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第6节　函数的对称性及其应用
课标要求　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论. 2.会利用对称公式解决问题.
1.奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a;若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为(a，0).
2.若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称;
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称.
3.两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称;
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称;
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称.
对称性的四个常用结论
(1)y＝f(x＋a)是偶函数 f(a＋x)＝f(a－x) y＝f(x)的图象关于x＝a对称.
(2)y＝f(x＋a)是奇函数 f(a＋x)＝－f(a－x) y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称.(　　)
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称.(　　)
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(－1，0)对称.
(3)由函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0可得f(x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f(x)，仅能得出周期为4，无法得出f(－x)＝f(x)，故f(x)的图象不关于y轴对称.
2.(人教A必修一P87T13改编)函数f(x)＝图象的对称中心为(　　)
A.(0，0) B.(0，1)
C.(1，0) D.(1，1)
答案　B
解析　因为f(x)＝＝1＋，
由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋，
又y＝关于(0，0)对称，
所以f(x)＝1＋的图象关于(0，1)对称.
3.已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝　　　.
答案　4
解析　法一　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，
∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，
令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，
得f(0)＝4.
法二　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，
得f(x)关于(2，3)对称，
故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4.
4.若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝　　　　.
答案　5
解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，∴f(－1)＝5.
　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一　函数的对称性
例1 (2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝(＋a)ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称 若存在，求a，b的值;若不存在，说明理由.
解　假设存在a，b， 使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称.
令g(x)＝f＝(x＋a)ln＝(x＋a)ln ，
因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，
所以g(x)＝g(2b－x)，
即(x＋a)ln ＝(2b－x＋a)ln
＝(x－2b－a)ln 恒成立，
于是
当a＝，b＝－时，g(x)＝ln，
g(－1－x)＝ln
＝ln ＝ln
＝ln＝g(x)，
所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意.
故存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－.
感悟提升　1.函数y＝f(x)关于直线x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x)，或f(2a＋x)＝f(－x).
2.函数y＝f(x)关于点(a，b)对称 f(2a－x)＋f(x)＝2b或f(a－x)＋f(a＋x)＝2b.
3.函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称.
训练1 (2024·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3.
证明:曲线y＝f(x)是中心对称图形.
证明　法一　设P(m，n)为y＝f(x)图象上任意一点，
P(m，n)关于(1，a)的对称点为Q(2－m，2a－n)，
因为P(m，n)在y＝f(x)的图象上，
故n＝f(m)＝ln＋am＋b(m－1)3，
而f(2－m)＝ln＋a(2－m)＋b(2－m－1)3
＝－＋2a＝－n＋2a，
所以Q(2－m，2a－n)也在y＝f(x)的图象上，
由点P的任意性可知，
曲线y＝f(x)是中心对称图形.
法二　f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0，2).
由于f(2－x)＝ln＋a(2－x)＋b(1－x)3＝－ln－ax－b(x－1)3＋2a
＝－f(x)＋2a，
故曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称.
函数的对称性
教材母题 (人教A版必修第一册P87习题3.2T13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.
(1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心;
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论.
解　(1)f(x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2，
而g(x)＝f(x＋1)＋2＝x3－3x.
满足g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x
＝－g(x)，
即g(x)为奇函数，
所以f(x)＝x3－3x2的图象关于点(1，－2)对称.
即f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心是点(1，－2).
(2)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数.
典例 (2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1
C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1
答案　B
解析　法一　因为f(x)＝，
所以f(x－1)＝，
f(x＋1)＝.
对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(－x)＝－F(x)，故不是奇函数;
对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(－x)＝－G(x)，故是奇函数;
对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称，故不是奇函数;
对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝，定义域不关于原点对称，故不是奇函数.故选B.
法二　f(x)＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1，故选B.
考点二　函数的对称性与周期性
例2 (2026·昆明诊断)已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A.－50 B.0
C.2 D.50
答案　C
解析　法一　因为f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(x)的图象关于原点对称， ①
且f(0)＝0，
因为f(1－x)＝f(1＋x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝1对称， ②
由①②可得f(x)是周期为4的函数，
对于f(1＋x)＝f(1－x)，
令x＝1，得f(2)＝f(0)＝0;
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2;
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝f(1)＝2.
法二　∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，且f(－x)＝－f(x)， ①
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(－x)＝f(2＋x)， ②
由①②得f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(4＋x)＝－f(2＋x)，
∴f(x)＝f(x＋4)，
∴f(x)的最小正周期为4，
对于f(1＋x)＝f(1－x)，
令x＝1，得f(2)＝f(0)＝0;
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2;
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝0＋2＋0＝2.
