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第3节　单调性与最大(小)值(一)
课标要求　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象 描述 自左向右看图象 是上升的 自左向右看图象 是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈D，都有f(x)≤M; (2) x0∈D，使得f(x0)＝M (1) x∈D，都有f(x)≥M; (2) x0∈D，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
1.函数单调性的常用结论
(1)若f(x)，g(x)均在区间A上单调递增(减)，则y＝f(x)＋g(x)也在区间A上单调递增(减).
(2)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
2.函数最值的结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，若f(1)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(　　)
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　)
(4)对于函数f(x)，x∈I，若对任意x1，x2∈I，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间I上是增函数.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)错误，应对任意的x1都有f(x1)(2)错误，反例:f(x)＝x在[1，＋∞)上为增函数，但f(x)＝x的单调递增区间是(－∞，＋∞).
(3)错误，此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
2.(人教A必修一P86T7改编)函数f(x)＝x2－1的单调递增区间是　　　　.
答案　[0，＋∞)
解析　函数f(x)＝x2－1是开口向上的二次函数，对称轴为x＝0，因此单调递增区间为[0，＋∞).
3.(人教B必修一P140T2(1)改编)函数f(x)＝(x∈[－2，－1])，则f(x)的最小值为　　　　，最大值为　　　　.
答案　1　4
解析　由于f(x)＝在[－2，－1]上单调递增，
故f(x)的最大值为f(－1)＝4，
最小值为f(－2)＝1.
4.(苏教必修一P122T4改编)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)答案　[－1，1)
解析　由条件知解得－1≤a<1.
考点一　函数单调性的判断
例1 (1)函数f(x)＝(　　)
A.在(－1，＋∞)上单调递增
B.在(－1，＋∞)上单调递减
C.在(1，＋∞)上单调递增
D.在(1，＋∞)上单调递减
(2)函数y＝的单调递减区间是　　　　.
答案　(1)C　(2)(－∞，－6]
解析　(1)法一(图象法)　f(x)＝＝1－，作出函数f(x)的图象如图所示.
由图可知，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故选C.
法二(定义法)　任取x1，x2∈(1，＋∞)，
且x1因为x2－x1>0，x2－1>0，x1－1>0，
所以f(x2)>f(x1)，
所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故选C.
(2)由题意，要使函数y＝有意义，需满足x2＋2x－24≥0，
解得x≤－6或x≥4，
又由t＝x2＋2x－24在(－∞，－6]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，
结合复合函数的单调性的判定方法，
可得函数y＝的单调递减区间是(－∞，－6].
感悟提升　1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.(1)函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法.
(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
易错警示　函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.
训练1 (1)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)＝ B.f(x)＝0.5x
C.f(x)＝x|x| D.f(x)＝x＋
(2)函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为　　　　.
答案　(1)AC　(2)
解析　(1)对于A，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，故A正确;
对于B，f(x)＝0.5x在(0，＋∞)上单调递减，故B错误;
对于C，f(x)＝x|x|＝x2，x>0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确;
对于D，f(x)＝x＋，由于f，f，f>f，
可知f(x)在(0，＋∞)上不是单调递增函数，故D错误.
(2)g(x)＝x|x－1|＋1＝
画出函数图象，如图可知，函数的单调递减区间为.
考点二　利用定义证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性.
解　法一　设－1f(x)＝a＝a，
则f(x1)－f(x2)＝a－a＝，
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减;当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)法二　f'(x)＝＝＝－.
当a>0时，f'(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减;
当a<0时，f'(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增.
感悟提升　1.若给出的是“和型”(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号时一般变形为f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f[(x1－x2)＋x2].
2.若给出的是“积型”(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时的一般变形为f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f.
训练2 已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证:f(x)是R上的增函数.
证明　设x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1，
所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，所以f(x1)考点三　由单调性求参数的取值范围
例3 (2026·南通模拟)已知函数f(x)＝在区间(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A.(0，＋∞) B.[0，＋∞)
C.(0，1] D.[1，＋∞)
答案　D
解析　当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，其在(－1，0)上单调递增，
若f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
∴所以a≥1.
感悟提升　利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
训练3 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，0] B.[－1，0]
C.[－1，1] D.[0，＋∞)
(2)(2026·茂名模拟)已知函数f(x)＝在区间(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为　　　　.
