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第2节　函数的表示法
课标要求　1.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 2.理解简单的分段函数，并能简单应用.
1.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
2.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有函数都能用三种表示法表示.(　　)
(2)能用列表法表示的函数一定能用图象法表示.(　　)
(3)若函数f(x)是反比例函数，则f(1)＝1.(　　)
(4)函数能用图象法表示的前提是函数的变化规律清晰.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(1)错误.函数y＝2x不能用列表法表示.
(3)错误.因为反比例函数f(x)＝(k≠0)，故f(1)＝k.
2.(人教A必修一P101T7改编)已知函数f(x)＝若f(a)＝5，则a＝　　　　.
答案　1或－1
解析　由题意得
解得a＝1或－1.
3.(人教A必修一P67例4改编)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝　　　　.
x 1≤x<2 2 2f(x) 1 2 3
答案　3
4.(苏教必修一P134T3改编)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝　　　　.
答案　
解析　因为f(－3)＝＝0，
所以f(f(－3))＝f(0)＝.
考点一　函数的解析式
例1 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式;
(2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式;
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式;
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.
解　(1)(换元法)　设1－sin x＝t，t∈[0，2]，
则sin x＝1－t，
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].
即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].
(2)(配凑法)　∵f＝x2＋－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
(3)(待定系数法)　∵f(x)是一次函数，
可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)(解方程组法)　∵2f(x)＋f(－x)＝3x， ①
∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x， ②
由①②解得f(x)＝3x.
感悟提升　函数解析式的求法
(1)配凑法:由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.
(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想:已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
训练1 (多选)下列命题中正确的有(　　)
A.若一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1
B.若f(3x)＝x2＋4x，则函数f(x)的定义域为(0，＋∞)
C.若f＝x3－，则函数f(x)的解析式为f(x)＝x3＋3x
D.若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f ＝3x，则f(x)＝－x(x≠0)
答案　BCD
解析　对于A，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，
因为f(f(x))＝4x＋3，
所以
解得
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3，A错误;
对于B，令t＝3x，则x＝log3t(t>0)，
则f(t)＝(log3t)2＋4log3t，t>0，
故函数的定义域为(0，＋∞)，B正确;
对于C，f＝x3－，
且x－的取值范围是R，
所以f(x)＝x(x2＋3)＝x3＋3x，C正确;
对于D，由f(x)＋2f＝3x，
用替换x，得f＋2f(x)＝，
联立解得f(x)＝－x(x≠0)，D正确.
考点二　分段函数求值
例2 (2026·潍坊模拟)已知函数f(x)＝则f[f(－1)]＝(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案　B
解析　将x＝－1代入，
得f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0，
所以f[f(－1)]＝f(0)，
将x＝0代入，得到f(0)＝e0＋ln 1＝1.
因此，f[f(－1)]＝f(0)＝1.故选B.
感悟提升　根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
训练2 (1)(2026·河南部分名校联考)已知函数f(x)＝
则f＝(　　)
A.128 B.256
C.512 D.1 024
(2)已知函数f(x)＝则f(0)－f(－3)＝　　　　.
答案　(1)B　(2)－1
解析　(1)由题意，f＝2f＝22f＝…＝210f(－1)＝1 024×＝256.故选B.
(2)∵f(0)＝2－0＝1，
f(－3)＝log2(1＋3)＝2，
∴f(0)－f(－3)＝－1.
考点三　分段函数与方程、不等式
例3 (1)(2026·上饶模拟)设f(x)＝
若f(m)＝f(m＋1)，则m＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2026·辽宁名校联盟模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为　　　　.
答案　(1)C　(2)(－∞，2]
解析　(1)由题意可知m>0，
当01，
由f(m)＝f(m＋1)，得＝3m，得m＝;
当m≥1时，m＋1>1，由f(m)＝f(m＋1)，
得3(m－1)＝3m，无解.
综上，m＝.
(2)由题意可知，当x≤0时，0<2x≤1，
故f(x)＝1－2x<1，满足题意;
当x>0时，令log3(x＋1)≤1，
即0综上，x≤2.
