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第5节　函数的奇偶性、周期性
课标要求　1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用.
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数:一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0;如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是偶函数.(　　)
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)
(3)若T是函数f(x)的一个周期，且f(x)的定义域为R，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期.(　　)
(4)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.
(4)反例:f(x)＝x3，x∈[－3，5]，存在x＝1，使f(－1)＝－f(1)，但f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，(4)错误.
2.(苏教必修一P124例1改编)(多选)给出下列函数，其中是奇函数的有(　　)
A.f(x)＝x4 B.f(x)＝x5
C.f(x)＝x＋ D.f(x)＝
答案　BC
解析　对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，
由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，
可知f(x)＝x4是偶函数，
同理可知f(x)＝x5，f(x)＝x＋是奇函数，f(x)＝是偶函数.
3.(人教A必修一P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为　　　　　　.
答案　(－2，0)∪(2，5]
解析　由图象可知，当00;当2∴当－2当－5≤x<－2时，f(x)>0.
综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5].
4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 027)＝　　　.
答案　－1
解析　因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，所以f(2 027)＝f(507×4－1)
＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
考点一　函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)＝;
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝log2(x＋).
解　(1)由
得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－}，
从而f(x)＝＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
因为当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x);
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x).
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，
所以函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log2[－x＋]
＝log2(－x)＝log2(＋x)－1
＝－log2(＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数.
感悟提升　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
训练1 (1)(2026·北京东城区模拟)已知f(x)＝下列选项中能使f(x)既是奇函数又是增函数的是(　　)
A.g(x)＝x B.g(x)＝x2
C.g(x)＝ex D.g(x)＝ln|x|
(2)(多选)下列函数是奇函数的是(　　)
A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋x
C.f(x)＝ D.f(x)＝ln|1＋x|
答案　(1)B　(2)AC
解析　(1)对于A选项，如图1，不符，
图1　　　　图2
对于B选项，如图2，符合，
对于C选项，如图3，不符，
图3　　　　图4
对于D选项，如图4，不符，故选B.
(2)对于A，函数的定义域为，关于原点对称，
且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数;
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，
且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数;
对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数;
对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数.
考点二　函数的奇偶性的应用
角度1　求解析式(参数或值)
例2 (1)已知b>0，函数f(x)＝是奇函数，则a＝　　　，b＝　　　　.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝4－x＋1，则函数f(x)的解析式为　　　　.
答案　(1)－1　1　(2)f(x)＝
解析　(1)根据题意，函数f(x)＝是奇函数，其定义域为R，
则有f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)，
即
当a＝－1，b＝1时，f(x)＝＝2x－2－x，
其定义域为R，
且f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，
即f(x)为奇函数，故a＝－1，b＝1.
(2)当x>0时，－x<0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(4x＋1)＝－4x－1，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)＝0，
综上，函数f(x)的解析式为
f(x)＝
角度2　比较大小、解不等式
例3 (1)(2026·日照模拟)定义在R上的函数y＝f(x)满足以下条件:
①f(－x)－f(x)＝0;②对任意x1，x2∈[0，＋∞)，当x1≠x2时都有>0，则f(－)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(－3)>f(－) B.f(π)>f(－)>f(－3)
C.f(π)(2)已知函数f(x)＝x3＋2x，x∈(－2，2)，则不等式f(2x－1)＋f(x)>0的解集为　　　　.
答案　(1)A　(2)
解析　(1)因为定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f(－x)－f(x)＝0，
所以函数f(x)是偶函数，
对任意x1，x2∈[0，＋∞)，
当x1≠x2时都有>0，
所以不妨设x1>x2，
则有f(x1)－f(x2)>0 f(x1)>f(x2)，
因此x∈[0，＋∞)时，函数f(x)是增函数，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－)＝f()，f(－3)＝f(3)，
因为x∈[0，＋∞)时，函数f(x)是增函数，
所以f(π)>f(3)>f()，即f(π)>f(－3)>f(－)，故选A.
(2)依题意，f(x)是定义在(－2，2)上的奇函数，且为增函数，
∴f(2x－1)＋f(x)>0，
可化为f(2x－1)>－f(x)＝f(－x)，
故∴原不等式的解集为.