答案　(1)B　(2)[5，＋∞)
解析　(1)因为函数f(x)在R上单调递增，
且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，
所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0;
当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，
所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增.
若函数f(x)在R上单调递增，
则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.
综上，实数a的取值范围是[－1，0].故选B.
(2)由x2－6x＋5≥0，可得x≤1或x≥5，
即函数f(x)的定义域为(－∞，1]∪[5，＋∞)，
又因为t＝x2－6x＋5在[5，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，
y＝在[0，＋∞)上单调递增，
由复合函数的单调性可知f(x)＝在区间[5，＋∞)上单调递增，所以a≥5.
一、单选题
1.下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A.y＝ B.y＝－
C.y＝ D.y＝log2x
答案　C
解析　y＝，
因为>0，所以y＝在(0，＋∞)上单调递增，故A错误;
因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以y＝－在(0，＋∞)上单调递增，故B错误;
因为0<<1，所以y＝在(0，＋∞)上单调递减，故C正确;
因为2>1，所以y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，故D错误.
2.(2026·重庆诊断)函数f(x)＝x2－4|x|＋3的单调递减区间是(　　)
A.(－∞，－2) B.(－∞，－2)和(0，2)
C.(－2，2) D.(－2，0)和(2，＋∞)
答案　B
解析　f(x)＝x2－4|x|＋3＝
则由二次函数的性质知，当x≥0时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1的单调递减区间为(0，2);
当x<0时，f(x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1的单调递减区间为(－∞，－2).
故f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)和(0，2).
3.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1在(2，6)上不单调，则a的取值范围是(　　)
A.(2，6) 　　　B.(－∞，2]∪[6，＋∞)
C.(4，12) 　　　D.(－∞，4]∪[12，＋∞)
答案　C
解析　f(x)＝－＋1＋，
由题意得2<<6，解得44.函数f(x)＝的单调递减区间为(　　)
A. B.
C. D.(3，＋∞)
答案　B
解析　由2x2－7x＋3≥0得x≤或x≥3，即f(x)的定义域为∪[3，＋∞)，而y＝2x2－7x＋3在上单调递减，在上单调递增，
则由复合函数的单调性得f(x)的单调递减区间为，故选B.
5.(2026·太原模拟)若函数f(x)＝在(0，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，2] B.(0，4]
C.[2，＋∞) D.[4，＋∞)
答案　C
解析　当a＝0时，f(x)＝为单调递增函数，不符合题意，
当a<0时，y＝，y＝均为单调递增函数，
故f(x)＝为单调递增函数，不符合题意，
当a>0时，f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，
故f(x)＝在(0，2]上单调递减，
则a≥2，故选C.
6.已知函数f(x)在定义域[－9，9]上单调递增，则函数y＝f(x2)的单调递增区间是(　　)
A.[－9，9] B.[0，9]
C.[－3，3] D.[0，3]
答案　D
解析　因为函数f(x)的定义域为[－9，9]，所以函数y＝f(x2)的定义域满足－9≤x2≤9，
即x∈[－3，3].
令t＝x2，所以t＝x2在x∈[0，3]上单调递增，在x∈[－3，0)上单调递减，
又y＝f(x)在x∈[－3，3]上单调递增，
所以函数y＝f(x2)的单调递增区间为[0，3].故选D.
7.(2026·天水调研)已知函数f(x)＝在(m，m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围为(　　)
A.(－∞，－2]∪[1，＋∞) B.[－2，1]
C.(－∞，－1]∪[2，＋∞) D.[－1，2]
答案　A
解析　画出分段函数f(x)＝
的图象，
如图所示，所以要使函数f(x)在(m，m＋1)上单调递增，
则m≥1或m＋1≤－1，解得m≥1或m≤－2，
所以实数m的取值范围为(－∞，－2]∪[1，＋∞).故选A.
二、多选题
8.下列说法中，正确的是(　　)
A.函数y＝e－x－在(－∞，0)上单调递减
B.若f(x)，g(x)都是R上的增函数，则h(x)＝f(x)＋g(x)也是R上的增函数
C.函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞，－1]
D.函数f(x)＝的单调递增区间为[1，＋∞)
答案　ABC
解析　在(－∞，0)上函数y＝e－x与y＝－都单调递减，
所以y＝e－x－在(－∞，0)上单调递减，故A正确;
两增函数的和为增函数，故B正确;
作出函数y＝2|x＋1|的图象，
如图所示，
由图象可知，函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞，－1]，故C正确;
由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，故D错误.
