.y＝ D.m＝
函数y＝()2与函数m＝和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数，故选B.
B
3.(北师大必修一P55例2(2)改编)函数y＝的定义域为　　　　　　　　　　　　　　.
[－3，0)∪(0，＋∞)
由
故函数的定义域为[－3，0)∪(0，＋∞).
4.(人教A必修一P72T3改编)函数y＝的值域为　　　　　　　　　　　.
(－∞，1)∪(1，＋∞)
y＝＝1＋，由于≠0，故y≠1，
则其值域为(－∞，1)∪(1，＋∞).
考点聚焦突破
02
例1 (1)(多选)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}.下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)
BC
A中1考点一　函数的概念
(2)有如下对应关系:
①A＝{0，2}，B＝{0，1}，f:x→;
②A＝{－2，0，2}，B＝{4}，f:x→x2;
③A＝R，B＝{y|y>0}，f:x→;
④A＝R，B＝R，f:x→2x＋1;
⑤A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，f:(x，y)→x＋y.
其中能构成从集合A到集合B的函数的有　　　　.(填序号)
①④
①由函数的定义知，满足题意;
②当x＝0时，B中不存在数值与之对应，不满足题意;
③当x＝0时，B中不存在数值与之对应，不满足题意;
④由函数的定义知，满足题意;
⑤集合A不是数集，故不满足题意.
感悟提升
1.函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.
2.构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.
训练1 (1)下列各组函数中，表示同一个函数的一组是(　　)
A.f(x)＝1，g(x)＝x0
B.f(x)＝，g(x)＝x
C.f(x)＝·，g(x)＝
D.f(x)＝与g(x)＝
D
对于A，f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，两个函数的定义域不同，故二者不是同一个函数;
对于B，f(x)＝与g(x)＝x的对应关系不同，故二者不是同一个函数;
对于C，f(x)的定义域是[1，＋∞)，g(x)的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，两个函数的定义域不同，故二者不是同一个函数;
对于D，g(x)＝＝|x|＝与f(x)＝的定义域和对应关系都相同，故二者是同一个函数.故选D.
(2)已知集合A＝{1，2}，B＝{4，5，6}，则从A到B的函数f(x)有(　　)
A.8个 B.6个
C.7个 D.9个
集合A＝{1，2}中有两个元素，若在集合B中都对应相同的元素，则有3种情况:f(1)＝4，f(2)＝4;f(1)＝5，f(2)＝5;f(1)＝6，f(2)＝6.
若在集合B中都对应不同的元素，则有6种情况:f(1)＝4，f(2)＝5;f(1)＝5，
f(2)＝4;f(1)＝4，f(2)＝6;f(1)＝6，f(2)＝4;f(1)＝5，f(2)＝6;f(1)＝6，f(2)＝5.
所以从A到B的函数f(x)有9个.
故选D.
D
例2 (1)(2026·重庆质检)函数f(x)＝的定义域是(　　)
A.[1，4] B.[1，4)
C.[1，＋∞) D.[2，4)
B
由题意知，函数f(x)＝有意义，
需满足解得1≤x<4，
故f(x)＝的定义域为[1，4).
考点二　函数的定义域
(2)若函数f(3x－2)的定义域为[－2，3]，则函数f(2x＋3)的定义域为　　　　　　.
因为－2≤x≤3，所以－8≤3x－2≤7，
所以f(x)的定义域为[－8，7]，
要使f(2x＋3)有意义，需满足－8≤2x＋3≤7，
解得－≤x≤2，
所以函数f(2x＋3)的定义域为.
感悟提升
1.求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解;对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
训练2 (1)函数f(x)＝＋ln(x－1)的定义域为(　　)
A.(1，＋∞) B.(1，2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1) D.(0，2)∪(2，＋∞)
B
因为f(x)＝＋ln(x－1)，
所以要使函数有意义，则
解得x>1且x≠2，所以f(x)的定义域为(1，2)∪(2，＋∞).