感悟提升　已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
提醒　当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.
训练3 (1)若函数f(x)＝不等式f(x)>2的解集为　　　　，若f(a)＝f(－a)，则a的值为　　　　.
(2)若函数f(x)＝则关于x的不等式f(x)≥|x|的解集为　　　　.
答案　(1)(－∞，－1)∪(0，＋∞)　0或±　(2)
解析　(1)当x≤0时，f(x)＝x2＋1>2，
则x2>1，解得x<－1;
当x>0时，f(x)＝3>2，恒成立，
所以不等式f(x)>2的解集为(－∞，－1)∪(0，＋∞).
当a>0时，－a<0，由f(a)＝f(－a)得3＝(－a)2＋1，
解得a＝;
当a＝0时，f(a)＝f(－a)＝1，显然成立;
当a<0时，－a>0，
由f(a)＝f(－a)得a2＋1＝3，
解得a＝－.故a的值为0或±.
(2)当x>0时，－x2＋2x≥x，则x2－x≤0，解得0≤x≤1，故0当x≤0时，3x＋6≥－x，则2x＋3≥0，解得x≥－，故－≤x≤0.
综上，关于x的不等式f(x)≥|x|的解集为.
一、单选题
1.已知函数f(x＋1)＝x2－2x＋3，则函数y＝f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)＝x2－6x＋4 B.f(x)＝x2－4x＋6
C.f(x)＝x2－4x－4 D.f(x)＝x2－6x＋11
答案　B
解析　法一(换元法)　因为f(x＋1)＝x2－2x＋3，
令t＝x＋1，则x＝t－1，
故f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＋3＝t2－4t＋6，
所以f(x)＝x2－4x＋6.故选B.
法二(配凑法)　因为f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋6，
所以f(x)＝x2－4x＋6，故选B.
2.已知f(x)＝则f(－1) 的值是(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
答案　C
解析　由分段函数表达式可知f(－1)＝f(f(－1＋2))＝f(f(1))，f(1)＝f(f(3))＝f(4)＝5，所以f(－1)＝f(5)＝6.
3.某校学生实行凭学生证入校，凡是不带学生证者一律不准进校园.某学生早上上学，骑自行车从家里出发，离开家不久发现学生证忘在家里了，于是返回家取上学生证，然后改为乘坐出租车以更快的速度赶往学校.令x(单位:min)表示离开家的时间，y(单位:km)表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取学生证的时间忽略不计，下列图象中与上述事物件合最好的是(　　)
答案　C
解析　中途回家取证件，因此中间有y＝0，排除A，B，第二次离开家赶往学校速度更快，直线的倾斜程度更大，只有C满足.故选C.
4.(2026·广州调研)已知函数f(x)满足f(x)＋f＝1＋x，则f(2)＝(　　)
A.－ B.
C. D.
答案　D
解析　在f(x)＋f＝1＋x中，
令x＝2，可得f(2)＋f(－1)＝3; ①
令x＝，可得f＋f(2)＝. ②
①＋②可得f(－1)＋f＋2f(2)＝.
令x＝－1，可得f(－1)＋f＝0，
则2f(2)＝，即f(2)＝.故选D.
5.(2026·石家庄段测)已知a>0且a≠1，定义在R上的函数f(x)＝若f[f(－2)]＝2，则a＝(　　)
A.3 B.2
C. D.
答案　A
解析　因为a>0且a≠1，
f(x)＝
所以f(－2)＝22－1＝3，
则f[f(－2)]＝f(3)＝loga(3＋2a)＝2，
所以a2＝3＋2a，解得a＝3或a＝－1(舍)，
故选A.