感悟提升　函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)的图象有两条对称轴x＝a，x＝b(a(2)如果函数f(x)(x∈D)的图象有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a(3)如果函数f(x)(x∈D)的图象有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.记忆口诀:两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差.
训练2 (多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)＝f'(x).若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　)
A.f(0)＝0 B.g＝0
C.f(－1)＝f(4) D.g(－1)＝g(2)
答案　BC
解析　因为f，g(2＋x)均为偶函数，
所以f＝f，
即f＝f，g(2＋x)＝g(2－x)，
所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，
则f(－1)＝f(4)，故C正确;
函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称，
又g(x)＝f'(x)，且函数f(x)可导，
由函数f(x)图象关于直线x＝对称，
所以其单调性在x＝处改变，导数值为零，
所以g＝0，且g(3－x)＝－g(x)，
所以g(x)关于点对称，
又g(x)图象关于x＝2对称，
所以g(x)的周期为T＝4×＝2，
所以g＝g＝0，
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，
所以g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误;
若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，
所以无法确定f(x)的函数值，故A错误;故选BC.
考点三　对称性、周期性与单调性
例3 (多选)(2026·清远模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若f(x)满足f(2＋x)＋f(2－x)＝0，且f(x)在(－2，0)上单调递增，则以下说法一定正确的是(　　)
A.f(2)＝2
B.f(x)为周期函数
C.f(2 026)＝0
D.f(x)在(10，12)上单调递增
答案　BC
解析　对于A，由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
得f(x)的图象关于点(2，0)对称，
f(2)＝0，故A错误;
对于B，因为f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称.
又f(x)的图象关于点(2，0)对称，
所以f(x)的一个周期为T＝4|2－0|＝8，故B正确;
对于C，由B知，f(2 026)＝f(8×253＋2)＝f(2)＝0，故C正确;
对于D，因为f(x)是偶函数且f(x)在(－2，0)上单调递增，所以f(x)在(0，2)上单调递减，
又f(x)的图象关于(2，0)对称，所以f(x)在(2，4)上单调递减，
由于周期为8，所以f(x)在(10，12)上的单调性与在(2，4)上的单调性相同，
所以f(x)在(10，12)上单调递减，故D错误.
感悟提升　函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
训练3 (1)(多选)(2026·九江模拟)定义在R上的函数f(x)满足:①对任意x∈R，都有f(2＋x)＝f(1)－f(－x);②f(2x)的图象 关于直线x＝1对称;③f(2)＝1，f，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x＋2)是奇函数 B.f(x＋1)是偶函数
C.f＝－ D.f＝－
(2)(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x)＋f(x＋4)＝0且对任意的x1，x2∈[－2，0]，当x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则以下判断正确的是(　　)
A.函数f(x)是偶函数
B.函数f(x)的最小正周期是4
C.函数f(x)在[2，6]上单调递增
D.直线x＝1是函数f(x＋1)图象的一条对称轴
答案　(1)CD　(2)CD
解析　(1)令x＝－1，得f(2－1)＝f(1)－f(1)＝0，即f(1)＝0，
∴f(2＋x)＋f(－x)＝0，故函数f(x)的图象关于(1，0)对称.
又∵f(2x)的图象关于直线x＝1对称，
故f(2x)＝f(2(2－x))＝f(4－2x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称.
∴f(x)的一个周期为T＝4|2－1|＝4.
对于A，f(x＋2)的图象是将f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的，故f(x＋2)的图象关于y轴对称，f(x＋2)是偶函数，故A错误;
对于B，f(x＋1)的图象是将f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，故f(x＋1)的图象关于原点对称，f(x＋1)是奇函数，故B错误;
对于C，由f(2＋x)＋f(－x)＝0，
得f＋f＝0，
由f(x)关于x＝2对称，
得f(－x＋2)＝f(x＋2)，故f＝f，
∴f＝－f＝－，故C正确;
对于D，依题意，得f＝－，f(1)＝0，f，f(2)＝1，f，f(3)＝0，f＝－，f(4)＝f(0)＝－f(2)＝－1，
∴f＝0，∴f＝f＋f(1)＝－，故D正确.
(2)由f(x)＋f(－x)＝0得f(－x)＝－f(x)，函数f(x)为奇函数，A错误;
对任意的x1，x2∈[－2，0]，当x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，
所以f(x)在[－2，0]上单调递减，结合奇函数的性质知，函数f(x)在[0，2]上单调递减，即函数f(x)在[－2，2]上单调递减，
由A及f(x)＋f(x＋4)＝0可知f(x)＝－f(－x)＝－f(x＋4)，
即f(－x)＝f(x＋4)，故f(x)关于直线x＝2对称，所以f(x)在[2，6]上单调递增，
且直线x＝1是函数f(x＋1)图象的一条对称轴，C，D正确;
又f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)，结合f(x)在[－2，6]上的单调性可知函数f(x)的最小正周期为8，B错误.