角度3　中值模型
例4 已知函数f(x)＝x＋ln(－x)－5(x∈[－2 026，2 026])的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝　　　　　　.
答案　－10
解析　设g(x)＝f(x)＋5＝x＋ln(－x)，
则g(x)的定义域为[－2 026，2 026]，
则g(x)＋g(－x)＝x＋ln(－x)－x＋ln(＋x)＝ln[(－x)(＋x)]＝ln 1＝0，
∴g(－x)＝－g(x)，即g(x)是奇函数，
因此g(x)min＋g(x)max＝0.
又g(x)min＝f(x)min＋5＝m＋5，
g(x)max＝f(x)max＋5＝M＋5，
∴g(x)min＋g(x)max＝m＋5＋M＋5＝0，
即M＋m＝－10.
感悟提升　1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
2.比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小.
3.解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组).
4.设f(x)＝g(x)＋a，其中g(x)是奇函数，f(x)的最大值与最小值分别为M，N，则f(－x)＋f(x)＝2a，M＋N＝2a.
训练2 (1)(2026·成都模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝(　　)
A.1 B.
C.－1 D.－
(2)(2026·唐山模拟)已知f(x)＝e|x|，则下列说法正确的是(　　)
A.f(5)>f(－3)>f(2) B.f(－3)>f(2)>f(5)
C.f(5)>f(2)>f(－3) D.f(2)>f(5)>f(－3)
(3)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝　　　　.
答案　(1)C　(2)A　(3)2
解析　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，
f(－2)＝－f(2)＝－(22－3)＝－1.
(2)已知f(x)＝e|x|，其定义域为R，关于原点对称.
且f(－x)＝e|－x|＝e|x|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，那么f(－3)＝f(3).
当x≥0时，f(x)＝ex.
因为e>1，所以f(x)＝ex在[0，＋∞)上单调递增.
因为5>3>2，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以f(5)>f(3)>f(2).
又因为f(－3)＝f(3)，
所以f(5)>f(－3)>f(2).
(3)函数f(x)＝＝1＋，
易知g(x)＝是奇函数，故M＋m＝2.
考点三　函数的周期性及应用
例5 (2026·新余模拟)已知函数f(x)的定义域为N*，且f(3)＝－5，f(17)＝3，f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，则f(2 026)＝(　　)
A.5 B.－5
C.2 D.－2
答案　D
解析　由题意得f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，用x＋1代替x，得f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1).
两式相加，得f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以函数f(x)是以6为周期的周期函数.
因为f(17)＝3，所以f(5)＝f(17)＝3，
又因为f(5)＝－f(2)，所以f(2)＝－3.
又因为f(2)＝f(1)＋f(3)，即－3＝f(1)－5，
解得f(1)＝2，
所以f(2 026)＝f(337×6＋4)＝f(4)＝－f(1)＝－2.
感悟提升　1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.
2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
训练3 (2025·青岛三模)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋y)－f(x－y)＝2f(1－x)·f(y)，f(1)＝1，则f(2 025)＝(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.2
答案　C
解析　令x＝0，则f(y)－f(－y)＝2f(1)f(y)＝2f(y)，
∴f(y)＝－f(－y)，∴f(x)为奇函数，
令y＝1，则f(x＋1)－f(x－1)
＝2f(1－x)f(1)＝2f(1－x)，
∵f(x)为奇函数，
∴f(1－x)＝－f(x－1)，
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(2 025)＝f(1)＝1.
一、单选题
1.(2026·北京西城区模拟)给出下列函数中是偶函数的为(　　)
A.f(x)＝(x－1)2 B.f(x)＝2x
C.f(x)＝x4＋x2 D.f(x)＝|ln x|
答案　C
解析　A中，f(x)＝(x－1)2的定义域为R，且f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，故为非奇非偶函数;
B中，f(x)＝2x的定义域为R，且f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，故为非奇非偶函数;
C中，f(x)＝x4＋x2的定义域为R，且f(－x)＝(－x)4＋(－x)2＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，
D中，函数定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数.
