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第7节　幂函数与二次函数
课标要求　1.通过具体实例，理解幂函数的概念. 2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝的图象，理解它们的变化规律. 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.
1.幂函数
(1)定义:一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义.
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增.
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(2)顶点式:f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
(3)零点式:f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
3.二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点 坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减; 在上单调递增 在上单调递增; 在上单调递减
1.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质;
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.
2.二次函数的最值与抛物线的开口方向、对称轴及给定区间的范围有关.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2是幂函数.(　　)
(2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.(　　)
(3)当n是偶数时，幂函数y＝(m，n∈Z，且m是奇数)是偶函数.(　　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
解析　(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，
故y＝2不是幂函数，故(1)错误.
(4)当对称轴x＝－ [m，n]时，最值则不是，故(4)错误.
2.(人教A必修一P91练习T2(1)改编)比较大小:(－1.5)3　　　　(－1.4)3.
答案　<
解析　由于函数y＝x3在R上单调递增，
且－1.5<－1.4.
故(－1.5)3<(－1.4)3.
3.(人教A必修一P100T4改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上单调，则实数k的取值范围为　　　　.
答案　(－∞，40]∪[160，＋∞)
解析　依题意知，≥20或≤5，
解得k≥160或k≤40.
4.(人教B必修一P139T8改编)已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为　　　　.
答案　f(x)＝x2－4x
解析　由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，
又图象过原点，
所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，
所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.
考点一　幂函数
例1 (1)(2025·青岛质检)如图所示是函数y＝(m，n∈N*且互质)的图象，则(　　)
A.m，n是奇数，且<1
B.m是偶数，n是奇数，且<1
C.m是偶数，n是奇数，且>1
D.m是奇数，n是偶数，且>1
(2)(2026·武汉质检)下列比较大小中正确的是(　　)
A.<
B.<
C.(－2.1<(－2.2
D.<
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)由图象可知y＝为偶函数，
且在(0，＋∞)上单调递增，结合题图在(0，＋∞)上的增长趋势可知，∈(0，1)且m为偶数，
又m，n∈N*且互质，故n是奇数.故选B.
(2)A中，由函数y＝x0.7在(0，＋∞)上单调递增，
所以>，A错误;
B中，由函数y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，则>，B错误;
C中，(－2.1，(－2.2，又函数y＝在R上单调递增，
所以<，
即(－2.1<(－2.2，C正确;
D中，，函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，则>，
即>，D错误.
感悟提升　1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条直线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
训练1 (1)(多选)已知幂函数f(x)＝(m－2)·xn的图象经过点(9，3)，则(　　)
A.m＋n＝
B.f(x)为偶函数
C.f(x)为增函数
D. x0>0，使得f(x0)＝cos x0
(2)已知a＝，b＝，c＝1，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.aC.c答案　(1)ACD　(2)B
解析　(1)由题可知m－2＝1，则m＝3，
又f(x)的图象经过点(9，3)，
所以9n＝3，n＝，
所以f(x)＝，其定义域为[0，＋∞)，
所以f(x)为非奇非偶函数，且为增函数，故A，C正确，B错误;
因为f(x)与g(x)＝cos x的图象在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，其图象有交点，故D正确.
(2)由于c＝1＝，y＝在(0，＋∞)上单调递增，又<1<3，
则<<，则a考点二　二次函数
角度1　二次函数的解析式
例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝　　　　.
答案　－4x2＋4x＋7
解析　法一(利用“一般式”)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得
所以所求二次函数的解析式为
f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用“顶点式”)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝，
所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，
所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三(利用“零点式”)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，
即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
感悟提升　求二次函数解析式的选择规律
角度2　二次函数的图象
例3 (多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的为(　　)
A.b2>4ac B.2a－b＝1
C.a－b＋c＝0 D.5a答案　AD
解析　因为图象与x轴交于两点，
所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确.
对称轴为x＝－1，
即－＝－1，2a－b＝0，B错误.
结合图象，当x＝－1时，y>0，
即a－b＋c>0，C错误.
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.
根据抛物线开口向下，知a<0，
所以5a<2a，即5a感悟提升　研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取“与x轴的交点”;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向.