一、单选题
1.函数y＝|3x＋2|图象的对称轴是直线(　　)
A.x＝2 B.x＝－2
C.x＝ D.x＝－
答案　D
解析　记y＝f(x)＝|3x＋2|，
因为f
＝|－3x－2|＝|3x＋2|＝f(x)，
所以函数y＝|3x＋2|图象的对称轴是直线x＝－.
2.(2025·新高考Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　A
解析　由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数可得，f＝f＝f＝f.
因为当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，
所以f＝5－2×＝－，
即f＝－.故选A.
3.与曲线y＝关于原点对称的曲线为(　　)
A.y＝ B.y＝－
C.y＝ D.y＝－
答案　A
解析　在与曲线y＝关于原点对称的曲线上任取一点P1(x，y)，
则点P1(x，y)关于原点的对称点P2(－x，－y)在曲线y＝上，
所以－y＝，化简得y＝，
因此，与曲线y＝关于原点对称的曲线为y＝.
4.定义在R上的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，且函数y＝f(x－2)＋1是奇函数，则函数y＝g(x)图象的对称中心为(　　)
A.(2，1) B.(－2，－1)
C.(－2，1) D.(2，－1)
答案　D
解析　由题意得函数y＝f(x－2)＋1是奇函数，
则y＝f(x)关于点(－2，－1)对称，另知函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，故y＝g(x)的图象关于点(2，－1)对称.
5.(2026·泰州调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(x)在[－2，2]上单调递增.设a＝f，b＝f，c＝f(－13)，则(　　)
A.aC.b答案　D
解析　定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，
则f(x)图象的对称轴是直线x＝2，
所以f(x)的一个周期为T＝4|2－0|＝8，
所以b＝f＝f，
c＝f(－13)＝f(3)＝f(1)，
因为f(x)在[－2，2]上单调递增，
所以b＝f6.(2026·河南部分名校联考)已知f(x)为定义在(－4，4)上的奇函数，若f(x)在[0，4)上单调递减，则满足不等式f(a＋1)＋f(1－a2)>0的实数a的取值范围是(　　)
A.(－，＋∞)
B.(－，2)
C.(－，－1)∪(2，)
D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案　C
解析　因为f(x)是奇函数，
则f(a＋1)＋f(1－a2)>0可化为f(a＋1)>－f(1－a2)＝f(a2－1).
又f(x)在[0，4)上单调递减且f(x)是定义在(－4，4)上的奇函数，
所以f(x)在(－4，4)上单调递减，
则
解得－即实数a的取值范围是(－，－1)∪(2，).
7.(2026·厦门调考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋3)＝－f(x)，f(1－2x)＝f(1＋2x)，f(1)＝2，f(2)＝f(1)－f(0)，则f(k)＝(　　)
A.2 B.－1
C.1 D.－2
答案　B
解析　由f(x＋3)＝－f(x)可得f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为6，
由f(1－2x)＝f(1＋2x)可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(2)＝f(0)，
又f(1)＝2，f(2)＝f(1)－f(0)，
所以f(2)＝f(0)＝1，又f(3)＝－f(0)＝－1，
f(4)＝－f(1)＝－2，
f(5)＝－f(2)＝－1，f(6)＝f(0)＝1，
所以f(k)＝3[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]－f(6)＝3×(2＋1－1－2－1＋1)－1＝－1.
二、多选题
8.(2026·成都诊断)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x＋6)＝f(x)
B.当x∈[－6，－3]时，f(x)＝x2－3x－6
C.f(2 024)＋f(2 026)＝f(2 025)
D.函数f(x)的一条对称轴为直线x＝
答案　ACD
解析　因为f(x－3)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋3)，则f(x－3)＝f(x＋3)，
所以f(x＋6)＝f(x)，故A正确;
当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则当x∈[－6，－3]时，x＋6∈[0，3]，f(x)＝f(x＋6)＝(x＋6)2－3(x＋6)＝x2＋9x＋18，故B不正确;
由f(x＋6)＝f(x)，得函数f(x)的一个周期为6，得f(2 026)＝f(4＋337×6)
＝f(4)＝－f(1)＝2，
f(2 025)＝f(3＋337×6)＝f(3)＝0，
f(2 024)＝f(2＋337×6)＝f(2)＝－2，
所以f(2 024)＋f(2 026)＝f(2 025)，故C正确;
由A选项知，f(x)＝－f(x＋3)，
又f(x)＝－f(－x)，则f(x＋3)＝f(－x)，
所以函数f(x)的一条对称轴为直线x＝，故D正确.