(2)(2026·长沙模拟)已知函数y＝f(x)的定义域和值域分别为[－1，1]和[5，9]，则函数y＝f(x＋1)的定义域和值域分别为(　　)
A.[0，2]和[6，10] B.[－2，0]和[6，10]
C.[0，2]和[5，9] D.[－2，0]和[5，9]
由函数y＝f(x)的定义域和值域分别为[－1，1]和[5，9]，
可得x∈[－1，1]，f(x)∈[5，9]，令－1≤x＋1≤1，解得－2≤x≤0，
所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2，0]，
将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，得到y＝f(x＋1)的图象，
所以函数y＝f(x＋1)与函数y＝f(x)的值域相同，即f(x＋1)∈[5，9].故选D.
D
例3 求下列函数的值域.
(1)y＝－1;
(2)f(x)＝x2－4x＋6，x∈[1，5);
考点三　函数的值域
(1)(观察法)　因为≥0，所以－1≥－1，
所以y＝－1的值域为[－1，＋∞).
(2)(配方法)　f(x)＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，
因为x∈[1，5)，如图所示，
所以函数f(x)的值域为 [2，11).
(3)f(x)＝;
(4)y＝x＋.
(3)(分离常数法)　f(x)＝＝3－(x≠－1)，显然可取到0以外的一切实数，
即函数f(x)的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞).
(4)(换元法)　设u＝(x≥0)，则x＝u2(u≥0)，
y＝u2＋u＝(u≥0).由u≥0，可知≥，所以y≥0，
所以函数y＝x＋的值域为[0，＋∞).
感悟提升
求函数值域的常用方法
(1)观察法:对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到;
(2)配方法:若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法.
(3)图象法:通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域;
(4)换元法:通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.
(5)分离常数法:此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.
训练3 (1)下列函数中，值域为[0，4]的是(　　)
A.f(x)＝x－1，x∈{1，2，3，4，5} B.f(x)＝－x2＋4
C.f(x)＝ D.f(x)＝x＋－2(x>0)
C
对于A，f(x)的值域为{0，1，2，3，4}，A错误;
对于B，f(x)的值域为(－∞，4]，B错误;
对于C，由16－x2≥0得－4≤x≤4，即f(x)的定义域为[－4，4]，
当x∈[－4，4]时，16－x2∈[0，16]，∴f(x)∈[0，4]，C正确;
对于D，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，
∴f(x)∈[0，＋∞)，D错误.
(2)对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的值域为　　　　　　.
由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2.
所以x≥，所以f(x)＝
其图象如图所示.
由图象易知，当x＝时，函数有最小值，
∴f(x)min＝f，无最大值.故f(x)的值域为.
课时对点精练
03
一、单选题
1.已知集合M＝{x|0≤x≤4}，N＝{x|0≤x≤2}，下列对应关系能够构成从M到N的函数的是(　　)
A.f:x→ B.f:x→x2
C.f:x→|x| D.f:x→x－1
A
对于f:x→，对于任意x∈M，在N＝{x|0≤x≤2}中都存在唯一确定的元素与之对应，满足函数定义，A正确;
对于f:x→x2，取x＝4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，B错误;
对于f:x→|x|，当x＝4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，C错误;
对于f:x→x－1，当x＝4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，D错误.
2.下列哪一组中的函数是同一函数(　　)
A.f(x)＝x－1，g(x)＝－1 B.f(x)＝，g(x)＝x
C.f(x)＝x2，g(x)＝ D.f(x)＝x2，g(x)＝()4
C
f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，不是同一函数，A错误;
f(x)＝＝|x|，与g(x)＝x的对应关系不同，B错误;
f(x)＝x2与g(x)＝＝x2的定义域都为R，且对应关系相同，是同一函数，C正确;
f(x)＝x2，g(x)＝x2(x≥0)的定义域不同，不是同一函数，D错误.
3.函数y＝的定义域为(　　)
A.(－∞，－4)∪(－4，1) B.(－∞，－1)∪(－1，4)
C.(－∞，1) D.(1，＋∞)
A
由
∴函数y＝的定义域为(－∞，－4)∪(－4，1).故选A.
4.已知函数f＝x2－3x，则f(1)＝(　　)
A.0 B.－2
C.－1 D.4
D
由＝1得x＝4，∴f(1)＝42－3×4＝4.
5.(2026·长春调考)若函数y＝的定义域为M，值域为N，则M∩N＝(　　)
A.(0，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(1，2] D.[1，2)
D
由y＝有意义可得2x－x2>0，所以x2－2x<0，解得0所以函数y＝的定义域M＝(0，2).