9.已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a，b的取值可以是(　　)
A.a＝－1，b＝2 B.a＝2，b＝1
C.a＝1，b> D.0答案　CD
解析　根据题意，
f(x)＝，其定义域为.
若函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，必有－≤－2，且3－<0，
即03，据此分析选项C，D符合.
三、填空题
10.下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是　　　　(填序号).
①f(x)＝－;②f(x)＝－3x＋1;
③f(x)＝x2＋4x＋3;④f(x)＝x－.
答案　①③④
解析　由题意，知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，①③④在(0，＋∞)上均为增函数.
11.已知函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，－1)上是单调函数，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(－∞，1]
解析　作出f(x)的图象如图所示，
由图可知－a≥－1，
即a≤1.
12.柯西(Cauchy，1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)称为柯西方程，满足该方程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数　　　　　　.
答案　f(x)＝－x(答案不唯一)
解析　设f(x)＝－x，在R上单调递减.
f(x＋y)＝－x－y，f(x)＝－x，f(y)＝－y，满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y).
所以函数f(x)＝－x是在R上单调递减的加性函数.
四、解答题
13.给定函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R.
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象;
(2) x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性.
解　(1)f(x)，g(x)的图象如图所示.
(2)由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，
所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减;
当0当a>2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，a]上单调递减.
14.定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对于任意的x，y∈(0，＋∞)，总有f(x)＋f(y)＝f(xy)，当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)判断函数在(0，＋∞)上的单调性，并证明.
解　(1)令x＝y＝1，
得f(1)＋f(1)＝f(1)，所以f(1)＝0.
(2)f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
证明如下:
设x1>x2>0，令xy＝x1，x＝x2，
则y＝，所以y>1，f(y)<0，
由已知得f(x2)＋f＝f(x1)，
即f(x1)－f(x2)＝f<0，
所以f(x1)所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.(共48张PPT)
数学
高考总
复
习
第二章　函数
第3节　单调性与最大(小)值(一)
INNOVATIVE
DESIGN
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I 当x1f(x1)f(x1)>f(x2)
增函数 减函数
图象 描述 自左向右看图象 是上升的

自左向右看图象
是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上__________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间.
单调递增
单调递减
区间I
2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1) x∈D，都有_________; (2) x0∈D，使得__________ (1) x∈D，都有______________;
(2) x0∈D，使得________________
结论 M为最大值 M为最小值
f(x)≤M
f(x0)＝M
f(x)≥M
f(x0)＝M
常用结论与微点提醒
1.函数单调性的常用结论
(1)若f(x)，g(x)均在区间A上单调递增(减)，则y＝f(x)＋g(x)也在区间A上单调递增(减).
(2)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
2.函数最值的结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
(1)错误，应对任意的x1都有f(x1)(2)错误，反例:f(x)＝x在[1，＋∞)上为增函数，但f(x)＝x的单调递增区间是(－∞，＋∞).
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，若f(1)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(　　)
×
(3)错误，此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
√
×
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　)
(4)对于函数f(x)，x∈I，若对任意x1，x2∈I，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间I上是增函数.(　　)
2.(人教A必修一P86T7改编)函数f(x)＝x2－1的单调递增区间是　　　　.
函数f(x)＝x2－1是开口向上的二次函数，对称轴为x＝0，因此单调递增区间为[0，＋∞).
[0，＋∞)
3.(人教B必修一P140T2(1)改编)函数f(x)＝(x∈[－2，－1])，则f(x)的最小值为　　　　，最大值为　　　　.
由于f(x)＝在[－2，－1]上单调递增，
故f(x)的最大值为f(－1)＝4，
最小值为f(－2)＝1.
1
4
4.(苏教必修一P122T4改编)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)[－1，1)
由条件知解得－1≤a<1.
考点聚焦突破
02
例1 (1)函数f(x)＝(　　)
A.在(－1，＋∞)上单调递增 B.在(－1，＋∞)上单调递减
C.在(1，＋∞)上单调递增 D.在(1，＋∞)上单调递减
C
法一(图象法)　f(x)＝＝1－，作出函数f(x)的图象如图所示.