9.定义在R上的函数f(x)，f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1，2]上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A.直线x＝1是f(x)的图象的对称轴
B.周期T＝2
C.函数f(x)在[4，5]上单调递增
D.f(5)＝0
答案　AC
解析　因为f(x－1)＝f(3－x)，
所以直线x＝1是f(x)的图象的对称轴，故A正确;
因为f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，
所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，
又因为f(x)的对称轴为x＝1，
所以f(x)的周期T＝4，故B错误;
直线x＝1是f(x)的对称轴，且函数f(x)在[1，2]上单调递减，
所以函数f(x)在[0，1]上单调递增，
又f(x)的周期T＝4，
所以函数f(x)在[4，5]上单调递增，故C正确;
因为f(x)的周期T＝4，
f(4)＝f(0)＝0，
则f(5)>f(4)＝0，故D错误.
三、填空题
10.(2026·长沙雅礼中学调考)写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)＝　　　　.
①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2);②f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数.
答案　log2x(答案不唯一，形如f(x)＝klogax(k>0时，a>1;k<0时，0解析　由f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)得，f(x)可以为对数函数，
即f(x)＝logax，又由f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，
得a>1，如f(x)＝log2x.
故答案为log2x(答案不唯一).
11.已知函数f(x)对 x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，且f(x)>0.若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，f(0)＝1，则f(2 026)＝　　　　.
答案　4
解析　因为y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，所以y＝f(x)的图象关于x＝0对称，
即y＝f(x)是偶函数.
对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，
令x＝－1，可得f(1)·f(－1)＝2f(1)，
又f(x)>0，所以f(－1)＝2，
则f(1)＝f(－1)＝2，
所以函数f(x)对 x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝4，
所以f(x＋4)·f(x＋2)＝4，
所以f(x＋4)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数.
对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，
令x＝0，可得f(2)·f(0)＝2f(1)，
则f(2)＝4，
故f(2 026)＝f(506×4＋2)＝f(2)＝4.
12.(2026·山东齐鲁名校联考)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，其中f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝ax2－x－2，若对任意1－2，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　
解析　∵f(x)＋g(x)＝ax2－x－2，
∴f(－x)＋g(－x)＝ax2＋x－2，
∵f(x)，g(x)分别是定义域为R的奇函数，偶函数，
∴－f(x)＋g(x)＝ax2＋x－2，
则g(x)＝ax2－2，
由题意可得g(x2)＋2x2>g(x1)＋2x1，
令h(x)＝g(x)＋2x＝ax2＋2x－2，
则h(x)在(1，6)上单调递增.
若a>0，则h(x)图象的对称轴为直线x＝－<0，开口向上，符合题意;
若a<0，则h(x)图象的对称轴为直线x＝－>0，开口向下，需满足－≥6，
即－≤a<0;
若a＝0，则h(x)＝2x－2在(1，6)上单调递增，符合题意.
综上，a≥－.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝ln(x2－2x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)证明:曲线y＝f(x)关于直线x＝1对称;
(3)若f(2a＋1)>f(a＋4)，求a的取值范围.
(1)解　由x2－2x>0，
解得x<0或x>2，
故f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞).
(2)证明　因为f(x)＝ln(x2－2x)＝ln[x(x－2)]，
所以f(x＋1)＝ln[(x＋1)(x－1)]，
又f(－x＋1)＝ln[(－x＋1)(－x－1)]＝ln[(x＋1)(x－1)]，
所以f(1－x)＝f(1＋x)，
即曲线y＝f(x)关于直线x＝1对称.
(3)解　对于函数y＝x2－2x，其在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
且y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，
在(2，＋∞)上单调递增，
由(2)知，曲线y＝f(x)关于直线x＝1对称，
要使f(2a＋1)>f(a＋4)，
需满足|(2a＋1)－1|>|(a＋4)－1|，
且
解得a∈(－∞，－4)∪(－2，－1)∪(3，＋∞).
14.已知函数f(x)＝是奇函数.
(1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>;
(2)求函数g(x)＝图象的对称中心.
解　(1)对任意的x∈R，2x＋2－x>0，
故函数f(x)的定义域为R，
又因为函数f(x)＝为奇函数，
则f(0)＝＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝，
下面验证函数f(x)＝为奇函数，
f(－x)＝＝－f(x)，
故函数f(x)＝为奇函数，
由f(x)＝>，得2·4x>4，即22x＋1>22，
所以2x＋1>2，解得x>，
因此不等式f(x)>.
(2)g(x)＝，
则g(－x)＝，
所以g(x)＋g(－x)＝＝2，
因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0，1).(共62张PPT)
数学
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复
习
第二章　函数
第6节　函数的对称性及其应用
1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.