角度3　二次函数的最值
例4 已知二次函数g(x)＝x2－2mx－1.
(1)当m＝1时，求g(x)在[－1，2]上的最大值;
(2)求g(x)在区间[－1，2]上的最小值.
解　(1)当m＝1时，g(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
故g(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
又g(－1)＝2，g(2)＝－1，则g(－1)>g(2).
故g(x)在[－1，2]上的最大值为g(－1)＝2.
(2)g(x)＝x2－2mx－1＝(x－m)2－m2－1，
x∈[－1，2]，
当m≤－1时，g(x)在[－1，2]上单调递增，
g(x)min＝g(－1)＝2m;
当－1当m≥2时，g(x)在[－1，2]上单调递减，
g(x)min＝g(2)＝3－4m.
综上，g(x)min＝
感悟提升　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定和轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
训练2 (1)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，a＋b＋c＝0，则f(x)的图象可能是(　　)
(2)已知二次函数f(x)的图象过点(0，3)，对称轴为直线x＝2，且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为　　　　.
答案　(1)D　(2)f(x)＝x2－4x＋3
解析　(1)因为a>b>c，a＋b＋c＝0，
故a＋a＋a>a＋b＋c＝0即a>0，
而c＋c＋cB，C中图象开口向下，不符合a>0，而A中图象过原点，与c<0矛盾，故选D.
(2)依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，
由二次函数f(x)的图象过点(0，3)，
得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，
所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，
令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，
所以ax2－4ax＋3＝0，
设方程的两根为x1，x2，
则x1＋x2＝4，x1x2＝，
所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，
所以16－＝10，解得a＝1，
所以f(x)＝x2－4x＋3.
(3)若函数g(x)＝x2＋2x＋2在区间[a，a＋1]内有最小值2，求实数a的值.
解　函数g(x)＝x2＋2x＋2，
对称轴为x＝－1，则g(x)在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递增.
当a＋1≤－1，即a≤－2时，g(x)min＝g(a＋1)＝a2＋4a＋5＝2，
解得a＝－3或a＝－1(舍);
当a<－1g(x)min＝g(－1)＝1≠2，不合题意;
当a≥－1时，g(x)min＝g(a)＝a2＋2a＋2＝2，
解得a＝0或a＝－2(舍).
综上，a＝－3或a＝0.
一、单选题
1.(2026·浏阳模拟)已知幂函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm＋2在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(　　)
A.1 B.－3
C.－4 D.1或－3
答案　A
解析　由题意可得
得得m＝1.
2.(2026·黑龙江龙东十校联考)已知f(x)为幂函数，m为常数，且m>1，则函数g(x)＝f(x)＋的图象经过的定点坐标为(　　)
A.(1，1) B.(1，2)
C.(－1，1) D.(－1，2)
答案　B
解析　因为幂函数的图象过定点(1，1)，
即f(1)＝1，所以g(1)＝f(1)＋＝1＋1＝2，
所以g(x)的图象经过定点(1，2).故选B.
3.函数y＝x2－2ax＋3在(－∞，3]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.[3，＋∞) B.(－∞，3]
C.[－3，＋∞) D.(－∞，－3]
答案　A
解析　易知函数y＝x2－2ax＋3的单调递减区间是(－∞，a]，故a≥3.
4.如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为(　　)
A.y＝ B.y＝
C.y＝ D.y＝
答案　C
解析　对于A，y＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
当x<0时，y＝<0，不符合题意;
对于B，当x＝0时，y＝＝0，不符合题意;
对于C，y＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数为偶函数，
且y＝在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，符合题意;
对于D，y＝，当x＝0时，y＝0，不符合题意.
5.已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.a>b>c D.b答案　B
解析　由a＝，b＝，c＝，
得a＝，b＝，c＝.
因为幂函数y＝在区间(0，＋∞)上单调递增，且<<，
所以<<，
即c6.设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则(　　)
A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0
C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0
答案　C
解析　因为二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－，f(0)＝a＝f(－1)>0，
则函数f(x)的减区间为，增区间为，
所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0，得－10，
所以f(m＋1)>f(0)>0.