6.存在函数f(x)满足:对任意x∈R都有(　　)
A.f(|x|)＝x3 B.f(sin x)＝x2
C.f(x2＋2x)＝|x| D.f(|x|)＝x2＋1
答案　D
解析　对于A，当x＝1时，f(|1|)＝f(1)＝1;
当x＝－1时，f(|－1|)＝f(1)＝－1，
不符合函数定义，故A错误;
对于B，令x＝0，则f(sin x)＝f(0)＝0;
令x＝π，则f(sin π)＝f(0)＝π2，
不符合函数定义，故B错误;
对于C，令x＝0，则f(0)＝0;
令x＝－2，则f((－2)2＋2×(－2))＝f(0)＝2，不符合函数定义，故C错误;
对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，|x|≥0，则存在x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，
即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足:对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，故D正确.故选D.
7.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　)
A.f(10)>100 B.f(20)>1 000
C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000
答案　B
解析　因为当x<3时，f(x)＝x，
所以f(1)＝1，f(2)＝2.
对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，
令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3;
令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5;
令x＝5，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8;
不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项:
3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，
显然f(16)>1 000，所以f(20)>1 000，故选B.
二、多选题
8.已知函数f(x)＝则(　　)
A.f(f())＝3
B.若f(x)＝－1，则x＝2或x＝－3
C.f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.若 x∈R，a>f(x)，则a≥3
答案　BCD
解析　对于A，因为f()＝－()2＋3＝0，
所以f(f())＝f(0)＝2，所以A错误;
对于B，当x<1时，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3，当x≥1时，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，
综上，x＝2或x＝－3，所以B正确;
对于C，当x<1时，由f(x)<2，得x＋2<2，解得x<0，当x≥1时，由f(x)<2，得－x2＋3<2，解得x>1，综上，f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以C正确;
对于D，当x<1时，x＋2<3，当x≥1时，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域为(－∞，3)，因为 x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正确.
9.(2025·金华质检)定义运算a b＝ 设函数f(x)＝1 2－x，则下列说法正确的有(　　)
A.f(x)的值域为[1，＋∞)
B.f(x)的值域为(0，1]
C.不等式f(x＋1)D.不等式f(x＋1)答案　AC
解析　对于A，B，由函数f(x)＝1 2－x，
得f(x)＝
即f(x)＝
作出函数f(x)的图象如图所示.
根据函数图象可得f(x)的值域为[1，＋∞)，故A正确，B错误;
对于C，D，若不等式f(x＋1)即x≤－1时成立;
当即－1所以不等式f(x＋1)三、填空题
10.已知函数f(x)对任意x满足3f(x)－f(2－x)＝4x，则f(x)＝　　　　.
答案　x＋1
解析　由题意知3f(x)－f(2－x)＝4x， ①
用2－x代替x，
得3f(2－x)－f(x)＝8－4x， ②
由①②可得f(x)＝x＋1.
11.已知函数f(x)＝则关于x的不等式f(x)≤1的解集为　　　　.
答案　(－∞，e－1]
解析　当x≤0时，由f(x)＝x＋1≤1得x≤0，所以x≤0;
当x>0时，由f(x)＝ln(x＋1)≤1得0即－1综上，f(x)≤1的解集为(－∞，e－1].
12.已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝　　　　.
答案　
解析　作出函数f(x)的图象，如图所示.
因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3所以即－2此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，
f(a＋2)＝，
所以a＝，a>0，
解得a＝2，则f(a)＝.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝
(1)求f ，f ，f(－1)的值;
(2)画出这个函数的图象;
(3)求f(x)的最大值.
解　(1)∵>1，∴f ＝－2×＋8＝5.
∵0<<1，
∴f ＋5＝.
∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)这个函数的图象如图所示.
在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x>1的部分.
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
14.(1)已知f(x＋1)＝2x2－x＋3，求f(x);
(2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，求f(x);
(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝x，求f(x).
解　(1)令t＝x＋1，则x＝t－1，
∴f(t)＝2(t－1)2－(t－1)＋3＝2t2－4t＋2－t＋1＋3＝2t2－5t＋6.
∴f(x)＝2x2－5x＋6.
(2)∵f(x)为一次函数，
∴设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∴f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋9，
∴∴
∴f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.