2.会利用对称公式解决问题.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数的图象关于______对称，偶函数的图象关于______对称.
(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为________;若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为____________.
2.若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称;
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点_______对称.
原点
y轴
x＝a
(a，0)
(a，0)
3.两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于______对称;
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于______对称;
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于______对称.
y轴
x轴
原点
常用结论与微点提醒
对称性的四个常用结论
(1)y＝f(x＋a)是偶函数 f(a＋x)＝f(a－x) y＝f(x)的图象关于x＝a对称.
(2)y＝f(x＋a)是奇函数 f(a＋x)＝－f(a－x) y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(－1，0)对称.
(3)由函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0可得f(x－1)＝－f(x＋1)，
所以f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f(x)，仅能得出周期为4，无法得出f(－x)＝f(x)，故f(x)的图象不关于y轴对称.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称.(　　)
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称.(　　)
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.(　　)
×
×
2.(人教A必修一P87T13改编)函数f(x)＝图象的对称中心为(　　)
A.(0，0) B.(0，1)
C.(1，0) D.(1，1)
因为f(x)＝＝1＋，
由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋，
又y＝关于(0，0)对称，
所以f(x)＝1＋的图象关于(0，1)对称.
B
3.已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝　　　.
法一　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，
∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，
令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，
得f(0)＝4.
法二　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，
得f(x)关于(2，3)对称，
故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4.
4
4.若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝　　　　.
5
∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，∴f(－1)＝5.
考点聚焦突破
02
例1 (2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝(＋a)ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称 若存在，求a，b的值;若不存在，说明理由.
考点一　函数的对称性
假设存在a，b， 使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称.
令g(x)＝f＝(x＋a)ln＝(x＋a)ln ，
因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，
所以g(x)＝g(2b－x)，
即(x＋a)ln ＝(2b－x＋a)ln ＝(x－2b－a)ln 恒成立，
于是
当a＝，b＝－时，g(x)＝ln，
g(－1－x)＝ln ＝ln ＝ln
＝ln＝g(x)，
所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意.
故存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－.
感悟提升
1.函数y＝f(x)关于直线x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x)，或f(2a＋x)＝f(－x).
2.函数y＝f(x)关于点(a，b)对称 f(2a－x)＋f(x)＝2b或f(a－x)＋f(a＋x)＝2b.
3.函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称.
训练1 (2024·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3.
证明:曲线y＝f(x)是中心对称图形.
法一　设P(m，n)为y＝f(x)图象上任意一点，
P(m，n)关于(1，a)的对称点为Q(2－m，2a－n)，
因为P(m，n)在y＝f(x)的图象上，
故n＝f(m)＝ln＋am＋b(m－1)3，
而f(2－m)＝ln＋a(2－m)＋b(2－m－1)3
＝－＋2a＝－n＋2a，
所以Q(2－m，2a－n)也在y＝f(x)的图象上，
由点P的任意性可知，
曲线y＝f(x)是中心对称图形.
法二　f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0，2).
由于f(2－x)＝ln＋a(2－x)＋b(1－x)3＝－ln－ax－b(x－1)3＋2a
＝－f(x)＋2a，
故曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称.
教材母题 (人教A版必修第一册P87习题3.2T13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.
(1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心;
函数的对称性 教考衔接
f(x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2，而g(x)＝f(x＋1)＋2＝x3－3x.
满足g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－g(x)，
即g(x)为奇函数，所以f(x)＝x3－3x2的图象关于点(1，－2)对称.
即f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心是点(1，－2).
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论.
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数.
典例 (2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1
C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1
B
法一　因为f(x)＝，
所以f(x－1)＝，
f(x＋1)＝.
对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(－x)＝－F(x)，故不是奇函数;
对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(－x)＝－G(x)，故是奇函数;
对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称，故不是奇函数;
对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝，定义域不关于原点对称，故不是奇函数.故选B.
法二　f(x)＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1，故选B.
例2 (2026·昆明诊断)已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A.－50 B.0
C.2 D.50
C
法一　因为f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(x)的图象关于原点对称， ①
且f(0)＝0，因为f(1－x)＝f(1＋x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝1对称， ②
考点二　函数的对称性与周期性
由①②可得f(x)是周期为4的函数，对于f(1＋x)＝f(1－x)，
令x＝1，得f(2)＝f(0)＝0;
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2;
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝f(1)＝2.
法二　∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，且f(－x)＝－f(x)， ①
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(－x)＝f(2＋x)， ②
由①②得f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)，
∴f(x)＝f(x＋4)，
∴f(x)的最小正周期为4，
对于f(1＋x)＝f(1－x)，
令x＝1，得f(2)＝f(0)＝0;
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2;
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝0＋2＋0＝2.