由图可知，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故选C.
考点一　函数单调性的判断
法二(定义法)　任取x1，x2∈(1，＋∞)，
且x1因为x2－x1>0，x2－1>0，x1－1>0，
所以f(x2)>f(x1)，
所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故选C.
(2)函数y＝的单调递减区间是　　　　　　.
(－∞，－6]
由题意，要使函数y＝有意义，需满足x2＋2x－24≥0，
解得x≤－6或x≥4，
又由t＝x2＋2x－24在(－∞，－6]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，
结合复合函数的单调性的判定方法，
可得函数y＝的单调递减区间是(－∞，－6].
感悟提升
1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.(1)函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法.
(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
易错警示　函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.
训练1 (1)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)＝ B.f(x)＝0.5x
C.f(x)＝x|x| D.f(x)＝x＋
AC
对于A，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，故A正确;
对于B，f(x)＝0.5x在(0，＋∞)上单调递减，故B错误;
对于C，f(x)＝x|x|＝x2，x>0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确;
对于D，f(x)＝x＋，由于f，f，f>f，
可知f(x)在(0，＋∞)上不是单调递增函数，故D错误.
(2)函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为　　　　.
g(x)＝x|x－1|＋1＝
画出函数图象，如图可知，函数的单调递减区间为.
例2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性.
考点二　利用定义证明函数的单调性
法一　设－1则f(x1)－f(x2)＝a－a＝，
由于－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减;当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)法二　f'(x)＝＝＝－.
当a>0时，f'(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减;
当a<0时，f'(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增.
感悟提升
1.若给出的是“和型”(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号时一般变形为f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f[(x1－x2)＋x2].
2.若给出的是“积型”(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时的一般变形为f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f.
训练2 已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证:f(x)是R上的增函数.
设x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1，
所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，所以f(x1)例3 (2026·南通模拟)已知函数f(x)＝在区间(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A.(0，＋∞) B.[0，＋∞)
C.(0，1] D.[1，＋∞)
D
当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，其在(－1，0)上单调递增，
若f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
∴所以a≥1.
考点三　由单调性求参数的取值范围
感悟提升
利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
训练3 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，0] B.[－1，0]
C.[－1，1] D.[0，＋∞)
B
因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，
所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0;
当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增.
若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.
综上，实数a的取值范围是[－1，0].故选B.
(2)(2026·茂名模拟)已知函数f(x)＝在区间(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为　　　　.
由x2－6x＋5≥0，可得x≤1或x≥5，
即函数f(x)的定义域为(－∞，1]∪[5，＋∞)，
又因为t＝x2－6x＋5在[5，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，
y＝在[0，＋∞)上单调递增，
由复合函数的单调性可知f(x)＝在区间[5，＋∞)上单调递增，所以a≥5.
[5，＋∞)
课时对点精练
03
一、单选题
1.下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A.y＝ B.y＝－
C.y＝ D.y＝log2x
　
C
y＝，
因为>0，所以y＝在(0，＋∞)上单调递增，故A错误;
因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以y＝－在(0，＋∞)上单调递增，故B错误;
因为0<<1，所以y＝在(0，＋∞)上单调递减，故C正确;
因为2>1，所以y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，故D错误.
2.(2026·重庆诊断)函数f(x)＝x2－4|x|＋3的单调递减区间是(　　)
A.(－∞，－2) B.(－∞，－2)和(0，2)
C.(－2，2) D.(－2，0)和(2，＋∞)
B
f(x)＝x2－4|x|＋3＝
则由二次函数的性质知，当x≥0时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1的单调递减区间为(0，2);
当x<0时，f(x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1的单调递减区间为(－∞，－2).
故f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)和(0，2).
3.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1在(2，6)上不单调，则a的取值范围是(　　)
A.(2，6) 　　　B.(－∞，2]∪[6，＋∞)
C.(4，12) 　　　D.(－∞，4]∪[12，＋∞)
C
f(x)＝－＋1＋，
由题意得2<<6，解得44.函数f(x)＝的单调递减区间为(　　)
A. B.
C. D.(3，＋∞)
B
由2x2－7x＋3≥0得x≤或x≥3，即f(x)的定义域为∪[3，＋∞)，而y＝2x2－7x＋3在上单调递减，在上单调递增，
则由复合函数的单调性得f(x)的单调递减区间为，故选B.