7.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝(　　)
A.0 B.1
C. D.2
答案　A
解析　BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，
所以M，N，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，
得a＝lo，b＝lo，
∴a－＝lo＝0.
二、多选题
8.若幂函数f(x)的图象经过点(16，4)，则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)为偶函数
B.f(x)为增函数
C.若x>1，则f(x)>1
D.若x1>x2>0，则f>
答案　BCD
解析　若幂函数f(x)＝xα经过点(16，4)，
则16α＝4，则α＝，
则幂函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上为增函数，故B正确;
因为函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，关于原点不对称，
所以函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，故A错误;
当x>1时，f(x)＝>1，故C正确;
函数f(x)＝的图象如图，其图象在[0，＋∞)上是上凸的，
则有不等式9.在一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，其中a与b同号，那么函数的图象可能为(　　)
答案　BC
解析　对于A，开口向上，所以a>0，由图知对称轴－>0，所以b<0，与已知矛盾，
故A错误;
对于B，开口向上，所以a>0，由图知对称轴－<0，所以b>0，满足条件，故B正确;
对于C，开口向下，所以a<0，由图知对称轴－<0，所以b<0，满足条件，故C正确;
对于D，开口向下，所以a<0，由图知对称轴－>0，所以b>0，与已知矛盾，故D错误.
三、填空题
10.若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是　　　　.
答案　[－2，0]
解析　当0≤x≤1时，φ(x)＝x2－mx＋m，
此时φ(x)单调递增，则≤0，即m≤0;
当x>1时，φ(x)＝x2＋mx－m，
此时φ(x)单调递增，则－≤1，则m≥－2.
综上，实数m的取值范围是[－2，0].
11.(2025·无锡质检)已知幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)的图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上单调递减，若>(1－2a，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　
解析　因为幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)的图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上单调递减，
所以m－2<0且m－2为奇数，
又m∈N，所以m＝1，
则>(1－2a，
即>(1－2a，
因为函数y＝的定义域为(0，＋∞)且为减函数，
所以解得0所以实数a的取值范围是.
12.(2026·徐州质检)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是　　　　.
答案　[2，4]
解析　解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，
解得x＝0或x＝4，
解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，
解得x＝2，
由于f(x)在[a，b]上的值域为[－2，2].
若f(x)在[a，b]上单调，
则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，
此时b－a取得最小值2;
若f(x)在[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，
所以b－a的最大值为4.
所以b－a的取值范围是[2，4].
四、解答题
13.若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上.
(1)求f(x)和g(x)的解析式;
(2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值及单调区间.
解　(1)设f(x)＝xα，
因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，
所以()α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，
因为点在幂函数g(x)的图象上，
所以2β＝，解得β＝－1，即g(x)＝x－1.
(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图实线部分所示.
由题意及图象，
可知h(x)＝
根据函数h(x)的解析式及图象，可知函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)，(1，＋∞).
14.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其两实数根分别为0，4，且当－1≤x≤4时，最大值为10.
(1)求函数的解析式;
(2)设a>0，当t≤x≤t＋1时，求函数的最小值.
解　(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0有两实数根分别为0，4，
所以0＋4＝－，0×4＝＝0，
所以c＝0，b＝－4a，所以二次函数为y＝ax2－4ax，对称轴为x＝－＝2，
当a>0时，当x＝－1时，最大值为10＝a＋4a＝5a，所以a＝2，
所以当a>0时函数解析式为
y＝2x2－8x，
当a<0时，当x＝2时，最大值为10＝4a－8a＝－4a，
所以a＝－，所以当a<0时函数解析式为
y＝－x2＋10x.
(2)当a>0时，函数的解析式为y＝2x2－8x，开口向上，对称轴为x＝2，
当t≤1时，x∈[t，t＋1]时，函数单调递减，
当x＝t＋1时，ymin＝2t2－4t－6;
当1当x＝2时，ymin＝－8;
当t>2时，x∈[t，t＋1]时，函数单调递增，当x＝t时，ymin＝2t2－8t.

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