感悟提升
函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)的图象有两条对称轴x＝a，x＝b(a(2)如果函数f(x)(x∈D)的图象有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a(3)如果函数f(x)(x∈D)的图象有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.记忆口诀:两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差.
训练2 (多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)＝f'(x).若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　)
A.f(0)＝0 B.g＝0
C.f(－1)＝f(4) D.g(－1)＝g(2)
BC
因为f，g(2＋x)均为偶函数，
所以f＝f，
即f＝f，g(2＋x)＝g(2－x)，
所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，
则f(－1)＝f(4)，故C正确;
函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称，
又g(x)＝f'(x)，且函数f(x)可导，
由函数f(x)图象关于直线x＝对称，
所以其单调性在x＝处改变，导数值为零，
所以g＝0，且g(3－x)＝－g(x)，
所以g(x)关于点对称，
又g(x)图象关于x＝2对称，
所以g(x)的周期为T＝4×＝2，
所以g＝g＝0，
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，
所以g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误;
若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，
所以无法确定f(x)的函数值，故A错误;故选BC.
例3 (多选)(2026·清远模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若f(x)满足f(2＋x)＋f(2－x)＝0，且f(x)在(－2，0)上单调递增，则以下说法一定正确的是(　　)
A.f(2)＝2 B.f(x)为周期函数
C.f(2 026)＝0 D.f(x)在(10，12)上单调递增
BC
对于A，由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，得f(x)的图象关于点(2，0)对称，
f(2)＝0，故A错误;
对于B，因为f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称.
又f(x)的图象关于点(2，0)对称，
所以f(x)的一个周期为T＝4|2－0|＝8，故B正确;
考点三　对称性、周期性与单调性
对于C，由B知，f(2 026)＝f(8×253＋2)＝f(2)＝0，故C正确;
对于D，因为f(x)是偶函数且f(x)在(－2，0)上单调递增，所以f(x)在(0，2)上单调递减，
又f(x)的图象关于(2，0)对称，所以f(x)在(2，4)上单调递减，
由于周期为8，所以f(x)在(10，12)上的单调性与在(2，4)上的单调性相同，
所以f(x)在(10，12)上单调递减，故D错误.
感悟提升
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
训练3 (1)(多选)(2026·九江模拟)定义在R上的函数f(x)满足:①对任意x∈R，都有f(2＋x)＝f(1)－f(－x);②f(2x)的图象 关于直线x＝1对称;③f(2)＝1，f，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x＋2)是奇函数 B.f(x＋1)是偶函数
C.f＝－ D.f＝－
CD
令x＝－1，得f(2－1)＝f(1)－f(1)＝0，即f(1)＝0，
∴f(2＋x)＋f(－x)＝0，故函数f(x)的图象关于(1，0)对称.
又∵f(2x)的图象关于直线x＝1对称，故f(2x)＝f(2(2－x))＝f(4－2x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称.
∴f(x)的一个周期为T＝4|2－1|＝4.
对于A，f(x＋2)的图象是将f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的，故f(x＋2)的图象关于y轴对称，f(x＋2)是偶函数，故A错误;
对于B，f(x＋1)的图象是将f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，
故f(x＋1)的图象关于原点对称，f(x＋1)是奇函数，故B错误;
对于C，由f(2＋x)＋f(－x)＝0，
得f＋f＝0，
由f(x)关于x＝2对称，
得f(－x＋2)＝f(x＋2)，故f＝f，
∴f＝－f＝－，故C正确;
对于D，依题意，得f＝－，f(1)＝0，f，f(2)＝1，f，f(3)＝0，f＝－，f(4)＝f(0)＝－f(2)＝－1，
∴f＝0，∴f＝f＋f(1)＝－，故D正确.
(2)(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x)＋f(x＋4)＝0且对任意的x1，x2∈[－2，0]，当x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则以下判断正确的是(　　)
A.函数f(x)是偶函数
B.函数f(x)的最小正周期是4
C.函数f(x)在[2，6]上单调递增
D.直线x＝1是函数f(x＋1)图象的一条对称轴
由f(x)＋f(－x)＝0得f(－x)＝－f(x)，函数f(x)为奇函数，A错误;
对任意的x1，x2∈[－2，0]，当x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，
CD
所以f(x)在[－2，0]上单调递减，结合奇函数的性质知，
函数f(x)在[0，2]上单调递减，即函数f(x)在[－2，2]上单调递减，
由A及f(x)＋f(x＋4)＝0可知f(x)＝－f(－x)＝－f(x＋4)，
即f(－x)＝f(x＋4)，故f(x)关于直线x＝2对称，
所以f(x)在[2，6]上单调递增，
且直线x＝1是函数f(x＋1)图象的一条对称轴，C，D正确;
又f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)，结合f(x)在[－2，6]上的单调性可知函数f(x)的最小正周期为8，B错误.