2.若偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(－3)>f(－) B.f(π)>f(－)>f(－3)
C.f(π)答案　A
解析　因为f(x)是偶函数，
故f(－)＝f()，f(－3)＝f(3)，
又因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，
由<3<π可得f(π)>f(3)>f()，
即f(π)>f(－3)>f(－).
3.设f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)>0的x的取值范围是(　　)
A.{x|x>1} B.{x|－1C.{x|x<－1或x>1} D.{x|11}
答案　C
解析　∵当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1单调递增，
又∵f(x)为偶函数，
故可以作出f(x)的图象如图所示.
由图象可知，若f(x)>0，则x<－1或x>1.
4.已知函数f(x)满足: x∈R，f(x)·f(x＋6)＝2，且f(4)＝1，则f(2 026)＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　根据题意，f(x)·f(x＋6)＝2，
显然f(x)≠0，所以f(x＋6)＝，
所以f(x＋12)＝＝f(x)，
所以函数f(x)的一个周期为12，
所以f(2 026)＝f(12×168＋10)＝f(10)＝＝2.
5.(2026·金华调研)已知函数f(x)＝(ex＋e－x)·sin x－2在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M，N，则M＋N＝(　　)
A.－4 B.0
C.2 D.4
答案　A
解析　令g(x)＝f(x)＋2＝(ex＋e－x)sin x，其定义域为R，
因为f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M，N，
所以g(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M＋2，N＋2.
因为g(－x)＝(e－x＋ex)sin(－x)＝－(e－x＋ex)sin x＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，g(x)的图象关于原点对称，
所以g(x)在[－2，2]上的最大值和最小值互为相反数，
即M＋2＋N＋2＝0，所以M＋N＝－4，故选A.
6.(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　)
A.－1 B.0
C. D.1
答案　B
解析　法一　设g(x)＝ln，
易知g(x)的定义域为∪，
且g(－x)＝ln＝ln ＝－ln＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数.
若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，
则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.
法二　因为f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，
f(－1)＝(a－1)ln 3，
f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，
所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0(经检验，此时f(x)为偶函数)，故选B.
7.(2026·泰安模拟)定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等式≤0的解集为(　　)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
答案　D
解析　由函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，
则函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，
且f＝－f＝0，f(0)＝0，
则函数f(x)的大致图象如图所示，由图可得，
当x∈∪时，f(x)<0;
当x∈∪时，f(x)>0，
由当x∈(－∞，2)时，x－2<0;
当x∈(2，＋∞)时，x－2>0，
则不等式≤0的解集为∪.
二、多选题
8.(2025·汉中二模)若函数f(x)＝x，则(　　)
A.f()＝
B.f(x)的最小值为0
C.f(x)是奇函数
D.f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)
答案　ACD
解析　f()＝×，故A正确;
由x2－1≥0，得x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故D正确;
因为f(－2)<0，所以f(x)的最小值不是0，故B错误;
因为f(－x)＝－x＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，故C正确.
9.(2025·辽宁名校联考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则(　　)
A.f(0)＝1 B.f(x)是周期函数
C.f(x＋3)为偶函数 D.f(x＋5)为奇函数
答案　BC
解析　法一　对于A，B，因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即f(－x)＝f(2＋x)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，
于是f(2＋x)＝－f(x)，
即f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，故A错误，B正确;
对于C，设g(x)＝f(x＋3)，
则g(x)的定义域为R，
因为f(－x)＝f(2＋x)，
所以f(－x＋3)＝f(－1＋x)，
则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3)，即g(x)＝g(－x)，所以f(x＋3)为偶函数，故C正确;
对于D，设h(x)＝f(x＋5)，
则h(x)的定义域为R，
因为f(－x)＝f(2＋x)，
所以f(－x＋5)＝f(x－3)，
则h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5)，
即h(x)＝h(－x)，所以f(x＋5)为偶函数，故D错误.故选BC.
法二　对于A，f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，故A错误;
对于B，因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数，故B正确;
对于C，由B知，f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，
由f(x＋1)为偶函数得，f(－x＋1)＝f(x＋1)，又f(x)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x＋1)＝－f(－x＋1)＝f(x－1)，
所以f(x－1)＝f(x＋3)为偶函数，故C正确;
对于D，f(x＋5)＝f(x＋5－4)＝f(x＋1)为偶函数，故D错误.故选BC.