5. (2026·太原模拟)若函数f(x)＝在(0，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，2] B.(0，4]
C.[2，＋∞) D.[4，＋∞)
C
当a＝0时，f(x)＝为单调递增函数，不符合题意，
当a<0时，y＝，y＝均为单调递增函数，
故f(x)＝为单调递增函数，不符合题意，
当a>0时，f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，
故f(x)＝在(0，2]上单调递减，则a≥2，故选C.
6.已知函数f(x)在定义域[－9，9]上单调递增，则函数y＝f(x2)的单调递增区间是(　　)
A.[－9，9] B.[0，9]
C.[－3，3] D.[0，3]
D
因为函数f(x)的定义域为[－9，9]，
所以函数y＝f(x2)的定义域满足－9≤x2≤9，即x∈[－3，3].
令t＝x2，所以t＝x2在x∈[0，3]上单调递增，在x∈[－3，0)上单调递减，
又y＝f(x)在x∈[－3，3]上单调递增，
所以函数y＝f(x2)的单调递增区间为[0，3].故选D.
7.(2026·天水调研)已知函数f(x)＝在(m，m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围为(　　)
A.(－∞，－2]∪[1，＋∞) B.[－2，1]
C.(－∞，－1]∪[2，＋∞) D.[－1，2]
A
画出分段函数f(x)＝ 的图象，
如图所示，所以要使函数f(x)在(m，m＋1)上单调递增，
则m≥1或m＋1≤－1，解得m≥1或m≤－2，
所以实数m的取值范围为(－∞，－2]∪[1，＋∞).故选A.
8.下列说法中，正确的是(　 　)
A.函数y＝e－x－在(－∞，0)上单调递减
B.若f(x)，g(x)都是R上的增函数，则h(x)＝f(x)＋g(x)也是R上的增函数
C.函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞，－1]
D.函数f(x)＝的单调递增区间为[1，＋∞)
ABC
在(－∞，0)上函数y＝e－x与y＝－都单调递减，
所以y＝e－x－在(－∞，0)上单调递减，故A正确;
两增函数的和为增函数，故B正确;作出函数y＝2|x＋1|的图象，
二、多选题
如图所示，
由图象可知，函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞，－1]，故C正确;
由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，故D错误.
9.已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a，b的取值可以是(　　)
A.a＝－1，b＝2 B.a＝2，b＝1
C.a＝1，b> D.0CD
根据题意，f(x)＝，
其定义域为.
若函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，
必有－≤－2，且3－<0，即03，据此分析选项C，D符合.
10.下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是　　　　(填序号).
①f(x)＝－;②f(x)＝－3x＋1;③f(x)＝x2＋4x＋3;④f(x)＝x－.
由题意，知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，①③④在(0，＋∞)上均为增函数.
三、填空题
①③④
11.已知函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，－1)上是单调函数，则实数a的取值范围是　　　　.
(－∞，1]
作出f(x)的图象如图所示，
由图可知－a≥－1，
即a≤1.
12.柯西(Cauchy，1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)称为柯西方程，满足该方程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数　　　　　　　　　　　　.
f(x)＝－x(答案不唯一)
设f(x)＝－x，在R上单调递减.
f(x＋y)＝－x－y，f(x)＝－x，f(y)＝－y，满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y).
所以函数f(x)＝－x是在R上单调递减的加性函数.
13.给定函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R.
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象;
f(x)，g(x)的图象如图所示.
四、解答题
由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，
所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减;
当0当a>2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，a]上单调递减.
(2) x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性.
14.定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对于任意的x，y∈(0，＋∞)，总有f(x)＋f(y)＝f(xy)，当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
令x＝y＝1，
得f(1)＋f(1)＝f(1)，所以f(1)＝0.
(2)判断函数在(0，＋∞)上的单调性，并证明.
f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
证明如下:
设x1>x2>0，令xy＝x1，x＝x2，则y＝，所以y>1，f(y)<0，
由已知得f(x2)＋f＝f(x1)，即f(x1)－f(x2)＝f<0，
所以f(x1)所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.

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