课时对点精练
03
一、单选题
1.函数y＝|3x＋2|图象的对称轴是直线(　　)
A.x＝2 B.x＝－2
C.x＝ D.x＝－
D
记y＝f(x)＝|3x＋2|，
因为f＝|－3x－2|＝|3x＋2|＝f(x)，
所以函数y＝|3x＋2|图象的对称轴是直线x＝－.
2.(2025·新高考Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
A
由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数可得，
f＝f＝f＝f.
因为当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，所以f＝5－2×＝－，
即f＝－.故选A.
3.与曲线y＝关于原点对称的曲线为(　　)
A.y＝ B.y＝－
C.y＝ D.y＝－
A
在与曲线y＝关于原点对称的曲线上任取一点P1(x，y)，
则点P1(x，y)关于原点的对称点P2(－x，－y)在曲线y＝上，
所以－y＝，化简得y＝，
因此，与曲线y＝关于原点对称的曲线为y＝.
4.定义在R上的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，且函数y＝f(x－2)＋1是奇函数，则函数y＝g(x)图象的对称中心为(　　)
A.(2，1) B.(－2，－1)
C.(－2，1) D.(2，－1)
D
由题意得函数y＝f(x－2)＋1是奇函数，
则y＝f(x)关于点(－2，－1)对称，另知函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，故y＝g(x)的图象关于点(2，－1)对称.
5.(2026·泰州调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(x)在[－2，2]上单调递增.设a＝f，b＝f，c＝f(－13)，则(　　)
A.aC.bD
定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，
则f(x)图象的对称轴是直线x＝2，
所以f(x)的一个周期为T＝4|2－0|＝8，
所以b＝f＝f，c＝f(－13)＝f(3)＝f(1)，
因为f(x)在[－2，2]上单调递增，所以b＝f6.(2026·河南部分名校联考)已知f(x)为定义在(－4，4)上的奇函数，若f(x)在[0，4)上单调递减，则满足不等式f(a＋1)＋f(1－a2)>0的实数a的取值范围是(　　)
A.(－，＋∞) B.(－，2)
C.(－，－1)∪(2，) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
C
因为f(x)是奇函数，
则f(a＋1)＋f(1－a2)>0可化为f(a＋1)>－f(1－a2)＝f(a2－1).
又f(x)在[0，4)上单调递减且f(x)是定义在(－4，4)上的奇函数，
所以f(x)在(－4，4)上单调递减，
则
解得－即实数a的取值范围是(－，－1)∪(2，).
7.(2026·厦门调考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋3)＝－f(x)，f(1－2x)＝
f(1＋2x)，f(1)＝2，f(2)＝f(1)－f(0)，则f(k)＝(　　)
A.2 B.－1
C.1 D.－2
B
由f(x＋3)＝－f(x)可得f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为6，
由f(1－2x)＝f(1＋2x)可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(2)＝f(0)，又f(1)＝2，f(2)＝f(1)－f(0)，
所以f(2)＝f(0)＝1，又f(3)＝－f(0)＝－1，
f(4)＝－f(1)＝－2，
f(5)＝－f(2)＝－1，f(6)＝f(0)＝1，
所以f(k)＝3[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]－f(6)＝3×(2＋1－1－2－1＋1)－1＝－1.
8.(2026·成都诊断)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则下列结论正确的是(　 　)
A.f(x＋6)＝f(x)
B.当x∈[－6，－3]时，f(x)＝x2－3x－6
C.f(2 024)＋f(2 026)＝f(2 025)
D.函数f(x)的一条对称轴为直线x＝
ACD
因为f(x－3)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋3)，则f(x－3)＝f(x＋3)，
所以f(x＋6)＝f(x)，故A正确;
二、多选题
当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则当x∈[－6，－3]时，x＋6∈[0，3]，f(x)＝f(x＋6)＝(x＋6)2－3(x＋6)＝x2＋9x＋18，故B不正确;
由f(x＋6)＝f(x)，得函数f(x)的一个周期为6，得f(2 026)＝f(4＋337×6)
＝f(4)＝－f(1)＝2，
f(2 025)＝f(3＋337×6)＝f(3)＝0，
f(2 024)＝f(2＋337×6)＝f(2)＝－2，
所以f(2 024)＋f(2 026)＝f(2 025)，故C正确;
由A选项知，f(x)＝－f(x＋3)，
又f(x)＝－f(－x)，则f(x＋3)＝f(－x)，
所以函数f(x)的一条对称轴为直线x＝，故D正确.