三、填空题
10.函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，则满足条件的一组a，b的值可以是a＝　　　　，b＝　　　　.
答案　1(答案不唯一)　0
解析　因为函数f(x)＝是奇函数，x∈R，
所以f(0)＝0，得b＝0，
当a＝1时，f(x)＝，满足f(－x)＝＝－f(x)，即f(x)为奇函数.
11.(2026·大庆模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝3，且f(1)＝－1，则f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝　　　　.
答案　2
解析　由f(x＋1)＋f(x－1)＝3，
令x＋1代替x，可得f(x＋2)＝3－f(x)，
则f(x＋4)＝3－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
可得f(2 025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－1，
由f(x＋1)＋f(x－1)＝3，令x＝2 025，
则f(2 026)＋f(2 024)＝3，
所以f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝2.
12.若函数f(x)＝log4(24x＋1)＋(x＋a)2满足f(|x|)＋|x|＝f(x)＋x，则a＝　　　　.
答案　－1
解析　函数f(x)满足f(|x|)＋|x|＝f(x)＋x，则y＝f(x)＋x是偶函数，
所以f(x)－f(－x)＋2x＝0，即log4＋(4a＋2)x＝2x＋(4a＋2)x＝0，
所以a＝－1.
四、解答题
13.已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋x.
(1)当x<0时，求f(x)的解析式;
(2)若f(1＋a)＋f(2a)>0，求实数a的取值范围.
解　(1)当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x.
又由f(x)是R上的奇函数，
则f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x.
故f(x)＝－x2＋x(x<0).
(2)当x≥0时，
f(x)＝x2＋x＝，
则f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又由f(x)是R上的奇函数，
则f(x)在(－∞，0)上也单调递增，
故f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，又因为f(1＋a)＋f(2a)>0，
所以f(1＋a)>f(－2a)，所以a＋1>－2a.
解得a>－，
即a的取值范围为.
14.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026).
(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)解　当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，
由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4).
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)
＝x2－6x＋8.
从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)解　f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)
＝0＋f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)
＝0＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.(共60张PPT)
数学
高考总
复
习
第二章　函数
第5节　函数的奇偶性、周期性
INNOVATIVE
DESIGN
1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于______对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且__________________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于______对称
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
y轴
原点
2.周期性
(1)周期函数:一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且________________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期.
f(x＋T)＝f(x)
最小
最小正数
常用结论与微点提醒
1.如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0;如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
常用结论与微点提醒
3.函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是偶函数.(　　)
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)
×
(4)反例:f(x)＝x3，x∈[－3，5]，存在x＝1，使f(－1)＝－f(1)，但f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，(4)错误.
√
×
(3)若T是函数f(x)的一个周期，且f(x)的定义域为R，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期.(　　)
(4)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(　　)
2.(苏教必修一P124例1改编)(多选)给出下列函数，其中是奇函数的有(　　)
A.f(x)＝x4 B.f(x)＝x5
C.f(x)＝x＋ D.f(x)＝
对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，
由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，
可知f(x)＝x4是偶函数，
同理可知f(x)＝x5，f(x)＝x＋是奇函数，f(x)＝是偶函数.
BC
3.(人教A必修一P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为　　　　　　　　　　　.
由图象可知，当00;当2∴当－2当－5≤x<－2时，f(x)>0.
综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5].
(－2，0)∪(2，5]
4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 027)＝　　　.
－1
因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，所以f(2 027)＝f(507×4－1)
＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
考点聚焦突破
02
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)＝;
考点一　函数奇偶性的判断
由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－}，
从而f(x)＝＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)f(x)＝
显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
因为当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x);
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x).
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，
所以函数f(x)为奇函数.
(3)f(x)＝log2(x＋).
显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log2[－x＋]
＝log2(－x)＝log2(＋x)－1
＝－log2(＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数.
感悟提升
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
训练1 (1)(2026·北京东城区模拟)已知f(x)＝下列选项中能使f(x)既是奇函数又是增函数的是(　　)
A.g(x)＝x B.g(x)＝x2
C.g(x)＝ex D.g(x)＝ln|x|
B
对于A选项，如图1，不符，
对于B选项，如图2，符合，
图1
图2
对于C选项，如图3，不符，
图3　 　　　图4
对于D选项，如图4，不符，故选B.