(3)由2f(x)＋f＝x， ①
用替换x，得2f＋f(x)＝. ②
由①×2－②，得f(x)＝x－(x≠0).(共49张PPT)
数学
高考总
复
习
第二章　函数
第2节　函数的表示法
1.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.理解简单的分段函数，并能简单应用.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.函数的表示法
表示函数的常用方法有________、图象法和列表法.
2.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的______.
解析法
并集
(1)错误.函数y＝2x不能用列表法表示.
(3)错误.因为反比例函数f(x)＝(k≠0)，故f(1)＝k.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有函数都能用三种表示法表示.(　　)
(2)能用列表法表示的函数一定能用图象法表示.(　　)
(3)若函数f(x)是反比例函数，则f(1)＝1.(　　)
(4)函数能用图象法表示的前提是函数的变化规律清晰.(　　)
√
×
√
2.(人教A必修一P101T7改编)已知函数f(x)＝若f(a)＝5，则a＝　　　　.
由题意得
解得a＝1或－1.
1或－1
3.(人教A必修一P67例4改编)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝　　　　.
3
x 1≤x<2 2 2f(x) 1 2 3
4.(苏教必修一P134T3改编)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝　　　　.
因为f(－3)＝＝0，
所以f(f(－3))＝f(0)＝.
考点聚焦突破
02
例1 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式;
考点一　函数的解析式
(换元法)　设1－sin x＝t，t∈[0，2]，
则sin x＝1－t，
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].
即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].
(2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式;
(配凑法)　∵f＝x2＋－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式;
(待定系数法)　∵f(x)是一次函数，
可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.
(解方程组法)　∵2f(x)＋f(－x)＝3x， ①
∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x， ②
由①②解得f(x)＝3x.
感悟提升
函数解析式的求法
(1)配凑法:由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.
(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想:已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
训练1 (多选)下列命题中正确的有(　 　)
A.若一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1
B.若f(3x)＝x2＋4x，则函数f(x)的定义域为(0，＋∞)
C.若f＝x3－，则函数f(x)的解析式为f(x)＝x3＋3x
D.若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f ＝3x，则f(x)＝－x(x≠0)
BCD
对于A，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，
因为f(f(x))＝4x＋3，
所以
解得
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3，A错误;
对于B，令t＝3x，则x＝log3t(t>0)，
则f(t)＝(log3t)2＋4log3t，t>0，
故函数的定义域为(0，＋∞)，B正确;
对于C，f＝x3－
，
且x－的取值范围是R，
所以f(x)＝x(x2＋3)＝x3＋3x，C正确;
对于D，由f(x)＋2f＝3x，
用替换x，得f＋2f(x)＝，
联立解得f(x)＝－x(x≠0)，D正确.
例2 (2026·潍坊模拟)已知函数f(x)＝则f[f(－1)]＝(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
B
将x＝－1代入，
得f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0，
所以f[f(－1)]＝f(0)，
将x＝0代入，得到f(0)＝e0＋ln 1＝1.
因此，f[f(－1)]＝f(0)＝1.故选B.
考点二　分段函数求值
感悟提升
根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
训练2 (1)(2026·河南部分名校联考)已知函数f(x)＝
则f＝(　　)
A.128 B.256
C.512 D.1 024
B
由题意，f＝2f＝22f＝…＝210f(－1)＝1 024×＝256.故选B.
(2)已知函数f(x)＝则f(0)－f(－3)＝　　　　.
∵f(0)＝2－0＝1，
f(－3)＝log2(1＋3)＝2，
∴f(0)－f(－3)＝－1.
－1
(1)(2026·上饶模拟)设f(x)＝若f(m)＝f(m＋1)，则m＝(　　)
A. B.
C. D.
C
由题意可知m>0，当01，
由f(m)＝f(m＋1)，得＝3m，得m＝;
当m≥1时，m＋1>1，由f(m)＝f(m＋1)，
得3(m－1)＝3m，无解.综上，m＝.
考点三　分段函数与方程、不等式
(2)(2026·辽宁名校联盟模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为　　　　　　.