9.定义在R上的函数f(x)，f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1，2]上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A.直线x＝1是f(x)的图象的对称轴
B.周期T＝2
C.函数f(x)在[4，5]上单调递增
D.f(5)＝0
AC
因为f(x－1)＝f(3－x)，所以直线x＝1是f(x)的图象的对称轴，故A正确;
因为f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，
所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，
又因为f(x)的对称轴为x＝1，
所以f(x)的周期T＝4，故B错误;
直线x＝1是f(x)的对称轴，且函数f(x)在[1，2]上单调递减，
所以函数f(x)在[0，1]上单调递增，
又f(x)的周期T＝4，
所以函数f(x)在[4，5]上单调递增，故C正确;
因为f(x)的周期T＝4，
f(4)＝f(0)＝0，
则f(5)>f(4)＝0，故D错误.
10.(2026·长沙雅礼中学调考)写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2);②f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数.
由f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)得，f(x)可以为对数函数，
即f(x)＝logax，又由f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，
得a>1，如f(x)＝log2x.
故答案为log2x(答案不唯一).
三、填空题
log2x(答案不唯一,形如f(x)＝klogax(k>0时,a>1;k<0时，011.已知函数f(x)对 x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，且f(x)>0.若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，f(0)＝1，则f(2 026)＝　　　　.
4
因为y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，所以y＝f(x)的图象关于x＝0对称，
即y＝f(x)是偶函数.
对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，
令x＝－1，可得f(1)·f(－1)＝2f(1)，
又f(x)>0，所以f(－1)＝2，
则f(1)＝f(－1)＝2，
所以函数f(x)对 x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝4，
所以f(x＋4)·f(x＋2)＝4，
所以f(x＋4)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数.
对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，
令x＝0，可得f(2)·f(0)＝2f(1)，
则f(2)＝4，
故f(2 026)＝f(506×4＋2)＝f(2)＝4.
12.(2026·山东齐鲁名校联考)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，其中f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝ax2－x－2，若对任意1－2，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
∵f(x)＋g(x)＝ax2－x－2，
∴f(－x)＋g(－x)＝ax2＋x－2，
∵f(x)，g(x)分别是定义域为R的奇函数，偶函数，
∴－f(x)＋g(x)＝ax2＋x－2，
则g(x)＝ax2－2，
由题意可得g(x2)＋2x2>g(x1)＋2x1，
令h(x)＝g(x)＋2x＝ax2＋2x－2，
则h(x)在(1，6)上单调递增.
若a>0，则h(x)图象的对称轴为直线x＝－<0，开口向上，符合题意;
若a<0，则h(x)图象的对称轴为直线x＝－>0，开口向下，需满足－≥6，
即－≤a<0;
若a＝0，则h(x)＝2x－2在(1，6)上单调递增，符合题意.
综上，a≥－.
13.已知函数f(x)＝ln(x2－2x).
(1)求f(x)的定义域;
由x2－2x>0，
解得x<0或x>2，
故f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞).
四、解答题
因为f(x)＝ln(x2－2x)＝ln[x(x－2)]，
所以f(x＋1)＝ln[(x＋1)(x－1)]，
又f(－x＋1)＝ln[(－x＋1)(－x－1)]＝ln[(x＋1)(x－1)]，
所以f(1－x)＝f(1＋x)，
即曲线y＝f(x)关于直线x＝1对称.
(2)证明:曲线y＝f(x)关于直线x＝1对称;
(3)若f(2a＋1)>f(a＋4)，求a的取值范围.
对于函数y＝x2－2x，其在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
且y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，
在(2，＋∞)上单调递增，
由(2)知，曲线y＝f(x)关于直线x＝1对称，
要使f(2a＋1)>f(a＋4)，需满足|(2a＋1)－1|>|(a＋4)－1|，
且
解得a∈(－∞，－4)∪(－2，－1)∪(3，＋∞).
14.已知函数f(x)＝是奇函数.
(1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>;
对任意的x∈R，2x＋2－x>0，
故函数f(x)的定义域为R，
又因为函数f(x)＝为奇函数，
则f(0)＝＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝，
下面验证函数f(x)＝为奇函数，
f(－x)＝＝－f(x)，
故函数f(x)＝为奇函数，
由f(x)＝>，得2·4x>4，即22x＋1>22，
所以2x＋1>2，解得x>，
因此不等式f(x)>.
(2)求函数g(x)＝图象的对称中心.
g(x)＝，
则g(－x)＝，
所以g(x)＋g(－x)＝＝2，
因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0，1).

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