(2)(多选)下列函数是奇函数的是(　　)
A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋x
C.f(x)＝ D.f(x)＝ln|1＋x|
对于A，函数的定义域为，关于原点对称，
且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数;
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，
且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数;
对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数;
对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数.
AC
角度1　求解析式(参数或值)
例2 (1)已知b>0，函数f(x)＝是奇函数，则a＝　　　，b＝　　　　.
－1
根据题意，函数f(x)＝是奇函数，其定义域为R，
则有f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)，
即
考点二　函数的奇偶性的应用
1
当a＝－1，b＝1时，f(x)＝＝2x－2－x，
其定义域为R，
且f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，
即f(x)为奇函数，故a＝－1，b＝1.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝4－x＋1，则函数f(x)的解
析式为　　　　　　　　　　　　　　.
f(x)＝
当x>0时，－x<0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(4x＋1)＝－4x－1，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)＝0，
综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝
角度2　比较大小、解不等式
例3 (1)(2026·日照模拟)定义在R上的函数y＝f(x)满足以下条件:
①f(－x)－f(x)＝0;②对任意x1，x2∈[0，＋∞)，当x1≠x2时都有>0，则f(－)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(－3)>f(－) B.f(π)>f(－)>f(－3)
C.f(π)A
因为定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f(－x)－f(x)＝0，
所以函数f(x)是偶函数，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，
当x1≠x2时都有>0，
所以不妨设x1>x2，
则有f(x1)－f(x2)>0 f(x1)>f(x2)，
因此x∈[0，＋∞)时，函数f(x)是增函数，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－)＝f()，f(－3)＝f(3)，
因为x∈[0，＋∞)时，函数f(x)是增函数，
所以f(π)>f(3)>f()，即f(π)>f(－3)>f(－)，故选A.
(2)已知函数f(x)＝x3＋2x，x∈(－2，2)，则不等式f(2x－1)＋f(x)>0的解集
为　　　　.
依题意，f(x)是定义在(－2，2)上的奇函数，且为增函数，
∴f(2x－1)＋f(x)>0，
可化为f(2x－1)>－f(x)＝f(－x)，
故∴原不等式的解集为.
角度3　中值模型
例4 已知函数f(x)＝x＋ln(－x)－5(x∈[－2 026，2 026])的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝　　　　　　.
设g(x)＝f(x)＋5＝x＋ln(－x)，
则g(x)的定义域为[－2 026，2 026]，
则g(x)＋g(－x)＝x＋ln(－x)－x＋ln(＋x)＝ln[(－x)(＋x)]＝ln 1＝0，
－10
∴g(－x)＝－g(x)，即g(x)是奇函数，
因此g(x)min＋g(x)max＝0.
又g(x)min＝f(x)min＋5＝m＋5，
g(x)max＝f(x)max＋5＝M＋5，
∴g(x)min＋g(x)max＝m＋5＋M＋5＝0，
即M＋m＝－10.
感悟提升
1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
2.比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小.
3.解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组).
4.设f(x)＝g(x)＋a，其中g(x)是奇函数，f(x)的最大值与最小值分别为M，N，则f(－x)＋f(x)＝2a，M＋N＝2a.
训练2 (1)(2026·成都模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝(　　)
A.1 B.
C.－1 D.－
C
因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，
f(－2)＝－f(2)＝－(22－3)＝－1.
(2)(2026·唐山模拟)已知f(x)＝e|x|，则下列说法正确的是(　　)
A.f(5)>f(－3)>f(2) B.f(－3)>f(2)>f(5)
C.f(5)>f(2)>f(－3) D.f(2)>f(5)>f(－3)
已知f(x)＝e|x|，其定义域为R，关于原点对称.
且f(－x)＝e|－x|＝e|x|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，那么f(－3)＝f(3).
当x≥0时，f(x)＝ex.
因为e>1，所以f(x)＝ex在[0，＋∞)上单调递增.
因为5>3>2，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(5)>f(3)>f(2).