(－∞，2]
由题意可知，当x≤0时，0<2x≤1，
故f(x)＝1－2x<1，满足题意;
当x>0时，令log3(x＋1)≤1，
即0综上，x≤2.
感悟提升
已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
提醒　当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.
训练3 (1)若函数f(x)＝不等式f(x)>2的解集
为　　　　　　　　　　　　，若f(a)＝f(－a)，则a的值为　　　　　　　　.
(－∞，－1)∪(0，＋∞)
当x≤0时，f(x)＝x2＋1>2，则x2>1，解得x<－1;
当x>0时，f(x)＝3>2，恒成立，
所以不等式f(x)>2的解集为(－∞，－1)∪(0，＋∞).
当a>0时，－a<0，由f(a)＝f(－a)得3＝(－a)2＋1，解得a＝;
当a＝0时，f(a)＝f(－a)＝1，显然成立;
当a<0时，－a>0，由f(a)＝f(－a)得a2＋1＝3，
解得a＝－.故a的值为0或±.
0或±
(2)若函数f(x)＝则关于x的不等式f(x)≥|x|的解集为　　　　.
当x>0时，－x2＋2x≥x，则x2－x≤0，解得0≤x≤1，故0当x≤0时，3x＋6≥－x，则2x＋3≥0，解得x≥－，故－≤x≤0.
综上，关于x的不等式f(x)≥|x|的解集为.
课时对点精练
03
一、单选题
1.已知函数f(x＋1)＝x2－2x＋3，则函数y＝f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)＝x2－6x＋4 B.f(x)＝x2－4x＋6
C.f(x)＝x2－4x－4 D.f(x)＝x2－6x＋11　
B
法一(换元法)　因为f(x＋1)＝x2－2x＋3，令t＝x＋1，则x＝t－1，
故f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＋3＝t2－4t＋6，
所以f(x)＝x2－4x＋6.故选B.
法二(配凑法)　因为f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋6，
所以f(x)＝x2－4x＋6，故选B.
2.已知f(x)＝则f(－1) 的值是(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
C
由分段函数表达式可知f(－1)＝f(f(－1＋2))＝f(f(1))，f(1)＝f(f(3))＝f(4)＝5，所以f(－1)＝f(5)＝6.
3.某校学生实行凭学生证入校，凡是不带学生证者一律不准进校园.某学生早上上学，骑自行车从家里出发，离开家不久发现学生证忘在家里了，于是返回家取上学生证，然后改为乘坐出租车以更快的速度赶往学校.令x(单位:min)表示离开家的时间，y(单位:km)表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取学生证的时间忽略不计，下列图象中与上述事物件合最好的是(　　)
C
中途回家取证件，因此中间有y＝0，排除A，B，第二次离开家赶往学校速度更快，直线的倾斜程度更大，只有C满足.故选C.
4. (2026·广州调研)已知函数f(x)满足f(x)＋f＝1＋x，则f(2)＝(　　)
A.－ B.
C. D.
D
在f(x)＋f＝1＋x中，
令x＝2，可得f(2)＋f(－1)＝3; ①
令x＝，可得f＋f(2)＝. ②
①＋②可得f(－1)＋f＋2f(2)＝.
令x＝－1，可得f(－1)＋f＝0，
则2f(2)＝，即f(2)＝.故选D.
5.(2026·石家庄段测)已知a>0且a≠1，定义在R上的函数f(x)＝若f[f(－2)]＝2，则a＝(　　)
A.3 B.2
C. D.
A
因为a>0且a≠1，f(x)＝
所以f(－2)＝22－1＝3，
则f[f(－2)]＝f(3)＝loga(3＋2a)＝2，
所以a2＝3＋2a，解得a＝3或a＝－1(舍)，
故选A.