由0所以函数y＝的值域N＝[1，＋∞)，所以M∩N＝[1，2).
6.已知函数f(x)＝的定义域为R，则m的取值范围是(　　)
A.(－1，2) B.(－1，2]
C.[－1，2] D.[－1，2)
C
由题意得，(m＋1)x2－(m＋1)x＋≥0在R上恒成立.
当m＋1＝0，即m＝－1时，f(x)＝恒成立，符合题意;
当m＋1≠0时，只需
解得－17.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如:[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0A. B.{－1，0，1}
C.{－1，0，1，2} D.{0，1，2}
B
令t＝2x，t∈(1，4)，则可设f(x)＝g(t)＝t2－3t＋4，t∈(1，4).
由二次函数性质，－≤g(t)<，因此[g(t)]∈{－1，0，1}，
则函数y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}.
8.下列说法正确的是(　　)
A.式子y＝可表示自变量为x、因变量为y的函数
B.若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝1
C.函数y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有1个交点
D.若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素
BC
对于A，有不等式组无解，A错误;
对于B，因为f(x)＝|x－1|－|x|，所以f＝0，
故f＝f(0)＝1，B正确;
二、多选题
对于C，根据函数的概念知，当函数f(x)在x＝1处无定义时，函数f(x)的图象与直线x＝1无交点;当函数f(x)在x＝1处有定义时，函数f(x)的图象与直线x＝1只有1个交点，
所以函数f(x)的图象与直线x＝1最多有1个交点，C正确;
对于D，取函数f(x)＝5(x∈R)，其值域为{5}，定义域为R，D错误.故选BC.
9. (2026·成都诊断)已知函数f(＋1)＝x＋2，则(　　)
A.f(x)＝x2－1(x∈R) B.f(x)的最小值为－1
C.f(2x－3)的定义域为[2，＋∞) D.f的值域为[0，＋∞)
CD
依题意，f(＋1)＝()2＋2＝(＋1)2－1，
则f(x)＝x2－1，x≥1，A错误;
当x≥1时，f(x)≥0，当且仅当x＝1时取等号，B错误;
由2x－3≥1，得x≥2，因此f(2x－3)的定义域为[2，＋∞)，C正确;
易知f－1，则∈[1，＋∞)，因此f的值域为[0，＋∞)，D正确.
10.函数f(x)＝的定义域为　　　　　　　　.
由
得－1≤x≤3且x≠2.
故f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，3].
三、填空题
[－1，2)∪(2，3]
11.函数y＝x－的值域为　　　　　　.
[－2，2]
由4－x2≥0，得－2≤x≤2，
所以设x＝2cos θ(θ∈[0，π])，
则y＝2cos θ－＝2cos θ－2sin θ＝2cos.
因为θ＋∈，
所以cos∈，
所以y∈[－2，2].
12.(2026·湖北多校联考)已知函数f(x－1)的定义域为(－1，3)，则函数g(x)＝的定义域为　　　　　　　　.
(－1，0)∪
由函数f(x－1)的定义域为(－1，3)，得－1则－2解得－113.已知函数f(x)＝.
(1)求f＋f(3)，f＋f(2)的值;
已知函数f(x)＝，
∴f＋f(3)＝＝1，
f＋f(2)＝＝＝1.
四、解答题
(2)f(x)＋f＝1.
(3)原式＝f＋f(2 027)＋f＋f(2 026)＋…＋f＋f(2)＋f(1)
＝2 026＋f(1)＝2 026＋.
(2)探索f(x)＋f;
(3)利用(2)的结论求表达式:f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…f(2 026)＋f(2 027)的值.
14.求下列函数的值域:
(1)y＝1＋;(2)y＝;
(1)(直接法)∵>0，∴1＋>1，
∴y＝1＋的值域为(1，＋∞).
(2)(分离常数法)　y＝＝2＋，
显然≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
(3)y＝(x>1);
(基本不等式法)　由x>1，知x－1>0，
则y＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8，
当且仅当x－1＝，即x＝4时，上式取“＝”，∴y＝(x>1)的最小值为8.
故函数y＝的值域为[8，＋∞).
(4)y＝2x－.
(换元法)　设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1，
所以y＝2(t2＋1)－t＝2，
由t≥0，结合函数的图象得原函数的值域为.

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