又因为f(－3)＝f(3)，所以f(5)>f(－3)>f(2).
A
(3)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝　　　　.
2
函数f(x)＝＝1＋，
易知g(x)＝是奇函数，故M＋m＝2.
例5 (2026·新余模拟)已知函数f(x)的定义域为N*，且f(3)＝－5，f(17)＝3，f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，则f(2 026)＝(　　)
A.5 B.－5
C.2 D.－2
D
由题意得f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，用x＋1代替x，
得f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1).
两式相加，得f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以函数f(x)是以6为周期的周期函数.
考点三　函数的周期性及应用
因为f(17)＝3，所以f(5)＝f(17)＝3，
又因为f(5)＝－f(2)，所以f(2)＝－3.
又因为f(2)＝f(1)＋f(3)，即－3＝f(1)－5，
解得f(1)＝2，
所以f(2 026)＝f(337×6＋4)＝f(4)＝－f(1)＝－2.
感悟提升
1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.
2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
训练3 (2025·青岛三模)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋y)－f(x－y)＝2f(1－x)·f(y)，f(1)＝1，则f(2 025)＝(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.2
C
令x＝0，则f(y)－f(－y)＝2f(1)f(y)＝2f(y)，
∴f(y)＝－f(－y)，∴f(x)为奇函数，
令y＝1，则f(x＋1)－f(x－1)＝2f(1－x)f(1)＝2f(1－x)，
∵f(x)为奇函数，∴f(1－x)＝－f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)的周期为4，∴f(2 025)＝f(1)＝1.
课时对点精练
03
一、单选题
1.(2026·北京西城区模拟)给出下列函数中是偶函数的为(　　)
A.f(x)＝(x－1)2 B.f(x)＝2x
C.f(x)＝x4＋x2 D.f(x)＝|ln x|
C
A中，f(x)＝(x－1)2的定义域为R，且f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，故为非奇非偶函数;
B中，f(x)＝2x的定义域为R，且f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，故为非奇非偶函数;
C中，f(x)＝x4＋x2的定义域为R，且f(－x)＝(－x)4＋(－x)2＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，
D中，函数定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数.
2.若偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(－3)>f(－) B.f(π)>f(－)>f(－3)
C.f(π)A
因为f(x)是偶函数，故f(－)＝f()，f(－3)＝f(3)，
又因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，
由<3<π可得f(π)>f(3)>f()，
即f(π)>f(－3)>f(－).
3.设f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)>0的x的取值范围是(　　)
A.{x|x>1} B.{x|－1C.{x|x<－1或x>1} D.{x|11}
C
∵当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1单调递增，
又∵f(x)为偶函数，
故可以作出f(x)的图象如图所示.
由图象可知，若f(x)>0，则x<－1或x>1.
4.已知函数f(x)满足: x∈R，f(x)·f(x＋6)＝2，且f(4)＝1，则f(2 026)＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
B
根据题意，f(x)·f(x＋6)＝2，
显然f(x)≠0，所以f(x＋6)＝，
所以f(x＋12)＝＝f(x)，
所以函数f(x)的一个周期为12，
所以f(2 026)＝f(12×168＋10)＝f(10)＝＝2.
5.(2026·金华调研)已知函数f(x)＝(ex＋e－x)·sin x－2在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M，N，则M＋N＝(　　)
A.－4 B.0
C.2 D.4
A
令g(x)＝f(x)＋2＝(ex＋e－x)sin x，其定义域为R，
因为f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M，N，
所以g(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M＋2，N＋2.
因为g(－x)＝(e－x＋ex)sin(－x)＝－(e－x＋ex)sin x＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，g(x)的图象关于原点对称，
所以g(x)在[－2，2]上的最大值和最小值互为相反数，
即M＋2＋N＋2＝0，所以M＋N＝－4，故选A.
6.(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　)
A.－1 B.0
C. D.1
B
法一　设g(x)＝ln，易知g(x)的定义域为∪，
且g(－x)＝ln＝ln ＝－ln＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数.
若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，
则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.
法二　因为f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，
f(－1)＝(a－1)ln 3，
f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，
所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0(经检验，此时f(x)为偶函数)，故选B.