6.存在函数f(x)满足:对任意x∈R都有(　　)
A.f(|x|)＝x3 B.f(sin x)＝x2
C.f(x2＋2x)＝|x| D.f(|x|)＝x2＋1
D
对于A，当x＝1时，f(|1|)＝f(1)＝1;
当x＝－1时，f(|－1|)＝f(1)＝－1，
不符合函数定义，故A错误;
对于B，令x＝0，则f(sin x)＝f(0)＝0;
令x＝π，则f(sin π)＝f(0)＝π2，
不符合函数定义，故B错误;
对于C，令x＝0，则f(0)＝0;
令x＝－2，则f((－2)2＋2×(－2))＝f(0)＝2，不符合函数定义，故C错误;
对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，|x|≥0，则存在x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，
即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足:对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，故D正确.
故选D.
7.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　)
A.f(10)>100 B.f(20)>1 000
C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000
B
因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.
对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3;
令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5;
令x＝5，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8;
不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项:
3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1 597，…，
显然f(16)>1 000，所以f(20)>1 000，故选B.
8.已知函数f(x)＝则(　 　)
A.f(f())＝3 B.若f(x)＝－1，则x＝2或x＝－3
C.f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞) D.若 x∈R，a>f(x)，则a≥3
BCD
对于A，因为f()＝－()2＋3＝0，
所以f(f())＝f(0)＝2，所以A错误;
对于B，当x<1时，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3，当x≥1时，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，
综上，x＝2或x＝－3，所以B正确;
二、多选题
对于C，当x<1时，由f(x)<2，得x＋2<2，
解得x<0，当x≥1时，由f(x)<2，得－x2＋3<2，解得x>1，
综上，f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以C正确;
对于D，当x<1时，x＋2<3，当x≥1时，－x2＋3≤2，
所以f(x)的值域为(－∞，3)，因为 x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正确.
9. (2025·金华质检)定义运算a b＝ 设函数f(x)＝1 2－x，则下列说法正确的有(　　)
A.f(x)的值域为[1，＋∞)
B.f(x)的值域为(0，1]
C.不等式f(x＋1)D.不等式f(x＋1)AC
对于A，B，由函数f(x)＝1 2－x，
得f(x)＝
即f(x)＝
作出函数f(x)的图象如图所示.
根据函数图象可得f(x)的值域为[1，＋∞)，故A正确，B错误;
对于C，D，若不等式f(x＋1)即x≤－1时成立;
当即－1所以不等式f(x＋1)10.已知函数f(x)对任意x满足3f(x)－f(2－x)＝4x，则f(x)＝　　　　.
由题意知3f(x)－f(2－x)＝4x， ①
用2－x代替x，
得3f(2－x)－f(x)＝8－4x， ②
由①②可得f(x)＝x＋1.
三、填空题
x＋1
11.已知函数f(x)＝则关于x的不等式f(x)≤1的解集为　　　　　　.
(－∞，e－1]
当x≤0时，由f(x)＝x＋1≤1得x≤0，所以x≤0;
当x>0时，由f(x)＝ln(x＋1)≤1得0即－1综上，f(x)≤1的解集为(－∞，e－1].
12.已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝　　　　　.
作出函数f(x)的图象，如图所示.
因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3所以即－2此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，
f(a＋2)＝，
所以a＝，a>0，
解得a＝2，则f(a)＝.
13.已知函数f(x)＝
(1)求f ，f ，f(－1)的值;
　
∵>1，∴f ＝－2×＋8＝5.
∵0<<1，∴f ＋5＝.
∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
四、解答题
(2)这个函数的图象如图所示.
在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x>1的部分.
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
(2)画出这个函数的图象;
(3)求f(x)的最大值.
14. (1)已知f(x＋1)＝2x2－x＋3，求f(x);
令t＝x＋1，则x＝t－1，
∴f(t)＝2(t－1)2－(t－1)＋3＝2t2－4t＋2－t＋1＋3＝2t2－5t＋6.
∴f(x)＝2x2－5x＋6.
(2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，求f(x);
∵f(x)为一次函数，
∴设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∴f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋9，
∴∴
∴f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.
(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝x，求f(x).
由2f(x)＋f＝x， ①
用替换x，得2f＋f(x)＝. ②
由①×2－②，得f(x)＝x－(x≠0).

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