7.(2026·泰安模拟)定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等式≤0的解集为(　　)
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
D
由函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，
则函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，
且f＝－f＝0，f(0)＝0，
则函数f(x)的大致图象如图所示，由图可得，
当x∈∪时，f(x)<0;
当x∈∪时，f(x)>0，
由当x∈(－∞，2)时，x－2<0;
当x∈(2，＋∞)时，x－2>0，
则不等式≤0的解集为∪.
8. (2025·汉中二模)若函数f(x)＝x，则(　 　)
A.f()＝
B.f(x)的最小值为0
C.f(x)是奇函数
D.f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)
ACD
f()＝×，故A正确;
由x2－1≥0，得x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故D正确;
因为f(－2)<0，所以f(x)的最小值不是0，故B错误;
因为f(－x)＝－x＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，故C正确.
二、多选题
9. (2025·辽宁名校联考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则(　　)
A.f(0)＝1 B.f(x)是周期函数
C.f(x＋3)为偶函数 D.f(x＋5)为奇函数
BC
法一　对于A，B，因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即f(－x)＝f(2＋x)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，
于是f(2＋x)＝－f(x)，
即f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，故A错误，B正确;
对于C，设g(x)＝f(x＋3)，
则g(x)的定义域为R，因为f(－x)＝f(2＋x)，
所以f(－x＋3)＝f(－1＋x)，
则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3)，即g(x)＝g(－x)，所以f(x＋3)为偶函数，故C正确;
对于D，设h(x)＝f(x＋5)，则h(x)的定义域为R，
因为f(－x)＝f(2＋x)，所以f(－x＋5)＝f(x－3)，
则h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5)，
即h(x)＝h(－x)，所以f(x＋5)为偶函数，故D错误.故选BC.
法二　对于A，f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，故A错误;
对于B，因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数，故B正确;
对于C，由B知，f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，
由f(x＋1)为偶函数得，f(－x＋1)＝f(x＋1)，又f(x)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x＋1)＝－f(－x＋1)＝f(x－1)，
所以f(x－1)＝f(x＋3)为偶函数，故C正确;
对于D，f(x＋5)＝f(x＋5－4)＝f(x＋1)为偶函数，故D错误.故选BC.
10.函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，则满足条件的一组a，b的值可以是a＝　　　　　　　　，b＝　　　　.
因为函数f(x)＝是奇函数，x∈R，
所以f(0)＝0，得b＝0，
当a＝1时，f(x)＝，满足f(－x)＝＝－f(x)，即f(x)为奇函数.
三、填空题
1(答案不唯一)
0
11.(2026·大庆模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝3，且f(1)＝－1，则f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝　　　　.
2
由f(x＋1)＋f(x－1)＝3，令x＋1代替x，可得f(x＋2)＝3－f(x)，
则f(x＋4)＝3－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
可得f(2 025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－1，
由f(x＋1)＋f(x－1)＝3，令x＝2 025，
则f(2 026)＋f(2 024)＝3，
所以f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝2.
12.若函数f(x)＝log4(24x＋1)＋(x＋a)2满足f(|x|)＋|x|＝f(x)＋x，则a＝　　　　.
－1
函数f(x)满足f(|x|)＋|x|＝f(x)＋x，则y＝f(x)＋x是偶函数，
所以f(x)－f(－x)＋2x＝0，即log4＋(4a＋2)x＝2x＋(4a＋2)x＝0，
所以a＝－1.
13.已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋x.
(1)当x<0时，求f(x)的解析式;
当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x.
又由f(x)是R上的奇函数，
则f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x.
故f(x)＝－x2＋x(x<0).
四、解答题
当x≥0时，f(x)＝x2＋x＝，
则f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又由f(x)是R上的奇函数，
则f(x)在(－∞，0)上也单调递增，
故f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，又因为f(1＋a)＋f(2a)>0，
所以f(1＋a)>f(－2a)，所以a＋1>－2a.
解得a>－，即a的取值范围为.
(2)若f(1＋a)＋f(2a)>0，求实数a的取值范围.
14.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式;
当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，
由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4).
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026).
f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2 024)＋
f(2 025)＋f(2 026)
＝0＋f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)
＝0＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.

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